二次函数与单线段最值问题-2023年中考数学压轴题专练（学生版）

专题11二次函数与单线段最值问题

方法揭秘.

1.预备知识：平面直角坐标系中的水平线段与S值线段最值问题.

A\x-yx\

Bxy2\

（）X

竖觥段：AB=y「打，纵坐标相减，上和3

水平线段：纵坐标相减，右减左•

2.抛银戋中的竖醛段

解题方法：先由A、C左右求出直线AC的解析式，利用点P硬物段上，点Q的直线

AC上，PQ/y轴，设出点P的坐标为m,进而得到点P和Q的坐标，两者作差即可得到

PQ籽表达式，从而得到PQ的最大值,进而也能求得nAPC和四边形ABCP

面积的最大值.

3.螂假中踊线段最值问题：如右上图，求PH的最大值（或点P到直线AC的最大距

离）

解题方法：利用相似E角形△PQHSAACO,得到既条k（阖S）,进而得到PH关于PQ

辍量关系，转《为求kPQ的最大值.

或群统sinZPQH=sinZ.4CO=^

典例剖析“

【例1】(2022•襄阳)在平面直角坐标系中，直线y=s-2%与x轴，y轴分别交于A,8两点，顶点为。

的抛物线y=-X2+2HU-m2+2与y轴交于点C.

(1)如图，当初=2时，点尸是抛物线CD段上的一个动点.

①求A,B,C,。四点的坐标；

②当面积最大时，求点尸的坐标；

(2)在y轴上有一点M0，工加，当点C在线段MB上时，

3

①求机的取值范围；

②求线段BC长度的最大值.

(备用图)

【例2】(2022•湖州)如图1,已知在平面直角坐标系尤Oy中，四边形0ABe是边长为3的正方形，其中顶点

A,C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上.抛物线y=-/+bx+c经过A,C两点，与x轴交于另一个

点D.

(1)①求点A,B,C的坐标；

②求b,c的值.

(2)若点P是边8C上的一个动点，连结AP,过点尸作交y轴于点M(如图2所示).当点P在

8C上运动时，点M也随之运动.设8P=机，CM=n,试用含％的代数式表示“并求出w的最大值.

【例3】(2021•青海)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A,2两点，点A在无轴上，

点2在y轴上，C点的坐标为(1,0),抛物线y=a/+bx+c经过点A,B,C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)根据图象写出不等式a/+(6-1)x+c>2的解集；

(3)点P是抛物线上的一动点，过点尸作直线的垂线段，垂足为。点.当尸。=近时，求P点的坐

2

标.

【例4】(2022•雅安)已知二次函数y=a?+bx+c的图象过点A(-1,。)，B(3,0),且与y轴交于点C(0,-

3).

备用图

(1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；

(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E,使△ACE为RtZ\,若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说

明理由；

(3)在平面直角坐标系中，存在点尸，满足E4LPZ),求线段PB的最小值.

满分训练.

1.(2020•河北模拟)已知抛物线C：y=a/+b尤+c(a>0,c<0)的对称轴为x=4,C为顶点，且A(2,0),C(4,

-2)

【问题背景】求出抛物线C的解析式.

【尝试探索】如图2,作点C关于x轴的对称点C',连接8C',作直线x=上交BC'于点交抛物

线C于点N.

①连接沏，若四边形MNDC,是平行四边形，求出发的值.

②当线段MN在抛物线C与直线BC,围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段的长度的

最大值.

【拓展延伸】如图4,作矩形HGOE,且E(-3,0),”(-3,4),现将其沿无轴以1个单位每秒的速度向

右平移，设运动时间为t,得到矩形H'G'O'E',连接AC',若矩形H'G'O'E'与直线AC'

和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出f的取值范围.

2.(2018秋•宁城县期末)已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A(l,0),C(-3,0),

(1)如图1,已知顶点坐标。为(-1,4)或B点(0,3),选择适当方法求抛物线的解析式；

(2)如图2,在抛物线的对称轴上求作一点使的周长最小，并求出点M的坐标；

(3)如图3,将图2中的对称轴向左移动，交无轴于点P(s,0)(-3＜机＜-1),与抛物线，线段8c的交

点分别为点£、F,用含机的代数式表示线段的长度，并求出当机为何值时，线段跖最长.

3.(2021•桥西区模拟)如图1,抛物线y=a?+bx+3与龙轴交于A(-1,0),2两点，与y轴交于点C,且C。

=BO,连接8C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,抛物线的顶点为。，其对称轴与线段BC交于点E,求线段OE的长度；

(3)如图3,垂直于x轴的动直线/分别交抛物线和线段BC于点P和点R连接CP,CD,抛物线上是否

存在点P，使△CDEs△PCF,如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理

4.(2022•和平区二模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为(-2,4),且经过坐标原点，

与x轴负半轴交于点8.

(1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；

(2)过点A作ACLx轴于点C,若点。是y轴左侧的抛物线上一个动点(点。与点A不重合)，过点。作

轴于点E,连接A。，DO,当以A,O,C为顶点的三角形与以。，O,E为顶点的三角形相似时，

求点D的坐标；

(3)在(2)的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点

F,在第三象限交于点G,且点A,点8,点。，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长.

5.(2022•鹿城区校级二模)如图，抛物线y=/+bx+c与无轴交于点A(-1,0),2(5,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标.

(2)连结A。，点E是对称轴与无轴的交点，过E作所〃4。交抛物线于点网厂在£的右侧)，过点尸作

尸G〃x轴交ED于点H交于点G,求取的长.

(2)点尸为第一象限抛物线上一点，过点尸作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G,连接CG交

无轴于点M设点尸的横坐标为才，ON的长为力求d与r之间的函数解析式(不要求写出自变量f的取值

范围);

(3)在(2)的条件下，连接尸8,将线段PB绕着点尸顺时针旋转90°得到线段PD,点D恰好落在y轴上，

点E在线段OB上，连接PE,点Q在EB的延长线上，且EQ=PE,连接DQ交于点F,若PE=3PF,

求QN的长.

7.(2021•凉山州模拟)如图1,在平面直角坐标系中，已知8点坐标为(1,0),MOA=OC=3OB,抛物线y

=ov2+6x+c(aW0)图象经过A,B,C三点，其中。点是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断△ADC的形状并且求AAOC的面积；

(3)如图2,点尸是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过尸点作PELAC于E点，当PE的值最大时，

求此时尸点的坐标及PE的最大值.

8.(2022・无锡二模)已知抛物线>=m»-2根什35<0)与x轴交于A、8两点(点A在点8的左侧)，与y轴

交于点C,且08=304.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若Af、N是第一象限的抛物线上不同的两点，且aBCN的面积总小于的面积，求点M的坐标；

(3)若。为抛物线的顶点，P为第二象限的抛物线上的一点，连接8尸、DP,分别交y轴于点E、F,若

EF=1OC,求点P的坐标.

3

fy

9.(2021•乳源县三模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线>=。/+云+。与x轴交于4(5,0),B(-1,

0)两点，与y轴交于点C(0,B).

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点〃是抛物线的顶点，连接AM,CM,求△AMC的面积；

(3)若点P是抛物线上的一个动点，过点尸作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点。，过点。作x轴的

垂线，垂足为点R连接EF,当线段跖的长度最短时，求出点P的坐标.

10.(2021•河池)在平面直角坐标系中，抛物线y=-(尤-1)2+4与无轴交于A,8两点(A在8的右侧)，与y

轴交于点C.

(1)求直线CA的解析式；

(2)如图，直线尤=机与抛物线在第一象限交于点交CA于点E,交x轴于点ROGLCA于点G,若

E为GA的中点，求机的值.

(3)直线y=n%+〃与抛物线交于〃(无1,yi),N(xi,y2)两点，其中xi<%2.若无2-xi>3且”-yi>0,结合

函数图象，探究”的取值范围.

11.(2021•桂林)如图，已知抛物线y=a(x-3)(x+6)过点4(-1,5)和点2(-5,m),与x轴的正半轴交于点

C.

(1)求a,m的值和点C的坐标；

(2)若点P是x轴上的点，连接PB,PA,当里=2时，求点尸的坐标；

PA5

(3)在抛物线上是否存在点使A,B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横

坐标；若不存在，请说明理由.

12.(2021•吉林)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=/+fcv+c的图象经过点A(0,-1),点2(1,1).

(1)求此二次函数的解析式；

⑵当-2<xW2时，求二次函数y=/+bx+c的最大值和最小值；

(3)点尸为此函数图象上任意一点，其横坐标为山，过点尸作尸。〃尤轴，点。的横坐标为-2〃z+L已知

点P与点。不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小.

①求m的取值范围；

②当PQW1时，直接写出线段PQ与二次函数y=/+bx+c(-2Wx<2)的图象交点个数及对应的m的取

3

13.(2020•武汉模拟)己知：在平面直角坐标系中，抛物线y=o?-2冰-3a交x轴于A、2两点(点A在点B

的左边)，交y轴负半轴于点C.

(1)则点A的坐标为，点B的坐标为.

(2)如图1,过点A的直线y=ax+a交y轴正半轴于点F,交抛物线于点D,过点B作BE//y轴交AD于E,

求证：AF=DE.

(3)如图2,直线。E：>=丘+6与抛物线只有一个交点。，与对称轴交于点E,对称轴上存在点F满足

DF=FE.若a=l,求点尸坐标.

14.(2020•哈尔滨模拟)如图，抛物线》=0?+法+5经过坐标轴上A、8和C三点，连接AC,tanC=2,5OA

5

=30B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t,连接8。交y轴于点E,连接CQ、CB,ABCQ的面积为S,

求S与/的函数解析式；

(3)已知点。是抛物线的顶点，连接C。，。“所在直线是抛物线的对称轴，连接QH,若/BQC=45°

HR〃尤轴交抛物线于点R,HQ=HR,求点R的坐标.

15.(2019•衡阳)如图，二次函数y=/+6x+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点8(3,0),与y轴交于点M

以A8为边在无轴上方作正方形A8C。，点尸是x轴上一动点，连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交

于点E.

(1)求该抛物线的函数关系表达式；

(2)当点P在线段OB(点P不与0、8重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值;

(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB.请问：的面积是否存在最大值？若存在,

求出此时点"的坐标；若不存在，请说明理由.

16.(2020•天津)已知点A(l,0)是抛物线;y=a/+bx+M(a,b,机为常数，aWO,机＜0)与x轴的一个交点.

(I)当＜2=1,7"=-3时，求该抛物线的顶点坐标；

(II)若抛物线与x轴的另一个交点为0),与y轴的交点为C,过点C作直线/平行于x轴，E是直

线/上的动点，尸是y轴上的动点，EF=2®

①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且AE=EF时，求点尸的坐标；

②取EF的中点N,当,"为何值时，的最小值是亚？

2

17.(2020•凉山州)如图，二次函数y=a/+/zx+c的图象过0(0,0)、A(l,0)、B(l,近)三点.

22

(1)求二次函数的解析式；

(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线

CD的解析式；

(3)在直线O)下方的二次函数的图象上有一动点P,过点尸作尸。，尤轴，交直线CZ)于。，当线段P0

的长最大时，求点尸的坐标.

18.(2020•滨州)如图，抛物线的顶点为A(/z,-1),与y轴交于点8(0,-工)