第1章 数学与我们同行知识归纳与题型突破（7类题型清单）（解析版）

第1章数学与我们同行知识归纳与题型突破（题型清单）

01思维导图

观察和积累生活中常见的数学符号，了解他们表

生活中的数学

达的意义，比如：身份证号码，邮政编码.

生活中的图形认识生活中的图形，感知他们和数学知识的联系

数学与我们同行

数形结合、从特殊到一般的思想方法、图形规律、

活动与思考

数字规律

思想方法转化思想、建模思想、归纳思想、从特殊到一般.

02知识速记

1.生活中的数学

观察和积累生活中常见的数学符号，了解他们表达的意义，比如：身份证号码，邮政编码.....

2.生活中的图形

认识生活中的图形，感知他们和数学知识的联系

3.活动与思考

数形结合、从特殊到一般的思想方法、图形规律、数字规律。

4.思想方法

转化思想、建模思想、归纳思想、从特殊到一般.....

03题型归纳

题型一生活常识

例1.小琳买了一双鞋号为“35”的鞋，但她不知道“35”的意义，你认为鞋马为“35”表示的意义是（）

A.鞋的宽度B.鞋的高度C.鞋的厚度D.鞋的长度

【答案】D

【解析】解：鞋码为“35”表示的意义是鞋码的长度.

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故选：D.

巩固训练

1.谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站”一脚转.打一数学学习用具，谜底为（）

A.量角器B.直尺C.三角板D.圆规

【答案】D

【解析】试题分析：利用圆规的特点：圆规有两只脚，一铁脚固定，另一脚旋转，可判断.

故选D.

2、某人的身份证号码是32072119980607xxxx,此人今年（2017年）的周岁是.

【答案】19

【解析】根据身份证号可得出生年月，根据今年年数减出生年月，可得岁数.

解:「身份证号码为32072119980607xxxx,

,此人1998年出生，

•••今年是2017年,

2017-1998=19（岁）

故答案为：19岁.

题型二生活中数学的估算

例2.标准足球场是一个长方形，其长为105m,宽为68m,它的面积的万分之一大约有（）

A.一只手掌心大B.一本数学课本大

C.一个教室大D.一个教室讲台大

【答案】D

【解析】计算出足球场面积万分之一，估计与哪一个选项匹配.

解：因为105x68=7140,7140-10000=0.714m2,

所以大约有一个教室讲台大.

故选D

巩固训练

1」挂是姆指和食指在平面上伸直时，两者端点之间的距离.则以下估计正确的是（）

11

A.课本的宽度约为4挂B.课桌的高度约为4柞

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C.黑板的长度约为4拄D.字典的厚度约为4柞

【答案】B

【解析】1挂是姆指和食指在平面上伸直时，两者端点之间的距离，正常人大约是20-30厘米.

解：1挂是姆指和食指在平面上伸直时，两者端点之间的距离，正常人大约是20-30厘米，

所以课桌的高度约为4挂.

故选：B.

2.小彬从家里步行到学校需100步，他到学校的距离可能是（）

A.250mB.200mC.150mD.50m

【答案】D

【分析】结合实际可知我们通常一步的距离为0.5m,列乘法计算即可.

【详解】0.5x100=50（m）.

故选D.

3.抽查了某校在六月份里5天的日用电量，结果如下：

400410395405390（单位；度）

根据以上数据，估算该校六月份的总用电量是（单位；度）（）

A.12400B.12000C.2000D.400

【答案】B

【解析】由题目可以看出，这些数都接近400,再用400去乘六月份的天数即可.

六月有30天，410p400,395处400,405处400,390-400,400X30=12000.

故选B.

4.35cm接近于（）

A.一张纸的厚度B.姚明的身高

C.三层楼的高度D.珠穆朗玛峰的高度

【答案】B

【解析】解：35cm=243cm,

三层楼房的高度远远大于243cm,一张纸的厚度远远小于243cm,珠穆朗玛峰的高度远远大于243cm,

最接近于35cm的是姚明的身高.

故选：B.

题型三基础计算

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例3.某班学生参加课外兴趣小组情况的统计图如图所示，则参加人数最多的课外兴趣小组是（）

A.书法B.象棋C.体育D.美术

【答案】C

【解析】解：V18%<22%<28%<32%,

参加体育课外兴趣小组的人数所占百分比最大，

故选：C

巩固训练

1.一辆自行车，前胎行驶6000km就不能继续使用，后胎行驶4000km就不能继续使用，若在行驶中合理

交换前后胎，则最多可以行驶km.

【答案】4800

【解析】•••前胎行驶6000km就不能继续使用，后胎行驶4000km就不能继续使用，

••・前轮位置每千米磨损二高，后轮位置每千米磨损―，

60004000

•••若在行驶中合理交换前后胎，

尽量满足前后轮同时损坏，即两个轮胎在前后位置行驶的千米数完全一致，

.（-―2=上

"600040004800'

交换前后两个车胎的平均磨损率为1/4800,即共行驶4800千米，两个轮胎同时损坏，

•••最多可以行驶4800千米.

故答案为4800.

2.三个连续奇数的和是21,它们的积为.

【答案】315

【解析】设中间的奇数为x,则前一个数为x-2,后一个数为x+2,由题意得

x+x-2+x+2=21

解得x=7

则这三个数分别为5、7、9

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它们的积为5x7x9=315.

故答案为:315

题型四平面图形的认识

例4.一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像（如图所示），此时，它所看到的全身像是（）

【答案】A

【解析】根据图中所示，镜面对称后，应该为第一个图象.

故选A.

巩固训练

1.如图中长方形有个.

【答案】15

【解析】解：观察图形，可得单个长方形有5个，两个长方形组合形成的长方形4个，三个长方形组合形

成的长方形3个，四个长方形组合形成的长方形2个，五个长方形组合形成的长方形有1个，

5+4+3+2+1=15,故有15个长方形.

故答案为：15.

2.如图，将正方形图案绕中心。旋转180。后，得到的图案是（）

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【答案】C

【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答

【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等,

分析选项，可得正方形图案绕中心。旋转180。后，得到的图案是C.

故选：C.

3.如图，图中的三角形共有（）

C.14个D.16个

【答案】B

【解析】解：如图所示,

图中的三角形有：4AFM,"FN,"FG,AAMN,AAMG,AANG,Z\ABD,"BE,"BC,NADE,

AADC,AAEC,共12个，

故选：B.

题型五数列、数字规律问题

例5.如图，在此数字宝塔中，从上往下数，2013在层.

1+2=3

4+5+6=7+8

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9+10+11+12=13+14+15

16+17+18+19+20^21+22423424.......

【答案】44

【解析】观察数字宝塔，每一层的第一个数为层数的平方，根据第44层的第一个数为4不=1936,第45层

的第一个数为452=2025,判断出2013在第44层，即可解答.

解：观察数字宝塔，可得：

第一层的第一个数为1=俨，

第二层的第一个数为4=22,

第三层的第一个数为9=32,

L

，第44层的第一个数字为44,=1936;第45层的第一个数字为45?=2025,

2013在第44层.

故答案为：44.

巩固训练

ab

1.下表是2002年12月份的日历，现在用一个长方形在日历中任意框出4个数，，请你用一个等式表示

cd

a、b、＜?、”之间的关系

日—二-四五六

1

2345678

9101112131415

16171819202122

23242526272829

30

【答案】d-c=b-a

【解析】解：d-c=b-a（答案不唯一）.

故答案为：d-c=b-a.

2.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律:

（1）在④后面的横线上写出相应的等式:

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①1=12；②1+3=22；③1+3+5=32；④-⑤1+3+5+7+9=52；

⑵请写出第〃个等式；

(3)利用(2)中的等式,计算：41+43+45+…+199.

【答案】(1)1+3+5+7=42

(2)1+3+...+(2n-1)=/

(3)9600

【解析】(1)由题意知，第四项为1+3+5+7=16=4?,故答案为4、

(2)由图形知：

1=2X1-1=F；

1+3=1+(2x2-1)=22

第n个等式为1+3+5+...+(2n-l)=-----------xn=n2

2

故答案为1+3+5+...+(2n-l)=n2

(3)41+43+45+…+199

=(1+3+5+…+199)-(1+3+5+…+39)

=[1+3+5+...+(2x100-1)H1+3+5+...+(2x20-1)]

=1002-202

=9600

3.阅读下列材料

Ix2=；x(lx2x3-Oxlx2)

2x3=gx(2x3x4-lx2x3)

3x4=-x(3x4x5-2x3x4)

由以上三个等式相加，可得1X2+2X3+3X4='X3X4X5=20.

3

读完以上材料，请你计算下列各题：

(I)lx2+2x3+3x4+...+10x11；(写出过程)

(2)lx2x3+2x3x4+3x4x5+...+7x8x9.(写出过程)

【答案】(1)440

(2)1260

第8页共13页

【解析】(1)角碧Ix2=1(lx2x3-Oxlx2),2x3=1(2x3x4-Ix2x3),

3x4=；(3x4x5—2x3x4),...,10x11=1(10xl1x12-9x10x11)

等式左右两边分别相加，

lx2+2x3+3x4+---+10xll=—xl0xllxl2=440；

3

(2)观察，发现规律：1x2x3=；(Ix2x3x4-Oxlx2x3),2x3x4=；(2x3x4x5-lx2x3x4),

3X4X5=；(3X4X5X6—2X3X4X5),…，

原式

=；(1X2X3X4—0X1X2X3)+；(2X3X4X5—1X2X3X4)+；(3X4X5X6—2X3X4X5)+3+；

(7x8x9x10-6x7x8x9),

=-x7x8x9xl0，

4

=1260.

故答案为：1260.

4.读一读：式子“1+2+3+4+5+...+100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，

100

书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+...+100”表示为£〃，这里“X”是求和符号.例如：

n-1

50

“1+3+5+7+9+...+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为£（2〃-1）；又如

n—1

10

'T+23+3,+夕+53+63+7?+83+93+4”可表示为.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问

n=l

题：

（1）2+4+6+8+10+...+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为」

（2）计算：£（层-1）=_（填写最后的计算结果）.

n=l

20121

（3）计算2厂友.

50nnin

【答案】（1）22"；（2）50；（3）篝

〃=i2。13

【解析】（1）结合题意，2+4+6+8+10+...+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可

50

表示为；

n=l

（2）-1）=（12-l）+（22-l）+（32-l）+（42-l）+（52-1）=50；

n-\

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(3)£^^」+J-+-L+…+i

占〃5+1)1x22x33x42012x2013

1111111

=1—I——i—

2233420122013

1

=1-

2013

2012

2013

题型六图形规律问题

例6.在如图所示的2x2方格图案中有个正方形;

3x3方格图案中有个正方形;

4x4方格图案中有个正方形.

【答案】51430

【解析】在2x2方格图案中有5个正方形，不要忽视最大的那一个正方形；

在3x3方格图案中有9个小的正方形、4个由四个小正方形组成的大一点的正方形和一个最大的正方形，所

以共有9+4+1=14（个）正方形;

同理可知在4x4方格图案中有16+9+4+1=30（个）正方形.

故答案为:5,14,30

巩固训练

1.现有黑色三角形“▲”和“△”共200个，按照一定规律排列如下：▲八八“▲▲八八…….则黑

色三角形有个.

【答案】100

【解析】解：观察给定图形，可知：三角形的排列以6个为一组，一组内有3个黑色三角形.

•.•200+6=33（组）余2（个），

黑色三角形有33x3+1=100（个）.

故答案为：100.

2.用3根火柴棒搭成1个三角形，接着用火柴棒按如图所示的方式搭成2个三角形，再用火柴棒搭成3个三

角形、4个三角形...搭2020个三角形共需要根火柴棒

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【答案】4041

【解析】解：1个三角形需要3根火柴棒,

2个三角形需要5根火柴棒，

3个三角形需要7根火柴棒，

4个三角形需要9根火柴棒，

照此规律下去搭n个这样的三角形需要2"+1个三角形，

当”=2020时，

2/1+1=2x2020+1=4041,

故答案为：4041.

3.春秋时代，人们用算筹摆放图形，I||III||||"IIITTT来表示1、2、3、4、5、6、7,你认为他们会用图

来表示“8"，用图来表示“9”.

【答案】正w

【解析】解：由分析得：用]]T图来表示“8”，用而图来表示“9”.

故答案为：|||,||||；

4.下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第1个图形有1颗棋子，第2个图形一共有6颗

棋子，第3个图形一共有16颗棋子，....

图1图2图3

(1)则第4个图形中棋子的颗数为.第5个图形中棋子的颗数为

(2)请探究并归纳出第n个图形中棋子的颗数.

⑶求第100个图形中棋子的颗数.

【答案】⑴31,51

(2)1+1

(3)24751颗

【解析】解：(1)第四个图形棋子的颗数为：1+3+5+7+6+5+4=31,

第11页共13页

第五个图形棋子的颗数为：1+3+5+7+9+8+7+6+5=51,

故答案为31,51；

(2)观察图形得到第1个图形中棋子的颗数为l=l+5xO；

第2个图形中棋子的颗数为l+5xl=6；

第3个图形中棋子的颗数为1+5+10=1+5(1+2)=16；

第4个图形中棋子的颗数为1+5+10+15=1+5(1+2+3)=31；

第〃个图形中棋子的颗数为1+5+10+15+…+5(〃-1)=1+5Q+2+3+・+〃-l)=1+,

所以第”个图形中棋子的颗数为1+辿二D；

2

(3)当”=100时，1+5〃(〃-D=i+四。”9=24751,

22

所以第100个图形中棋子的颗数是24751颗.

题型七推理与归纳

例7、两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点……那么六条直线最多

有个交点.

【答案】15

【解析】如图，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交

点.

而3=上口，6=1^1),10=^1)

222

〃条直线相交，最多有心(”D个交点.