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文档简介
专题6.1平面向量的概念【五大题型】【人教A版(2019)】TOC\o"1-3"\h\u【题型1向量的概念与表示】 2【题型2零向量与单位向量】 2【题型3向量的几何表示与向量的模】 3【题型4相等向量与共线(平行)向量】 5【题型5利用向量关系研究几何图形的性质】 7【知识点1向量的概念】1.向量的概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量:只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量.注:①本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.②看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素.③向量与数量的区别:数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.2.向量的表示法(1)有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.(2)向量的表示方法:①字母表示法:如等.(2)几何表示法:以A为始点,B为终点作有向线段(注意始点一定要写在终点的前面).如果用一条有向线段表示向量,通常我们就说向量. 3.向量的有关概念(1)向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).(2)零向量:长度为零的向量叫零向量.记作,它的方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(5)相反向量:长度相等且方向相反的向量.注:①在画单位向量时,长度1可以根据需要任意设定.②在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.③非零向量与的关系:是与同方向的单位向量.【题型1向量的概念与表示】【例1】(23-24高一下·新疆·期末)下列说法正确的是(
)A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定D.有向线段MN→和有向线段NM【变式1-1】(24-25高一下·全国·课后作业)下列各量中是向量的为(
)A.海拔 B.压强 C.重力 D.温度【变式1-2】(2025高一·全国·专题练习)下列说法正确的个数是(
)(1)温度、速度、位移、功这些物理量是向量;(2)零向量没有方向;(3)向量的模一定是正数;(4)非零向量的单位向量是唯一的.A.0 B.1 C.2 D.3【变式1-3】(23-24高一下·山西阳泉·期中)下列命题中真命题的个数是(
)(1)温度、速度、位移、功都是向量(2)零向量没有方向(3)向量的模一定是正数(4)直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量A.0 B.1 C.2 D.3【题型2零向量与单位向量】【例2】(24-25高一下·全国·课后作业)下列说法正确的是(
)A.零向量没有大小,没有方向B.零向量是唯一没有方向的向量C.零向量的长度为0D.任意两个单位向量方向相同【变式2-1】(24-25高一下·全国·课后作业)下列说法中,正确的是(
)①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;③单位向量都是同方向;④任意向量与零向量都共线.A.①② B.②③ C.②④ D.①④【变式2-2】(23-24高一下·湖北鄂州·期中)下列关于零向量的说法正确的是(
)A.零向量没有大小 B.零向量没有方向C.两个反方向向量之和为零向量 D.零向量与任何向量都共线【变式2-3】(24-25高一下·广东揭阳·阶段练习)下列结论中正确的为(
)A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同B.向量AB与向量BA的长度相等C.对任意向量a,aaD.零向量没有方向【题型3向量的几何表示与向量的模】【例3】(24-25高一·全国·课后作业)如图,某人从点A出发,向西走了200m后到达B点,然后改变方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点,最后又改变方向,向东走了200m到达D点,发现D点在(1)作出AB、BC、CD(图中1个单位长度表示100m);(2)求DA的模.【变式3-1】(23-24高一·上海·课堂例题)如图,在边长为1的小正方形组成的网格上,求:(1)AB;(2)CD;(3)EF.【变式3-2】(24-25高一下·全国·课后作业)在如图的方格纸中,小方格的边长为1,画出下列向量.(1)|OA|=3,点A在点(2)|OB|=32,点B在点O(3)根据(1)(2),作出向量AB并求出|AB【变式3-3】(24-25高一·全国·课后作业)已知飞机从A地按北偏东30∘方向飞行2000km到达B地,再从B地按南偏东30∘方向飞行2000km到达C地,再从C地按西南方向飞行10002km到达D地.画图表示向量【知识点2相等向量与共线向量】1.向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.注:①零向量的方向是任意的,注意与0的含义与书写区别.②平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.③共线向量与相等向量的关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等的向量.2.用共线(平行)向量或相等向量刻画几何关系(1)利用向量的模相等可以证明线段相等,利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行,但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.3.平行向量有关概念的三个关注点(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混淆.【题型4相等向量与共线(平行)向量】【例4】(23-24高一下·全国·课后作业)如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,图中与CA共线的向量有(
)A.1个 B.2个C.3个 D.4个【变式4-1】(23-24高一下·天津和平·阶段练习)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不一定成立的是()A.AB=EF B.AB与C.BD与EH共线 D.CD【变式4-2】(24-25高一下·全国·课后作业)如图,四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.(1)写出与向量ED相等的向量;(2)写出与向量ED共线的向量.【变式4-3】(2025高一·全国·课后作业)如图所示,四边形ABCD为正方形,BDCE为平行四边形,
(1)与AB模长相等的向量有多少个?(2)写出与AB相等的向量有哪些?(3)与AB共线的向量有哪些?(4)请列出与EC相等的向量.【题型5利用向量关系研究几何图形的性质】【例5】(2024高一·全国·专题练习)设e是单位向量,AB=e,CD=−e,A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【变式5-1】(23-24高一下·河南·期中)在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,且AO=OC,A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形
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