垂径定理（2考点7题型）-2024-2025学年北师大版九年级数学下册同步训练（含答案）

第08讲垂径定理

学习目标

课程标准学习目标

1.了解垂径定理的内容及证明；2.掌握从垂

探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦径定理的推论及证明；

以及弦所对的两条弧.3.学会有关垂径定理的作图，会解有关实际

应用题.

02思维导图

k

知识点一：垂径定理

知识清单©/---------------------

-------------〈知识点二：垂径定理的推论

题型01利用垂径定理求值

（题型02利用垂径定理证明

第08讲垂径定理©［题型03利用垂径定理进行尺规作图

题型精讲/题型04垂径定理与圆的折叠

・题型05圆内两条平行弦

卜题型06垂径定理的实际应用

I题型07垂径定理与函数的综合

知识清单

知识点一：垂径定理

如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧.

【即学即练】

1.如图，CD是。。的直径，48J_CD于点若4B=8,MC=2,则OU长是（）

试卷第1页，共23页

2.某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长45）20m,共高（弧的中点到弦

的距离。）4m,则拱桥的半径为（）

A.13mB.10.5mC.12mD.14.5m

3.如图，在。。中，①分别以弦42的端点/,8为圆心,适当等长为半径画弧，使两弧相

上交于点M；②作直线0〃•交于点N.若08=10,AB=16,贝|JON=（）

4/M

A.10B.3C.8D.6

4.如图，这是一种用于液体蒸储或分储物质的玻璃容器——蒸储瓶，具底都是圆球形.球

的半径为5cm,瓶内液体的最大深度CD=3cm,则截面圆中弦48的长为一cm

5.如图，45是OO的弦，半径于点。，且45=6,DC=lf则。。的长为.

试卷第2页，共23页

c

6.如图，在。。中，弦ZB的长为8,圆心。到的距离OE=4,贝I］。。的半径长为1

7.如图，。。是Rt/X/BC的外接圆，0EL4B于点、D,交。。于点E,若/3=8,

DE=2,则。/的长为.

8.已知。。的半径为5,弦/8=8,则。。上到弦A8所在直线的距离等于1的点有

个.

知识点二：垂径定理的推论

如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所

对的弧.

【即学即练】

9.下列说法：其中正确的说法有（）

①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；

②相等的弦所对的弧相等；

③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

④长度相等的弧所对的圆心角相等.

A.1B.2C.3D.4

10.如图，已知点A、B、C、。都在。。上，OBLAC,BC=CD,下列说法错误的是（

试卷第3页，共23页

AB

C

A.弧42=弧8。B.ZA0D=3ZB0CC.AC=2CDD.OCLBD

11.如图，在。。中，直径AB与弦CD相交于点E,连接/C,若前=而,/C=CO=4,

则tanC的值是（）

A

B

A.g；C.1D.V3

12.如图，/C是。。的弦，半径08经过/C的中点D.若//CO=43。，则//OB的大

小为_____.

Q

B

13.如图，点5,C在。。上,。为元的中点，直径AD交BC于点E,AD=6,

BC=2/,则。E的长为_____.

A

0）

D

14.如图，AB,CD是OO的两条弦，且=。〃，/8于河，ON，CD千N.求证:

OM=ON.

试卷第4页，共23页

D

04题型精讲

k

题型01利用垂径定理求值

例：

15.是OO的直径，过点。作。于点延长。£交。。于点尸，若4£=2,QO

的直径为10,则。厂长为（）

C.7D.8

16.如图，。是OO的弦3。的中点，A是劣弧前上一点，半径CM与线段3C交于点

已知O/=7,3c=10.

（1）求线段的长；

⑵当O£:8E=5:4时，求/OED的余弦值.

17.如图，N2是。。的直径，弦CD，48于点E,己知CD=16,BE=4,则。O的半径

为（）

试卷第5页，共23页

A.10B.8C.6D.4

18.如图，CD是。。的直径，是弦，CDJ.4?于点E.若。/=5,AB=8,则/。的长

为（）

A.473B.4MC.273D.26

19.如图，已知。。的半径为5cm,弦的长为8cm,P是的延长线上一点,

C.2#icmD.3V5cm

20.如图，半径为5的。/与丁轴交于点8（0,2）、c（。,10）,则点A的横坐标为（）

B.4C.5D.6

21.已知：如图，N3是。。的直径，弦CD交AB于E点,BE=1,AE=5,ZAEC=30°,

试卷第6页，共23页

则CD的长为.

22.如图，已知矩形48CD的边4B经过圆心。，点E,尸分别是边CD与。。的交点,

AE=2,AD=2,DF=3,求。。的直径长.

3在射线尸N上，以4B为直径作半圆，圆心为。，半圆交射

线于点C,D.

(2)如图2,若PC=OB,且AB=4^CD,求。的值.

题型02利用垂径定理证明

例：

24.如图，OA=OB,AB交。。于点C,Z),OE是半径，且于点?

⑴求证：4C=BD；

(2)若CD=10,EF=3,求。。的半径.

25.已知：如图，在。。中，弦4B与CD相较于点M,连结CM,AC=BD.

试卷第7页，共23页

⑵如果。。的半径为5,ABLCD,BM=1.

①求乙4Mo的度数.

②求⑷/的长.

26.如图，已知直线产/交。。于A,8两点，/£是的直径，点C为。。上一点，且/C

平分NP/E,过点C作CD，尸/,垂足为点D,连接OC,过点。作。尸，于点尸.

(1)求证：四边形OCD尸为矩形.

(2)若。。的直径为10,§LDC+DA=6,求4B的长.

27.如图，已知。。经过△N8C顶点4B,交8C边于点。，交/C边于点£.

2

(2)如果点/是弧的中点，BD=8,4c=12,sinC=y,求。。的半径.

28.已知，△ABC内接于。。，NC为。。的直径，点。为优弧8C的中点.

试卷第8页，共23页

⑴如图1,连接求证：DOLBC-

(2)如图2,过点。作DE2/C,垂足为瓦若AE=3,BC=8,求。。的半径.

29.如图，OA=OB,4B交。O于点C,D,OE是半径，且0£_L48于点尸.

(1)求证：AC=BD；

(2)若C£>=6,EF=1,求。。的半径.

30.追本溯源

提炼方法并解答题(2).

⑴如图1,AD=BC,比较荔与也的长度，并证明你的结论.

方法应用

⑵如图2,MB,是。。的两条弦，点A,C分别在前，痂上，连接AB,C。，且A8=C£>,

M是就的中点.

①求证：BM=DM.

②若圆心。到DM的距离为3,。。的半径是6,求DM的长.

题型03利用垂径定理进行尺规作图

例：

31.如图，在破残的圆形残片上，弦48的垂直平分线交弧于点C,交弦于点

已知AB=8cm,CD=2cm.

试卷第9页，共23页

（1）求作此残片所在的圆的圆心。（不写作法，保留作图痕迹）;

⑵求出（1）中所作圆的半径.

32.如图，在一圆形铁片上剪下一个弓形（阴影部分），请用尺规作图法找出劣弧力B的中点

D.（不写作法，保留作图痕迹）

33.如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为8m,跨径48为32m.

⑴作出该圆弧所在圆的圆心；

（2）求这钢梁圆弧的半径长.

34.如图，已知线段N8,AC.

（1）作。。使得线段/台，NC为。。的两条弦（尺规作图，保留作图痕迹）；

（2）在（1）中的。。上找出点D,使得点。到A、&两点的距离相等.

35.某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生活不受影响，相关

部门组织专业人员抢修.爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽为8

米.

试卷第10页，共23页

F

(1)请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心。；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降1米后的水面CD宽为6米，请求出

此时水面的最大深度.

36.在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：

如图1,已知就，在就上作一点P,使2?=3丽.

小亮同学很快就给出了下列思路：

如图2,连接N8,作N8的垂直平分线8交蕊于点£,交AB于点、尸,再作E8的垂直平

分线GH,交凝于P,交4B于点Q,则点尸即为满足前=3丽的点.

结合图2回答下列问题：

d

~E]

图2

(1)筋与筋是否相等?请说明理由；

(2)小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中

作出所求的点P.

37.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给

定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)A,5均为格点，且。。经过A,3两点，作出标的中点D；

试卷第11页，共23页

(2)A,C均为格点，且A,8,C均在圆上，作出益的中点D；

(3)A,B,C,。四点都在圆上，且AB〃CD,作出标的中点E；

(4)A,8均是。。上的点，且A,8都在格线上，在圆上作一点。，使得A是砺的中点.

38.请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹(用虚线表示画图过程，实线

表示画图结果).

⑴如图1,点E是矩形48。边/。的中点，过点E画矩形的一条对称轴交8C于尸；

⑵如图2,AA8C和△〃£厂的顶点分别与小正方形的顶点重合，若ADEF是AABC绕点0

旋转得到的，请在图中画出旋转中心。；

⑶如图3,圆。经过48两个格点，以及格线上的点C,作劣弧5c的中点M；并在优弧8C

上找一点。，使得/O〃3C；

题型04垂径定理与圆的折叠

例：

39.半圆形纸片的半径为1cm,用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M

与圆心。重合，则折痕CZ＞的长为()

M

A.6cmB.2cmC.26cmD.36cm

40.如图，AB是。。的弦，OCVAB,垂足为C,将劣弧前沿弦ZB折叠交。。于点。,

OD=^OC,若23=8,则O。的半径为.

试卷第12页，共23页

A

、1//

41.如图，48为。。的直径，且/8=4,弦CDL/8于点E,将短沿CD翻折后交AB

于点尸，若尸为/。中点，则8=.

D

42.如图，在半圆4cB中，AB=6,将半圆/CB沿弦BC所在的直线折叠，若弧8C恰好

过圆心。，则8C的长是（）

A.3百B.2兀C.372D.276

43.如图，是。。的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心。.若

80=6,则。。的半径长是（）

B.6石C.275D.6.25

44.在弓形的学习中，某小组利用弓形纸片开展如下探索活动：已知，在图1所示的弓形纸

片中（点。为圆心），AB—sVScm,弓为12cm.

试卷第13页，共23页

ncM

ABABA5

图1图2图3

【解决问题】求半径。4的长；

【探究思考】如图2,作弦/C,弦BD,点、P,。分别是NC,BD的中点，连结。尸，OQ,

记〃=。尸2+。。2.当4c+2。=16cm时，求〃的最大值；

【拓展研究】该小组将图1中的弓形纸片进行翻折，得到折痕即（如图3）.其中，点

N关于对称，连结MN交EF于点、H,连结板，ON,EO,并延长EO交弧于点K,

交MN于点G,使得EK〃披.当点G是半径EO的中点时，所的长度为.（直接

写出答案）

题型05圆内两条平行弦

例：

45.已知在中两条平行弦48〃CD,N5=12,CD=16,的半径是10,则与

CD间的距离是（）

A.6或12B.2或14C.6或14D.2或12

46.如图，AB,CD是半径为15的OO的两条弦，AB=24,CD=18,MN是直径，AB1MN

于点E,CD1MN于点F,P为EF上任意一点，则PA+PC的最小值为.

47.如图，。。的两条弦CD不是直径），点£为AS中点，连接EC,ED.

试卷第14页，共23页

(1)求证：直线E0J_/8；

(2)求证：EC=ED.

48.如图，在。。中，是直径，弦,EF//AB.

(1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧跖的中点P；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)如图2,在(1)的条件下连接。尸、PF,若OP交弦EF于点Q,△尸。尸的面积6,且

EF=n,求。。的半径；

题型06垂径定理的实际应用

例：

49.如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设懿

所在圆的圆心为。，拱顶为点C,OCL/B交于点。，连接03.当桥下水面宽N5=8m

时，CD2m.

图1图2

(1)求这座石拱桥主桥拱的半径；

(2)有一条宽为7m,高出水面1m的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱

桥？并说明理由.

50.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在

试卷第15页，共23页

壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是如图，今有一圆柱

形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深即=1寸，锯道长尺

（1尺=10寸）.这根圆柱形木材的直径是（）

C.13寸D.26寸

51.唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通

过人力踩动桨轮轴来推动船体前进.这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推

进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”.如图，该桨轮船的轮子的横截面为。。,

轮子被水面截得线段长为12m,轮子的吃水深度CD长为2m,则该桨轮船轮子半径为

)

A.8mB.6mC.10mD.12m

52.如图1,平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以

轻度受热，如图2,它的截面图可以近似看作是由。。去掉两个弓形后与矩形/BCD组合而

成的图形，其中若。。的半径为25,AB=36,BC=14,MN=30,则该平底烧

瓶的高度为（）

图1图2

A.20B.40C.60D.80

试卷第16页，共23页

53.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径.小明

同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别

与杯口相交于4B、C、。四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm,AB=8cm,

CD=6cm.请你根据上述数据计算纸杯的直径是（）

J

A.5cmB.8cmC.10cmD.10.2cm

54.如图，摩天轮OP的最高处/到地面/的距离是62米，最低处2到地面/的距离是2

米.若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面/的距离是47

米时至少需分钟.

55.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材

埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几

何？”用几何语言表达为：如图，AB是。。的直径，弦CDL/8于点£,班=1寸，CD=10

56.如图所示，草坪边上有两条互相垂直的小路a,n,垂足为E,草坪内有一个圆形花坛,

花坛边缘有4,B,C三棵小树.在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如

下方案：若在小路上尸，Q,K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从£点沿

着小路"往右走，测得/1=/2=/3,后。=16米，QK=24米；从E点沿着小路加往上走,

测得E尸=15米，BPLm,则点C到小路〃的距离为米，该圆的半径长为米.

试卷第17页，共23页

57.某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架C。与地面垂直，真空集热

管与地面水平线夹角NA4c为30。，直线与CD都经过水箱截面的圆心O.已知

DC=65cm,48=180cm,则水箱内水面宽度BE为cm.

58.如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示.灯柱BC=6cm,灯臂NC绕

着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即石和斤）.在转动过程中，4D（EF）总是与桌面BH

平行.当时，AB=46cm,DMVMH,测得DM=37.5cm（点M在墙壁上,

且MHLBH）；当灯臂/C转到位置时，KV1Affl■测得尸N=13.5cm,则点E到桌面8"

的距离为cm.若此时点C,F,M在同一条直线上，斤的最低点到桌面3”的距离

为35cm,则所所在圆的半径为cm.

图1

59.紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图.如图

3,。。为某紫砂壶的壶口，已知/、8两点在。。上，直线/过点O,且/1/8于点。，交。。

于点C.若N8=12,CD=2,求这个紫砂壶的壶口半径.

试卷第18页，共23页

AE=5m,连接CM,拱顶最高处C离地面的高度CD为9m,在拱顶的M,N处安装照明

灯，且"，N离地面的高度均为8.5〃?.

⑴求的长;

⑵求九W的长.

61.高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病.

(1)养殖场有4万只鸡.假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新

增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四

天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？

(2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕

杀；离疫点3〜5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄,

道路实行全封闭管理.现有一条笔直的公路通过禽流感病区.如图所示，。为疫点，到

公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？(结果保留根号)

62.如图1,装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以A8为直径的半圆。，若

试卷第19页，共23页

AB=52cm,MN为水面截线，MN=48cm,为桌面截线，AB//MN//GH.

(1)请在图1中画出线段CP,用其长度表示水面的最大高度(不要求尺规作图，不说理由),

并直接写出“的长；

(2)将图中的水倒出一部分得到图2,发现水面高度下降了14cm,求此时水面截线减少了多

少.

63.在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明

了三个监测点的位置坐标0(0,0),4(0,10),3(20,0),由三个监测点确定的圆形区域是安全

警戒区域.(单位：海里)

C

⑴某天海面上出现可疑船只C,在监测点A测得C位于南偏东45。，/C=15亚+5遥，求在

监测点。测C的方位是什么？

(2)当可疑船只C由(1)中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算

作答.

64.如图，是一个圆弧形拱桥的截面示意图.点P是拱桥前的中点，桥下水面的宽度

4B=24m,点P到水面4B的距离尸H=8m.点耳，g均在凝上，PPX=PP2,且

月鸟=10m,在点耳，鸟处各装有一个照明灯，图中△甲力和分别是这两个灯的光

照范围.两灯可以分别绕点邛，鸟左右转动，且光束始终照在水面43上.即NC4。，NERF

试卷第20页，共23页

可分别绕点月，巴按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段CZ),EF在4B

上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度.

(1)求圆弧形拱桥所在圆的半径.

(2)求照明灯耳距离水面的高度.

(3)已知/曾。=/£鸟尸=90。，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求

这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度.

题型07垂径定理与函数的综合

例:

65.如图，在凸四边形/BCD中，。为边48的中点，0c=。。=。4,OCL8Z)于点E.若

AB=4,设CO=x(0<xW2),AD+BC=y,则了关于x的函数图象为()

66.某一公路双向隧道由一弧形拱历与矩形组成，经测量得NB=16m,

试卷第21页，共23页

8C=4m.为了确定弧形拱的半径长度，某勒测队找到一根6m长的笔直杆子£尸，直立杆

子(或F/8),调整杆子位置，使点£落在43上，点尸落在包上，止匕时E3=2m.

(1)①如图是勒测队绘制的平面示意图，请你用直尺和圆规作出弧形拱方所在圆的圆心。

(保留作图痕迹).

②圆心。到直线昉的距离是m.(直接写出答案)

(2)求出弧形拱也所在圆的半径.

67.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离=Z称跨度，桥面最高点到的距离

8=人称拱高，当上和〃确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型.已

知这座桥的跨度1=20米，拱高〃=5米.

⑴如图1,若设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为歹轴建立坐标系,

求此函数表达式；

⑵如图2,若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；

(3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米.从以上两种方案中，

任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由.

68.利用以下素材解决问题.

问

十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某

题

小组探究的一座拱桥如图1,图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽N8端点到

驱

拱顶点C距离NC=BC=10m,拱顶离水面的距离CD=5m

动

试卷第22页，共23页

设

计

方案一：圆弧型方案二：抛物线型

方

案

任

务

设计成圆弧型，求该圆弧所所在直线为无轴，4B的垂直平分线为了轴建立坐标

在圆的半径.系，求桥拱的函数表达式.

如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFG8,测得所=3.5m,

试卷第23页，共23页

1.D

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理.由垂径定理得到==设

OA=OC=r,贝|(W=OC-CW=r-2,由勾股定理可建立方程/=(厂一2『+42,解方程

即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接CM,

.-.AM=-AB=4,

2

设CM=OC=r,贝!|(W=OC—CM=r—2,

在R3/0M■中，由勾股定理得0/2=。初2+/初2,

=(r-2)2+42,

•••r=5,

OM=r—2=3,

故选：D.

2.D

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定

理，由勾股定理得出方程是解题的关键.

设拱桥的圆心为0,连接。4、OD,设拱桥的半径为「，由垂径定理可得

AD=^AB=\Qm,再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径

【详解】解：如图，设拱桥的圆心为。，连接。/、0D,

答案第1页，共66页

设拱桥的半径为「，

由题意可得：OD±AB,AB=20m,CD=4m,

则AD=3O=gA8=10m,

OD=OC-CD=r-4,

在RM/OD中，根据勾股定理，可得：

OA2=AD2+OD2,

即：r2=102+(r-4)2,

解得：r=14.5,

故选：D.

3.D

【分析】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，圆的基本知识，勾股定理，掌握这些

知识点是关键；由作图知，。“垂直平分则BN=；/3=8；由勾股定理即可求解.

【详解】解：由作图知，垂直平分

：.BN=LAB=8；

2

在Rt/XOBN中，ON=yJoB2-BN2=6;

故选：D.

4.2721

【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键.根据

勾股定理、垂径定理进行计算即可.

【详解】解：在RM/OC中，OA=5cm,贝"OC=5-3=2cm,

由勾股定理得/C=ylAO--OC2=A/52-22=后cm，

AB=2/C=2Mcm，

故答案为：2回.

5.4

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理.连接04,根据垂径定理得出==设

的半径为五,在RM/。。中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解.

【详解】解；如图，连接。4,

答案第2页，共66页

•・•OCVAB,

.-.AD=-AB=3,

2

设。。的半径为R,则。。=R-1,

在RtA/。。中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2,

.-.7?2=32+（7?-1）2,

解得R=5,

...（90=5-1=4.

故答案为：4.

6.472

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.

过点。作于连接。4,利用垂径定理，勾股定理求解即可.

【详解】解：过点。作于£,连接CM,如图，

•/OE1AB,

AE=EB=-AB=-xS=4,

22

OA=^AE2+OE2=V42+42=472.

故答案为：472.

7.5

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得=

2

ZADO=ZBDO=90°,设半径为厂，由勾股定理得0/2=002+/。2,求出厂=5即可求解,

熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

答案第3页，共66页

【详解】解："OELAB,

.-.AD=BD=-AB^4,/ADO=NBDO=90°,

2

设半径为「，贝！|。。=。£一。£=「-2,

在RLU。。中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2,

.../=(-2)2+4?,解得r=5,

0A=5.

8.4

【分析】过。作半径。2于C,连接。4,由垂径定理得到/C=g/B=4,由勾股定

理求出0。=布/二苻=3,得到8=2,即可得到。。上到弦N3所在直线的距离为1的

点有4个.本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理，勾股定理求出0C的长.

【详解】解：如图，。。中，弦43=8,

过。作半径。于C,连接CM,

:.AC=-AB=4,

2

•••OA=5,

OC^yjOA1-AC2=3，

.-.CD=5-3=2,

・•・在益上点。到弦45所在直线的距离为2,

・•・在京上有2个点到弦力B的距离为1

而在而有两个点到弦所在直线的距离为1，

二。。上到弦42所在直线的距离为1的点有4个.

故答案为：4.

9.A

【分析】本题考查了圆相关定义，垂径定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键.根据圆

答案第4页，共66页

相关定义，垂径定理，逐项分析判断即可求解.

【详解】①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确；

②同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故②错误，

③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故③错误；

④同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆心角相等，故④错误.

故正确的是①，

故选：A.

10.C

【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系；根据题意和垂径定理,

可以得到=AB=BC>CD=BC，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从

而可以解答本题.

【详解】解：BC=CD,

AB=BC^故A正确；CD=BC,

•••AD=3BC，AC=BD,

ZAOD=3ZBOC,故B正确；AC=BD,

；.AC=BD<BC+CD=2CD,故C错误；

■■CD=BC>

■■.OC1BD,故D正确；

故选：C.

11.D

【分析】本题考查了三角函数的定义，垂径定理的推论，勾股定理，解题关键是掌握并灵活

运用相关知识.根据垂径定理的推论结合题中条件易得CE=；CD,在RtA/CE

中利用勾股定理求出AE的长度，再根据正切的定义即可得解.

【详解】解：是直径，BC=BD，

■.垂径定理的推论得4B_LCD于E,CE=-CD=-x4=2,

22

.•.在RUACE中，由勾股定理得AE=^AC2-CE2=742-22=273，

答案第5页，共66页

,tanC*="5

CE2

故选：D.

12.47°##47度

【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形

的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键.根据垂径定理的推理得02L/C,再利用

三线合一及直角三角形的性质解答即可.

【详解】解：••・半径03经过NC的中点Z).

.-.OB1AC,

OC=OA,

：./A0B=/B0C,

ACO=43°,OBLAC,

NAOB=NBOC=90°-43°=47°,

故答案为：47。.

13.3-V6

【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理.连接08,根据垂径定理的推论，得到

0D1BC,BE=^BC,利用勾股定理求出0E的长，进一步求出的长即可.

【详解】解：连接

•・•点、B,C在O。上，。为前的中点，直径AD交BC于点、E,AD=6,

0D±BC,BE=LBC=6,OB=OD=3,

2

•1•OE=>]OB2-BE2=V6，

■■DE=OD-OE=3-y[6-,

故答案为：3-".

答案第6页，共66页

14.见解析

【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、

构造直角三角形成为解题的关键.

连接。C,03.由垂径定理结合/B=CD可得BM=CN,再证明RM0MS四RtAONC,最后

根据全等三角形的性质即可解答.

【详解】证明：如图：连接OGO8.

■,■OMlAB^-M,ONLCD于N.

CN^-CD

22

AB=CD,

：.BM=CN,

在与RtAOjVC中,

[OB^OC

\0M=CN，

...Rt^OMB^RtAONC(HL),

OM=ON.

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构建直角三角形是解答关键.

连接0D,根据题意易得=所，AO=OD=5,进而求出OE的长度，再利用勾股定理

求出DE的长度即可求解.

【详解】解：连接8,如下图

是。。的直径，过点。作。E1/8于点E,。。的直径为10,

答案第7页，共66页

DE=EF,ZO=QD」xlO=5.

・.•AE=2,

:.OE=OA-AE=5-2=3.

在中

DE=JOD2-OE2=V52-32=4,

：,DF=2DE=2x4=8.

故选：D.

16.(1)2"

【分析】（1）连接02,先根据垂径定理得出1BC,BD=^BC,在RMB。。中，根

据勾股定理即可得出结论；

（2）在RtZ\EOZ）中，设BE=x,则OE=0x，ED=6-x,再根据勾股定理即可得出结

论.

【详解】⑴解：连接。8,如图所示：

过圆心，且。是弦BC中点,

ODLBC,BD=-BC,

2

在RtABOr(中，OD?+BD?=B0?,

•：B0=A0=7,BD=5,BPOD2+52=72

OD=2-\/6：

(2)解：在R3EOD中，OD2+ED2=EO2,

■■■OE:BE=5:4,

设2E=4x,贝！JOE=5x,ED=5-4x,

答案第8页，共66页

(2#『+(5-4x)2=(5x)2,即9/+4(4一49=0,贝｝|(9x+49)(x-l)=0,

解得x=—（舍），x=l,

ED=1,£0=5.

ED1

在Rt/\E0D中，cos/DEO=——=-

OE5

【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理、勾股定理、解一元二次方程及三角函数定义等知

识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

17.A

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答关键.连接OC,由垂

径定理可得CE=（8=8,设。。的半径为『，贝|。£=厂-4,在RSCOE中，根据勾股定

理列方程，即可求解.

【详解】解：连接。C,

是。。的直径，弦CD，48于点E,

CE=-CD=S,

2

BE=4,

.•・设。。的半径为『，则。£=r-4,

在RMC0E中，由勾股定理可得：OE2+CE2=CO2,即上一4『+82=/,

解得：厂=10,

故选：A.

18.B

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得到==勾股定理求出0E

的长，进而求出。E的长，再利用勾股定理求出的长即可.

【详解】解：是。。的直径，4B是弦，CDLAB于点、E,

答案第9页，共66页

.-.AE=-AB=A,OA=OD=OC=5,

2

•••OE=y/OA2-AE2=3，

DE=OD+OE=8,

•1•AD=^AE2+DE2=475：

故选B.

19.D

【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦.过点。

作OdB于点C,根据垂径定理求出/C、BC,在RtA/OC中，根据勾股定理求出OC,

在RtaPOC中，根据勾股定理求出OP即可.

【详解】过点O作ocB于点C,

则ZACO=ZOCP=90°

■：OCLAB,OC过圆心O,

：.AC^BC=-AB=4cm,

2

在RtA/OC中，OC=SA2-AC?=打-4。=3cm，

,：BP=2cm,

PC=BC+BP=6cm,

在Rt△尸。C中，op=J。。?+pc?="+6?=3右加，

故选：D.

20.A

【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理等知识，过点/作4D/2C与。，

连接48,根据点8和点C的坐标求出5C,再根据垂径定理求出8D=CZ)=4,根据勾股

定理求出即可.

【详解】解：过点N作与D,连接

答案第1。页，共66页

y

,),•・半径为5的ON与y轴交于点3(0,2)、C(0,10),

ok*

/.45=5,5。=10-2=8。8=2,

ADJ_BC,AD过圆心A,

.\CD=BD=4,

由勾股定理得：

AD=^AB--BD2=A/52-42=3，

.・•点A的横坐标为3,

故选择：A.

21.472

【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，直角三角形的性质，过。作O尸，。C于R连接

OC,根据垂直定义得出/O/7E=/O