二次函数（2知识5题型）-2024-2025学年苏科版九年级数学下册同步训练（含答案）

第01讲二次函数

01学习目标

课程标准学习目标

1.掌握二次函数的概

①引导学生理解二次函数的定义，明确二次函数的一般形式为

念，能准确识别二次函

y=ax2+bx+c.②让学生通过实例感受二次函数在实际问题中的广

数表达式.

泛应用，体会数学与生活的联系.

2.学会从实际问题中提

③培养学生观察、分析和归纳的能力，能够从具体问题中抽象出

取关键信息，建立二次

二次函数模型.

函数模型.

02思维导图

二次函数的概念

实际问题中的二次函数及自变量的取值范围

识别二次函数

根据二次函数的定义求参数的值

根据二次函数的定义求参数的取值范围

二次函数的一般形式

实际问题中自变量的取值范围

03知识清单

知识点一、二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+6x+c（存0,a、b、c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量,

y是x的函数.

1.任何一个二次函数的表达式都可以化为y=«N+6x+c（存0,a、b、c为常数）的形式；

因此我们将了=O%2+6X+C（中0,）叫做二次函数的一般式.

试卷第1页，共6页

2.在一般式中，只有存0时，函数y=ox2+6x+c才是二次函数.

3.二次函数的几种特殊形式：若6=0,贝幼=。N+c；若c=0,则严办2+云；若6=c=0,则

y=ajfi-

知识点二、实际问题中的二次函数及自变量的取值范围

一般地，二次函数丁=62+及+。（〃M，a、b、。为常数）的自变量工可以取任意实数，但在

实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义.

04题型精讲

题型01识别二次函数

1.下列函数中，是关于x的二次函数的是（）

A.y=x-lB.y=ax2+bx+c

1

C.7=7D.y=-x(x+3)

2.下列函数中，n关于x的二次函数是（)

A.y=ax2+bx+cB.y=x(x-l)

1

C.D.y=(x-1)"—x2

3.下列各式中，歹是％的二次函数的是（)

1

A.B.y=x2+-+l

X

C.y=2x2-1D.

4.已知函数:

①/一

丫2

@y=—

③y=6x2-2x+3；

④y=3x3-2x+l.其中是二次函数的有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型02根据二次函数的定义求参数的值

试卷第2页，共6页

5.如果函数y=（后-3.广3+2+h+1是二次函数，那么左等于（）

A.3B.0C.-2D.-1

6.若y=（2-a）/。是二次函数，则。的值是（）

A.±2B.-2C.2D.不能确定

7.若y=（加+2）J"j）+机是关于X的二次函数，则加的值为.

8.已知y=（"Z+3）X"~+2ST+0-加卜-5是y关于x的二次函数，求机的值.

题型03根据二次函数的定义求参数的取值范围

9.若函数y=，内（》-1）--是关于工的二次函数，则加的取值范围是（）

A.加。0B.C.D.加W±1

10.如果）=（加-2）尤2+（加-1.是关于》的二次函数，则加的取值范围是（）

A.B.m手2C.加32且.wlD.全体实数

11.如果函数＞=（左-1）/+依-1（无是常数）是二次函数，那么左的取值范围是.

12.（1）已知函数丫=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1,若这个函数是二次函数，求m的取

值范围；

（2）已知函数丫=（m2+m）是二次函数，求m的值.

题型04二次函数的一般形式

13.二次函数的定义：一般地，形如y=a/+bx+c（a、b、c是常数，。*0）的函数，

叫作.其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是,6是,c

是.y-ax2+bx+c（a、b、c是常数，awO）也叫作二次函数的一般形式.判

断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其

化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数这个关键条件.

14.在二次函数v=2尤2-3元+1中，二次项系数与一次项系数的和是.

15.将二次函数y=-2（x-2y化成一般形式，其中二次项系数为,一次项系数

为，常数项为.

16.二次函数了=（》-2乂1-尤）-3尤的二次项系数是,一次项系数是—,常数项是—.

题型05实际问题中自变量的取值范围

试卷第3页，共6页

17.直角三角形的一条直角边长为xcm,两条直角边的和为7cm,面积为yen?,写出变量y

与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并说明这个函数是不是二次函数.

18.如图所示，一个矩形的长为4cm,宽为3cm,如果将这个矩形的长与宽都增加xcm,

那么这个矩形的面积增加yen?

⑴求了与x之间的函数关系式；

（2）这个函数是二次函数吗？为什么？

（3）求自变量的取值范围.

19.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）,用长为24m的篱笆围成中间隔有一道

篱笆的矩形花圃.设花圃的宽为x（m）,面积为/（n?）.写出y与x之间的函数关系式

及自变量x的取值范围.

ra强化训练

20.若方程》=加一一4%-5是关于x的二次函数，则机的取值范围是（）

A.m>0B.加C.加D.加w-2

21.如果函数>=（加-1）井田-3工+2是二次函数，则机的值是（）

A.±1B.-1C.2D.1

22.下列函数是二次函数的是（）

工2%

A.y=3x+lB.y=ax2+bx+cC.y=—D.y=-y

2x

23.若歹=（加+1）》/一4*5是二次函数，则加=（）

试卷第4页，共6页

A.7B.-1

C.一1或7D.以上都不对

24.若昨W-3)X„T+2X+1是关于x的二次函数，则优的值为

25.已知二次函数y=l-5x+3/,则二次项系数。=,一次项系数6=—.

26.若函数＞=机/+苫-3是关于x的二次函数，则心满足条件是.

27.如图，正方形EFG"的顶点在边长为2的正方形的边上•若设/E=x,正方形EFG”的

面积为外则〉与x的函数关系为.

28.已知两个变量x,y之间的关系式为y=(a—2)x2+(b+2)x—3.

(1)当—时，x,y之间是二次函数关系；

(2)当—时，x,y之间是一次函数关系.

29.在函数①y=+6无+c,=(x-1)2-x2,@y=5x2--~,④y=-x2+2中，y关

于x的二次函数是.(填写序号)

30.已知函数＞=(切-2)x"J+3x-5是关于x的二次函数，求加的值.

31.已知函数y=(〃7+3)/+“-4+(〃7+2)x+3(其中xwO).

⑴当加为何值时，夕是x的二次函数？

(2)当“为何值时，〉是x的一次函数？

32.下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数

和常数项.

(1)y=—0.9x2+2x—3；

(2)y=-2x2-7；

(3)y=-x2+x；

(4))=(x+l)(x-l)-%2.

试卷第5页，共6页

33.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长

与宽的比是2：1,已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外

制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是P元，镜子的宽是x米.

（1）求了与x之间的关系式.

（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽.

试卷第6页，共6页

1.D

【分析】本题考查二次函数的识别.掌握相关定义即可.二次函数的基本表示形式为

y=ax2+bx+c(a^O).二次函数最高次必须为二次.

【详解】解：A：y=x-i,最高次项为一次，不符合题意；

B：y=ax2+bx+c,当”=0时，不是二次函数，不符合题意；

C：了=4,不满足二次函数的定义，不符合题意；

D：y=-x(x+3)=—x2—3x,满足二次函数的定义，符合题意；

故选：D

2.B

【分析】本题主要考查了二次函数的定义.根据二次函数的定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、当时，＞="2+瓜+。是＞关于X的二次函数，故本选项不符合题意;

B、V=1)=—-%是》关于%的二次函数，故本选项符合题意；

C、歹=4■不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意；

D、y=(x-l)2--=一2%+1不是y关于％的二次函数，故本选项不符合题意；

故选：B

3.C

【分析】根据二次函数的定义依次判断.

【详解】解：/、y=1不是二次函数，不符合题意；

B、y=x2+-+l,不是二次函数，不符合题意；

X

C、y=2x2-l,是二次函数，符合题意；

D、歹=肝二b不是二次函数，不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题考查二次函数的定义：形如＞=办2+8+0(0*0)的函数是二次函数，解题的

关键是正确掌握二次函数的构成特点.

4.B

答案第1页，共12页

【分析】本题考查二次函数的定义；

根据二次函数的一般形式V=a/+6x+c(a,6,c为常数，aW0)可以判断各个函数是否为

二次函数，即可得出结果.

【详解】解：①/=-/不是二次函数；

②>=5是二次函数；

③y=6--2x+3是二次函数；

④y=3/-2x+l不是二次函数

故选B

5.B

【分析】本题考查二次函数定义.根据题意利用二次函数一般形式：形如“y=a/+b£+c

(a*0,a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案.

【详解】解：•.•函数y=("3)/a+2+京+i是二次函数，

J左2-3左+2=2

k-3/O'

解得k=Q,

故选：B.

6.B

【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得/一2=2且2-。*0,即可求解；理解定义：

“一般地，形如>=仆2+&+。(a、b、C是常数，"0)的函数叫做二次函数.”是解题的

关键.

【详解】解：由题意得

2=2且2-a*0,

解得：a=-2,

故选：B.

7.2

【分析】根据二次函数的一般式求解即可.

【详解】解：•.j=(m+2)，f)+/是关于-的二次函数,

答案第2页，共12页

•••加2—2=2且加+2w0,

解得机=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查二次函数的一般式，解答的关键是熟知二次函数的一般式

y=ax2+bx+c(Qw0).

8.m=l

【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数二次项系数不为零，最高次项的次数

是2是解题的关键，根据二次函数的定义得到川+2加—1=2且加+3w0即可得到答案.

【详解】解：•・•>=(加+3)/+22+(1—加卜_5是J关于x的二次函数，

•••m2+2m-1=2且加+3w0,

解得：加=1或加二一3,且加W—3,

••・加=1.

9.C

【分析】本题考查了二次函数的定义，将二次函数化为一般式，从而得出机-1。0,求解即

可得出答案，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键.

［详角星］解：y=mx(x-l)-x2=mx2-mx-x2=(m-l)x2-mx,

函数,丫=机工(％-1)-/是关于x的二次函数，

.,.加一1w0,

.,.加w1,

故选：C.

10.B

【分析】直接利用二次函数的定义得出答案.

【详解】••"=("-2)尤2+(加—1》是关于X的二次函数，

•••加一2w0,

inw2,

故选B.

【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题的关键.

11.后片1

答案第3页，共12页

【分析】根据：“形如了="2+/+,（。片0）,这样的函数叫做二次函数“，得到"1N0,即

可.

【详解】解：由题意，得：左-1x0,

・•・左W1；

故答案为：k#l.

12.（1）m，0且m力1；（2）tn的值为3.

【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不等于0,可得答案；

（2）直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可.

【详解】解：（1）函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1是二次函数，

即m2-n#0,

即m，0且

当m加且m力1,这个函数是二次函数；

（2）由题意得：m2-2m-1=2,m2+m/0,

解得：mi=3,ni2=-1（不合题意舍去），

所以m的值为3.

【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确解一元二次方程是解题关键.

13.二次函数二次项系数一次项系数常数项不等于0

【分析】此题考查的是二次函数，掌握其定义是解决此题的关键.直接根据二次函数的定义

解答即可.

【详解】解：二次函数的定义：一般地，形如y=a/+bx+c（a、b、c是常数，。*0）

的函数，叫作二次函数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，。是二次项系数，b是一次项

系数，c是常数项.y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，awO）也叫作二次函数的一般形

式.

判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将

其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不等于0这个关键条件.

故答案为：二次函数，二次项系数，一次项系数，常数项，不等于0.

14.-1

【分析】本题主要考查了二次函数的定义,根据二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c

（a、6、c是常数，awO）的函数，叫作二次函数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，a

答案第4页，共12页

是二次项系数，6是一次项系数，c是常数项；

由题意可得二次项系数是2,常数项是-3,再求和即可.

【详解】解：在二次函数>=2X2-3X+1中，

二次项系数为2,一次项次数为-3,

••・二次项系数与一次项系数的和是：2+(-3)=-1,

故答案为：-1.

15.-28-8

【分析】通过去括号，移项，可以把方程化成二次函数的一般形式，然后确定二次项系数,

一次项系数，常数项.

【详解】尸-2G-2)2变形为：尸-2/+8『8,所以二次项系数为-2；一次项系数为8；

常数项为-8.

故答案为-2,8,-8.

【点睛】本题考查的是二次函数的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函

数的一般形式，确定二次项系数，一次项系数，常数项的值.

16.-10-2

【分析】本题考查了二次函数的一般式，先化简右式，把二次函数转化为一般式，再根据一

般式即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键.

【详解】解：­•1y=(x-2)(l-x)-3x=-x2-2,

••二次函数V=(x-2)(1-x)-3x的二次项系数是-1,一次项系数是0,常数项是一2,

故答案为：-1,0,-2.

17

17.y=--x2+-x(O<x<7),是二次函数，理由见解析

【分析】利用三角形的面积公式，求出函数解析式即可，利用边长大于0,求出自变量x的

取值范围.

117

【详解】解：由题意得：y=-x[7-x)=--x2+^x,

,•,两条直角边的和为7cm,

0<x<7.

/.y——-X?+]X(0<x<7),

答案第5页，共12页

・•.这个函数是二次函数.

【点睛】本题考查二次函数的应用.根据三角形的面积公式，求出二次函数解析式，是解题

的关键.

18.（l）y=x2+7x

（2）是二次函数；理由见解析

（3）x>0

【分析】本题考查的是二次函数的应用，以及二次函数的定义，熟知一般地，形如

y=ax2+bx+c（°、b、c是常数，aW0）的函数，叫做二次函数是解题的关键.

（1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关

系式；

（2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断；

（3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围.

【详解】（1）解：•.•矩形的长为4cm,宽为3cm,

二矩形的面积=4x3=12（cm2）.

••,矩形的长与宽都增加xcm,

二增加后矩形的面积=（4+%乂3+同加2,

二了=（4+x）（3+x）—12,即J=X2+7X,

故夕与x之间的函数关系式为y=/+7x.

（2）解：,一•般地，形如>=G2+6X+C（°、6、c是常数，awO）的函数，叫做二次函数,

...y=x°+7x是二次函数；

（3）解：:X为矩形增加的长与宽，

•••自变量x的取值范围为x20.

14

19.y=-3x2+24x,自变量尤的取值范围是了4x<8

【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，读懂题意列出式子是解题的关

键.用含x的式子表示出8C,再根据矩形的面积公式写出y关于x的函数关系式，根据墙

的长度及篱笆的长可求得自变量x的取值范围.

答案第6页，共12页

【详解】花圃的宽为x（m）,则长2C为（24-3x）m,

.-.y=x（24-3x）=-3x2+24x,

,•・墙的最大可用长度为10m,

/.24-3x<10,

、14

:.x2—,

3

・・・篱笆长为24m,

・•.3x<24,

・•・x<8,

14

:.—Wx<8,

3

14

号与X之间的函数关系式为7=-3x2+2以，自变量X的取值范围是w<x<8.

20.B

【分析】根据二次函数的定义进行求解即可.

【详解】解：•.•》=心/-4%-5是关于x的二次函数，

••・加w0,

故选B.

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形

如>=。/+加+4。20）且服b、。是常数的函数叫做二次函数.

21.B

【分析】根据题意可知，函数中含x的项的最高次为2次，且其项系数不为零，据此即可作

答.

,f|m|+l=2

【详解】根据题意有：11,八，

［加-1w0

解得加=-1,

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如了="2+6x+c（a、6、c是常数，中0）的

函数，叫做二次函数.其中X、>是变量，a、6、c是常量，。是二次项系数，6是一次项系

数，c是常数项.掌握这个定义是解题的关键.

答案第7页，共12页

22.C

【分析】二次函数的基本表示形式为y=ax2+bx+c（aw0）.二次函数最高次必须为二次.

【详解】解：A：最高次项为一次，不符合题意；

B：当。=0时，不是二次函数，不符合题意；

C：满足二次函数的定义，符合题意；

D：二次项在分母位置，不符合题意；

故选：C

【点睛】本题考查二次函数的识别.掌握相关定义即可.

23.D

【分析】本题考查二次函数的定义，求参数，根据二次函数的定义得出关于加的不等式和

方程，求出机的值即可.

【详解】解：•.？=（加+l）x-是二次函数，

:“7+1W0且加2一4m-5=2,

解得加=2±V11-

故选：D.

24.-1

【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=a/+6x+c（其中a、b、c是

I—2/YI_1_2

常数且。*0）的函数是二次函数，据此可得，八一，解之可得答案.

［加-3w0

【详解】解；•.？=（加-3）X"5T+2X+1是关于x的二次函数，

\m2-2m—\-2

［加-3W0

解得机=-1,

故答案为；T.

25.3-5

【分析】根据二次函数的定义即可求解.

【详解】解：二次函数＞=1-5x+3f的二次项系数”=3,一次项系数6=-5,

故答案为：3；-5.

答案第8页，共12页

【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.

26.加wO

【分析】根据二次函数的定义，即可求解.

【详解】解：•.・函数V=m%2+x-3是关于x的二次函数，

••・加w0.

故答案为：机W0

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如>=^2+云+°(。片0)形

式的函数称为二次函数是解题的关键.

27.y=2x2-4x+4

【详解】如图所示，:四边形ABCD是边长为1的正方形，.•ZA=NB=9O。，AB=2,

.■Z1+42=90。，•••四边形EFGH为正方形，.­•ZHEF=90°,EH=EF,.••Zl+z3=90°,.•Z2=N3,

在AAHE与4BEF中，vzA=zB,z2=z3,EH=FE,.-.AAHE^ABEF(AAS),.-.AE=BF=x,

AH=BE=2-x,在RtAAHE中，由勾股定理得：EH2=AE2+AH2=x2+(2-x)2=2x2-4x+4；

即y=2/—4x+4(0<x<2),故答案为>=2/-4X+4(0<X<2).

28.(l)a#2；(2)a=2且b力一2

【详解】(1)根据二次函数的定义，易得a—2w0,n"2；

f-2=0

(2)根据一次函数的定义，易得a八°八，得a=2且屏一2.

+2w0

29.@

【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是

解决本题的关键.根据形如V="2+6x+c(aw0)是二次函数，可得答案.

【详解】解：①。=0时N=G2+6X+C是一次函数，

(2)y=(x-1)--x2=x2-2x+1-x2=-2x+l是一次函数；

答案第9页，共12页

③＞=5x2-?不是整式，不是二次函数；

X

④＞=-/+2是二次函数，

故答案为：④.

30.-2

【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次不等

式等知识点，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键.

根据二次函数的定义可得出一元二次方程和一元一次不等式，解之即可得到答案.

【详解】解：•.・函数＞=(切-2)x/-2+3x-5是关于x的二次函数，

.