等腰等边三角形的性质与判定（解析版）-中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题18等腰（等边）三角形的性质与判定

1.（2021•本溪中考）如图，在△NBC中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线AD与/C交于点E,点厂

为的中点，连接ER若BE=AC=2,则△（7斯的周长为（）

C.述+1D.4

解：由图中的尺规作图得：8E是/N8C的平分线,

'：AB=BC,

J.BEYAC,AE=CE=1AC=\,

2

AZBEC=90°,

：'BC=VBE24CE2=722+12=返

:点尸为8c的中点，

/.EF=1.BC=BF=CF,

2

：./XCEF的周长=CF+E尸+CE=C尸+3/+。£'=80+。£=遍+1,

答案：C.

2.（2020•绵阳中考）在螳螂的示意图中，AB//DE,△N3C是等腰三角形，ZABC=n4°,ZCDE=72°,则/

4CD=()

解：延长即，交/C于尸，

：△NBC是等腰三角形，ZABC=124°,

.•.//=N/CB=28°,

'CAB//DE,

：.ZCFD=ZA=28°,

ZCDE=ZCFD+ZACD=72°,

:・/ACD=72°-28°=44°，

3.（2020•南充中考）如图，在等腰中，8。为N45C的平分线，ZA=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD

A.海B.a-bC.a-bD.b-a

22

解：・・•在等腰△ZBC中，为N48C的平分线，NZ=36°,

ZABC=ZC=2ZABD=72°,

AZABD=36°=/A,

；・BD=AD,

：.ZBDC=ZA+ZABD=72°=NC,

:・BD=BC,

'：AB=AC=a,BC=b,

：.CD=AC-AD=a-b,

答案：C.

4.（2021•益阳中考）如图，AB//CD,为等边三角形，NDCE=40：则NE45等于（

D

A.40°B.30°C.20°D.15°

解：'JAB//CD,

.,./Z>C4+NC48=180°,即180°,

:△NCE为等边三角形，

:.NECA=/EAC=60°,

：.ZEAB=180°-40°-60°-60°=20°.

答案：C.

5.（2021•朝阳中考）如图，在平面直角坐标系中，点/的坐标为（5,0）,点M的坐标为（0,4）,过点朋•作

//x轴，点尸在射线MN上，若4MAP为等腰三角形，则点尸的坐标为—（处，4）或（、所，4）或（10,

4）.

解：设点尸的坐标为（x,4）,

：.PM=x,PA=yJ42+（5-x）2,

•；PM=PA,

AX=V42+（5-X）2,解得:"=需

...点P的坐标为（处，4）；

10

..MP=x,MA=4+52=441，

'CMP^MA,

"'•x="^41）

...点P的坐标为（丁品，4）；

@AM=AP,

,点/的坐标为（5,0）,点M的坐标为（0,4）,

■'•^P=I/42+（X-5）2,MA=742+52=

;AM=AP,

,,742+（x-5）2="4〉解得：肛=10,X2=O（舍去），

二点尸的坐标为（10,4）；

综上，点尸的坐标为（处，4）或（FL4）或（10,4）.

10

答案：（21,4）或（Jii，4）或（10,4）.

10

6.（2021•娄底中考）如图，ZUBC中，AB=AC=2,P是8c上任意一点，PEL4B于点、E,PF_LNC于点尸，若S

解：如图所不，连接4a贝尸

•：PEL4B于点、E,尸7LL/C于点R

•••S“CP=LCXPF,SMBP=L1BXPE,

22

又YS。BC=1，AB=AC=2,

，1=1CxPF+XABXPE,

22

即1=LX2XPF+工X2XPE,

22

：.PE+PF=\,

答案：L

7.（2020•恩施州中考）如图，直线/1〃小点/在直线/i上，点8在直线，2上，AB=BC,ZC=30°,Zl=80

°,则N2=40°.

解：如图，延长C3交A于点

:AB=BC,ZC=30°,

.*.ZC=Z4=30°,

\'li//l2,Zl=80°,

.,.Zl=Z3=80°,

VZC+Z3+Z2+Z4=180°,即30°+80°+Z2+300=180°,

/.Z2=40°.

答案：40°.

8.（2020•台州中考）如图，等边三角形纸片4BC的边长为6,E,尸是边2C上的三等分点.分别过点E,尸沿着

平行于A4,。方向各剪一刀，则剪下的△DE4的周长是6

解：•..等边三角形纸片N8C的边长为6,E,尸是边3c上的三等分点，

：.EF=2,

,.•△45C是等边三角形，

/.ZB=ZC=60°,

又；DE〃AB,DF//AC,

：.ZDEF=ZB=60Q,ZDFE=ZC=60°,

；.△£）斯是等边三角形，

...剪下的△£>£尸的周长是2X3=6.

答案：6.

9.（2020•丹东中考）如图，在四边形/BCD中，ABLBC,ADLAC,AD=AC,/BAD=105，点£和点尸分别

是ZC和CD的中点，连接BE,EF,BF,若CD=8,则△?£尸的面积是.

解：过点E作于H.

"：AD=AC,ZDAC=90a,CD=8,

AD—AC—4-72'

,:DF=FC,AE=EC,

:.EF=^AD=2M，EF//AD,

:./FEC=NDAC=9Q°,

VZABC=90°,AE=EC,

：.BE=AE=EC=2yf2,

：.EF=BE=2-/2,

VZBAD^105°,ZDAC^90°,

：.ZBAE=105°-90°=15°,

；./EAB=/EBA=15°,

:.NCEB=NEAB+/EBA=3T,

；.NFEB=90°+30°=120°,

/.ZEFB=ZEBF=30°,

'：EH1BF,

:.EH=1£F=弧,FH=J^H=4^,

2

:.BF=2FH=2奉）,

•,­S&EFB=/BF・EH=守2述义&=2逐

答案：273.

10.（2019•哈尔滨中考）如图，在四边形/BCD中，AB=AD,BC=DC,ZA=6Q°，点£为ND边上一点，连接

BD、CE,CE与BD交于点、F,MCE//AB,若N8=8,CE=6,则BC的长为.

A

解：如图，连接4。交于点。

u

：AB=ADfBC=DC,ZA=60°,

・・・ZC垂直平分助，ZUBD是等边三角形

AZBAO=ZDAO=30°,AB=AD=BD=8,

BO=OD=4

■:CE〃AB

：.ZBAO=ZACE=30°,ZCED=ZBAD=60°

：.ZDAO=ZACE=30°

:・AE=CE=6

：.DE=AD-AE=2

'：ZCED=ZADB=60°

・•・△瓦＞/是等边三角形

：・DE=EF=DF=2

：.CF=CE-EF=4,OF=OD-DF=2

℃=JcF2_0F2=2«

AJ8C=VBO2-H3C2=2^

11.（2021•绍兴中考）如图，在中，N4=40°,点、D,£分别在边48,4。上，BD=BC=CE,连结CD,

BE.

(1)若N/8C=80°,求/BDC,的度数；

(2)写出N5£C与N5QC之间的关系，并说明理由.

解：(1)VZABC=80°,BD=BC,

：.ZBDC=ZBCD=1.(180°-80°)=50。，

2

VZA+ZABC+ZACB=180°,N/=40°,

AZACB=1SO°-40°-80°=60°,

,:CE=BC,

・・・△BCE是等边三角形，

；・NEBC=60°,

；・NABE=NABC-NEBC=80°-60°=20°；

(2)N5EC与NBZ)C之间的关系：/BEC+NBDC=110°,

理由：设NBEC=a,ZBDC=^,

在中，a=N4+N45£=40。+/ABE,

■:CE=BC,

:・/CBE=/BEC=a,

：./ABC=/ABE+/CBE=ZA+2ZABE=40°+2NABE,

在△5DC中，BD=BC,

：.ZBDC+ZBCD+ZDBC=2^+40°+2N/BE=180°,

・・・B=70°-Z.ABE,

・・・a+0=4O°+NABE+70。-ZABE=H0°,

ZBEC+ZBDC=U0°.

12.(2021•淄博中考)如图，在△ZBC中，N43C的平分线交4C于点。，过点。作。£〃5。交43于点£.

(1)求证：BE=DE；

(2)若乙4=80°,NC=40°,求N5DE的度数.

解：(1)证明：在△/8C中，NA8C的平分线交/C于点。，

/.ZABD=ZCBD,

,JDE//BC,

：./EDB=NCBD,

：./EBD=/EDB,

:.BE=DE.

(2)；//=80°,ZC=40°

AZABC=60°,

,/ZABC的平分线交AC于点D,

：.ZABD=ZCBD=^-ZABC=-30°,

2

由(1)知/EDB=NEBD=30°,

故NBDE的度数为30°.

13.(2021•合肥模拟)如图，在△48C中，BA=BC,。在边C8上，^DB=DA=AC.

(1)如图1,填空12=36°,NC=72°；

(2)若M为线段8c上的点，过M作直线于〃，分别交直线48、AC与点、N、E,如图2

①求证：△MVE是等腰三角形；

②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系,并加以证明.

「X

BDC乂

图(1)图

解：(1)・：BA=BC,A

：.ZBCA=ZBAC,

•：DA=DB,

/BAD=NB,

9

：AD=ACf

：.ZADC=ZC=ZBAC=2ZB,

：.ZDAC=ZB,

VADAC+ZADC+ZC=180°,

・・・2N5+2NB+N5=180°,

AZB=36°,ZC=2ZB=72°,

答案：36；72；

(2)①在△4Z)B中，,:DB=DA,/B=36°,

：・NBAD=36。,

在△4CQ中，9：AD=AC,

：.ZACD=ZADC=72°,

：.ZCAD=36°,

：・NBAD=NCAD=36°,

9：MH.LAD,

：.ZAHN=ZAHE=90°,

:./AEN=/ANE=54°,

即是等腰三角形；

@CD=BN+CE.

证明：由①知

又・：BA=BC,DB=AC,

：.BN=AB-AN=BC-AE,CE=AE-AC=AE-BD,

：.BN+CE=BC-BD=CD,

即CD=BN