对数与对数函数（6大压轴考法）-2024-2025学年高一数学压轴题（人教A版必修第一册）

专题20对数与对数函数

目录

解题知识必备..............................

压轴题型讲练.......................................................3

题型一、对数式的化简与求值..................................................3

题型二、对数函数的图像.......................................................6

题型三、对数（型）函数过定点问题...........................................9

题型四、对数（型）函数的定义域与值域.....................................12

题型五、对数（型）函数的单调性与最值.....................................17

题型六、对数（型）函数与不等式............................................23

压轴能力测评（15题）..............................................28

x解题知识必备♦♦

一、对数的概念

1、定义：一般地，如果优=N（a>0,且。/1）,那么数x叫做以。为底N的对数,

记作x=log.N,其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

2、对数的基本性质

①当a>0,且awl时，/=Nox=log«N.

②负数和0没有对数，即N>0.

③特殊值：1的对数是0,即log"=0（。>0,且awl）；

底数的对数是1,即bg“a=l（。>0,且"1）.

二、常用对数与自然对数

1、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，简记为暗；

2、自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，简记为In

三、对数的运算性质

1、运算性质：。>0,且aHl,M>0,N>。

⑴loga（MN）=logflM+logaN；

(2)log“R=log“M-logaN；

(3)logaAf"=nlogaM

2、换底公式

log.b=log，b(q>0,且c>0,且cWl；6>0).

‘-logca

3、可用换底公式证明以下结论：

①logab=J—；②log/.log/.logc"：!；

logf

vyi

m

③log『b"=log"b；@loga„6=—logflZ)；

⑤log/=-log/.

a

四、对数函数的概念

1、定义：函数V=logax(a>0且"1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为(0,+幻.

2、特殊的对数函数

(1)常用对数函数：以10为底的对数函数y=lgx.

(2)自然对数函数：以无理数e为底的对数函数y=lnx.

五、对数函数的图象与性质

a>1OVaVl

y

1iX=l

1«=1

；y=logaX\i、a,o）一

图象

/f（u）r0

=loga%

定义域（0,+oo）

值域R

过定点过定点(1,0),即x=l时，y=0

性质

当0<x<l时，y<0；当0<x<l时，y>0；

函数值的变化

当x>l时，y>Q当x>l时，y<0

单调性是(0,+co)上的增函数是(0,+oo)上的减函数

【小结】当。>1时，图象呈上升趋势；当0<。<1时，图象呈下降趋势；

当a>l时，a越大，图象向右越靠近x轴；0<。<1时，。越小，图象向右越靠近x轴.

六、判断一个函数是否为对数函数的方法

判断一个函数是对数函数必须是形如y=log“x(a>0且a丰1)的形式，即必须满足以下条件

(1)系数为1；

(2)底数为大于0且不等于1的常数；

(3)对数的真数仅有自变量x

七、对数值比较大小的常用方法

1、同底：可直接利用单调性求解；

2、不同底：一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量；

3、不同底单同真数：可利用图象的高低与底数的大小关系来解决，或利用换底公式化为同底再进行比较;

4、底数和真数都不相同：常借助中间量-1,0,1来进行比较；

5、如果底数为字母：要分类讨论，进行分类讨论时，要做到不重不漏。

八、解简单对数不等式的方法

1、形如log“x>log,*的不等式：借助y=log,x的单调性求解，如果。的取值不确定，需分。>1或

0<。<1两种情况讨论；

2、形如log.x>b的不等式：应将b化为以。为底的对数式的形式，再借助了=log.x的单调性求解；

3、形如log〃x>logbx的不等式：可利用图象求解。

♦♦压轴题型讲练2

【题型一对数式的化简与求值】

一、单选题

1.(23-24高二下•福建南平・期末)若9"=5,log34=Z>,则32*()

A.10B.20C.50D.100

【答案】B

【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可.

【详解】因为9"=32。=5,又因为1(^4=仇可得变=4,

所以32"+"=3?"x3〃=5x4=20.

故选：B.

2.(24-25高一上•上海•随堂练习)设方程(尼#2-坨％2_3=0的两实根是。和6,则bgqHlog/等于

().

A.1B.-2

【答案】C

【分析】解方程得出Iga=3,尼6=-1,再由换底公式计算即可.

【详解】方程（lgx）2-吆/-3=0可化为（lgx）2-21gx-3=0,BP（lgx-3）（lgx+l）=0,

解得lgx=3或lgx=-l,不妨设lga=3,lgb=-l

\gb!Iga-11310

\ogb+\oga==

abIgalg63-1T

故选：c

3.（23-24高一上•四川德阳•期末）当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减

率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”.在最近的一次发掘中，三星堆3、4

号祭祀坑出土了170多颗象牙.某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的57%,根据该志愿者的

检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（）.（精确到百年，参考数据：bg2（）.57土-0.81）

A.3800年B.4200年C.4600年D.5000年

【答案】C

1A5730

【分析】设该生物的死亡时间为t,根据题意列出关于t的方程0.57.利用指数方程的求解，转化

2)

成对数求解即可得到答案.

【详解】设这头大象大约生活在距今t年，则

0.57=t=5730x10g10.57=5730x1^2°,^7«5730x0.81=4643,

5log2-

这头大象大约生活在距今约4600年，

故选：C.

4.（23-24高一下•江西赣州•期中）已知3"=11,4"=18,5。=27,则出伉。的大小关系是（）

A.a>c>bB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

【答案】D

【分析】由已知求出a、b、c,然后作差计算出6>0,6-c>0,则可得到答案.

【详解】«=log3ll^^log418,C=log527,

贝!|18,11,9

a_6=log3ll-log418=logj9xyj-logj16lo10

x——=g3--§47-

16yo

H[91911〔911119188八

因为log4T<log3T，所以log3—Tog4T>log5—Tog37=log377〉°，

ooyoyoo1

所以q—b>0；

927

Z>-c=log418-log527=log4H6x1|-1叫25X||

=log4--log5—,

oZJ

2727Q2792725

因为logsT7<lo§4白，所以log”g一kgsM>bg4o_bg477=lo§4五>°，

ZJZJoZDoZJ24

所以b-c>0,

所以。>b>c.

故选:D.

二、填空题

5.（23-24高一下•北京・开学考试）已知a>b>l,且log.6+log〃a=g,ab=ba,贝—.

【答案】4

【分析】

令10g»=f,即可得到f+；=g,解出/,即可得到.=〃，再由/=/,得到/=声，从而得到助=〃,

解得6即可.

【详解】

515

'：a>b>\,KlogZ）+log^=-,Bp-----+\to%a=-

a2log/,ah29

.•.设logi",则”1,

•.•/+；=（,解得1=2或t=g（舍去），即log/=2,

..a=bt

•••ab=ba,

；.（价=心=声,

2b=b2,解得6=2或6=0（舍去），

所以a=4.

故答案为：4.

三、解答题

21

6.（24-25高一上•上海•课堂例题）（1）设3。=4"=36,求*+；的值；

ab

（2）已知3"=5"=c,M-+y=2,求c的值.

ab

【答案】（1）1;（2）c=V15

【分析】（1）（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得工,：，代入运算求解即可.

ab

【详解】(1)因为3。=4:36,贝！Ja=log336,6=log436,

11,c11,

贝!|一=]-^7=l°g363,i=-——=log364

alog336blog436

21

所以一+i=2log3+log4=log9+log4=log36=1；

ab3636363636

(2)因为3"=5“=c,则a=log3。，b=log5c,

可得，=R)gc3,^=logc5,贝/+：=log」5.

abab

由题意可得log/5=2,则c?=15,且c>0,所以c=VTM.

【题型二对数函数的图像】

一、单选题

1.(23-24高一上•北京海淀・期末)在同一个坐标系中，函数/(x)=bg°x,g(x)=a~x,〃(x)=x"的图象可

【答案】C

【分析】先根据的单调性相反排除AD,然后根据幕函数图象判断出。的范围，由此可得答案.

【详解】因为在同一坐标系中，所以函数〃x)=lo&x,g(x)=aT=g］的单调性一定相反,

且图象均不过原点，故排除AD；

在BC选项中，过原点的图象为幕函数〃(x)=/的图象，且由图象可知0<。<1,

所以〃x)=k)&x单调递减，g(x)=aT=［］单调递增，故排除B,所以C正确.

故选：C.

2.(23-24高一上•海南海口•阶段练习)函数〃x)=log“(|x|-l)(0<a<l)的图象是()

【分析】根据对数函数的性质判断.

【详解】0<«<1,当一V2x<-1或l<x<2时，o<|x|-l<l,/(x)=loga(|x|-l)>0,排除AD,

当x>2时，|x|-l>l,/(x)=loga(|x|-l)<0,排除C,

故选：B.

3.(23-24高一上•山东威海•期末)已知函数〃幻=|脸-1|,若〃a)=/(6),且"6,则"⑷『-川06)

的最小值为()

,5913

A.-3B.——C.——D.——

444

【答案】B

【分析】根据题意得作出图像分析/(。)=〃6)时，有必=100,化简

15

[/(a)]72-/(10/))=(Iga--)2-^,从而得到答案.

，1

【详解】由题可得：/(x)=|lgr-l|=-J-^^o^,作出〃x)的图像如下：

由。<6,且〃。)=/3),则〃a)=l-Iga,f(b)=lgb-l,Bpi-lga=lgZ>-l,解得:^=100,

所以［/⑷f-/(106)=(l-lga)2-(lglOZ>-l)=l-21ga+lg2a-lgZ)=lg2a-(lga2Z?)+l

由ab=100,则Ig?〃一(坨a2b)+l=1g2«-Igl00a+l=lg2a-Iga-1,

i51

所以[/(〃)]9—/(10b)=lg2"lg"l=(lg"5)2—j故当lg〃=5,即〃而时，［/⑷>”106)取最小

值为一。.

4

故选：B

二、多选题

4.(23-24高一上・重庆•期末)若log/<0,则函数仆)=优+6与g(x)logi(a-x)在同一坐标系内的大

致图像可能是()

【分析】由已知分两种情况，当0<。<1时，b>\,当时，0</><1,结合函数的单调性分析判断即

可.

【详解】因为log/<0=logj,

所以当0<。<1时，得b>1,

所以"优在定义域内单调递减，且/(x)=。工+6>6>1,

函数g(x)=log,,(a-x)的定义域为(-00,a),

且由简单函数〃(x)=a-x,g(〃)=log必复合而成，

由复合函数的单调性可知g(x)=log,(。-x)在定义域范围内单调递减，

且当x趋近于。时，V取得无穷小，故B正确，D错误；

当”>1时，得0<6<1,

所以了=优在定义域内单调递增，且=

当x无穷小时，/仁)=优+6无限趋近于6<1,

此时g(x)=bg〃(。-x)在(-e,a)内单调递增，

且当x趋近于。时，V取得无穷大，故C正确，A错误.

故选：BC.

三、填空题

5.（23-24高一上•北京大兴•期末）已知函数“x）=|l同，若〃%）=1,则》=；若0<”6,且/⑷=〃6）,

则Q+b的取值范围是.

【答案】e或』（2,+a））

e

【分析】根据对数运算求解方程；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解6

的取值范围.

【详解】/（x）=|lnx|=l,得x=e或x=J

由题意可知，|ln，=|ln4,

1月lnx|

O\a1bx

由函数图象可知，0<a<\<b,贝!）—lna=lnb,

即Ina+Inb=InQ6=0,贝!）=1,

a+6>2而=2（O<°<6）,

所以a+6的取值范围是（2,+s）.

故答案为：e或匕（2,+8）

e

【题型三对数（型）函数过定点问题】

一、单选题

1.（23-24高一上•江苏苏州•阶段练习）已知曲线歹=logq（x-2）+l（a〉0且awl）过定点（s,。，若加+〃=s

91

且加>0,〃>0,则一+一的最小值为（）

mn

A.16B.10C.8D.4

【答案】C

Q11Q1

【分析】求出曲线了=1。&。-2）+1所过定点，即可得"+"=2,将三+士化为92+3（〃?+"），展开后利

mn2mn

用基本不等式，即可求得答案.

【详解】对于7=1呜（>2）+1,令x-2=l,即x=3,则尸1,

即曲线y=loga(x—2)+1(〃＞0且QW1)过定点(3,1),即s=31=l,

故加+〃=2,又加＞0,〃＞0,

9119I-、1小八9n加、、1八八八9nm、o

贝!)一十—=—(z—+—)(m+H)=—(10d-----H——)之一x(10+2J--------)=8,

mn2mn2mn2\mn

〃

当且仅当9把m结合机+”=2,即加=3：,"=1:时等号成立，

mn22

故选：c

2.(24-25高三上•广西贵港•开学考试)己知函数/(》)=优-2(。＞0,且awl)的图象不经过第一象限，则

函数g(x)=log[(x+2)的图象不经过()

a

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据指数函数图象性质可得0＜。＜1,再由对数函数图象性质可判断出结论.

【详解】当时，函数/(6=优-2单调递增，图象经过第一象限，不合题意；

当0＜。＜1时，函数/(耳=0工-2单调递减，图象不经过第一象限，合题意；

显然此时工＞1,则函数g(x)=bg!(x+2)为单调递增，又g(x)恒过点(TO),

aa

因此函数g(x)的图象不过第四象限.

故选：D

二、填空题

3.(22-23高一下•河北保定•阶段练习)已知函数＞=log,(无+2)7(a＞0,且“近)的图像过定点/,若

点/在函数〃目=3工+6的图像上，则/(log32)=.

2

【答案】j

【分析】首先由对数函数性质确定点A的坐标，然后求解函数/(X)的解析式，最后求解/'(bg")的值即

可.

【详解】因为函数.”=log.(x+2)-1(。＞0,且4H1)的图像过定点A,

所以/

因为点A在函数/(x)=3,+b的图像上，

4

所以37+6=-1,所以b=-g,

所以/卜）=3"（4，

所以/（1唯2）=3%2T=2彳七|

2

故答案为：j.

4.（23-24高一上•广东深圳•期末）已知当〃eN*时，函数/（力=ln（x+4+6的图象恒过定点,其中

。，方为常数，则不等式Two的解集为.

x-a

【答案】1,2）

【分析】先根据函数过定点求出。力；再根据分式不等式的解法即可求解.

【详解】因为函数/（x）=ln（x+a）"+6的图象恒过定点

所以”=2,6=1.

则不等式"wo为tJvo,等价于1口］）（;一2）4°,

x-ax-21x-2w。

解得：1<x<2.

所以不等式Tv0的解集为［1,2）.

x-a

故答案为：［1,2）

5.（23-24高一上•重庆•阶段练习）函数/（x）=log〃（2x-3）+l（。>0且awl）的图象恒过定点）（加,"）,

12

若对任意正数1、>者B有加工+〃歹=4,则—的最小值是,

x+1y

【答案】|4

I19

【分析】求出定点A的坐标，可得出2（x+l）+y=6,然后将代数式k［2（x+l）+y］与E+I相乘，展开后

利用基本不等式可求得」v+2的最小值.

x+1y

【详解】对于函数〃x）=log.（2x-3）+l（a>0且"1）,

令2x-3=l,可得x=2,且/⑵=log“l+l=l,所以，/(2,1),即加=2,n=l,

对任意的正数x，N都有如+町=4,即2x+y=4,则2（x+l）+y=6,

4+走”上

所以,

y无+1

在(川)

>114+234

2-4+Z./------------------------

6yyx+13

4（X+1）y

yx+11

x——

当且仅当2x+y=4x>0时,即当2时，等号成立,

x>0,j/>0J=3

所以，一的最小值是。

x+1y3

故答案为：!4

【题型四对数（型）函数的定义域与值域】

一、单选题

1.（22-23高一上•福建福州•阶段练习）函数/（耳=，亨的定义域为（）

1gX

A.（-00,2]B.（-oo,0）u（0,2]

C.（0,2]D.（0,1）51,2]

【答案】D

【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为0,对数真数正数构造不等式组求解即可.

2-x＞0

【详解】由题意得：想工。0得定义域为（O,l）u（l,2].

x＞0

故选：D.

2.（23-24高一上•河南新乡•期末）若函数/（x）=log3优（。＞0且。力1）在上的值域为[加,2],则加的值

为（）

A.-4或-1B.0或-2C.-2或-1D.-4或-2

【答案】A

【分析】先根据对数函数的单调性求出函数了=优的值域，再分0＜。＜1和。＞1两种情况讨论，结合指数函

数的单调性即可得解.

【详解】因为函数V=bg3X在（0,+动上单调递增，

所以函数＞=优在-1,2]上的值域为[3”,9],

当0＜。＜1时，》=/在[T2]上单调递减，则/=9,解得。=",

贝！|3"=/=!，得力=_4,

当。＞1时，＞="在[T2]上单调递增，贝！|/=9,解得。=3或-3（舍去）,

则3'"=，|=；,得机=一1,

综上，加二一4或—L

故选：A.

3.(23-24高一上•江苏南京•期末)己知函数〃x)=logjx+WT在(0,+/)上的值域为R,则实数。的取

值范围是()

A.(4,+00)B.(-8,4]

C.(0,4]D.(0,l)u(l,4]

【答案】D

【分析】设g(x)=x+：-4,则函数〃x)在(0,+s)上的值域为R等价于在(0,+劝上g(x)向”0,结合基本

不等式求解即可.

【详解】设g(x)=x+--4,

因为〃x)=logj无+2-41的值域为R,所以8(.40,

又。>0,。片1,xe(0,+co),所以》十人-4223£-4=2八一4,

xVx

即名⑺皿正=2&-4W0,解得：0<aW4且awl,

所以实数。的取值范围是(O』)u(l，4].

故选：D.

二、填空题

4.(23-24高一下•安徽安庆•开学考试)若函数/(2-1)的定义域为[T1],则函数/(logzX-l)的定义域为—

【答案】[V2,4]

【分析】由x的取值范围求出2,-1的取值范围，再令-JwlogzxTVl,求出x的范围即可.

【详解】当时1,2,所以2'-le-;,1,

所以bgzX-le__J)即-54log?》—1W1，贝!154bg?》42,

BPlog2V2<log2x<log24,解得近VxW4,

所以函数-1)的定义域为[也4].

故答案为：[也,4]

5.(23-24高一上・江苏苏州•阶段练习)已知"X)=log?e[1,4],则g(x)=f2(司+/代)的值域是.

【答案】[0,3]

【分析】先由题意求得g(x)的定义域，再利用换元法与二次函数的性质即可得解.

【详解】因为/(x)=bg2X,xe[l,4],

所以g(x)=尸3+/任)的定义域满足解得14x42,

因为〃x)=log?x在[1,2]上单调递增，所以令=

2

又尤2)=bg2x=21og2x=2/(x)=2f,

则g(x)=「(x)+/(x2)=r+2z=/7(?)=(f+l)2-l,

易知人⑺在[。,1]上单调递增，

则当/=0时，"%"=0；当"1时，人⑺1mx=3,

所以g(x)=/(x)+/(x2)的值域为[0,3].

故答案为：[0,3].

6.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(%)=21082%-1082(%-4),则/(无)的最小值是.

【答案】4

【分析】由函数的解析式有意义，求得“X)的定义域，化简/(x)=log2-，尤>4,令t=x-4>0,得到

/(xhlog^g41,/〉。，令8口)=0?=/+:+8/>0,结合基本不等式和对数函数的单调性，即可

求解.

【详解】由函数/(x)=2log2x-log?(x-4)有意义，

fx>0

则满足,八，解得、>4,

[x-4>0

所以函数“X)的定义域为(4,+8),

2

又由f(x)=21og2x-log2(x-4)=log2——-,x>4,

令/=x-4>0,可得〃x)=k>g2('：4),f>0,

令g()=(+4)=1+3+8/>0,

因为1+；+822«><—+8=16,

当且仅当时，即f=4时，即x=8时取等号，

t

所以g(f)N16,

所以⑻=1。殳16=4,

所以函数/(x)的最小值为4.

故答案为：4.

7.(22-23高一上•江苏无锡•期末)函数小)=2皿》-弧了万的定义域为[刊，值域是浮，3,贝1]。+6

|_O_

的最大值为.

【答案】2葛+4.

【分析】利用换元法转化函数/'(x),结合二次函数的性质及〃x)的值域求得/Xx)的定义域，进而求得6

的最大值.

[x>0

【详解】由题意知，,1、八0壮2,

[log2x-1>0

令1=Jlogz^-l«20),则log2X=r+l,

令g(f)=2(d+1)7=2/-t+2=2(t--)2+—(t20),

48

画出g(f)的图象如图所示，

要使得g⑺的值域为卓,3],则t的范围为“,1],且。Y，

贝（Jlog2X=/+le|>2+l,2],解得：xe[2m2+1,4],0<m<j-,

所以当/（X）的定义域为[2叫4],其中OW/MW；时，值域为咛,3].

所以4=2"2*1，（0<W<1）,b=4,

所以a+6=2m&i+4，（04〃?4；），

1

所以当加=:时，a+b取得最大值为2137+个

故答案为：2而+4，

三、解答题

8.（23-24高一上•湖南娄底•期末）已知函数/（xhlog）.

（1）用定义法证明：函数/（X）在（0,+8）是单调递增函数；

（2）若xe[l,4],求函数8（》）=[/（%）+4][I/'（了）一3°],0€口的最小值/2（0）.

【答案】（1）证明见解析

—3a~,a40

（2）//（«）=--4tz2,0<a<2

—3a——4t?+4,a22

【分析】（1）用单调性的定义直接证明即可；

（2）通过换元法将原问题等级转换为二次函数动轴定区间的最小值问题，对对称轴的位置分类讨论即可求

解.

【详解】（1）不妨设0<再<马，所以/a）-/（X2）=log2X1-bg2X2=log2：,

因为0<玉<%,所以。〈土<1，/（再）-/（无2）=bg2±<bg21=0,即/（占）</（苫2）,

"^2"^2

所以函数/（%）在（0,+。）是单调递增函数.

（2）若x«l,4],贝!p=/（x）=log2%£[0,2],

2

所以g（x）=[/（x）+a][f（X）-3Q]=«+4）。-3。）="-2at-3a

二（，—q）—4/=〃（/）MWR,

M（£）=_4a2,/e[0,2],

若a22,则〃«）=（7『一4",/e[0,2]单调递减，

所以此时力（0）=〃（2）=（2-4_4/=_3〃2_4。+4,

若0<a<2,贝!］=M（<7）=（a-o）2-4a2=-4a2,

若aW0,贝（1-4/,/e［。，2］单调递增，

所以此时〃（a）=w（0）=（0-a）~-4a2=—3a2,

-3a2,a<0

综上所述，h（a）=<-4a2,0<a<2.

—3矿—4a+4,aN2

【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取

两个数X”%,且W<%，然后通过计算/«）-/（乙）的符号，如果/（国）-〃％）<0,则/（X）在给定区间

内单调递增；如果/（西）-/仁2）>0,则/（X）在给定区间内单调递减.

【题型五对数（型）函数的单调性与最值】

一、单选题

1.（23-24高一下•云南曲靖•阶段练习）已知。=logs0.2,b=30-2,c=0.2°-3,则a,b,c的大小关系为

（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出d瓦c的取值范围，从而可得结果

【详解】因为logs02<log?1=0,3°-2>3°=l,0<0,203<0.2°=1,

a<c<b.

故选：D.

2.（23-24高一下•内蒙古•阶段练习）若x=log424,j=31og43,4=+8,=150贝U（）

A.x>y>zB.N>2>xC.z>y>xD.y>x>z

【答案】B

【分析】先设〃。）=〃+/（。>0）,得到函数的单调性和/（a）=150的解为a=5,并求出

4，+8、/（2二）=150,所以z=log25=log425,根据对数函数单调性比较出大小.

【详解】设函数/（。）=/+。3（°>0）,则为增函数，

因为〃5）=150,所以〃。）=150的解为a=5,

4,+8'=/（21=150,所以2==5,z=log25=log425.

因为％=108424<108425<1。8427=1。8433=了，所以了>2>x.

故选：B

【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：

（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；

（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数

比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；

（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系,

从而确定所比两值的大小关系.

二、填空题

,、2a无2—x，尤W1

3.（23-24高一上•辽宁大连•期中）已知函数/（x）=4是R上的单调函数，则实数0的取值

logax-l,x>l

范围是.

【答案】

【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.

【详解】因为。>0且分1,所以当xVl时，函数=只能单调递减,

/、2ax2—x——.x<1

所以函数〃X）=4'在R上单调递减，

logax-l,x>l

-------->1

2x(2°厂

所以0<a<1'解得,即实数a的取值范围是

o4

故答案为：

o4_

4.（24-25高三上•北京•开学考试）已知函数〃x）=21og2X-k）g2（xT）,则〃x）的定义域是；f（x）

的最小值是.

【答案】（1,+8）2

【分析】根据对数真数大于0,求定义域；对函数变形，再结合对数函数单调性和基本不等式求最值即可.

【详解】第一个空：根据题意得到，t1>0,解得、〉1，即工〉1，则/（力的定义域是（1，+8）.

丫2

第二个空：由于函数/（X）=2logx-log（x-l）=logx2-log（x-l）=log----

22222X—1

继续化简得至U/（x）=log2（x-l+-^+2）,由于+

(1)

贝!k=x-l+工+224,当且仅当苫一1=工，即x=2时取最值.

x-lx—1

2

所以/(X)=log2-^―>log24=2,则/(X)的最小值是2.

故答案为:(1,+功；2.

三、解答题

5.(23-24高一上•北京大兴•期末)已知函数/(x)=ln(l+x),g(x)=In(l-x).

(1)求证:/(x)+g(x)为偶函数;

(2)设为(x)=/(x)-g(x),判断“x)的单调性，并用单调性定义加以证明.

【答案】(1)证明见解析

(2)"x)是单调递增函数，证明见解析

【分析】(1)由对数复合型函数的定义域结合偶函数的定义即可得证.

(2)直接由函数单调性的定义结合对数函数单调性即可得证.

/、/、=fl+x>0

【详解】(1)函数y(x)+g(x)的自变量x满足

解得-1<X<1,

所以函数〃x)+g(x)的定义域为

对于Vxw(-U),都有一xe(-Ll),

K/(-x)+g(-x)=ln(l-jc)+ln(l+x)=g(x)+/(x)

所以函数/(x)+g(x)为偶函数.

(2)函数”x)是单调递增函数.

理由如下:设内,三,且玉<尤2，

力(七)一/z(z)=In(1+&)-In(1——(in(1+%)-In(1—％))

=In(1+%1)+In(1-x2)-(in(1-%1)+In(1+x2))

=In(1+x；)(1-x2)-In(1-x；)(1+x2)

(1+无])(1—X2)—(1—+=2(玉一x?)

因为玉<龙2，所以2(无1-无2)<0，即+-尤2)<(1-玉)(1+%2)，

又知再,马€(-1,1),所以(1+占)0_/)>0,(l-x1)(l+x2)>0

因此ln(l+X])(l-X2)<ln(l-X])(l+X2)，

即由函数单调性定义可知，函数〃（X）是单调递增函数.

6.（24-25高一上•上海•课后作业）已知a>0,awl且loga3<log02,若函数了=log“x在区间［a,3a］上的最

大值与最小值之差为1.

⑴求”的值；

（2）若1VxW3,求函数y=（log“x『+log%-2的最小值.

【答案】（l）a=g

33

⑵——

16

【分析】（1）由log,3<log.2可得0<。<1,则丁=log/在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可求

出。的值；

（2）由14x43得一心四户口，对函数化简后换元得>"+3-2,然后利用二次函数的性质可求出其

32

最小值.

【详解】（1）因为log03<log。2,所以o<a<l,

所以〉=logax在［a,3a］上为严格减函数，

因为函数〉=bgax在区间［a,3a］上的最大值与最小值之差为1,

所以log/-log,3a=l,即log'=l,解得好；.

（2）因为1W3,所以TMl°g产4°,

3

2（Y1

所以y=（log/）2+logq4一2=logM+-k>g/—2,

令log,一则问TO］,>=入｝_2=卜+j一

所以当,即x_3;时，了取最小值为一

44J16

7.（23-24高一下・甘肃白银•期中）已知函数〃x）=log式元2-1）一log。」）.

⑴证明：〃x）的定义域与值域相同.

（2）若Vxe［3,+e）,VZe（0,+oo）,/（司+，一：>机，求机的取值范围.

【答案】⑴证明见解析；

⑵（-8,-2）.

【分析】(1)由具体函数的定义域可得『二解不等式即可求出/'(X)的定义域，再结合对数函数的

x-1>0

单调性即可求出“X)的值域.

⑵设则他<〃xLn+g0nl.，分别求出了3mm名(嘲，即可得出答案.

【详解】(1)证明：由/二得尤>1,

[x-l>0

所以〃x)的定义域为(1,+8).

v2-l

/(x)=log----=log(x+l),

2x-12

因为/(x)=log2(x+1)在(1,+8)上单调递增.

所以“X)>/⑴=嘘22=1,所以/(X)的值域为(1,+8),

所以/(x)的定义域与值域相同.

(2)解：由(1)知/(切=1。82(工+1)在(3,+8)上单调递增，

所以当xe[3,+8)时，“X)1nm=〃3)=2.

设g-『2]-4,

当;=2,即f=g时，g(。取得最小值，且最小值为-4.

因为Vxe[3,+s),Vfe(0,+oo),/(x)+-^--y>m,

所以加</(x)11ml+g(f)1nm=-2,即m的取值范围为(---2).

1一Y

8.(2025•江苏南通•一模)已知函数"x)=log2；—.

⑴判断并证明“X)的奇偶性；

⑵若对任意xe-1,1,fe[-2,2],不等式+必-6恒成立，求实