第12章 二次根式知识梳理+热考题型（原卷版）-2023-2024学年苏科版八年级数学下册

第12章•二次根式

本章知识综合运用

♦土内容预览

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三个概念

••1、二次根式：式子近(aNO)叫做二次根式，a叫做被开方数.

♦判断二次根式的方法：

(1)形式上：含有二次根号“「'，注意三次根号“厂’等都不可以；

(2)内容上：被开方数必须是非负数，注意被开方数可以是数、字母或含有字母的式子.

♦二次根式有意义的条件：

二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即二次根式中a>0.

求使代数式有意义的字母的取值范围时，常见类型如下：

(1)二次根式的被开方数大于或等于0；

(2)分式的分母不为0；

(3)零指数幕与负整数指数募的底数不等于0.

••2、最简二次根式：

一般地，化简二次根式就是使二次根式：

(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

(2)被开方数中不含分母；

(3)分母中不含有根号.

这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式.

♦化简二次根式的方法：

1.将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；

2.化去根号下的分母：

(1)若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数；

(2)若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数.

3.被开方数是多项式的要先进行因式分解.

♦化简二次根式的步骤：

1.“一分”：利用因式分解的方法把被开方数（式）的分子、分母都化成质因数（式）的暴的乘积的形式；

2.“二移”：把能开得尽方的因数（式）用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因

数（式）移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；

3.“三化”：化去被开方数（式）中的分母.

••3、同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.

♦判断同类二次根式的一般步骤：

（1）“一化”：将不是最简二次根式的根式化为最简二次根式；

（2）“二看”：看被开方数是否相同.若相同则是同类二次根式，否则，不是同类二次根式.

♦合并同类二次根式的方法：

与合并同类项类似，合并同类二次根式时，将根号外的因数（式）相加减，根指数与被开方数保持不变，

如ay/m+by/m=（a+b）y/m（m>0）.

三个性质

••1、Va>0（a>0）（二次根式双重非负性）

文字表述：一个非负数的算术平方根是非负数.

♦拓展：若几个非负数的和等于0,则这几个非负数均为0.如若〃+网+。2=0,则a=0,6=0,c=o.

••2、（V«）2=a（a>0）

文字表述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.

••3、—|a|

文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.

♦（、向2（a>0）与小的区别与联系：

表达式(否)2=a(a20)Va^=\a\

表示意义不同表示戊。》。）的算术平方根的平方表示。的平方的算术平方根

取值范围不同。为非负数，即心04取一切实数

区先求非负实数。的算术平方根，先求实数。的平方，再求。2的

运算顺序不同

然后再进行平方运算算术平方根

别

'a(a>0)

运算结果不同(V5)2=a(心0)Va^=\a\=-0(a=0)

—a(a<0)

联系（机）2（应0）与疹的结果均为非负数，且当色0时，Va2=（Va）2

四种运算

••1、二次根式的乘法法则：4a^b=4ab(a>0,b>0)

文字表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.

反过来得：Vab=Va-4b(a>0,b>0).

利用这个等式可以化简一些二次根式.

♦二次根式乘法运算的一般步骤：

(1)将根号外的因式相乘；

(2)将根号内的因式相乘；

(3)化简，即将被开方数中的平方式分离出来，再逆用公式，将二次根式化为被开方数中不含能开得尽方的

因数或因式的形式.

••2、二次根式除法法则：(a>0,b>0)

文字表述：算术平方根的商等于各个被开方数商的算术平方根.

反过来得：他=噂(心0,6>0).

7b7b

利用这个等式可以化简一些二次根式.

♦二次根式乘除混合运算的一般步骤：

先将根号外的因式相乘除，再将根号内的因式相乘除，最后再化简.

••3、二次根式的加减运算：

二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式.

♦二次根式相加减的一般步骤：

“一化、二找、三合并”

7F——>将二次根式化为最简二次根式

找——>找出同类二次根式

前——>合并同类二次根式

••4、二次根式的混合运算：

(1)确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左向右的顺序进行，有括号的先算括

号内的.

(2)进行二次根式的混合运算时，整式运算的法则、公式和运算率仍然适用.

好题型归纳

J题型一二次根式的识别

【例题】在下列式子中，一定是二次根式的有()

Va,V%2+3,V77,7—62,J(—9)2,V2m2.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式1】关于二次根式正中的x的值不可能是()

A.0B.1C.1D.-2

【变式2】若是二次根式，则a,6应满足的条件是()

A.a,b均为非负数

B.a,b同号

C.a>0,b>0

D.a>0,人>0或。<0,b<0

B题型二二次根式有意义的条件及其应用

【例题】（2024•山东淄博•一模）若二次根式衣。在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表

示正确的是（）

—1——।——।——

A-1012B.T012

C.T01

【变式1】（2023•湖南永州）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是.

【变式2】（2023•黑龙江绥化）若式子里有意义，则x的取值范围是_____.

X

【变式3】（2023•四川绵阳改编）函数丫=焉+7¥^m的自变量x取值为整数有个.

二次根式非负性的应用

题型三

【例题】关于二次根式迎的说法中，正确的是（）

A.a为正整数B.a为正数C.乃是整数D.历是非负数

【变式1】（2020•湖北黄冈）若|第一2|+'%+y=0,则一产y=.

【变式2】已知％,y均为实数，y=V^2+V4^+3,则%丫的值为.

器利用笳=|。|进行化简

【例题】（2021•浙江杭州）下列计算正确的是（）

A.停=2B.V（-2）2=-2C.岳=±2D.J（-2）2=±2

【变式1】若J（a—I]=1—a,则。与1的关系是（）

A.a<1B.a<1C.a>1D.a>1

【变式2】（2022•山东聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式u=E进行计算，其中a为子弹的

加速度，s为枪筒的长.如果a=5xl（）5m/s2,s=0.64m,那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）

为（）

A.0.4X102m/sB.0.8X102m/sC.4X102m/sD.8X102m/s

【变式3］（2023•湖北黄冈）请写出一个正整数机的值使得厮是整数；m=.

【变式4】（2022•四川遂宁）实数Q,b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|—J（b_1尸+个（a—b）2.

b

-4-3-2-101234

口直二（G）2=a的应用

［例题】（2023•江苏连云港）计算：（追）=.

【变式1］（2023•天津）计算（V7+e）（77—e）的结果为.

【变式2］（2020•湖南益阳）若计算娘xm的结果为正整数，则无理数爪的值可以是.（写出一

个符合条件的即可）

【变式3】阅读下面的解题过程，并回答问题.

化简：（无FA—|1—X］.

解：由1—3x20,得xWg,

•，•1—%>0,

*,•原=（1—3%）—（1—%）=1—3%—1+%=-2%.

按照上面的解法，解决下列问题.

（1）（夜不亏）2-（近二？）2+|X-3|.

（2）若久满足|2023—x|+，K一2024=比,求x—20232的值.

B题型六二次根式乘除法法则成立的条件

【例题】（2023•湖南）对于二次根式的乘法运算，一般地，有值证=病.该运算法则成立的条件是

()

A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a<0fb<0D.a>0,b>0

【变式1】等式也样—1=V%+1,Vx-1成立的条件是（）

A.x>1B.x>—1C.x>1或％<—1D.xW±1

【变式2】已知叵=岸成立.

y2-xV2-x

（1）填空：光的取值范围是;

⑵化简:

~题型七将根号外的非负因数（式）移到根号内

【例题】若把—4行根号外的因式移到根号内，得（）

A.V12B.-V12C.-V48D.V48

【变式1】若加<0,n>0,把代数式小迎中的加移进根号内的结果是（）

A.Vm2nB.C.—Vm2nD.|Vm2n|

值=—鱼，仿照上面的方法解决下列问题:

【变式2】请观察式子：9,-2

⑴化简：①5]|；②—7③a

7

（2）把（1-砌J三中根号外的因式移到根号内，化简的结果是.

比较二次根式的大小

题型八

【例题】（2021•湖南怀化）比较大小：号|（填写“〉”或或

【变式1】下列大小关系正确的是（）

3

CVZ2<-

A.V2>2B.2V3>3V2--2D.8<V67

【变式2］（2022•四川泸州）与2+后最接近的整数是（）

A.4B.5C.6D.7

【变式3］（2023•广西南宁•一模）比较大小：-2V3一2而（填“>”，“<”，"=

【变式4］（2023•山东临沂）设m=5J|-V45,则实数加所在的范围是.

J题型九最简二次根式的判断

【例题】（2021•广西桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（）

A.B.V4C.D.7a+b

【变式1］（2022•广西桂林）化简的结果是（）

A.2V3B.3C.2V2D.2

【变式2］（2021•湖南益阳）将后化为最简二次根式，其结果是（）

A叵B—C9国D3国

【变式3】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数。为.

区一--同类二次根式的概念

心题型十

【例题】（2023•山东烟台）下列二次根式中，与鱼是同类二次根式的是（）

A.V4B.V6C.V8D.V12

【变式1］（2021•江苏泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）

A.册与遮B.鱼与姨C.遥与后D.凤与历

【变式2］（若二次根式后与最简二次根式扬T不I能合并，则机的值为.

【变式3］（若最简二次根式3-V2x+y—5和Jx—3y+11是同类二次根式,求X、了平方和的平方根.

Q题型十一二次根式的运算

【例题1】（2021•甘肃武威）下列运算正确的是（）

A.V3+V3=3B.4V5-V5=4C.V3xV2=V6D.V32-V8=4

【变式1］（2023•重庆）估计鱼（迎+V1U）的值应在（）

A.7和8之间B.8和9之间

C.9和10之间D.10和11之间

【变式2］（2023•山东潍坊）从—鱼、V3,伤中任意选择两个数，分别填在算式（口+。）2+夜里面的“口”

与“。”中，计算该算式的结果是.（只需写出一种结果）

【变式3］（2023•甘肃武威）计算：历十孚X2&—6a

【变式4］（2022•山东济宁）已知a=2+而，b=2—遍,求代数式+处2的值.

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