第27章 相似（单元测试·培优卷）-2024-2025学年人教版九年级数学下册专项突破（含答案）

第27章相似（单元测试・培优卷）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分洪30分,每小题均有四个选项，其中

只有一项符合题目要求）

（23-24九年级下•全国•期末）

1.下面说法错误的是（）

nc

A.如果y=那么

ba

,acma+c+m_a

B.如果m工=：=那么

banb+d+nb

c.顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形

D.相似多边形的面积比等于周长比的平方

（2023•安徽六安•模拟预测）

2.将一张口/BCD（AD<4B<2AD）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的

平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形

与原来口/BCD相似，贝。口48。的相邻两边/。与的比值是（）

C.也或苴二1D.亚7或也或叵11

2222

（23-24九年级上•浙江杭州•阶段练习）

3.黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱.摄影中有一种拍摄手法叫

黄金构图法.其原理是：如图，将正方形的底边8C取中点£,以E为圆心，线段DE

为半径作圆，其与底边的延长线交于点尸，这样就把正方形力5CZ）延伸为矩形N2尸G,

称其为黄金矩形.若CF=4a,则（）

A.^x[5—ijaB.（20-2）。C.+1)(7D.^2-^5+2)a

（23-24九年级上•浙江杭州•阶段练习）

4.如图，ZUBC内接于OO,/8/C的平分线分别交。O,BC于点、D,E,连结AD.根

据题意条件，判断：①AABEsLADB;②ABDESAADB;③ABDE-4ACE；④

试卷第1页，共8页

△AECSAABD,成立的是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.②③④

（21-22八年级下•重庆北倍•期末）

5.如图，直线48的解析式为y=-2x+2,点E为正方形/BCD中CD边的五等分点，且

CE=gCD,双曲线y=&（#0,x〉0）的图象过点£,则左为（

143

D.

（22-23九年级下•河北承德•阶段练习）

6.如图，将矩形纸片/2C©按照以下方法裁剪：剪去矩形边/。长的;，边CD长的

7（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形/E尸G（阴影部分）边NE长的g,£户长的g（称

为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后,剩下的图形恰好是正方形,则原矩形ABCD

的长宽比为（）

24332

C.—D.

32243

试卷第2页，共8页

（24-25九年级上•上海•阶段练习）

7.如图，点。是△4BC内一点，OP1/BCQQ"ACQR"AB,OP=OR=OQ,AB=4,BC=3,

CA=2,OR的长为（）

0t12

D.—

13

（2023・河北张家口•一模）

8.如图，正方形/8CA中，对角线4G8。交于点。，分别延长2。，到点£,F,连

接斯.若跖〃8C,且JDEF与A。/。的相似比为g,则在图中，以点。为位似中心.ADEF

（24-25九年级上•四川乐山・期中）

9.如图，平行四边形/BCD的边长=2,ZABC=60°,4F平分/BAD,E为AB的中

点，尸在边8c上，且3尸=25C,/斤分别与DE、相交于点M,N,则MV的长为

4

D.-

5

（24-25九年级上•河北保定•期中）

10.如图，四边形N3C。是正方形，28=6,£是2c中点，连接。旦。£的垂直平分线分别

试卷第3页，共8页

交.AB、DE、CD于M、0、N,连接EN,过E作EF，EN交4B于F.下列结论中正确

的是（）

①ABEFs^CNE；②IMN=3也；@BF=^AF-④△BE产的周长是12.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（24-25九年级上•四川成都•期中）

11.在平面直角坐标系中，关于x的一次函数〉=履+加，其中常数人满足

左=，7=不L=—^―,常数机满足"2>0且m是1和9的比例中项，则该一次函数/=履+5

a+bb+ca+c

的解析式为.

（2023•辽宁鞍山•二模）

12.如图，在△/BC中，以点3为圆心，以2为半径画弧，交边于点交5C边于点

E,分别以点。，E为圆心，大于;的长为半径画弧，两弧在443c内部交于点尸，画

射线8尸与NC边交于点尸，过尸作2C的平行线恰好经过点。，则4D-CE的值为.

（22-23九年级上•四川成都•阶段练习）

13.在△4BC中，AB=AC,E、尸分别是/8、NC上的点，且=连接CE、BF

一工上n什CP1C产苗/吉在

父于点尸，右干二7，下的值为_____.

PE2AF

试卷第4页，共8页

A

E,

（2024•山西运城•模拟预测）

14.如图，在A/8C中，点E在3c上，点尸在/C上，AE1BF,垂足为O,若/£平分

/8/C,点尸是NC的中点，AE=4,BF=8,则线段NC的长为.

（2024・湖北孝感•三模）

15.如图1,在RtZ\48C中，ZACB=90°,NC=4,BC=3,点。是/C的中点，点E是

的中点，连接。E.如图2,将△/£）£绕/点顺时针旋转到点C,D,E首次在同一条直

线上，连接BE.则BE的长为

图1图2

（24-25九年级上•四川成都•期中）

16.如图，点5是反比例函数必=?（x>°）上的一点，点8的坐标为。，4）,连接05,过点

B作_LOB,交反比例函数必=勺上的一点A,过点5作歹轴的垂线，交反比例函数

x

%=｝（x>0）的图象于点P,连接AP,OP,若/P〃了轴，则质的值为.

试卷第5页，共8页

（24-25九年级上•四川成都•期中）

17.如图，在A/8C中，AB=AC=4,AFJ.BC于点、F,BHLAC于点、H.交/月于点

G,点。在直线4尸上运动，BD=DE,ZBDE=135°,ZABH=45°,当4E取最小值时,

BE的长为.

18.如图，等边△NBC中，AB=6,。为2c的中点，点E为射线切上一动点，将射线。£

绕点。顺时针旋转60。交NC于点尸，若/£=3,则4F=.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（24-25九年级上•山东济南•期中）

19.图1是小亮沿广场道路散步的示意图，线段8表示直立在广场上的灯柱，点C表

示照明灯的位置，已知小亮身高1.5m,CD=6m.

（2）如图3,小亮继续行至G处时，发现其影长KG恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距

离.

试卷第6页，共8页

（20-21九年级上•浙江•期末）

20.已知：正方形48c。中，48=4,E为CZ）边中点，尸为4D边中点，AE交BD于G,

交BF于H,连接。

（1）求证：BG=2DG；

（2）求/〃：8G:GE的值；

（24-25九年级上•四川成都•阶段练习）

21.已知，如图，在ZUBC中，AB=AC=4,NB4C=90。，点。为NC边上的一个动点

（点。不与4,C重合）,连接,将线段。8绕点。逆时针旋转90°,得到DE,连接BE、CE.

⑴求证：ABADsABCE；

Ar）1

（2）当次=§时，求邑EOC及。尸的值.

（24-25九年级上•四川成都•期中）

22.如图，在正方形A8CD中，48=8,点E在对角线5。上，DE=地，连接CE,过点

E做所，CE,交线段于点尸.

⑴求证：CE=EF；

⑵求F8的长；

⑶连接尸C交AD于点G,求BG的长.

试卷第7页，共8页

(24-25九年级上•浙江•期末)

23.如图，在圆内接ZUBC中，乙48c>90。，弦BD>4C,延长/。至点E,延长胡至点

F,连接斯，使EF=BD,延长CD交所于点G,使/EG。+/ZU2=180。，延长C8,DA

求/A4c的度数.

EFAE

⑵求证:

HBAH

(3)求证：AE=AC.

(24-25九年级上•河南郑州•期中)

24.已知点〃是正方形4BC。边上的一个动点,点E是射线。C上的一个动点，连接

ME,过点加•作物，ME交C3的延长线于点？

MF

(1)【特例感知】如图1,当点M与点/重合时,

ME

MF

⑵【类比探究】当点"动到线段加勺三等分点时，请利用图2计算加的值;

(3)【拓展延伸】如图3,连接跖，DM,若点M运动到某一位置时，恰好有

ZMEF=30°,请直接写出的值.

S正方形4BCD

试卷第8页，共8页

1.B

【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、菱形的判定，相似多角形的性质，比例的性

质等知识.根据比例的性质可判断A和B；根据三角形中位线的性质、菱形的判定可判断

C；根据相似多角形的性质可判断D.

【详解】解：A、如果丁n=9C,那么4=6°.故选项A说法正确，不符合题意;

ba

nCmdCYY1

B>如果7==—,——=k,那么〃=%，c=dk,m=nk,那么

banban

a+c+m=bk+dk+nk=k(b+d+n)=卜=巴,仅当6+d+〃/0时成立.故选项B说法不正

b+d+nb+d+nb+d+nb

确，符合题意；

在四边形NBC。中，AC=BD,E、F、G、万分别是线段/2、BC、CD、ND的中点,

则£〃、尸G分别是△/&)、△BCD的中位线，EF、AG分别是"SC、"CD的中位线,

：.EH=FG=-BD,EF=HG=-AC,

22

■：AC=BD,

.-.EF=FG=HG=EH,

.•.四边形跖G”是菱形.故选项C说法正确，不符合题意；

D、相似多边形的面积比等于周长比的平方.故选项D说法正确，不符合题意;

故选：B.

2.C

【分析】分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可.

【详解】如图，设AD=a,4B=b.

答案第1页，共28页

AHB

根据题意，AH=AD,

HB=b-a,

■：HB=FG=GC,

:.BG=a-(b-a)=2a—b,

•••剩下的平行四边形与原来口/BCD相似,

・•・对应边成比例，

分两种情况讨论：

^ADFG

JABBG

ab-a

b2a-b'

设，=/（”o）,分子分母同时除以，得：七--二丁匚,

b2--1"T

b

解得：”也；

2

cADBG

JABFG

a_2a-b

一=,

bb-a

2--1

设，贝“：t=ba=~\~7,

u]KJL-E

~~b

解得：二L,

2

两个答案都满足AD<AB<2AD,

综上：口.BCD的相邻两边ND与42的比值是"或二1；

22

故选C.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质.根据题意，正确的

答案第2页，共28页

画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.

3.D

【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知

识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.

设/B=2x,根据题意得出CE=x,DE=x+4a,在RsCAE中，由勾股定理，可得

CE2+CD2=DE2,代入数值并求解，即可获得答案.

【详解】解：设/8=2x,

•.•四边形/2CD是正方形，

.­.AB=BC=CD=2x,NBCD=90°,

•・•点E为8C中点，

;.CE=BE=LBC=X,

2

又•:CF=4a,

DE=FE=EC+CF=x+4a,

.•.在R/ACDE中，由勾股定理，^CE2+CD2=DE2,

即x2+(2无?=(x+4a)2,

整理可得x2-2ax—4a2=0,

解得：%=(丁+l)a,9=(1-君)。(舍去),

AB-2x-(2>/5+2)a,

故选：D.

4.D

【分析】本题考查相似三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等.

由角平分线得到N1=N2,由同弧或等弧所对的圆周角相等得到/2=/CB。，从而

Zl=ZEBD,再由=得到△电组/4/口，故②成立；由/D=/C,

ABED=ZAEC,得到△BDEs/X/CE,故③成立；由Nl=N2,ZZ)=ZC,得到

△AECSA4BD,故④成立.综上即可解答.

【详解】解：、小平分/BAC,

Zl=Z2,

■■CD=CD>

答案第3页，共28页

.-.Z2=NCBD,

Z1=NEBD,

■■■ZADB=ZBDE,

：.ABDESAADB,故②成立；

AB=AB

ND=NC,

ABED=NAEC,

:ABDEs丛ACE,故③成立；

Z1=Z2,Z£>=ZC,

.•.△AECs^ABD,故④成立；

根据条件无法证明①成立，因此成立的结论是②③④.

故选：D.

5.D

【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质可求出点。、点C的坐标，再根

据平行线分线段成比例可求出点£坐标即可.

【详解】解：如图，过点C作CFly轴于尸，过点。作DGlx轴于G,过C、E分别作x轴

的垂线，垂足分别为M、N,

・•・直线48的解析式为y=-2%+2,与x轴，y轴分别相交于点/，点2,

二点/(I,0),点8(0,2),

即。/=1,08=2,

■■AB=V12+22=#＞，

,•・四边形ABCD是正方形，

；/BAD=90°,AB=CD=#,

答案第4页，共28页

・・ZCM5+4G/Z)=180。-90°=90°,

又•・•乙OAB+乙OBA=90°,

，乙OBA=^GAD,

•・•乙4QB=〃>G/=90。，

・・・A4O8KZ)G/(AAS),

.'.OA=DG=1,OB=GA=2f

同理CM=3/=1,OB=FC=2,

・••点C(2,3),0(3,1),

1

-：CE=-CD9CM//EN//DG,

111

：・MN=~^G=j(3-2)=-,

111

：.ON=OM+MN=2+-=—,

55

4/13

.'.EN=-(3-1)+1=y,

•••点£(.，羡)，

k

又•••点£在反比例函数y=—的图象上,

X

故选：D.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特

征以及平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图

象上点的坐标特征以及平行线分线段成比例定理，是正确解答的前提.

6.A

21

【分析】设原矩形/3CD的长为x,宽为丹则第一次裁剪所得矩形的长为：龙，宽为；力

以此类推得出第五次剪所得矩形有，j|]x=y即可求出答案.

【详解】设原矩形N2C。的长为X,宽为外

则第一次裁剪所得矩形的长为：2工,宽为1

二第二次裁剪所得矩形的长为X,宽为V，

答案第5页，共28页

3

2

二第三次裁剪所得矩形的长为X,宽为

二第四次裁剪所得矩形的长为]IX,宽为!V，

-一•第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形,

故选：A.

【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键.

7.D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，如图，延长尸。交NC于M,延长。。

交AB于N,易证得四边形/M%、四边形CMO。为平行四边形，则MC=。。，ON=AR,

根据相似三角形的判定易得ARWSA/BC,利用相似比可得=再判断

2

221

△NOPSAACB,利用相似比可得双0=§0尸=力7?,由尸+]0尺+。。=2,于是解方程即

可得解，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.

【详解】如图，延长P。交/C于"，延长。。交于N,

四边形4NO7?、四边形C"。。为平行四边形,

.-.MC=OQ,ON=AR,

•■OM//BC,OR||AB,

："RMO=NC,NORM=NA,

xROMs^ABC,

RMORanRMOR

答案第6页，共28页

：.RM=-OR,

2

-OP//BC,ON//AC,

:・NNPO=/B,/ONP=AA,

ANOPS^ACB,

NOOPNOOP

•••——=——,nn即——=——,

ACCB23

;.NO=-OP=AR,

3

•・•AR+RM+MC=AC,

・・.|o尸+；OE+O0=2,

・.・OP=OR=OQf

：.-OR+-OR+OR=2

32f

：.OR=—

13

故选：D.

8.D

【分析】设。尸=加，利用正方形的性质和相似三角形的性质可得到。。=2啦加，由题意,

以点。为位似中心，血尸与△05。位似，进而可求解.

【详解】解一•四边形是正方形，

•••ZAOD=/BCD=90°,/ADO=/BDC=ZEDF=45°,

-EF//BC,

ZEFD=ZAOD=/BCD=90°,

・・・ADEF与^DAO的相似比为;，

DF1

,•丽

设DF=m,则DO=2m,

/.AD=y[2DO=2y12m，

DC=2y/2m，

-EF//BC,

・•・以点。为位似中心，力EF与ADBC位似,

答案第7页，共28页

DFmV2

"DC2y/2m~4'

故选：D.

【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的性质、位似三角形的判定与性质，理解位似

图形的定义，得到尸与位似是解答的关键.

9.B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判

定；延长/凡DC交于点G,得出尸是等边三角形，△尸CG是等边三角形，进而证明

“AEMS&GDM,AABNS.GDN,分别求得AM,AN,根据MNAN-AM,即可求解.

【详解】解：如图所示，延长/凡DC交于点G,

•••平行四边形/BCD的边长4B=2,ZABC=60°,

ABAD=180°-ZABC=120°,

•••/斤平分/54D,

ZBAF=-ZBAD=60°,

2

尸是等边三角形，

NAFB=60°,

又「AB=2,贝=8尸=4尸=2,

为AB的中点，

2

■：BF=2FC,

FC=1,

•••四边形/BCD是平行四边形，

AB//CD

ZABC=ZBCG=60°,

答案第8页，共28页

又•••ZCFG=NAFB=60°,

.•.△/PG是等边三角形，

；.CG=FC=1,则。G=Z>C+CG=2+1=3,

AG=AF+FG=2+1=3,

•・•AB//DG,

AAEMS&DM,

AM_AE_1

••访一丽-3'

13

・•・AM=-AG=~；

44

vAB//DG,

AABNS^GDN,

ANAB_2

••丽—法一

：.AN=ZAG=0,

55

故选：B.

10.B

【分析】由NBFE=NCEN,乙8=NC即可证得△8£斗-4。\石，即可判断①正确；根据三

角形面积公式即可判断②正确；求得8尸=4,即可得至IJ8尸=2/尸，即可判断③错误；根据

勾股定理求得E尸，即可求△BEP的周长是12,即可判断④正确；即可求解.

【详解】解：••・四边形/2C。是正方形

Z5=ZC=90°,

EFLEN,

NBEF+NCEN=90°,

又•••NBEF+NBFE=90°,

NBFE=ZCEN,

:ZEFsACNE,故①正确；

••・四边形是正方形，48=6,E是8c中点,

:.CD=BC=6,CE=3,

DE=VCD2+CE2=V36+9=3百，

答案第9页，共28页

垂直平分BE,

设DN=x,则EN=x,CN=6)—X,

EN2=EC2+CN2,

:.x2=32+(6-X)2,解得X=B，

4

DN=——,

4

连接。州，如图，

匚，DMN=*DN-AD=；-MN-OD,

BEC

.\DNAD=MNOD,即竺x6二

=—TW，

42

:.MN=3非,故②正确；

XBEFsACNE,

.BF_BE

,~CE~CNf

159

,;BE=CE=3,CN=6yFf

BF3

•••亍―g,

4

:.BF=4,

AF=6-4=2,

:.BF=2AF,故③错误；

•；BE=3,BF=4,

EF=\lBE2+"2=5，

:.ABEF的周长=3+4+5=12,故④正确；

故选：B.

【点睛】本题是四边形综合题,考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的

答案第10页，共28页

应用，三角形相似的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

11.y=-^x+3^y=-x+3

【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象和系数的关系，根据常数加

满足机>0且%是1和9的比例中项，可以求得加的值，再根据《二二二二二上，即

可求得上的值，从而可以写出该一次函数的解析式.

【详解】解：•・•常数加是1和9的比例中项，

•••加2=1义9,

m>0,

m=3,

.cab

k=-----=------=------,

a+bb+ca+c

.•.c=k(Q+b),a=k(b+c^,6=K(Q+C),

a+b+c=2左(a+b+c),

二当Q+6+Cw0时，k=—,

2

当a+b+c=0时，a+c=-b,贝!J左二----=-1,

a+c

・•・该一次函数的解析式为y=?+3或y=-x+3,

故答案为：了=^龙+3或y=-x+3.

12.4

【分析】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定和性质.由作图知，8尸是N/8C的平

分线，再根据。E〃2C,ZDFB=ZDBF,得到50=。尸=2,设4D=a,CE=b,

证明AN。尸SA/8C,由相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：由作图知，AP是Z/2C的平分线，BD=BE=2,

：.ZABF=ZCBF,

■：DE//BC,

:"DFB=ZCBF,

•••ZDFB=ZDBF,

*，•BD-DF=2,

^AD=a,CE=b,

答案第11页，共28页

AB=a+2,BC=a+2,

-DE//BC,

・•・小ADFs^ABC,

AD=DFa=2

••花一五’7+2"?+2

ab+2Q=2Q+4,

ab=4f即皿CE=4,

故答案为：4.

13.

2

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.作交3尸于得至I]AEDPSACFP,

PDFPRFDF

进而得到瓦=正=2,设即"，BE=y,证明力即j叱，得到位=”,推出

2^+y-l=0,进一步计算即可求解.

【详解】解：作ED〃AC交BF于D,如图,

v£Z>||FC,

・•・AEDPSKFP,

・•・-E--D-=--E--P-=2c,

FCPC

CFx

设£O=2x,BE=y,则尸C=%,AF=y,—=-

AFy

vAB=AC,BE=AF,

・•.AE=FC=x,

DE//AF,

ABEDS小BAF,

BEDEy2x

——=——，即nn----二一

BAAFy+xy

答案第12页，共28页

2

2x1_

整理得2工2+2刈-必=0,即21三H-------1:0,

y

2

I+--1=0,

.需1y

X±V3-l

y2

CF_xy/3-1

,•=—.

AFy2

故答案为：虫二1.

2

14.10

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，全等三

角形的性质与判定，取CE中点G,连接尸G,则由三角形中位线定理得到尸G=；/E=2,

FG//AE,证明尸(ASA),得到03=09尸=4,再证明,得

到OE=；FG=1,贝！lO/n/E-OE=3,由勾股定理得/斤=Jo/+。尸=5,贝|

AC=2AF=10.

【详解】解：如图所示，取CE中点G,连接尸G,

・・•点尸是/C的中点，

."G是△NEC的中位线，

.-.FG=-AE=2,FG//AE,

2

•••4E•平分/8/C,

ZBAO=ZFAO,

•••AE1BF,

・•・AAOB=AAOF=90°,

又・..OA=OA,

AAOB^AAOF(ASA)f

：.OB=OF=LBF=4,

2

•:FGIIAE,

答案第13页，共28页

^BOES^BFG,

OEOB\

••拓一而一2'

：,OE=-FG=\,

2

OA=AE—OE=3,

在Rt"O尸中，由勾股定理得AF=^OA2+OF2=5，

AC=2AF=10,

故答案为：10.

【分析】勾股定理求出AB的长，中点和三角形中位线的性质，求出AD,的长，由

CD4

旋转不变性，结合勾股定理求出CD的长，证明得到——=-,进而求出

BE5

的长即可.

【详解】解：•••N/C5=90。，/C=4,BC=3,

AB-A/32+42=5，

•・•点。是4C的中点，点E是48的中点，

AE=-AB=-,AD=-AC=2,DE=-BC=-,DE//BC,

22222

：.NADE=NACB=90。,

53

由旋转性质得4E=5，40=2,DE、,ZADE=90°,ABAC=ZDAE,

•.C,D,£在同一条直线上，

.-.Z^DC=90°,

-CD=4AC1-AD1=2V3，

•・•ABAC=ZDAE,

・•./BAE=/CAD,

答案第14页，共28页

AD24AC4

,•,布一昏一不方”，

2

AD_AC

,,=J

AEAB

^ADC^AAEB,

CD_4

•,•~=一,

BE5

.-.BE=-CD=-x2y/j=~y/3;

442

故答案为：—V3.

【点睛】本题考查勾股定理，三角形的中位线定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质

等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

16.32

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌

Q

握相关知识.设过点8作了轴的垂线，垂足为C,根据点8的坐标求出乂=；(x>0),

3c=2,0C=4,设«"，［)，则尸(加,4),得到BP=m-2,4P=4-+,证明^OCBs^BPA,

根据相似三角形的性质求出加，进而求出点尸的坐标，即可求解.

【详解】解：设过点8作了轴的垂线，垂足为C,

点B是反比例函数M=>(x>0)上的一点,

，勺=2x4=8,BC=2,0c=4,

8

必=一（%＞。），

设总，

y轴,4P〃y轴,

•••尸（私4）,ZOCB=ZBPA=90°,

Q

：•BP=m—2,AP=4-----,

m

答案第15页，共28页

•・•ABLOB,

，ZOBC+ZPBA=90°,

•・,ZOCB=90°,

丁./OBC+/COB=90。,

/COB=ZPBA,

又•••ZOCB=ZBPA=90°f

AOCBS^BPA,

.PCBC

42

即加一28,

4A--

解得：加i=8,加2=2（舍去），

川8,4）,

k2=8x4=32,

故答案为：32.

17.276

【分析】如图，连接CG,CE.证明△OBGs△即C,推出/BGO=/8CE=112.5。，推出

ZACE=45°,推出点E的运动轨迹是直线EC,推出当/ELEC时，/£的值最小，再利用

勾股定理求出3E即可.本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

【详解】解：如图，连接CG,CE.

BH1AC

ZBHA=90°,

答案第16页，共28页

•••Z.ABH=45°,

ABAC=45°,

•••AB=AC,AFIBC,

/.ZBAF=ZCAF=22.5°,BF=CF,

GB=GC,

ZBGF=ZCGF=67.5°,

ZGBF=ZGCF=22.5°,

-/DB=DE,/BDE=135。，

/./DBE=/DEB=22.5°,

/DBE=/GBC=/DEB=ZGCF,

:ADBES八GBC,

.BD_BE

一瓦―沃,

.BDBG

一耘一茄’

•//DBG=ZEBC,

:ADBGS八EBC,

/BGD=NBCE='\25。,

•.•N/CB=67.5。，

:.ZACE=45°f

点E的运动轨迹是直线EC,

•••当4E，EC时，AE的值最小，

此时NEAC=NACE=45°,AE=CE,

则/炉+。炉=/。2,

■■AE=CE=—AC=2y/2,

2

即最小值为2夜.

止匕时ZBAE=90°,BE=JAB、AE?=5+(2后=2屈,

故答案为.

18.3或5

【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质.分

答案第17页，共28页

两种情况，当点石在线段45上时，证出尸为等边三角形，由等边三角形的性质得出

CD=CF=3,则可得出力尸=3；当点E在线段切的延长线上时，证明△BDEs^CFD,

得出比例线段||=2，可求出W则可得出

【详解】解：当点E在线段48上时，如图1,

•・•AB=6,

•・・。为3C的中点,

DE//AC,

ZBDE=ZC=60,

•・•ZEDF=60°,

ZCDF=60°,

.•.△cr犷为等边三角形,

：.CD=CF=3,

AF=3；

当点E在线段A4的延长线上时，如图2,

・・・ZEDF=60°,

图2

NBDE+ACDF=120°,

又YZ5=60°,

/BDE+ZE=120°,

答案第18页，共28页

/£=/CDF,

又•:/B=/C,

:ABDES^CFD,

.BE_BD

,~CD~~CF"

,.•9_一3,

3CF

:.CF=\,

AF=AC-CF=5.

综上所述，尸的长为3或5.

故答案为：3或5.

19.(1)3

⑵此时小亮与灯柱的距离为2.25m

【分析】本题考查了相似三角形的应用.

(1)由△4£尸利用相似三角形的性质列式计算即可求解；

(2)由八KGHs^KDC,利用相似三角形的性质列式计算即可求解.

【详解】(1)解：由题意得△力WS4/QC,

EFAE

,•布一茄’

1.5_AE

''~6~AE+9'

解得/E=3m；

故答案为：3；

(2)解：由题意得△KG〃S/XKZ)C,

HGKG

,•而一而‘

1:一x1.5

1.3_2，

~6~0J5+GD

解得GO=2.25m；

答：此时小亮与灯柱的距离为2.25m.

20.(1)见解析；(2)6：4：5

【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；

(2)分别求出/»、GH、GE即可解决问题；

答案第19页，共28页

【详解】解：(1)证明：•・•四边形是正方形,

VAB//CDfAB=CD,

•・•DE=CE,

•DE_DG_I

一~AB~^G~2'

BG=2DG.

(2)vABI/CD,AB=CD,

•・•DE=CE,

.DE_DGEG

在RtAADE中，AD=4,DE=2,

/£=2右，

/.EG=拽，

3

同法可得5/=26，

AB=AD,ZBAF=ZADE,AF=DE,

\BAF=\ADE,

/ABF=ZDAE,

ZDAE+ZBAH=90°,

:.NABF+NBAH=9。。,

:.ZAHB=90°,

AELBF,

AB.AF4x2_4布

BF一宰一

,*2痒**q

AH:HG:GE=—:—:—=6:4:5.

5153

【点睛】本题考查平行线分线段成比例、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

21.(1)见解析

(2)\£flC=1;CF=^

【分析】（1）通过等腰直角三角形的性质可得N/2C=ZD2E=45。，BC=6AB,

答案第20页，共28页

BE=41BD,再根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，即可证明；

(2)延长/C,过点E作EGL/C于点G,证明ZUBD0aGDE,得出AS=加=4,

EG=4。=1,根据三角形的面积公式求出S.me即可;

延长EC,过点。作。H_L£C于点”，根据△8/Os^BCE,得出/BCE=/A4C=90。,

证明AOC”为等腰直角三角形，得出。"=。〃=*=爰=呼，根据勾股定理得出

CE=SJCG2+EG2=Vl2+12=V2>求出E〃=CE+S=拒+上也=生旦，证明

22

CFCF

△ECFs^EHD,得出±-=*巳，代入数据求出结果即可.

DHEH

【详解】（1）证明：・・・/5=4C,ABAC=90°,

22

N4BC=NNC3=；x90。=45°,BC=AB+AC==472，

•••线段DE线段DB绕点。逆时针旋转90。得到，

BD=ED/BDE=90°,

...ZDBE=ZDEB=-x90°=45°,BE=6BD,

2

；./ABC-ZDBC=NDBE-ZDBC,

即ZABD=ACBE,

■■■BC=42AB,BE=GBD，

.•垩=里=近,

ABBD

・•・ABADsABCE.

(2)解：延长ZC,过点E作£G，/C于点G,如图所示:

则ZEGD=90°,

AD_1

AC=4,

~DC~3

・•.AD=—x4=l,CD=-x3=3

3+13+1

•・•/BAD=/BDE=ZEGD=90°,

答案第21页，共28页

・•・/ABD+AADB=ZADB+ZEDG=90°,

・•・AABD=ZEDG,

♦：BD=DE,

••△ABD注/\GDE,

；.DG=加=4,EG=AD=\,

113

皿222

延长EC,过点。作DHLEC于点X,如图所示:

则/Q〃C=90。，

根据解析（I）可知，ABADs^BCE,

・•./BCE=ABAC=90°,

•・•/ZCB=45。，

・•./DCH=180。—90。—45。=45。，

•：/DHC=90。,

・•.△DC”为等腰直角三角形，

.•.S3=半=2=逑

J2J22

VDG=4,DC=3,

,-.CG=4-3=l,

在RtaCEG中，根据勾股定理得：

CE=^CG2+EG2