二次函数 知识归纳与题型突破（十六类题型清单）原卷版-2024-2025学年北师大版九年级数学下册

二次函数知识归纳与题型突破（十六类题型）

一、二次函数的定义

一般地，如果是常数，ar0）,那么）'叫做x的二次函数.

要点：

如果y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，aWO）,那么y叫做x的二次函数.这里，当a=O时就不是二次函数了,

但b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越大，抛物线的开口越小.

二、二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

2

①1y=ax'；②1y=+上；③>:^^一方Y；④1y=“(x-/)+上,

其中方=一±,k=――——；@y=ax3-¥bx+c-（以上式子aWO）

2a4a

几种特殊的二次函数的图象特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=/x=0(y轴)(0,0)

30,轴）(0.k)

y-ajr+k当a>0时

y=a{x-iif开口向上x=hS,o)

当4<0时

,y=a(x-+上x=h(h,k)

开口向下

Abb4ae-b2

y-ax+6x+cx=——

2a(2a4a)

2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

（1）a的符号决定抛物线的开口方向：当°>0时，开口向上；当°<0时，开口向下；卜|相等，抛物

线的开口大小、形状相同.

（2）平行于了轴（或重合）的直线记作特别地，y轴记作直线x-0.

3.抛物线y=ax?++«•（））中，a,A,c的作用：

（1）a决定开口方向及开口大小，这与y二中的《完全一样.

（2）b和。共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线尸=ax'+阮+c的对称轴是直线x,

2a

故：①b=o时，对称轴为）'轴；②勺>0（即a、b同号）时，对称轴在）'轴左侧；③勺<0（即

aa

a、2?异号）时，对称轴在尸轴右侧.

（3）c的大小决定抛物线丁=*/+bx+c与轴交点的位置.

当x=0时，了=，，••.抛物线y=与V轴有且只有一个交点（0，c）：

①C二0,抛物线经过原点；②c>0,与尸轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在尸轴右侧，则--：ri.

4.用待定系数法求二次函数的解析式:

(1)一般式：y=a?(aWO).已知图象上三点或三对X、尸的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：v=…)…(aWO).已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成y=a—的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与X轴的交点坐标片、x2,通常选用交点式：

y=a(X-X]Xx・叼)(a/0).(由此得根与系数的关系：X；+x2=-—,=-).

aa

要点：

求抛物线>="2+区+。(aWO)的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，

这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.

三、二次函数与一元二次方程的关系

函数y=+bx+e(aw0),当尸=0时，得到一元二次方程ox"+bx+c=0(cw0),那么一元二

次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与X轴的交点情况决定一元二次

方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时△=$2-4ar>0,则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时△=/-4线=0,则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时AMSa-dar<0,则方程没有实根.

通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：

要点:

二次函数图象与X轴的交点的个数由£)2-4"的值来确定.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时△=川-心＞0,则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时△=^-4以=0,则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时A=/-4交＜0,则方程没有实根.

四、利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的

公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时

要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

(1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

要点：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线

的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

03题型归纳

题型一二次函数的有关概念及应用

例题

2

1.在函数y=-3x2+2x+l,y=-x+5,y=——3,y=x2+x+l,y=(x-59)—x?中，以x为自变量的二次函

x

数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练

2.在二次函数了=2--3%+1中，二次项系数与一次项系数的和是.

3.若函数夕=("-3)/7+5是关于》的二次函数，则加=()

A.-3B.3C.3或-3D.2

4.如果二次函数了=(。+2*+_¥+/_4的图像经过原点，那么。=.

题型二求二次函数的解析式

例题

5.已知二次函数图象经过点(-1,0),(1,-8)和(3,0),则它的解析式为.

巩固训练

6.顶点是(2,0),且与抛物线＞=-3/的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为.

7.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为此二次函数的

解析式可以是.

题型三二次函数图像的平移

例题

8.将抛物线y=向左平移3个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线解析式为()

A.y=1(x+3)2+lB.y=1(x-3)2+lC.y=1(x-3)2+lD.y=1(x-3)2-l

巩固训练

9.把抛物线y=6(x+1)2平移后得到抛物线y=6x2,平移的方法可以是()

A.沿y轴向上平移1个单位B.沿y轴向下平移I个单位

C.沿x轴向左平移1个单位D.沿x轴向右平移1个单位

10.将抛物线y=(x+ly+l平移，使平移后得到抛物线y=x2+6x+6.则需将原抛物线()

A.先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度

B.先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度

C.先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度

D.先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度

题型四填二次函数的顶点、对称轴等

例题

11.抛物线y=-(x+l『的开口,对称轴是,顶点坐标是.

巩固训练

12.抛物线了=2/+/+。经过/(0,2)和8(-3,2)两点，则该抛物线的对称轴为直线.

13.抛物线y=-(x-l『+3的顶点坐标是；与了轴的交点坐标是.

题型五特殊二次函数的图像和性质

例题

14.抛物线V=2/,y=-2//=；必共有的性质是（）

A.开口向下B.对称轴是了轴C.都有最高点D.歹随x的增大而增大

巩固训练

15.关于二次函数y=3f+6的图象，下列结论不正确的是（）

A.开口向上B.当xv0时，V随1的增大而减小

C.对称轴是直线x=-lD.抛物线顶点（0,6）

16.由二次函数J=2（X-/F+3可知（

A.函数图象的开口向下B.函数图象的对称轴为直线x=3

C.函数最小值为3D.y随x的增大而减小

17.二次函数了=a(（x+2y+c（a＜0）图象上有两点/（一1,小）与,贝！)mn.（选填〉、〈或

)

18.已知二次函数v=-（x-ir+2,当x＞；加时，y随着x的增大而减小，则仅的取值范围为

题型六二次函数了="2+/+。的图像和性质

例题

19.二次函数y=3x2+2x的图象的对称轴为（)

11

A.x=-2B.x=-3C.x=----D.x=——

23

巩固训练

1,

20.对二次函数15一+4工+3的性质描述正确的是（）

A.函数图象开口朝下

B.当xvO时，＞随1的增大而减小

c.该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴

D.该函数图象的对称轴在了轴左侧

已知二次函数尸亦依一（。＜）均过点（一%）、（）、

21.2-2301,2,%（4,乃），则必，y2,力三者之间的大小

关系是（）

A.%<%<%B.C.%<%<%D.y2<yi<y3

22.如图，二次函数了=办2+》-12的图象与x轴交于N（-4,0）,B两点,下列说法正确的是（）

A.抛物线的对称轴为直线x=lB.抛物线的顶点坐标为，g,-12）

C.A,B两点之间的距离为7D.当尤＜-1时，了的值随x值的增大而增大

题型七根据二次函数的图像判断参数的符号

例题

23.二次函数y="2+bx+°（Q。0）的图像如图所示，下列结论中正确的是（）.

A.ci>0,6>0,c<0B.ci>0,Z?<0,c<0C.ci>0,b>0,c>0D.ci<0,b>0,c<0

巩固训练

24.已知抛物线>=改+云+£；（存0）的图象如图所示，则下列结论①％<0,②a+b+c=2,③a>]④0<

b<\中正确的有（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

25.已知二次函数〉=及+瓜+°（"0）的图象如图所示，则下列结论

①abc<0；@b2-4ac>0:③a-6+c<0；④当-1<无<3时，y>0；⑤2。+6>0中正确的是()

A.①②③B.①②④⑤C.①③④D.①②④

题型八二次函数的对称性及应用

例题

26.若抛物线y=口+6x+c经过/（-2,6）,5（8,6）两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（）

A.（7,0）B.(3,0)C.(l,o)D.(-1,0)

巩固训练

27.已知二次函数y=ax?+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为（-LO）,对称轴为直线x=l,

方程办2+6x+c+l=0的两实数根为X],x2,若占<%2，则（）

A.-1v再<%2v3B.1<%1<x2<3

C.%1<-3,X2>1D.Xt<-l,x2>3

28.已知抛物线y=a/+bx+m是由抛物线>=-J+2x+2先关于V轴作轴对称图形，再将所得的图象向下平移

3个单位长度得到的，点。1（-2.5,%）、3。，%）都在抛物线y="+foc+m上,则％,%的大小关系是（）

A.B.劣=6C.qx<q2D.不能确定

题型九二次函数的最值

例题

29.已知二次函数的图象（-3VXV0）如图.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是

)

A.有最大值1,有最小值—2B.无最大值，有最小值-2

C.无最大值，有最小值-3D.有最大值1,有最小值-3

巩固训练

30.在平面直角坐标系中，二次函数y=/+机x+疗+机（加为常数）的图象经过点（0,6）,其对称轴在V

轴的右侧，该二次函数有（）

A.最小值二B.最小值5C.最大值?D.最大值5

44

31.已知抛物线＞=2蛆（-”加工2）经过点Z（p,。和点5（p+2/）,则一的最小值是（）

A.-3B.-1C.0D.1

题型十二次函数与一次函数、反比例函数

例题

32.在同一平面直角坐标系中，二次函数＞=办-22x+/和一次函数歹=狈-4的图象大致是（）

C.D.

巩固训练

33.抛物线j=x?+l与双曲线>=£的交点A的横坐标为1,则不等式-1>0的解集为.

XX

题型十一二次函数与一元二次方程

例题

34.若关于x的一元二次方程N+for+c=O的两个根分别为也=—1,X2=2,那么抛物线y=N+fcr+c的对称轴为

直线（）

A.x=一1B.x=2

11

C.x=—D.x=—

22

巩固训练

35.已知函数了=1〃-2）/一3无+；的图像与无轴只有一个交点，则加的值为.

36.抛物线y=/+4x-5与X轴相交于A、8两点，其顶点为M,将此抛物线在无轴下方的部分沿x轴翻

折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象.现有直线了=》+冽与该新图象有四个交点，则加的取值

范围为（）

L29L45,29,45

A.5<加<—B.5V加<—C.4<m<—D.4<m<—

4444

题型十二图表数据题

例题

37.已知二次函数yuaf+bx+c中，V与x的部分对应值如下表，则下列结论正确的是（）

X-10234

y50-4-30

A.图象开口向下B.抛物线对称轴是直线x=2

C.当0〈尤<4时，y>0D.当x>2时，了随x的增大而减小

巩固训练

38.已知二次函数y=a/+bx+c的y与x的部分对应值如表：

X-i024

y-i22—6

下列结论错误的是（）

A.该函数有最大值B.该函数图象的对称轴为直线x=l

C.当x>2时，函数值/随x增大而减小D.方程ax2+6x+c=0有一个根大于3

39.下表记录了二次函数y=ax?+6x+c（a*0）中两个变量x与歹的三组对应值：

X-228

yn1n

点P（X],yJ,%）在该函数图象上.若当2<玉<X2时，必<%<1,下列四个结论：

①a<0；②玉+z>6；③25a+5b+c-l>0；④若记二次函数y=ax?+&+。（玉<x<8,a/0）的图象为图

形G,存在直线>=左与图形G有两个交点，则2<玉<3.

上述结论中，所有正确结论的序号是.

题型十三二次函数的实际应用

例题

40.某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析

17

式为了=-5（、-4）一+6,其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成

绩（即04的长度）是（）

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41.从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度〃（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是:

h=30t-5t2,这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（）

42.小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1,简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为

20m,水池中心O处立着一个圆柱形实心石柱O”,在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱

呈抛物线型，水柱在距水池中心4m处到达最大高度为6m,从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处

汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2,则■的高度是（）

题型十四二次函数的几何应用

例题

43.如图所示，矩形48co中，AB=8,BC=6产是线段3c上一点（P不与8重合），M是D3上一点,

且8尸=。刊，设=的面积为》则y与x之间的函数关系式为（）

2、

B.y=--x29+4x(0<x<6)

33

C.y——YQ7+3x(0<x«6)D.y=--x27+3x(0<x<6)

巩固训练

44.已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于A,与x轴的正半轴交于B、C,且BC=2,S—BC=3，则c的值为

()

A.1B.2C.3D.4

45.如图，抛物线＞=-f+2工+3与y轴交于点4,与x轴的负半轴交于点5,线段CQ在抛物线的对称轴上

移动(点。在点。的下方)，且8=1,则4O+BC的最小值是.

90°,AB=10cm,BC=6cm,动点P从点C出发，沿C-A-B-C运动,

、._3

速度为2cm/s,动点Q从点C出发，沿C-B-A-C运动，速度为,cm/s,两点相遇时停止.这一过程

中P,Q两点之间的距离y与时间t之间的关系的大致图象是()

题型十五新定义题

例题

47.在平面直角坐标系中给出以下定义：点/（私77）,点8（","）,加=3",〃'=-6n,则我们称8是/的“跳

跃点”.若二次函数V=ax2-5ax-6a（x>Q）的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线y=-2x+36上，则。的

取值范围为.

巩固训练

48.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形。48c

中，点/（0,2）,点C（2,0）,则互异二次函数y=（x-加『-机与正方形O/8C有交点时机的最大值和最小值

的差为

•<---------\B

49.如图，抛物线v=在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为4，4,4...

4,将抛物线/沿直线/：v=x向上平移，得到一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点

M...M,都在直线入：y=x上；②抛物线依次经过点4，4,4…4；则顶点M2。24的坐

MX,M2,3n

标为.

题型十六解答题

例题

50.已知二次函数y=x2+fcc+@经过(0,2)和(1,2).

(