专题6.1 平面向量的概念【五大题型】（人教A版2019必修第二册）

专题6.1平面向量的概念【五大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1向量的概念与表示】 2【题型2零向量与单位向量】 2【题型3向量的几何表示与向量的模】 3【题型4相等向量与共线（平行）向量】 5【题型5利用向量关系研究几何图形的性质】 7【知识点1向量的概念】1．向量的概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．注：①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．2．向量的表示法(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量的表示方法:①字母表示法：如等.(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.注：①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定.②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.【题型1向量的概念与表示】【例1】（23-24高一下·新疆·期末）下列说法正确的是（

）A．身高是一个向量B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C．有向线段由方向和长度两个要素确定D．有向线段MN→和有向线段NM【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（

）A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度【变式1-2】（2025高一·全国·专题练习）下列说法正确的个数是（

）（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；（2）零向量没有方向；（3）向量的模一定是正数；（4）非零向量的单位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-3】（23-24高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（

）（1）温度､速度､位移､功都是向量（2）零向量没有方向（3）向量的模一定是正数（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【题型2零向量与单位向量】【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（

）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个单位向量方向相同【变式2-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（

）①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．A．①② B．②③ C．②④ D．①④【变式2-2】（23-24高一下·湖北鄂州·期中）下列关于零向量的说法正确的是（

）A．零向量没有大小 B．零向量没有方向C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线【变式2-3】（24-25高一下·广东揭阳·阶段练习）下列结论中正确的为（

）A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B．向量AB与向量BA的长度相等C．对任意向量a，aaD．零向量没有方向【题型3向量的几何表示与向量的模】【例3】（24-25高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在(1)作出AB、BC、CD（图中1个单位长度表示100m）；(2)求DA的模．【变式3-1】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：(1)AB；(2)CD；(3)EF．【变式3-2】（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量．(1)|OA|=3，点A在点(2)|OB|=32，点B在点O(3)根据（1）（2），作出向量AB并求出|AB【变式3-3】（24-25高一·全国·课后作业）已知飞机从A地按北偏东30∘方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30∘方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行10002km到达D地．画图表示向量【知识点2相等向量与共线向量】1．向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线.注：①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别.②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.

(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.

(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.3．平行向量有关概念的三个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.【题型4相等向量与共线（平行）向量】【例4】（23-24高一下·全国·课后作业）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【变式4-1】（23-24高一下·天津和平·阶段练习）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（）A．AB=EF B．AB与C．BD与EH共线 D．CD【变式4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)写出与向量ED相等的向量；(2)写出与向量ED共线的向量．【变式4-3】（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形ABCD为正方形，BDCE为平行四边形，

(1)与AB模长相等的向量有多少个？(2)写出与AB相等的向量有哪些？(3)与AB共线的向量有哪些？(4)请列出与EC相等的向量．【题型5利用向量关系研究几何图形的性质】【例5】（2024高一·全国·专题练习）设e是单位向量，AB=e，CD=−e，A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【变式5-1】（23-24高一下·河南·期中）在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且AO=OC，A．AC⊥BD B．四边形ABCD是梯形C．四边形ABCD是菱形 D．四边形ABCD是矩形