二次函数中特殊三角形的存在性（八大题型）-2025中考数学压轴题专项训练（含答案）

二次函数中特殊三角形的存在性（八大题

型）-2025中考数学压轴题专项训练

二次曲皴中特殊三廊形的腐农襟（，•大题型，

压轴题密押

通用的解题思路：

特殊三角形的讨论问题，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形的判定及性

质、锐角三角比的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想。虽部分特

殊三角形的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式,对学生提出了相当大

的挑战。

然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。

一:等腰三角形的存在性

根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=8C;（2）BC=CA;（3）CA-AB.

但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题,往往有2个甚至更多的解，

在解题时需要尤其注意.

解题思路：

（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）

（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根.

二:直角三角形的存在性

在考虑AABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①NA=90°:②NB=90°；@ZC=90°.

在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。

解题思路：

（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；

（2）计算出相应的边长等信息；

（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标.

三:等腰直角三角形的存在性

既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。需要分类讨论哪个角是直角。

四:相似三角形的存在性

相似三角形存在性问题,分类讨论步骤：

第一步:找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；

要先确定已知三角形是否有直南，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次

函数角的存在性压轴专题应用更为突出）

①若有已知的相等角，则其顶点对应；

②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。

第二步：确定相似后,根据对应边成比例求解动点坐标：

①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；

②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似

来列方程求解。

压轴题预测

题型一:等腰三角形的存在性

〔题目〔1〕（2024-运城模拟）综合与探究

如图，抛物线？/=—泞+_|2+6与2轴交于A,B两点（点人在点B的左侧），与沙轴交于点。，。是第一象

限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为机，连接AC,BC,BD,CD.

（1）求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式.

（2）当四边形ACDB的面积有最大值时，求出m的值.

（3）在（2）的条件下,在，轴上是否存在一点M，使ZL4OM是等腰三角形？若存在,请直接写出点”的坐标；

若不存在,请说明理由.

［题目②（2024-青岛一模）如图1,已知二次函数y=ax2+^-x+c（aW0）的图象与沙轴交于点4（0,4）.与a;轴

交于点。，点C坐标为（8,0）,连接AB、AC.

（1）请直接写出二次函数v=a^+^x+c（a丰0）的表达式；

（2）判断kABC的形状，并说明理由；

（3）如图2,若点N在线段上运动（不与点B,。重合），过点N作MW■〃人。，交AB于点朋■，当AAMN面

积最大时，求此时点N的坐标；

（4）若点N在立轴上运动，当以点4N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.

题目0（2024-辽宁一模）如图1,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,顶点C,。在第一

象限.点P从点入出发，沿正方形按一。方向运动，同时，点Q从点E（4,0）出发，沿，轴正方向以相

•••

同速度运动，当点P到达点。时，P,Q两点同时停止运动,设运动时间为心），AOFQ的面积S（平方单位）.

⑴正方形ABCD的边长为______；

（2）当点P由点人运动到点B时,过点P作PA1，夕轴交沙轴于点M,已知随着点P在48上运动时髭r

=弓，AQPQ的面积S与时间t（s）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），

求:①点P，Q两点的运动速度为______；

②S关于土的函数关系式为~

（3）当点P由点B运动到点。时，经探究发现AOPQ的面积S是关于时间t（s）的二次函数，其中S与1部分

对应取值如下表：

t101520

S2876m

求：小的值及S关于力的函数关系式.

（4）在（2）的条件下若存在2个时刻右，益（力〈益）对应的AOPQ的形状是以QP为腰的等腰三角形，点P沿

正方形按A一。方向运动时直接写出当「为+争2时，AOPQ的面积S的值.

「题目⑷（2024-康县一模）如图,抛物线y=—2+c与直线AB相交于人。3）,比3,1）两点.

O

（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；

（2）点P为c轴上一动点，当APAB是以AB为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）把抛物线y=-^+bx+c沿它的对称轴向下平移h（h>0）个单位长度,在平移过程中，该抛物线与直

线AB始终有交点，求h的最大值.

：题目叵（2024-澄海区校级模拟）如图，点A、口在，轴正半轴上，点C、。在沙轴正半轴上，且OB=OC=3,

OA=1,OD=2,过A、口、。三点的抛物线上有一点E,使得AE±AD.

（1）求过A、B、。三点的抛物线的解析式.

（2）求点E的坐标.

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使AACP为等腰三角形，若存在,直接写出点P的坐标,若不存在,

请说明理由.

MS

题目回（2024-仁和区一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+4（aW0）与2轴交于点4（1,0）和点B,与y轴交

于点C,对称轴为2=方.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,若点P是线段BC上的一个动点（不与点。重合）,过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连

接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；

（3）如图2,在（2）的条件下，。是。。的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E,且/DQE=2/ODQ.在沙

轴上是否存在点F,使得ABEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标;若不存在,请说明理由.

图1图2

>1⑦（2024-即墨区一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交2轴于点A（-4,0）,B（2,

交y轴于点。（0,6）,在y轴上有一点E（O,—2）,连接AE.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D为抛物线在，轴负半轴上方的一个动点,求AADE面积的最大值及此时D点的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在点P,使^AEP为以AE为腰的等腰三角形？若存在,请直接写出P点的坐标

即可;若不存在,请说明理由.

MS

1题目回（2023-青海）如图，二次函数y=-^+bx+c的图象与2轴相交于点A和点（7（1,0），交y轴于点5（0,

3）.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设二次函数图象的顶点为P,对称轴与，轴交于点Q,求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；

（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点使得AAMB是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满

足条件的点河的坐标;若不存在，请说明理由（请在图2中探索）.

题目回（2024•浦东新区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线g=—c+2与7轴、9轴分别交于点4点

抛物线Cl-.y=-^+bx+c经过点4B两点，顶点为点C.

⑴求6、c的值；

（2）如果点。在抛物线G的对称轴上，射线平分,求点。的坐标；

（3）将抛物线G平移，使得新抛物线Q的顶点石在射线BA上,抛物线G与夕轴交于点F,如果ABEF是等

腰三角形,求抛物线的表达式.

题目3（2024•金州区一模）【概念感知】

两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异6族二次函数”.

【概念理解】

如图1,二次函数沙=—“+会+2的图象G交8轴于点A,交沙轴于点C,点。为线段BC的中点，二

次函数y=a^+bx+c与9=—}/+1■①+2是“异b族二次函数”，其图象C?经过点D.

（1）求二次函数g=aa?+6a;+c的解析式；

【拓展应用】

（2）如图2,直线EF〃BC,交抛物线G于E,F,当四边形CDEF为平行四边形时，求直线EF的解析式；

⑶如图3,点P为2轴上一点，过点P作2轴的垂线分别交抛物线G,的于点加，N,连接MC,NC,当

为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

MS

y,

2

题目叵]（2024-济南一模）如图，已知二次函数9=ax+bx+c的图象与2轴相交于A（-l10）,B（3,0）两点，

与“轴相交于点。（0,-3）,P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为小，过点P

作劣轴于点与交于点

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）将线段CA绕点。顺时针旋转90。,点A的对应点为4,判断点4是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）求PM+28H的最大值；

（4）如果是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值.

题目12]（2024"微山县一模）如图，顶点坐标为（1,4）的抛物线g=aa：2+bc+c与a;轴交于4B两点（点A在

点口的左边），与g轴交于点。（0,3）,。是直线上方抛物线上的一个动点，连接AO交抛物线的对称轴于

点、E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC,当AACE的周长最小时,求点D的坐标；

（3）过点。作。H,轴于点H,交直线BC于点F,连接AF.在点。运动过程中，是否存在使XACF为等

腰三角形？若存在，求点F的坐标;若不存在,请说明理由.

题目但（2024-库尔勒市一模）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=—+近+。经过A（_i,o）,C（O,3）两

点，并与。轴交于另一点

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；•••

⑵求点B坐标；

（3）设P（x,y）是抛物线上的一个动点,过点P作直线I±x轴于点河,交直线BC于点、N.

①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时，的值;若

不存在，请说明理由；

②当点P运动到某一位置时，能构成以BC为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰ABPC的面积.

谴目叵〕（2023•重庆）如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=卡+版+。与啰轴交于点4B,与夕轴交于

点。，其中B（3,0）,。（0,一3）.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作PD，AC于点。，求的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下,将该抛物线向右平移5个单位,点H为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点

F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以QF为腰的AQEF是等腰三角形的点Q的

坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来.

［题目也（2023-成都）如图,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P（4,-3）,与y轴交于

点4（0,1）,直线y=kx（k丰0）与抛物线交于B,。两点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若AABP是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；

（3）过点河（0,机）作y轴的垂线,交直线AB于点。，交直线AC于点E.试探究:是否存在常数小,使得OD

始终成立？若存在，求出m的值;若不存在,请说明理由.

题型二:直角三角形的存在性

MS

1题目同（2024-安庆一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与力轴交于点4（1,0）、B（3,0）两点，与沙轴交于点C.

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）点E为直线BC上的任意一点，过点E作立轴的垂线与此抛物线交于点F.

①若点石在第一象限，连接CF、BF,求ACFB面积的最大值；

②此抛物线对称轴与直线BC交于点D,连接。尸，若ADEF为直角三角形，请直接写出E点坐标.

题目17]（2024-任城区一模）已知抛物线沙=aa?+ba；+c（aW0）与c轴交于4—2,0）,B（6,0）两点，与沙轴交

于点。（0,—3）.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1,在对称轴上是否存在点。，使ABCD是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点D的坐

标;若不存在,请说明理由.

（3）如图2,点P在直线BC下方的抛物线上,连接AP交3。于点刊,当然r最大时,请直接写出点P的坐

[题目回（2024-凉州区一模）抛物线y=ax2+bx—4（aR0）与a;轴交于点A（-2,0）和B（4,0）,与y轴交于点

C,连接BC.点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点8,。重合），过点P作v轴的平行线交BC

于交2轴于N.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）过点。作CHI.PN于点、H,BN=3cH.

①求点P的坐标；

②连接CP,在y轴上是否存在点Q,使得ACPQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标;若不存在,请说

明理由.

MS

交于点c.

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A,C的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使ABCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存

在,请说明理由；

⑶如图，点M是直线BC上的一个动点，连接4W,（W,是否存在点/■使4W+QW最小，若存在,请求出

点河的坐标，若不存在,请说明理由.

题目囚（2023•烟台）如图，抛物线?/=姐2+就+5与c轴交于4B两点,与9轴交于点C,48=4.抛物线

的对称轴c=3与经过点A的直线y^kx-1交于点。，与立轴交于点E.

（1）求直线AD及抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点朋■，使得AADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点Af的坐

标;若不存在,请说明理由；

（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为。5上一个动点,请求出PC+yPA的最小值.

备用图

MS

1题目立（2024-广安二模）如图，抛物线y=-x2+bx+c交①轴于A（—4,0）,B两点，交夕轴于点。（0,4）.

（1）求抛物线的函数解析式.

（2）点。在线段OA上运动，过点。作c轴的垂线，与AC交于点Q,与抛物线交于点P,连接AP,CP,求四

边形AOCP的面积的最大值.

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点使得以点。，同为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出

点”的坐标;若不存在,请说明理由.

备用图

题目国（2024-金山区二模）已知:抛物线y=a?+bx+c经过点4（3,0）、B（0,—3）,顶点为P.

（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；

（2）平移抛物线,使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在沙轴右侧.

①若点B平移后得到的点。在c轴上，求此时抛物线的解析式；

②若平移后的抛物线与?/轴相交于点。，且ABDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式.

木y

0

X

题目区］（2024•宿豫区二模）如图,在平面直角坐标系中，抛物线经过4三点，已知4-1,0）,B（3,0）,

C（O,3）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P是抛物线上任意一点，若NPBC=/ACO,求点P的坐标；

（3）点河是抛物线上任意一点，若以为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点”的坐标.

（备用图）

MS

题目24］（2024«双峰县模拟）如图，抛物线v=a/+ba;+c与直线沙=2+1相交于4—1,0）,两点，且

抛物线经过点。（5,0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线在第四象限上的一个动点,过点P作直线PD±x轴于点。，交直线于点E.当PE=

2DE时，求P点坐标；

（3）若抛物线上存在点T,使得A4BT是以48为直角边的直角三角形，直接写出点T的坐标.

题目匡（2024-滨州一模）如图，抛物线y=ax'+bx+5与①轴交于4B两点，与沙轴交于点C,AB=4.抛

物线的对称轴劣=3与经过点A的直线y=x-l交于点。，与立轴交于点E.

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点使得是以人。为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点河的坐

标;若不存在,请说明理由；

（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为OB上一个动点，请求出PC+yFA的最小值.

备用图

题目26］（2024«仓山区校级模拟）如图1,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线沙=+《与2轴交

于A,B两点，与夕轴交于点C,且力点坐标为（一1,0）,抛物线的对称轴为直线工=1,连接直线BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点。为第一象限内抛物线上一动点,连接AD,交直线于点E,连接BD,如图2所示,记^BDE的

面积为Si，AABE的面积为S2,求券的最大值；

（3）若点河为对称轴上一点，是否存在以。为顶点的直角三角形,若存在，直接写出满足条件的“点

坐标;若不存在,请说明理由.

MS

［题目/(2024•荆州模拟)如图，直线沙=，—3与，轴、沙轴分别交于点B、点。，经过两点的抛物线y

=—+"与2轴的另一个交点为A,顶点为p.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使以C,P,Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有

符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)将该抛物线在，轴上方的部分沿。轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象。轴

下方的部分组成一个“AT形状的图象，若直线9=，+6与该“AT形状的图象部分恰好有三个公共点，求6

题型三:等腰直角三角形的存在性

题目西(2024-雁塔区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中,抛物线£：夕=x2+bx+c与o;轴交于点4(1,0)

和点与沙轴交于点。(0,3).

(1)求出抛物线L的解析式和顶点坐标.

(2)点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点,过点P作，的垂线交，轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ

对称抛物线L'，则。关于直线PQ的对称点为C,若APCC为等腰直角三角形，求出抛物线L'的解析式.

题目叵(2024-凉州区二模)如图1,已知抛物线y=ax2-4ax+c的图象经过点A(l,0),B(m,0),C(O,-3),

过点。作CD〃2轴交抛物线于点。，点P是抛物线上的一个动点，连接PD,设点P的横坐标为n.

（1）填空：m=,a=,c=；

（2）在图1中，若点P在立轴上方的抛物线上运动，连接OP,当四边形OCDP面积最大时，求九的值;

（3）如图2,若点Q在抛物线的对称轴，上，连接PQ、DQ,是否存在点P使^PDQ为等腰直角三角形？若存

在，直接写出所有符

题目应（2024•高唐县一模）在平面直角坐标系中，抛物线夕=

0），与V轴交于点。.

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当APBC面积最大时，求点P的坐标；

（3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的

三角形是等腰直角三角形,若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

题目叵口（2024•咸丰县模拟）综合与探究

如图，抛物线"=3c—4与c轴交于46两点（点A在点B的左侧），与？/轴交于点C,连接60.若点

P在线段BC上运动（点P不与点B,。重合），过点P作立轴的垂线，交抛物线于点E,交2轴于点F.设点

P的横坐标为

（1）求点A,B,。的坐标，并直接写出直线的函数解析式.

⑵若PF=2PE，求机的值.

（3）在点P的运动过程中，是否存在想使得ACPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出机的值;若不存

在,请说明理由.

备用图

题型四:相似三角形的存在性

〔题目酝（2024-金平区校级一模）如图，二次函数y=ax2+bx+4交c轴于点A（-l,0）和B（4,0）交y轴于点

C.

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图,在第一象限有一点朋■，到O点距离为2，线段BN与■的夹角为45°,且BN=V2BM,连接CN,

求。N的长度；

（3）对称轴交抛物线于点。，交8。交于点E,在对称轴的右侧有一动直线Z垂直于，轴,交线段于点F,

交抛物线手点P,动直线在沿c轴正方向移动到点B的过程中，是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的

三角形与ADCE相似？如果存在,求出点P的坐标；如果不存在,请说明理由.

题目〔33］（2024-东莞市一模）己知:在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+3与多轴交于点B,

与y轴交于点。，抛物线y=-x2+bx+c经过B、。两点,与，轴的另一交点为点4

MS

图1图2

（1）如图1,求抛物线的解析式；

（2）如图2,点。为直线8。上方抛物线上一动点,连接AC.CD,设直线BO交线段AD于点E,ACDE的面

积为Si，AACE的面积为$2.当兽=4时，求点。的坐标；

022

（3）在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2,是否在数轴上存在一点P,使得以人、。、P为顶点的三角形与

△BCD相似，如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

题目叵（2024-亳州一模）已知抛物线y=—五+c经过点（―5,—言）和（3,日）.

（1）试确定该抛物线的函数表达式；

（2）如图，设该抛物线与，轴交于两点（点A在点8左侧），其顶点为。，对称轴为Z,Z与立轴交于点D.

①求证：AOBC是直角三角形；

②在，上是否存在点P,使得以A,D,P为顶点的三角形与AOBC相似？若存在，请求出点P的坐标;若不

存在,请说明理由.

:题目而（2023-随州）如图1,平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c过点A（-l,0），8（2,0）和C（O,

2）,连接BC,点P（m,n）（m>0）为抛物线上一动点，过点P作PN1.x轴交直线BC于点M,交x轴于点

N.

（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；

（2）如图2,连接OM,当△OCM■为等腰三角形时，求小的值；

（3）当P点在运动过程中，在沙轴上是否存在点Q,使得以O,P,Q为顶点的三角形与以B,C,N为顶点的

三角形相似（其中点P与点。相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

MS

（图1）（图2）

［题目国|（2024«青海一模）如图，二次函数y=x^+bx+c的对称轴是直线2=1,图象与x轴相交于点A{-l,

0）和点3,交9轴于点C.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）点P是对称轴上一点，当ABOC〜^APB时，求点P的坐标（请在图1中探索）；

（3）二次函数图象上是否存在点使AABC的面积Si与■的面积S2相等？若存在，请求出所有满足

条件的点”的坐标;若不存在，请说明理由（请在图2中探索）.

（2024-虹口区二模）新定义：已知抛物线夕=aa?+6c+c（其中abc丰0）,我们把抛物线沙=ca?+ac+

b称为y=ax2+bx+c的“轮换抛物线”.例如:抛物线y=2x2+3x+1的“轮换抛物线”为y^x2+2x+3.

已知抛物线G：y=4m/+（4m-5）x+m的“轮换抛物线”为Q，抛物线G、G与歹轴分别交于点E、F,点

E在点F的上方，抛物线G的顶点为P

（1）如果点E的坐标为（0,1）,求抛物线G的表达式；

（2）设抛物线4的对称轴与直线夕=3,+8相交于点Q,如果四边形PQEF为平行四边形,求点E的坐标；

（3）已知点M（—4,n）在抛物线Q上，点N坐标为（―2,—7玄），当APMNMPEF时，求m的值.

［题目区（2024-安溪县模拟）已知抛物线Ci：y=ax2-（2a一1）/一3a+1与c轴只有一个公共点A.

⑴求a的值；

（2）若将抛物线G：?/=4a/向右平移1个单位长度得到抛物线。3,抛物线G与"轴交于点B，顶点为。

①试问:抛物线。3上是否存在这样的点石,使得bBDE〜NABD?

②若直线g=for—%+1与抛物线。3交于P（力p'y），Q3Q，VQ）（力P〈NQ）,点Q关于抛物线。3的对称轴的对

称点记为Q\Q'与P不重合），Q'M//y轴交直线PQ于点“，直线PD与直线Q'M交于点N,求登”的

“PMN

值.

yk

1

01x

［题目M（2024.苏州一模）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-8ax+10a—l（a<0）与立轴的交点分

别为4与，0）,332,0）,其中（0<电<，1），且48=4,与沙轴的交点为。,直线8〃3；轴,在2轴上有一动

点E（t,0）,过点E作直线2，2轴，与抛物线、直线CD的交点分别为P、Q.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0<tW8时，求AAPC面积的最大值；

⑶当t>2时,是否存在点P,使以。、P、Q为顶点的三角形与AOB。相似？若存在，求出此时力的值；若不

存在,请说明理由.

题目叵（2024-雁塔区校级四模）已知抛物线L1y=x2+bx+c与。轴交于点43（点A在点B的左侧）,与

沙轴交于点C（O,-3）,对称轴为直线2=1.

（1）求此二次函数表达式和点4、点B的坐标；

（2）点P为第四象限内抛物线心上一动点,将抛物线〃平移得到抛物线抛物线L2,使得抛物线2的顶点为

点P,抛物线k与沙轴交于点E，过点P作夕轴的垂线交夕轴于点D是否存在这样的点P，使得以点P、

。、石为顶点的三角形与相似，请你写出平移过程，并说明理由.

题目包（2023•乐至县）如图，直线y=*r+3与2轴、夕轴分别交于两点,抛物线沙=—%（;2+法+。经

过A、B两点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点。作立轴的平行线与直线AB交于点。，求的长的最大值；

（3）点Q是线段4。上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交u轴于点N.疑妞^P,

17•

使AABQ与ABQN相似，若存在,求出点P的坐标;若不存在，说明理由.

备用图

［题目应（2024•恩施市校级一模）如图，抛物线？/=姐?+近+c交c轴于4一4,0）,8（1,0）,交3轴于。点,且

OC=2OB.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线上找点。，使AABD为以AB为腰的等腰三角形,求。点的坐标.

（3）在抛物线上是否存在异于B的点P,过P点作PQ，AC于Q,使NAPQ与AABC相似？若存在，请求

出P点坐标；若不存在，请说明理由.

题目叵（2024・阳泉模拟）综合与探究

如图，二次函数沙="—_|■，一4的图象与立轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与沙轴交于点。，对称

轴与c轴交于点。，连接AC,作直线BC.

（1）求。三点的坐标，并直接写出直线的表达式.

（2）如图1,若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为机，过点P分别作，轴、y轴的垂

线,交直线BC于点朋\N，试探究线段MN长的最大值.

（3）如图2,若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线BQ与9轴交于点连接CD,在点Q运动的过程

中，是否存在点H,使以H,为顶点的三角形与AACD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存

:题目包（2024•龙江县一模）综合与探究：

如图，抛物线y=ax2-6ax+c（aR0）与c轴交于点A,B（点A在点B的右侧）,与y轴交于点。，顶点为N,

9

直线y=—J%T与2轴交于点B,与抛物线交于点。，连接BC,DN,sin/OCB=咨

（1）求抛物线的解析式；

（2）①点D的坐标为_（6,—4）_；

②°；

③点河（m,n）在抛物线上，-4<机<4,则九的取值范围是.；

⑶若点P在直线AC上，且SAABP：SABCP=1:3,求AP的值；

⑷在第四象限内存在点H,使^ACE与AABC相似，且AC为^ACE的直角边,请直接写出点E的坐标.

:题目［45］（2023-武汉）抛物线C［y=—8交c轴于4B两点（A在B的左边），交y轴于点C.

（1）直接写出6,C三点的坐标；

（2）如图（1）,作直线，=t（O<t<4）,分别交c轴，线段BC,抛物线G于。，E,F三点，连接CF,若ABDE

与ACEF相似，求t的值；

（3）如图（2），将抛物线G平移得到抛物线4，其顶点为原点.直线沙=2,与抛物线交于O,G两点，过OG

的中点H作直线AW（异于直线OG）交抛物线5于M,N两点,直线MO与直线GN交于点P.问点P是

否在一条定直线上？若是,求该直线的解析式;若不是，请说明理由.

题目原］（2023•沈阳）如图,在平面直角坐标系中，二次函数法+c的图象经过点人（0,2）,与立轴的

交点为点B（同，0）和点C.

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点E,G在?/轴正半轴上，0G=2OE,点。在线段OC上，OD^VSOE.以线段OD,OE为邻边作矩

形ODEE,连接GD,设OE=a.

①连接FC,当^GOD与ATOC相似时，求a的值；

②当点。与点。重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH,连接FH,FG,将

△GFH■绕点F按顺时针方向旋转a（0°Va<180°）后得到△G'EET,点G,H的对应点分别为GL连接

DE.当的边与线段OE垂直时，请直接写出点的横坐标.••

线BC-.y=A;，+8,点P在抛物线上，设点P的横坐标为m.

（1）求抛物线的表达式和力，k的值；

（2）如图1,过点P作，轴的垂线与直线交于点河，过点。作垂足为点若ASM〜

APBA7,求m,的值；

⑶如图2,若点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PQ_L,垂足为Q,求CQ+aPQ的最大值.

[题目叵（2024-锡山区一模）如图，抛物线y=a/+2,+c交2轴交于A,5（3,0）两点（点A在点B的左边）,

交V轴于点。，连接AC,其中OB=OC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为线段BC上方抛物线上一动点，过点P作PE，BC于点E,若黑=[,求点P的坐标；

jDh/2

（3）过线段BC上的点E作，轴的垂线交抛物线于点F,当^EFC与^ABC相似时，点E的坐标为—

题目国（2024-仓山区校级模拟）如图1,在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax'+bx+6与2轴交

于A,B两点，与夕轴交于点。，且A点坐标为（-1,0），抛物线的对称轴为直线劣=1,连接直线BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点。为第一象限内抛物线上一动点，连接AD,交直线BC于点E,连接BD,如图2所示,记^BDE的

面积为Si，A4BE的面积为52,求善的最大值；

（3）若点河为对称轴上一点，是否存在以河，3,。为顶点的直角三角形,若存在，直接写出满足条件的河点

坐标;若不存在,请说明理由.

题目画］（2024•荆州模拟）如图，直线沙=，—3与2轴、沙轴分别交于点B、点。，经过B,。两点的抛物线沙

=—+九与2轴的另一个交点为入,顶点为p.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使以。，P,Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有

符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

（3）将该抛物线在①轴上方的部分沿土轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象。轴

下方的部分组成一个“河”形状的图象，若直线g=c+6与该“AT形状的图象部分恰好有三个公共点，求6

题目回（2024-平凉一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点4（—2,0）,点B（4,0）,交“轴于点。（0,4）.连

接AC,BC.D为OB上的动点,过点。作石。，c轴,交抛物线于点E,交BC于点、G.

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）过点E作EF，BC,垂足为F,设点。的坐标为（m,0），请用含小的代数式表示线段EG的长，并求出当

m为何值时EG有最大值，最大值是多少？

（3）点。在运动过程中，是否存在一点G,使得以O,。，G为顶点的三角形与AAOC相似.若存在，请求出

此时点G的坐标;若不存在,请说明理由.

••

1题目应］（2023-朝阳）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=-^-x2+bx+c与2轴分别交于点4（—2,0）,B

（4,0）,与y轴交于点。，连接BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点河（山,0）,交BC于点N,连

接CM,PB,PC.^PCB的面积记为&,ABC7W的面积记为S2,当S产S2时,求机的值；

（3）在⑵的条件下,点Q在抛物线上,直线MQ与直线BC交于点H,当&HMN与ABC"相似时,请直接写

备用图

题目回］（2024-在平区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=—//+W+c与c轴分别相交于A

（―2,0）,B（8,0）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点。作o;轴的垂线交BC于点E,交x轴于点F.

①求DE+BF的最大值；

②若G是人。的中点，以点。，。，后为顶点的三角形与AAOG相似，求点。的坐标.

［题目巨^（2024-海勃湾区校级模拟）如图⑴,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx—4（a/0）与c轴交

于A,B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C