二次函数的应用【九大题型】（苏科版）（原卷版）

专题5.5二次函数的应用【九大题型】

【苏科版】

汴”亳I话如

【题型1图形面积或周长问题】.................................................................1

【题型2图形运动问题】.......................................................................4

【题型3拱桥问题】...........................................................................7

【题型4销售问题】..........................................................................10

【题型5投球问题】..........................................................................12

【题型6喷水问题】.........................................................................16

【题型7增长率问题】........................................................................20

【题型8车过隧道问题】......................................................................22

【题型9行程问题】..........................................................................25

"桁/二

【知识点1解二次函数的实际应用问题的一般步骤】

审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关

系（即函数关系）；

设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；

列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；

解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；

检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；

答：写出答案.

【题型1图形面积或周长问题】

【例1】（2022秋•越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，

用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域

的面积相等.设BC的长度为无优，矩形区域ABCQ的面积为即

（1）求y与尤之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【变式1-11（2022•永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角

（两边足够长），用32加长的篱笆围成一个矩形花园ABC。（篱笆只围AB,BC两边），设

（1）若花园的面积为252加，求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是17m和6m,要将这棵树围在花园内（含边界，

不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.

【变式1-2]（2022秋•清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二

次三项式也可以配方，从而解决一些问题.例如：x2-6x+10=（x2-6x+9-9）+10=（尤-3）2-9+10

=（x-3）2+1^1；因此/-6x+10有最小值是1,只有当x=3时，才能得到这个式子的最小值1.同样

-3X2-6x+5=-3（f+2x+l-1）+5=-3（x+1）2+8,因止匕-3记-6x+5有最大值是8,只有当x=-1

时，才能得到这个式子的最小值8.

（1）当彳=—时，代数式-2（尤-3）2+5有最大值为一.

（2）当尤=时，代数式2r+4尤+3有最小值为.

（3）矩形自行车场地一边靠墙（墙长10m）,在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），

现有能围成14加长的木板，当长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？

II----F

【变式1-3]（2022•市南区一模）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、

II、III三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪.四边形48cD和EFG8均为正方形，

且各有两边与长方形边重合：矩形MFNC（区域H）是这两个正方形的重叠部分，如图所示.

（1）若花卉均价为300元/米2,种植花卉的面积为S（米2）,草坪均价为200元/米2,且花卉和草坪栽

种总价不超过43600元，求S的最大值.

（2）若矩形MFNC满足MF：FN=1：2.

①求MH&V的长.

②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为为180元/米2,90元/米2,180元/米2,且边8N的长不小于边ME

长的髓.求图中I、n、in三个区域栽种花卉总价w元的最大值.

【题型2图形运动问题】

【例2】（2022秋•利川市校级期中）如图，在矩形ABC。中，AB=12cm,BC=9cm.P、。两点同时从点

B、。出发，分别沿54、D4方向匀速运动（当尸运动到A时，P、。同时停止运动），已知尸点的速度

比Q点大Icmls,设P点的运动时间为尤秒，△R1Q的面积为ycm2,

（1）经过3秒△E4。的面积是矩形ABC。面积的［时，求P、。两点的运动速度分别是多少？

（2）以（1）中求出的结论为条件，写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

【变式2-1]（2022•巨野县期末）如图，在△A8C中，ZB=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始

沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的

速度向终点C移动，如果点P、。分别从点A、B同时出发，那么△PB。的面积S随出发时间t（s）如

何变化？写出函数关系式及f的取值范围.

【变式2-2]（2022秋•丹阳市校级月考）如图，在△A8C中，BC=7cm,AC=24cm,AB=25cm,尸点在

8C上，从8点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2c/"/s；。点在AC上从C点运动到A

点（不包括A点），速度为5s?/s.若点P、。分别从8、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索

的主要过程：

（1）经过多少时间后，P、。两点的距离为52c7川？

2

（2）经过多少时间后，SAPC。的面积为15cm?

（3）请用配方法说明，何时△PC。的面积最大，最大面积是多少？

4

B

P-►

【变式2-3](2022秋•杭州期末)如图Q),点尸、G、H、E分别从正方形ABC。的顶点8、C、。、A

同时出发，以lcm/s的速度沿着正方形的边向C、D、A、B运动.若设运动时间为x(s),问:

(1)四边形EFGH是什么图形？证明你的结论；

(2)若正方形ABC。的边长为2cm,四边形EFG”的面积为y(cm2),求y关于x的函数解析式和自

变量x的取值范围；

(3)若改变点的连接方式(如图(6)),其余不变.则当动点出发几秒时，图中空白部分的面积为3c

【题型3拱桥问题】

[例3]（2022•海曙区校级开学）图1是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为AB=50米

和CD=40米（如图2所示），x轴表示桥面，8c=10米.若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状

相同，则案的值为.

图1

【变式3-1]（2022秋•西城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意

图.已知水面宽40米，抛物线最高点C到水面的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线

上距水面A8高为8米的点E,尸处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EE（结果保留根号）

【变式3-2】(2022秋•诏安县校级月考)如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的

直角坐标系，左边的一条抛物线可以用y=4*+2r+10表示，而且左、右两条抛物线关于y轴对称.

40010

(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？

(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？

(3)写出如图抛物线的表达式？

八网

、io

桥面0国二树

【变式3-3］（2022秋•袁州区校级期中）宜春袁山公园内有一座景观桥，桥洞形状如抛物线A8C,其横截

面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=F+c且过顶点。（0,8）（长度单

位：m）

（1）直接写出c的值；

（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5根的地毯，求需要多少平方米的地毯？

（不计损耗）

（3）为了使景观桥夜晚更加漂亮，需在桥洞下方洞壁相同高度处如图示的E、尸位置安装两盏灯，

且点E的横坐标与纵坐标之和为-4,求安装的LED灯距离水面AB的高度.

【知识点2销售问题中的常用公式】

（1）利润=售价-进价=进价x利润率

（2）利润率=黑x100%

进价

（3）总利润=总售价-总进价=销售量x（单件售价一单件成本）

【题型4销售问题】

[例4]（2022秋•平谷区期末）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8

月份这种药材售价（元）与月份之间存在如表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月

份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断5月份出售这种药材获利最大.

月份…36…

每千克售价…86…

【变式4-1］（2022秋•舞阳县期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元.每天可以销

售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.

（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；

（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少

元？最大利润是多少？

【变式4-2］（2022秋•椒江区期末）某一种蜜桔在农贸水果市场的需求量以（万斤）、市场供应量以（万

斤）与市场价格无（元/斤）分别满足下列关系：yi=-0.2x+2.8,y2=0.4x-0.8,当巾=/时的市场价格

称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量.

（1）求平衡价格和平衡需求量；

（2）若该蜜桔的市场销售量y（万件）是市场需求量”和市场供应量以两者中的较小者，该蜜桔的市场

销售额P（万元）等于市场销售量y与市场价格x的乘积.当市场价格x取何值时，市场销售额P取得

最大值？

（3）蜜桔的每斤进价为加元，若当3WxW10时，随着x的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减

小后增大再减小的变化，请直接写出m的取值范围.

【变式4-3]（2022•庐阳区校级一模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为

整数，且该商品的月销售量y（件）是售价尤（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量了（件）、

月销售利润w（元）的部分对应值如表：

售价X（元/件）4045

月销售量y（件）300250

月销售利润W（元）30003750

注：月销售利润=月销售量义（售价-进价）

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；

（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠机元利润（机W6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过

52元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价尤的增大而增大，求机的取值范围.

【题型5投球问题】

【例5】（2022•威县校级模拟）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，

则游戏成功.弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线.如图16,甲站在原点处，

从离地面高度为1机的点A处抛出弹力球，弹力球在8处着地后弹起，落至点C处，弹力球第一次着地

前抛物线的解析式为（x-2）2+2.

（2）若弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半.

①求弹力球第一次着地后抛物线解析式；

②求弹力球第二次着地点到点。的距离；

③如果摆放一个底面半径为05小高05〃的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9加，若要甲能投球成功,

需将筐沿x轴向左移动bm,直接写出b的取值范围.

【变式5-1](2022•六盘水模拟)如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点。处向

右抛球，球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距。点4米的B处达到最高

点，最高点C距离地面4米；篮球在点。处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出

后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半.以点。为坐标原点，建立如图所示的平面直角

坐标系.

(1)求抛物线ACC的函数表达式；

(2)求篮球第二次落地点£与点。之间的距离；

(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球

出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的

【变式5-21（2022•巧家县模拟）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）

从数轴上表示-8的点A处弹出后，呈抛物线y=---8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛

物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最

大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出.

（1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度.

（2）当弹球尸在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式.

【变式5-3］（2022•潍坊模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某

次模拟测试中，某女生在。处将球垫偏，之后又在A,8两处先后垫球，球沿抛物线C1-C2-C3运动（假

设抛物线Cl，C2,C3在同一平面内），最终正好在。处垫住，。处离地面的距离为1米.如图所示，以

。为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，尤轴平行于地面水平直线加，已知点|）,点B的

28

横坐标为—|,抛物线Ci和C3的表达式分别为>=加-2办和yuZad+bx（oWO）.

（1）求抛物线G的函数表达式.

（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由.

（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B离地面的高

度至少为多少米？

【题型6喷水问题】

［例6］（2022•西城区校级模拟）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管

的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱

上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为〃米，下面的表中记录了d与/I的五组数据:

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根据上述信息，解决以下问题：

（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示力与d函数关系的图象;

（2）若水柱最高点距离湖面的高度为机米，则机=；

（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下

方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱

的竖直距离均不小于0.5米.已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管

露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留

一位小数）.

湖面

图1图2

【变式6-1](2022•安徽模拟)音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化.某种音乐

喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m,音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx

上变动，从而产生一组不同的抛物线(图2),这组抛物线的统一形式为>=加+版.

(I)若已知％=1,且喷出的抛物线水线最大高度达3小，求此时八6的值；

(2)若左=1,喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？

(3)若k=3,a=-%,则喷出的抛物线水线能否达到岸边？

【变式6-2](2022•河北模拟)音乐喷泉的某一个喷水口，喷出的一束水流形状是抛物线，在这束水流所

在平面建立平面直角坐标系，以水面与此面的相交线为x轴，以喷水管所在的铅垂线为y轴，喷出的水

流抛物线的解析式为：y=-/+6x+2.但控制进水速度，可改变喷出的水流达到的最大高度，及落在水

面的落点距喷水管的水平距离.

(1)喷出的水流抛物线与抛物线丫=症的形状相同，则。=—；

(2)落在水面的落点距喷水管的水平距离为2个单位长时，求水流抛物线的解析式；

(3)求出(2)中的抛物线的顶点坐标和对称轴；

(4)对于水流抛物线y=-/+法+2.当b=bi时，落在水面的落点坐标为A/G"，0),当时，落

在水面的落点坐标为N(%0),点M与点N都在无轴的正半轴，且点M在点N的右边，试比较"与

打的大小.

【变式6-3］（2022•新昌县模拟）某喷泉中间的喷水管OA=0.5m喷水点A向各个方向喷射出去的水柱为

形状相同的抛物线，以水平方向为无轴，喷水管所在直线为y轴，喷水管与地面的接触点。为原点建立

直角坐标系，如图所示.已知喷出的水柱在距原点的水平距离为3相处达到最高，高度为2:小

（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式.

（2）身高为1.7m的小明站在距离喷水管4/77的地方，他会被水喷到吗？

（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7/77,已知喷水管升高后，喷水管喷出的水

柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管04要升高多少？

【题型7增长率问题】

【例7】（2022•武汉模拟）战疫扶贫两手抓，多措并举促增收.为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战

略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作.经过多年的精心帮扶，截至

2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.2019年

7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6的人

均月纯收入，汇总如下:

月份代码123456

人均月纯收入（元）310350390430470510

根据分析，发现该家庭人均月纯收入y与月份代码x之间具有较强的一次函数关系（记2019年1月、2

月、…、2020年1月、……分别为x=l,x=2,…，x=13,…，依此类推）.

但2020年1月突如其来的新型冠状病毒感染的肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度

每月人均月纯收入只有2019年12月的预估值的三分之二.根据以上信息，完成以下问题.

（1）求该家庭人均月纯收入y与月份代码x之间的函数关系式.

（2）若疫情没有爆发，2020年该家庭是否能实现小康？

（3）若2020年3月初开始，在当地党员干部的扶持下，该家庭的人均月纯收入y与月份代码x之间满

足二次函数y=f+bx+c的关系.若该家庭2020年12月人均月纯收入可达到1400元以上，求b的最小

值.

（4）若以该家庭2020年3月人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a,为了使该家庭2020年能实

现小康，a至少为多少？（结果保留两位小数）

参考数据：V452+4X120X4«62.81,1.1510^4.05

C丫10_1

参考公式：1+工+/+…+%9=------；（1+（2）1。=1+10〃+45。2+120〃3（|^|<0.15）.

X-1

【变式7-1］（2022•弥勒市校级月考）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x,

该药品的原价为36元，降价后的价格为y元，则y与尤之间的函数关系为（）

A.y=72（1-x）B.y=36（l-x）C.y=36（l-f）D.j=36（1-x）2

【变式7-2］（2021秋•西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增

长率为x,如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（）

A.y=60（1+x）2

B.60+60（1+尤）+60（1+x）2

C.y=60（1+尤）+60（1+x）2

D.y=60+60（1+x）

【变式7-3］（2022•滨州校级月考）2009年度东风公司神鹰汽车改装厂开发出A型农用车，其成本价为每

辆2万元，出厂价为每辆2.4万元，年销售价为10000辆，2010年为了支援西部大开发的生态农业建设,

该厂抓住机遇，发展企业，全面提高A型农用车的科技含量，每辆农用车的成本价增长率为x,出厂价

增长率为0.75x,预测年销售增长率为0.6元.（年利润=（出厂价-成本价）义年销售量）

（1）求2010年度该厂销售A型农用车的年利润y（万元）与x之间的函数关系.

（2）该厂要是2010年度销售A型农用车的年利润达到4028万元，该年度A型农用车的年销售量应该

是多少辆？

【题型8车过隧道问题】

［例8］（2022•太原二模）如图1,在某段公路上有一条双行线隧道（可双向行驶）.隧道的纵截面由矩

形的三边和一段抛物线构成，如图2是它的示意图，隧道宽度A8=8租，内壁两侧各留有1机宽的安全带,

顶部最高处距路面6〃z,矩形的宽

（1）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至

少要05",求一辆宽为3m的货运卡车通过该隧道时的限高应为多少？

（2）若有一辆宽为5.5m的超宽箱式工程车欲通过该隧道，其顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差不

小于10cm,在实行交通管制后，求这辆车单向通过该隧道的限高应为多少？（结果精确到1优）

【变式8-1］（2022秋•始兴县校级期中）一拱形隧道的轮廓是抛物线如图，拱高6山，跨度20处

（1）建立适当的直角坐标系，求拱形隧道的抛物线关系式

（2）拱形隧道下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2根的隔离带），其中的一条行车道能否并排行

驶宽2m，高3机的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由.

【变式8-2］（2022•长春校级模拟）路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37座，

共计长达742421.2米.正在修建的庙娅隧道的截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道总宽度为

8米，隧道为单行线车道，即左右各5米宽的车道.

（1）建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线的解析式；

（2）在隧道拱两侧距地面3米高处各安装一盏灯，在（1）的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏灯

的位置；

（3）为保证行车安全，要求行驶车辆顶部（假设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米,

现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否安全通

过这个隧道？请说明理由.

【变式8-3]（2022•东城区校级月考）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽

度为12米.现以。点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）.

（I）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A、D点在抛物线上.B、C点在地面

0M线上（如图2所示）.为了筹备材料，需求