等腰三角形（练习）-2025年中考数学一轮复习（解析版）

第四章三角形

第18讲等腰三角形

口题型12手拉手模型

模拟基础练口题型13与等腰三角形有关的折叠问题

□题型14与等腰三角形有关的动点问题

口题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用

口题型15与等腰三角形有关的新定义问题

口题型02根据等边对等角求解或证明

口题型16与等腰三角形有关的规律探究问题

□题型03根据三线合一求解或证明

口题型17与等腰三角形有关的多结论问题

□题型04在格点图中画等腰三角形

□题型18探究等腰三角形中存在的线段数量关系

口题型05根据等角对等边求边长

口题型06根据等角对等边证明重难创新练

□题型07确定构成等腰三角形的点

口题型08等腰三角形性质与判定综合

口题型09利用等边三角形的性质求解真题实战练

口题型10等边三角形的判定

口题型11等边三角形性质与判定综合

模拟基础练।

口题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用

1.（2024.云南昆明.一模）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程/-6x+8=0的两根，则该等腰

三角形的周长为.

【答案】10

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判

断三角形三边存在的条件是解此题的关键.求出一元二次方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的

条件分类讨论边长，即可得出答案.

【详解】解：x2-6x+8-0

（x—2）（x-4）=0

解得：x=2或％=4,

当等腰三角形的三边为2,2,4时，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形；

当等腰三角形的三边为2,4,4时，符合三角形三边关系，此时能组成三角形，周长为2+4+4=10,

所以三角形的周长为10,

故答案为：10.

2.（2024・江苏•模拟预测）若实数优，"满足-7|+|3-=o,且机，〃恰好是等腰△4BC的两条边的

边长，则ATIBC的周长是.

【答案】17

【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性可得：m-7=0,3-n=0,从而可得爪=7,n=3,然后分

两种情况：当等腰三角形的腰长为7,底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3,底边长为7时，从而进行

计算即可解答.

【详解】解：：|由一7|+|3—n|2=0,

m—7=0,3—?i=0,

解得：m-7,n-3,

分两种情况：

当等腰三角形的腰长为7,底边长为3时，

△2BC的周长=74-7+3=17；

当等腰三角形的腰长为3,底边长为7时，

V3+3=6<7,

,不能组成三角形；

综上所述：AABC的周长是17,

故答案为：17.

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况

讨论是解题的关键.

3.（2024.内蒙古赤峰.二模）学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36。，

求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36。，求底角的度数”.下面的四个答案，你认为正确的是（）

A.36°B.144°C.36。或72°D.72°或144°

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的

关键.根据题意分以下两种情况，当36。是等腰三角形的底角，以及当36。是等腰三角形的顶角，讨论求解,

即可解题.

【详解】解：当36。是等腰三角形的底角，则底角的度数为36。；

当36。是等腰三角形的顶角，则底角的度数为又等£=72。；

综上所述，等腰三角形的一个角是36。，其底角的可以是36。或72。.

故选：C.

4.（2024•河南驻马店•三模）如图，在等腰AABC中，ABAC=120°,AB=AC=4,。是边BC上的动点，

连接4D,将AABD沿4D折叠，点8的对应点为e，若NBDB'=120。，贝的长为.

【分析】本题考查等腰三角形中的翻折问题，当ZBD8'=120。时，分两种情况：①当点B'在下方；②当

点B'在上方，解直角三角形求解即可

【详解】解：当NBDB，=120。时，分两种情况：

①当点夕在BC下方时，如图，

图①

设4m与的交点为。，

V/.BAC=120°,AB=AC,

:.乙B=ZC=30°,

由折叠得，N9=乙8=30°

;乙BDB'=120°,

:.乙B'DO=60°

/./.DOB'=90°,

：.DO=-B'D=-BD,

22

13

：.BO=BD+DO=BD+-BD=-BD,

22

在Rt△ABO中，BO=AB-cos30°=2A/3,

C.-BD=2V3

2

解得，BD=^；

图②

由折叠得，乙ADB'=^ADB==60°,

VzB=30°,

A/.BAD=90°,

*：AB=4,

.DnAB48V3

••DL）-~-―/="一,

cos300在3

2

综上所述，BD的长为挈或苧

故答案为：竽或第

5.（22-23八年级上•河南南阳•期末）在等腰三角形中有一个角为40。,则腰上的高与底边的夹角为

【答案】20。或50。

【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况计算.

【详解】当40。角为底角时，如图，

*：CA=CB,

：./.CAB==40°,

过点A作/交的延长线于点Q,

J.Z.ADC=90°,

：.^DAB=90°-Z.B=50°；

当40。角为顶角时，如图，

,：CA=CB,

180°—40°

J.Z.CAB=ZB==70°,

2

过点A作4G1C8,交BC于点G,

J./-AGB=90°,

/./.GAB=90°-Z.B=20°；

故答案为20。或50。.

【点睛】本题考查了等腰三角形的角的计算，熟练掌握分类思想是解题的关键.

口题型02根据等边对等角求解或证明

6.（2024•陕西渭南三模）如图，点。是正八边形4BCDEFGH的中心，连接04、OB,若。4=2,则该正八

边形的面积为.（结果保留根号）

【答案】8V2

【分析】本题考查正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，先求出乙4。8=等=45。，作于点

8

H,构造等腰直角△。氏4,求出4H,进而可依次求出S-oB和该正八边形的面积.

【详解】解：如图，作4HJ.0B于点"

E

F.D

•・•该多边形为正八边形,OA=2,

OB=OA=2,乙408=—=45°,

8

又「AH1OB,

.•・△。凡4是等腰直角三角形，

AH=-0A=—X2=y[2,

22

•••S^AOB=|OB•AH=|x2xV2=V2,

・,・该正八边形的面积=8sMOB=8V2,

故答案为：8V2.

7.（2024.陕西.模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，/D,CE相交于点F,连接贝此CF8的度数是

【分析】根据五边形43coE是正五边形，求出4CDE==108。，再根据等腰三角形的定义及三角形

内角和定理求出乙以M=4/ME=36。，同理得NQEC=36。，再求出4DFE=108。，证明△/FEw/kCFO,

得至Ij/F=CF,再证明△4BE三ZkCBF,推出乙。尸8=4人尸8=1ZTIFC=[NDFE,即可解答.

【详解】解：,・•五边形/BCDE是正五边形，

・•・乙CDE=乙DEA=（5-2）：180：=log。，

DE=AE,

•••/LEDA=乙DAE=|（180°-^DEA）=36°,

同理NDEC=36°,

•••4DFE=180°-乙DEF-乙EDF=180-36°-36°=108°,

v乙DEF=乙EDF,乙EDF=Z-EAD,

•••Z-DEF=Z.EAD,

•・•(DEF=Z.DCE,

Z.DCE=Z.EADf

•・.AAFE=乙CFD,CD=AE,

AFE=△CFD,

AF=CF,

vZ.BAE=乙BCD,乙DAE=乙DCE,

・•・^BAE-/.DAE=乙BCD-乙DCE,即ZJBZF=乙BCF,

BF=BF,

ABF=△CBF,

11

.SB=NWC=/ME=54°,

故答案为：54°.

【点睛】本题考查正多边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，

熟练掌握正多边形的性质是解题的关键.

8.（2024•河北秦皇岛•模拟预测）如图，在△ABC中，45=4C,zS=30。，点尸为直线BC上一点，且AC=CP,

连接力P,贝lUBAP的度数是（）

A

A.45°B.135°C.45°或135°D.30°或135°

【答案】C

【分析】本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的

关键.注意点尸为直线2C上一点，分别作图，运用三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质分别

列式计算，即可作答.

【详解】解：如图所示：

以点C为圆心，AC为半径画弧，分别交直线BC于两点，即七，P2,连接4Pi，AP2

9CAB=AC,AB=30°

J./-BCA=30°,Z-BAC=180°-30°X2=120°

*：AC=CP1

：.=(180°-Z.BCA)+2=75°,

：.^PrAB=120°-75°=45°,

*：AB=AC,乙B=30°

：.^BCA=30°,ABAC=180°-30°x2=120°

9

：AC=CP2

：.ACAP2=Z-AP2C=15°

:•乙P2AB=120°+15°=135°,

故选：C

9.(2024・广东河源•二模)如图，在四边形/BCD中，4c4。=90。，Z.B=30°,乙。=60。且AC=BC.

(2)若AD=1,求四边形/BCD的面积.

【答案】(1)见解析

(2)也

v74

【分析】本题主要考查了平行线的判定、三角形内角和定理、等腰三角形三线合一、等边对等角、含30度

角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握平行线的判定、含30度角的直角三

角形的性质是解题的关键.

(1)根据等边对等角，得出NE4C=NB=30。,根据三角形内角和定理，计算求出乙4CD的度数，得出N84C=

“CD,根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明力BIICD；

(2)过点C作CEL4B于E,根据含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形三线合一，结合勾股定理，求

、

出AC、CE4B的长，根据S&4CD=|x4CXAD>ShABC=|XCFXAB计算，最后根据S四边形=^^ACD+

S-BC得出答案即可.

【详解】(1)证明：：N8=30。，4c=8C,

?.^BAC=NB=30°,

\9Z.CAD+4。+Z,ACD=180°,^CAD=90°,乙D=60°,

J.Z-ACD=180°-/.CAD一乙D=180°-90°-60°=30°,

：.£.BAC=乙ACD,

：.AB\\CD；

(2)解：9：Z-CAD=90°,AD=1,由(1)得乙4。。=30。,

ACD=2,BC=AC=y/CD2-AD2=V22-l2=V3,

如图，过点。作CE14B于E,

VzB=30°,

：.CE=-BC=—,

22

,*.AE=BE=VBC2—CE2=J(V5)2—O=I，

：.AB=AE+BE=-+-=3

22f

•••SAABC=3XCEX4B=乎，

•Q_$.Q_V33y/3_5\/3

•・3四边形4BCO=3-CD+30BC

10.(2024•海南省直辖县级单位.模拟预测)如图，已知矩形力BCD,点E在C8延长线上，点厂在BC延长线

上，过点尸作FH1EF交ED的延长线于点”，连接2F交E”于点G.若GE=G"，—=AD=4,贝U

FH6

EF=.

【答案】6

【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角，直角三角形的性质，全等

三角形的性质与判定等等，先由矩形的性质得到CD1BC,CD=AB,BC=AD=4,乙4BC=乙DCB=90°,

再证明ADCEsAHFE得到*=若=；；根据直角三角形的性质得到GE=GF=GH,则NGFE=NE,进而

FHFH6

证明AABF三△DCE(AAS),推出BE=CF.设BE=CF=x,贝i]CE=x+4,EF=2x+4,可得出=三,

2x+46

解得％=1,贝IJEF=6.

【详解】解：:四边形/BC。是矩形，

：.CD1BC,CD=AB,BC=AD=4,A.ABC=^.DCB=90°,

VFH1EF,

：.CDWFH,

：.△DCEs〉HFE,

.EC_CD

99EF~TH9

,CD_AB_5

•・FH-FH-6,

VFH1EFfGE=GH,

：.GE=GF=GH,

:,(GFE=乙E,

A△ABF三△OCE(AAS),

：.BF=CE,

:.BF-BC=CE-BC,即BE=CF.

设BE=CF=x,

■;BC=/O=4,

/.CE=x+4,EF=2x+4,

,x+4_5

2x4-4-6’

解得％=1,

经检验％=1是原方程的解，

：.EF=6.

故答案为：6.

口题型03根据三线合一求解或证明

11.（2024•贵州黔东南•二模）如图，△ABC中，ZB=6O°,BA=3,BC=5,点E在B4的延长线上，点。在BC

边上，且ED=EC.若4E=4,则BD的边长为（）

C.2D.V3+1

【答案】C

【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质.过点E作EF1BC于工先在Rt△BEF

中利用30。角所对的直角边等于斜边的一半得出8F==3.5,于是CF=BC—BF=1.5,再根据等腰三

角形三线合一的性质得出OC=2CF=3,然后根据=BC—OC即可求解.

【详解】解：过点E作于尸.

在RtABEF中，•••乙BFE=90°,zB=60°,

•••4BEF=30°,

'：AE=4,AB=3,BE=AE+AB,

：.BF=-BE=3.5,

2

・•.CF=BC-BF=5-3.5=1.5.

vED=EC,EF1BC^F,

.・.DC=2CF=3,

.-.BD=BC-DC=5-3=2.

故选：C.

12.(2024•陕西西安・模拟预测)如图，在△ABC中，48=AC,点/在反比例函数y=£(k>0,%>0)的图

象上，点B、C在久轴上，BC=40C,若A4BC的面积等于8,贝丸的值为

【分析】本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、三角形的面积.要求

学生掌握设而不求的方法解题.设OC=a,过点A作4E1*轴于点E,表示出BC、AE,结合△力BC的面积

即可求出人的值.

【详解】解：设。C=a,贝UC(a,O),

•••BC=40C,

OB=5a,CB=4a,

过点A作4E上工轴于点E,

•・,AB=AC,

CE=EB=2a,

OE=3a,

vOE•AE=k,

11u

-BC-AE=-^a--=8

・，S^ACB=223af

・•・k=12.

故答案为：12.

13.（2024•山西•模拟预测）如图，在等腰三角形力BC中，AB=AC,取4C的中点E,连接BE,过点C作BE的

垂线，交BE的延长线于点D,若BD=8,DC=2,则DE的长为.

【答案】v

【分析】作4MLBC,EN1BC,垂足为点M、N.先由勾股定理求得BC的长，再由等腰三角形“三线合一”

与三角形中位线的逆定理可求得BM、MN的长,从而可知BN的长,最后利用△BNEBDC可求得DE的长.

【详解】解：如图，过点4、点E分别作4M18C,ENLBC,垂足为点M、N.贝必M||EN,

VZ.BDC=90°,BD=8,DC=2,

：.BC=y/BD2+DC2=V82+22=2g.

\'AB=4C,AM1BC,

：.BM=CM=^BC=V17,

为AC的中点，AM||EN,

：.MN=CN=-CM=—.

22

：.BN=BM+MN,

2

设DE=%,贝UBE=BD-DE=8-x.

■:乙BNE=^BDC=90。,乙EBN=cCBD,

：.△BNEfBDC,

.BEBN口门8-X3V17

=—,即：1==二一,

BCBD2V178

.*.8(8-%)=51,

解得：

o

即：DE=-.

8

故答案为：V-

O

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理的逆定理、相似三角形的性质、勾股定理

等，解题的关键作出恰当的辅助线.

14.(2024•浙江•模拟预测)在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛

(1)小华设计的风筝框架平面图如图1,已知.AB^AD,CB=CD,AC与BD交于点。，求证：BO=DO

(2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架AC和BD(如图2),当4c垂直平分BD时即可固定风

筝.现在有总长度为120cm的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：

当4C为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？

【答案】(1)见解析

(2)4C为60cm时，风筝的面积最大，面积最大值为1800cm2

【分析】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：

(1)先证AABC三△ADC(SSS),推出=根据等腰三角形三线合一即可证明B。=DO；

(2)设=贝/0=120-列出风筝的面积S关于尤的二次函数关系式，变形为顶点式，求出最值

即可.

【详解】(1)证明：r48=4。，CB=CD,AC=AC,

.­.LABCSAXDC(SSS),

•••Z-BAC=Z-DAC,

即/C平分4840,

又「AB=ADf

BO=DO；

(2)解：设4c=xcm,贝！JBO=(120—%)cm,

v4c垂直平分BQ,

OB=OD=-BD,AC1BD,

2

•••风筝的面积S=SXABC+SAADC=|xc-OB+|xc-OD=|XC-BD,

•••S=jx(120-x)=-1(%-60)2+1800,

•■1-1<0,

.・.当x=60时，S取最大值1800,

即AC为60cm时，风筝的面积最大，面积最大值为1800cm2.

15.(2024•山东聊城•三模)如图，△ABC中，点。是BC上一点，过点。作DEII4B,点尸是4。的中点，连

接EF,并延长EF交AB于点G.

(1)连接DG,求证：四边形4GDE是平行四边形.

(2)若使四边形4GDE是菱形，△ABC应为什么特殊三角形？点。在BC的什么位置？证明你的猜想.

【答案】(1)见解析

(2)AABC为等腰三角形时，4GDE是菱形；点。为BC中点

【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，其

中证明三角形全等是解题的关键.

(1)证明AAGF三△DEF,得DE=4G；再由DE||4B即可证明四边形4GDE是平行四边形；

(2)当为等腰三角形且48=4C时，由。是中点，则NE4D=^EDA,从而得4E=DE,即四边形AGDE

是菱形.

【详解】(1)证明：・.•点/是AD的中点，

•­.AF=DF；

•••DEWAB,

Z.GAF=Z.EDF,

vZ.AFG=Z.DFE,

.*.△AGF=△DEF(ASA),

・•.DE=AG；

•・•DEWAB,

••・四边形4GDE是平行四边形；

(2)解：当为等腰三角形且48=/C时，且。中点，四边形4G0E是菱形;

BDC../B=4。时，且。是中点，

Z.GAD=Z.EAD；

•••DEWAB,

Z.GAD=Z.EDA,

•••Z.EAD=Z.EDA,

•••AE=DE,

即平行四边形力GDE是菱形.

口题型04在格点图中画等腰三角形

16.(2024•贵州贵阳•二模)在如图所示的网格纸中，有A,8两个格点，使得AABC是等腰三角形，则这样

的格点C有一一个.

【答案】8

【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据AABC是直角三角形

得出多种情况解答.

【详解】解：如图所示：

GC4

点G的位置如图，

2222

其中力C/=Vl+l=V2,BCr=Vl+l=V2,4B=2,

由勾股定理得：aC/+BC/=4B2,

故△4EC1为直角三角形，

2222

同理：AC2=V1+I=V2,BC2=V1+1=V2,4B=2,

由勾股定理得：ACl+BCl=AB2,

故△力BC2为直角三角形，

网格中其他点C如图所示，

所以格点C的个数是8,

故答案为：8.

17.(2024・吉林长春•模拟预测)图①、图②、图③均是2义2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，

点A、C均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹.

图1图2图3

(1)在图①中，以2C为中线作AABD,使4B=a。；

(2)在图②中，以2C为中线作Rt△力EF,使NA£T=90。；

(3)在图③中，以AC为中线作A4MN,使NAMN为钝角且tan/MAC=1.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题主要考查应用与设计作图，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键.

(1)根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；

(2)根据直角三角形的判定三角形中线的定义画出图形；

(3)根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；

【详解】(1)解：使=即让AAB。是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，过C点作4c的垂线,

使C为BD中点即可；

(2)解：在2点正下方与C点对齐的地方找到E点，过点E、C画直线使C为BD中点即可得到点F；

图2

(3)解：过点C画斜线使C为中点找到M、N,连接起来即可使tanzMAC

图3

18.(2024•浙江嘉兴•一模)如图，在2X4的方格纸力BCD中，每个小方格的边长为1,已知格点P,请按要

求完成以下问题.

(1)在图中画一个格点等腰三角形PEF,使得底边长为我；

(2)在图中再找一个格点G,使得P,E,F,G四点构成平行四边形，则该平行四边形的面积为

【答案】(1)见解析

(2)1或3

【分析】本题主要考查了格点作图，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题关键是掌握网格的特点，

理解相关图形的性质.

(1)底边长为或即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的

顶点即可得到等腰APEF,即可求解；

(2)根据平行四边形的性质，找到点G的位置，即可求解.

等腰三角形PEF,即为所求；

(2)当PE=EF=1,。9=或时，点G如图所示，

此时该平行四边形的面积为1XI-1；

当PE=£1尸=有，=/时，点G如图所示，

此时该平行四边形的面积为2x|xlx3=3；

故答案为：1或3.

19.(2024•河北邯郸・三模)如图中的点都在格点上，使AAB4("为1~4的整数)不是轴对称图形的点是()

P

B.2C.P3D.P4

【答案】B

【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理

可得^ABP4,△力BP3都是等腰三角形，而A4BP2不是等腰三角形，再根据轴对称图形的定义即

可得到答案.

【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得AaBPi、^ABP4,A/lBPs都是等腰三角形，即这三个三角

形都是轴对称图形，

△4BP2不是轴对称图形，

故选：B.

口题型05根据等角对等边求边长

20.（2024.广西桂林•一模）如图，在等边4ABC中,AB=6,BD平分N&8C,点E在的延长线上，且NE=30°,

则CE的长为.

【答案】3

【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边，由等边三角形的性质可得力C=AB=

6,乙4cB=60°,CD=171C=3,再根据三角形外角性质可得=乙4cB—乙E=30°,得到/CDE=乙E,

进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键.

【详解】解：ABC为等边三角形，AB=6,

：.AC=AB=6,4ACB=60°,

平分N4BC,

/.CD=-2AC=3,

VZE=30°,

:,乙CDE=AACB一乙E=60°-30°=30°,

Z.CDE=Z.E,

ACE=CD=3.

21.（2024.贵州毕节•三模）如图，在RtZkABC中，乙4cB=90。，AC=BC,点。在AB上，AD=4,

CD=V10，则BD的长为

A

【答案】2

【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，过D作DE1BC于点E,作DF1AC

于点尸，得四边形DECF是矩形，根据性质可知CF=DE,再由等角对等边得DE=BE,AF=DF,最后由

勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：如图，过。作DE于点E,作。F，力。于点F,

A

:.乙DEB=90°,Z.AFD=乙CFD=90°,

；4ACB=90°,

四边形DECF是矩形，

ACF=DE,

\"AC=BC,

J.Z.A=48=45°,

:.乙B=乙EDB=45°,ZX=^ADF=45°,

：.DE=BE,AF=DF,

则由勾股定理得：BD=V2DE=近BE,AD=^2DF=&AF=4,

：.AF=DF=2VL

/27

在Rt中，由勾股定理得：DF=VCD2-CF2=J(VlO)-(2A/2)=&,

：.DE=CF=V2,

：.BD=42DE=V2XV2=2,

故答案为：2.

22.（2024・海南海口•一模）如图，在Rt△力BC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,点D是4C边上的一点，过

点。作DFII2B,交BC于点尸，作NB2C的平分线交DF于点E,连接BE.若AABE的面积是2,则点E到的

距离为—，普的值是.

EF

【分析】本题考查的知识点是勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边，解题关

键是熟练掌握相似三角形的判定与性质.

先根据勾股定理求出48,即可分别用三角形面积公式推得点C到4B的距离和点E到4B的距离，再根据DF||

4B判定△CDFC4B即可推得相似比，从而由相似三角形的性质得到乡=啜=|，由4E平分N84C和DF||

C/JTID5

AB可得ND4E=乙4ED,根据等角对等边推得DE=4。=（后即可得解.

【详解】解：：Rt△4BC中，AB=^JAC2+BC2=V32+42=5,

.•.点C到4B的距离无=与竺=三，

AB5

S^ABE=mx%=2,

・・・点E至!MB的距离九1=I，

・•・点C到D尸的距离九2=h-h1=1,

•••DF||AB,

:△CDF八CAB,且相似比为九2：h=|，

.CD_DF_2

''CA~AB~

CD=-x4=PF=-x5=—,

3333

4

AD=AC-CD=

3

VZE平分NB4C,

•••Z.BAE=Z.DAE,

•・.DF||AB.

•••乙BAE=Z.AED,

即皿IE=乙4E0,

4

DE=AD=

3

104

：.EF=DF-DE=---=2,

33

4

.DE_2_2

''EF~2-3,

故答案为：I;|.

23.（2024•陕西•模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是高镒酸钾制取氧气的化学

实验装置,安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的沙（BE=1AB）,已知试管AB=24cm,

试管倾斜角a为10。，实验时，导气管BF交C。的延长线于点F,且ED1CF,测得DE=27.36cm,ZXBF=145°,

【分析】本题考查解直角三角形，矩形的判定及性质，等腰三角形的判定.

过点8分别作1DE于点H,BP1FC于点P,则四边形BPDH是矩形，得到=DP,BP=HD,在Rt△

BE"中，HE=BE-sin/EBH®1.36,BH=BE-cos^EBH»7.84,从而DP=BH=7.84,BP=HD=DE-

HE=26,证明PF=BP=26,根据DF=DP+PF即可解答.

【详解】解：如解图，过点8分别作B”IDE于点H,8「1尸。于点尸，

■:ED1CF

・・・四边形BPDH是矩形，

：.BH=DP,BP=HD

9：AB=24,BE=-AB=8,乙EBH=a=10°,

3

・••在Rt△BEH中，HE=BE-sin乙EBH=8•sinl0°«1.36,

BH=BE-cosZ-EBH=8-cosl0°«7.84,

：.DP=BH=7.84,

HD=DE-HE=27,36-1.36=26,

：.BP=HD=26,

"BF=145°-90°-10°=45°,

:•乙FBP=180°-Z.BPF-乙PBF=45°,

：.PF=BP=26

：.DF=DP+PF=7.84+26=33.84,

答：OF的长度约为33.84cm.

24.（2024・陕西咸阳・模拟预测）如图，在中，D为BC边上一点,且ZD平分NB4C,若ZB=5,AC=4,

则△ABD与△AC。的面积比为（）

【答案】A

【分析】过点。作CEIIAD,交3/的延长线于点E,利用平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质,

三角形面积特点解答即可.

本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积，熟练掌握定理是解题的关键.

【详解】解：过点。作CEII4。，交84的延长线于点石，

贝！J吧=—,LE=/.BAD,ADAC=^LACE,

DCAE

•・・/。平分乙3/。，

A£.BAD=NO/C,

/.Z.E=/.ACE,

：.AE=AC,

*：AB=5,AC=4,

•\AE=4,

・

••B~D~=5一，

DC4

・S&ABD_££_5

SxACDDC4'

故选A.

25.（2024•新疆乌鲁木齐•一模）在△ABC中，BD平分NABC,交2C于点D,AE1BC,交BC于点E,且4B=5,

AE=BC4,则CD的长为—.

【答案］警《旧

99

【分析】过点C作4B的平行线，交BD的延长线于点E,利用AaBDSACFD结合等腰三角形CBF求出结果.

【详解】解：过点C作48的平行线，交BD的延长线于点£

在直角△ABE中，^LAEB=90°,

BE=yjAB2-AE2=V52-42=3,

=BC-BE=4—3=1,

在直角AAEC中，由勾股定理得

AC='AE?+CE2=V17.

*.•CFWAB,

：.AABDfCFD,

.AD_AB

**DC-CF'

•「BO平分乙48C,

Azi=Z2,

VCF\\AB,

Azl=ZF,

/.z2=Z-F.

：.CF=CB=4,

•,•AD—_―5，

CD4

：.CD=-AC=—.

99

故答案为：空.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的定义，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，通过平

行线构造相似三角形是解决问题的关键.

口题型06根据等角对等边证明

26.（2024・湖南长沙•模拟预测）如图，在AABC中，。是4B边的中点，。是CO上一点，AE||BD交C。的延

长线于点E.

c

⑴求证：AE=BD；

(2)若42CB=90。，乙BDO=ACAO,AC=6,求BO的长.

【答案】(1)见解析；

⑵6.

【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，平行线的性

质，等角对等边以及中点定义，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键.

(1)由。是28边的中点，得2。=8。,由4E||BD,得4E=LBDO,/.OAE=Z.OBD,可得△OAE三4

OBD(AAS),即可证明结论成立；

(2)由。是4B边的中点，N4CB=90。,得4。=BO=0C，进而N4C。=^CAO,由(1)BD=AE,^BDO=乙E,

由NBD。=ACAO,得乙4C。=ACAO=NE,从而AC=AE=6,进而即可得解.

【详解】(1)证明：•••。是4B边的中点，

：.AO=BO.

5L'：AE||BD,

Z.E—Z.BDO,Z.OAE—/.OBD,

在AOAE^/s.OBD中，

'乙E=乙BDO

X.OAE=Z.OBD,

.OA=OB

：.△OAE=△OBD(AAS)

：.AE=BD；

(2)解：•.,。是AB边的中点，4cB=90。，

1

：.AO=BO=OC=-AB.

2

J.Z.ACO=Z.CAO,

■:二OAEW2OBD(APS，

乙

：.BD=AEfBDO=(E,

■:(BDO=A.CAO,

Z-ACO—Z-CAO=Z-E,

：.AC=AE=6,

：.BD=AE=6.

27.(2024•江苏连云港•模拟预测)某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一

点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等.该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线

段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系.请根据下列探究思路完成

作图和解答：

(1)尺规作图：过点E作EF14E.分别交边4。、BC于点G、F.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)求证：EC=EF=AE.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据基本作图一经过一点作直线的垂线作出图形即可；

(2)证明三△CDE(SAS),推出=再证明EF=EC,可得结论.

【详解】(1)解：图形如图所示：

(2)证明：•.•四边形2BCD是正方形

BO平分N4DC,/.ABC=乙BCD=4BAD=90°,ADCD.

•••Z-ADE=乙CDE,

在和△COE中,

AD=CD

/.ADE=乙CDE

、DE=DE

.*.△ADE三△COE(SAS).

•••乙DAE=Z-DCE,AE=CE,

又・・•乙BAE=乙BAD-乙DAE

(BCE=乙BCD-乙DCE

Z.BAE=(BCE,

vEF1AE,

••・^AEF=90°,

•••匕ABF+(BFE+AFEA+Z.BAE=360°,^ABF+Z.FEA=90°+90°=180°

・•・^BAE+乙BFE=180°

•••Z-BFE+乙EFC=180°,

•••乙EFC=Z-BAE.

•••Z-ECF=乙EFC,

.・.EF=EC=AE.

【点睛】本题考查基本作图一经过一点作直线的垂线，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰

三角形的判定，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

口题型07确定构成等腰三角形的点

28.(2023九年级上•江苏•专题练习)如图，在3x3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、尸都是格点.

⑴从4。、E、尸四点中任意取一点，以这点及点8、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概

率;

⑵从A、D、E、尸四点中任意取两点，以这两点及点8、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的

概率.

【答案】⑴5

【分析】此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键.

根据从A、D、E、尸四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取O点时，所画三角形是等腰三角形,

即可得出答案；

⑵利用树状图得出从A、D、E、尸四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点4

E、B、C为顶点及以F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率.

点评

【详解】（1）

根据从4D、E、P四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取。点时，所画三角形是等腰三角形,

故P（所画三角形是等腰三角形）=；;

4

（2）用“树状图”列出所有可能的结果：

开始

ZAKZDNZNEF

DEFAEFADFAED;当选取的两个顶点为点&、石或点。、尸时，所画的四边形是

平行四边形，

•••所画的四边形是平行四边形的概率P=展=/

29.（2023兰州市模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点4B分别在y轴和无轴上，^ABO=60°,在坐

标轴上找一点P,使得4PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（）

【答案】B

【分析】分类讨论：作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点,

以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案.

【详解】作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5,此时AP=BP；

以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得至UP2和P6,此时AB=AP；

以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到Pl、P3和P4,止匕时BP=BA；

综上所述：符合条件的点P共有6个.

故选B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本

题的关键.

30.(2020•江苏泰州•一模)已知点A(2,m),点P在y轴上，且APOA为等腰三角形，若符合条件的点P

恰好有2个，则m=.

【答案】0或士学

【分析】由于当OP=OA时，这样的P点一定有2个，易得PO=PA不存在，AP=AO也不存在，这时才满足

符合条件的点P恰好有2个，从而得到m=0,当4P=。4时，可得n=2m,n为任何值均成立，然后将n=2m

分别代入另外两种情况中求出m的值即可.

【详解】设点P(0,n)

①当。尸=。4时，这样的尸点一定有2个，

・・・PO二用不存在，也不存在，

・・・A点在x轴上，

此时m=0.

②当4P=。4时，22+(m—n)2=22+m2

可得九(九—2m)=0

・・,点P、O、A能够成三角形

：.n=2m,n为任何值均成立

③当。尸=P4时，n2=22+(m—n)2

可得44-m2-2mn=0

•・•符合条件的点P恰好有2个

.*.22+m2=层与4+m2—2mn=0应该存在两个不同的解

/.将几=27n代入2?+m2="中

可得2?+m2=(2m)2

解得血=±誓

将71=27n代入4+m2—2mn=0中

可得4+m2—4m2=0

解得血=±誓

故答案为：。或土?^.

P

.A

------------------------------------>

0

【点睛】本题考查了等腰三角形的问题，掌握等腰三角形的性质以及判定、勾股定理、解一元二次方程是

解题的关键.

31.(2024君山区一模)已知坐标原点。和点4(1,1),试在久轴上找到一点P,使A40P为等腰三角形，写出

满足条件的点P的坐标

【答案】(1,0)、(2,0)、(V2,0)、(-V2,0).

【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；利用分类讨论的思想是解题的关键.根

据题意分O4=4P1，OA=OP2,OP3^AP3=1,=。「4,四种情况讨论求解即可.

【详解】解：如图：

...△40P1是等腰三角形，且B点的坐标是(2,0)；

②当。A=OP2时。「2=OA=Vl2+I2=V2,且P2在无轴的负半轴时，

点坐标是(一V2,0).

③当。「3=AP-i=1,

...△Q4P3就是等腰三角形，且P3的坐标是(1,0)；

④当。4=。”=应，且”在x轴的正半轴时，「4点坐标是(鱼，0),

故答案为：(1,0)、(2,0)、(V2,0)、(-V2,0).

□题型08等腰三角形性质与判定综合

32.(2024通辽市模拟)如图，在ZMBC中，AB=AC,BC=4,面积是10.4B的垂直平分线ED分别交

边于E、。两点，若点尸为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则APBF周长的最小值为.

【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键.由垂直

平分线的性质可得4与B关于ED对称，连接4P,AF,当4、P、F三点共线时，APBF周长最小为2F+的

长.

【详解】解：「ED是线段48的垂直平分线,

2与B关于ED对称，

连接力P,AF

c

PBF周长=PB+PF+FB=