反比例函数的综合应用（解析版）-中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题12反比例函数的综合应用

1.(2021•成都中考)如图，在平面直角坐标系xQy中，一次函数>=当+3的图象与反比例函数y=K(x>0)的

42x

图象相交于点/(。，3),与x轴相交于点2.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)过点/的直线交反比例函数的图象于另一点C,交x轴正半轴于点。，当△48。是以AD为底的等腰三角

形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标.

；&+3=3,

42

解得：a—2,

：.A(2,3),

将/(2,3)代入y=K(x>0),

X

得：3=工

2

:・k=6,

反比例函数的表达式为了=2；

(2)如图，过点4作轴于点E,

在y=3x+3中，令y=0,得3x+3=0,

4242

解得：x=-2,

：.B(-2,0),

,:E(2,0),

：.BE=2-(-2)=4,

；A4BD是以BD为底边的等腰三角形,

:.AB=AD,

U：AELBD,

；・DE=BE=4,

：.D(6,0),

设直线4。的函数表达式为

9：A(2,3),D(6,0),

.(2mtn=3

16m+n=0

'一3

m-口

解得：，，

直线/D的函数表达式为尸-总呜

...点。的坐标为(4,3).

2.(2021•深圳中考)探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、上倍、k倍.

2

(1)若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？不存在(填

“存在”或“不存在”).

(2)继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3,宽为2的矩形的2倍?

同学们有以下思路:

①设新矩形长和宽为小修则依题意无+y=10,xy=12,联立［“'=知得/-10x+12=0,再探究根的情况;

lxy=12

根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的」■倍；

2

②如图也可用反比例函数与一次函数证明/1：y=-x+10,12：»=丝，那么，

X

a.是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？存在.

6.请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的工，若不存在，用图象表达；

2

C.请直接写出当结论成立时后的取值范围：心处.

25-

解：(1)由题意得，给定正方形的周长为8,面积为4,

若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16,面积为8,

对应的边长为：4和2血，不符合题意，

不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍.

故答案为：不存在.

(2)①设新矩形长和宽为x、y,则依题意x+y=2.5,孙=3,

联立5,得：公2_5了+6=0,

lxy=3

A=(-5)2-4X2X6=-23<0,

此方程无解，

•••不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的工倍.

2

@a：从图象看来，函数y=-x+10和函数>=丝图象在第一象限有两个交点,

X

・,・存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍.

故答案为：存在.

b：设新矩形长和宽为x、y,则依题意x+y=2.5,xy=3,

联立［x4y=2.5,得：2X2-5X+6=0,

lxy=3

AA=(-5)2-4X2X6=-23＜0,

，此方程无解，

不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的工倍.

2

从图象看来，函数y=-x+2.5和函数y=3图象在第一象限没有交点,

X

•••不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的工倍.

2

c：设新矩形长和宽为x、y,则依题意xty=5左，xy=6k,

联立卜个515,得：/-5米+6左=0,

Ixy=6k

A=(-5左)2-4X1X6左=25庐-24k,

设方程的两根为修，X2，

当△即25%2-24左,0时，X1+X2=5左＞0,孙必=6左＞0,

解得：左221或左W0(舍)，

25

丝时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的后倍.

25

故答案为：左与组.

3.(2021•镇江中考)如图，点/和点E(2,1)是反比例函数y=K(尤＞0)图象上的两点，点3在反比例函数y

X

=旦(x＜0)的图象上，分别过点45作y轴的垂线，垂足分别为点C,D,AC=BD,连接N2交y轴于点

X

F.

(1)k=2；

(2)设点4的横坐标为Q,点尸的纵坐标为冽，求证：am=-2；

(3)连接CE,DE,当NCED=90°时，直接写出点N的坐标：_L2一22_.

—5-3—

解：（1）..•点E（2,1）是反比例函数y=K（尤>0）图象上的点,

X

/.K=1,

2

解得左=2,

故答案为：2；

（2）在△ZCF和△3。尸中，

，ZACF=ZBDF

<ZCFA=ZBFD-

kAC=BD

:.LACF丝4BDF（AAS）,

:・SABDF=SAACF，

•.•点/坐标为（a,2）,则可得C（0,2）,

aa

：.AC=a,0c=2,

a

即Izx（2-加）=_Lax（2+加），

2a2a

整理得am=-2；

（3）设/点坐标为（a,—）,

a

则c（0,2）,D（0,-2），

aa

'：E（2,1）,ZCED=90°,

：.CE2+DE2=CD2,

即22+（i-2）2+22+（i+A）2=（Z+2）2,

aaaa

解得a=-2（舍去）或“=且，

5

点的坐标为（旦，5）.

53

4.（2021•泰州中考）如图，点/（-2,%）、3（-6,竺）在反比例函数y=K（左＜0）的图象上，NC_Lx轴，BD

x

，了轴，垂足分别为C、D,NC与AD相交于点E.

（1）根据图象直接写出为、及的大小关系，并通过计算加以验证；

（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2,②2£=24&这两个条件中任选一个作为补充条件，求发

的值.

你选择的条件是①（只填序号）.

解：（1）根据图象可知，为＞及，

•.•点/（-2,力）、2（-6,乃）在反比例函数丁=上（左＜0）的图象上,

X

・・・乃=■昌及=■昌

26

EVO,

/.-->-2L>O,即为>72.

26

(2)选择①作为条件；

由(1)可得，/(-2,-3(-6,-

26

OC=2,BD=6,AC=--,OD=-—

26

:.DE=OC=2,EC=OD=-K,

6

1/四边形OCED的面积为2,

/.2X(-区.)=2,解得人=-6.

6

5.（2021•济南中考）如图，直线y=3涓双曲线y=K（左W0）交于1,8两点，点/的坐标为（"2,-3),点C

2x

是双曲线第一象限分支上的一点，连接3c并延长交x轴于点。，且8c=2CD.

（1）求人的值并直接写出点2的坐标；

（2）点G是y轴上的动点，连接G3,GC,求G8+GC的最小值；

(3)尸是坐标轴上的点，。是平面内一点，是否存在点尸，。，使得四边形45尸。是矩形？若存在，请求出所有

解：⑴将点/的坐标为(加，-3)代入直线尸深中,

得-3=2》?,

2

解得：m--2,

/•A(-2,-3),

；・k=-2X(-3)=6,

反比例函数解析式为y=包,

:.点8的坐标为(2,3)；

(2)如图1,作BELx轴于点E,CFLx轴于点尸,

△DCFsMBE,

•••DC=CF

DBBE

;BC=2CD,BE=3,

•CD=1

,*DBT

•CF=1

T

：.CF=\,

：.C(6,1),

作点8关于y轴的对称点夕，连接gC交y轴于点G,

则"C即为3G+GC的最小值，

:B'(-2,3),C(6,1),

二,C=«(-2-6)2+(3-1)2=2万,

：.BG+GC=B'C=2A/17；

(3)存在.理由如下：

①当点尸在x轴上时，如图2,设点尸1的坐标为Q,0),

过点B作BELx轴于点E,

•：NOEB=NOBP[=90°,NBOE=NP[OB,

:AOBEsj^OPiB,

.QB-OE

'*0P7OB'

,:B(2,3),

OB—q22+32=

•713-2

••---------.__r?

aV13

•0—13

2

...点尸1的坐标为(里,0)；

2

②当点尸在y轴上时，过点8作轴于点N,如图2,

设点尸2的坐标为（。，b）,

ZONB=ZP2BO=90°,ZBON=ZP2OB,

：.△BONs^PzOB,

•QB-QN：即后=3,

，

0P2OB,bV13

.M=生，

3

，点P7的坐标为（0,—）；

3

综上所述，点p的坐标为（［3,o）或（0,11）.

23

6.（2021•雅安中考）已知反比例函数>=四的图象经过点N（2,3）.

x

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）如图，在反比例函数>=丑■的图象上点/的右侧取点C,过点C作x轴的垂线交x轴于点〃，过点/作〉

x

轴的垂线交直线CH于点D.

①过点/,点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点8,求证：B,。三点共线；

②若/C=2。/,求证：NAOD=2/DOH.

（1）解：二,反比例函数歹=蚂的图象经过点/（2,3）,

•••23—---m，

2

••冽=6,

...反比例函数的解析式为y=g

X

(2)证明：①过点工作/朋」x轴于过点C作CNLy轴于N,AM交CN于点、B,连接。及

,：A(2,3),点(7在、=立的图象上，

X

・•・可以设C(6旦)，则8(2,A),D。，3),

tt

6

・・・tanN5(W=M=&=旦，tanNZ)OH=迈=3,

OM2tOHt

・•・tanZBOM=tanADOH,

：.ZBOM=/DOH,

：.O,B,。共线.

②设4C交5。于J.

•・・4DJ_y轴，轴，

：.AD//CB,

••ZALLx轴，Z)〃_Lx轴，

：.AB//DC,

J四边形45CD是平行四边形，

VZADC=90°,

・•・四边形45CD是矩形，

:.AJ=JC=JD=JB,

'：AC=2OA,

：.AO=AJf

：.ZAOJ=/AJO,

'：ZAJO=ZJAD+ZJDA,

,:AD〃OH,

：.ZDOH=/ADJ,

,:JA=JD,

NJAD=NADJ,

7.（2021•湖北中考）如图：在平面直角坐标系中，菱形/BCD的顶点。在y轴上，A,C两点的坐标分别为（2,

0）,（2,m）,直线CD：力="+6与双曲线：及=上交于C，尸（-4,-1）两点.

x

（1）求双曲线刃的函数关系式及别的值；

（2）判断点5是否在双曲线上，并说明理由；

（3）当为〉为时，请直接写出x的取值范围.

解：（1）将点P（-4,-1）代入＞=生_中，得无2=-4义（-1）=4,

x

反比例函数的解析式为＞=%，

X

将点C（2,m）代入^=居中，得%=3=2；

(2)因为四边形/5CD是菱形，A(2,0),C(2,2),

—B(4,Am),

2

：.B(4,1),

由（1）知双曲线的解析式为”=4.

・.・4X1=4,

...点5在双曲线上;

(3)由(1)知C(2,2),

由图象知，当yi>y2时的x值的范围为-4<x<0或x>2.

8.（2021•湖州中考）已知在平面直角坐标系中，点/是反比例函数>=工（x>0）图象上的一个动点，连结

X

AO,的延长线交反比例函数y=K（左>0,x<0）的图象于点2,过点/作轴于点E.

①若左=1,求证：四边形/£尸。是平行四边形；

②连结2E,若左=4,求△20E的面积.

（2）如图2,过点£作〃/8,交反比例函数y=K*>0,x<0）的图象于点P,连结。尸.试探究：对于确

x

定的实数左，动点/在运动过程中，△尸的面积是