2025版高考数学大二轮复习课时作业11空间几何体理

PAGE1-课时作业11空间几何体1.[2024·贵州七校联考]如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起协助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图分别是(用①②③④⑤⑥代表图形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤解析：正视图是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.故选B.答案：B2．[2024·山东德州联考]圆锥被一个平面截去一部分后与半球组成一个几何体，如图所示是该几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．5π＋4eq\r(3)B．10π＋4eq\r(3)C．14π＋4eq\r(3)D．18π＋4eq\r(3)解析：由三视图可知该几何体是由半个圆锥和半个球构成的，所以几何体的表面积为eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＋eq\f(1,2)×π×22＋eq\f(1,2)×4×π×22＋eq\f(1,2)×2π×eq\r(22＋2\r(3)2)＝14π＋4eq\r(3).故选C.答案：C3．某圆锥的侧面绽开图是面积为3π且圆心角为eq\f(2π,3)的扇形，此圆锥的体积为()A．πB.eq\f(2\r(2)π,3)C．2πD．2eq\r(2)π解析：设圆锥的母线为R，底面圆的半径为r，扇形的圆心角为α，则S＝eq\f(1,2)αR2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×R2＝3π，解得R＝3，底面圆的半径r满意eq\f(r,R)＝eq\f(\f(2π,3),2π)，解得r＝1，所以这个圆锥的高h＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，故圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(2\r(2)π,3)，故选B.答案：B4．[2024·河南郑州一中摸底]某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的棱的长度为()A．2eq\r(6)B．2eq\r(5)C．4D．2eq\r(2)解析：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥A－CDEF和三棱锥F－ABC的组合体，由图知该几何体最长的一条棱为AF，AF＝eq\r(42＋22＋22)＝2eq\r(6)，故选A.答案：A5．[2024·安徽安师大附中摸底]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．12B．18C．24D．30解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥后得到的，如图，该几何体的体积V＝eq\f(1,2)×4×3×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×3×(5－2)＝24，故选C.答案：C6．[2024·开封高三定位考试]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A．4πB．2πC.eq\f(4π,3)D．π解析：由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tanα＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，得α＝eq\f(π,3)，故底面面积为eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＝eq\f(2π,3)，则该几何体的体积为eq\f(2π,3)×3＝2π.答案：B7．[2024·山东、湖北省质量检测]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，E为棱BB1的中点，F为棱DD1上靠近D1的四等分点，平面A1EF交棱CC1于点G，则截面A1A．2eq\r(65)B．10eq\r(3)C．4eq\r(21)D．2eq\r(21)解析：∵平面A1ADD1∥平面B1BCC1，∴A1F∥EG.同理，A1E∥GF，∴四边形A1EGF为平行四边形．如图，连接EF，取棱DD1的中点K，连接EK，则EK＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，FK＝1，在Rt△FKE中，EF＝eq\r(32＋1)＝eq\r(33)，在Rt△A1B1E中，A1E＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，在Rt△A1D1F中，A1F＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)，在△A1EF中，cos∠EA1F＝eq\f(20＋17－33,2×2\r(5)×\r(17))＝eq\f(1,\r(85))，故sin∠EA1F＝eq\f(2\r(21),\r(85))，故截面A1EGF的面积为2×eq\f(1,2)×2eq\r(5)×eq\r(17)×eq\f(2\r(21),\r(85))＝4eq\r(21)，故选C.答案：C8．[2024·湖南六校联考]如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则x等于()A．1B．2C．3D．4解析：由三视图可知，该几何体为一个底面是直角梯形的四棱锥(如图)，体积V＝eq\f(\f(1,2)×2＋4×2,3)·x＝8，∴x＝4.故选D.答案：D9．[2024·安徽合肥调研]已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积为()A．48＋8πB．48＋4πC．64＋8πD．64＋4π解析：由三视图可知，该几何体是一个半球和一个直四棱柱的组合体，依据图中数据可知，表面积为4×4×2－π×22＋4×2×4＋eq\f(1,2)×4π×22＝64＋4π，故选D.答案：D10．[2024·湖南东部六校联考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大面的面积是()A．4eq\r(3)B．8eq\r(3)C．4eq\r(7)D．8解析：如图，设该三棱锥为P－ABC，其中PA⊥底面ABC，PA＝4，△ABC是边长为4的等边三角形，故PB＝PC＝4eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，S△PAB＝S△PAC＝eq\f(1,2)×4×4＝8，S△PBC＝eq\f(1,2)×4×eq\r(4\r(2)2－22)＝4eq\r(7)，故四个面中最大面的面积为S△PBC＝4eq\r(7)，故选C.答案：C11．[2024·广东深圳调研]如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的全部顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.eq\f(\r(3)π,2)B．3πC.eq\f(\r(2)π,3)D．2π解析：如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD.因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AE＝eq\f(\r(2),2)，EO＝eq\f(1,2)，所以OA＝eq\f(\r(3),2).在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为eq\f(\r(3),2)，所以该球的体积V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3)π,2).答案：A12．[2024·河北九校联考]已知三棱柱ABC－A1B1C1的全部顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20πA．6eq\r(3)B．12C．12eq\r(3)D．18解析：设球O的半径为R，则由4πR2＝20π，得R2＝5.由题意知，此三棱柱为正三棱柱，故设三棱柱的底面边长为a，高为h，如图，取三角形ABC的中心O1，四边形BCC1B1的中心O2，连接OO1，OA，O2B，O1A，由题意可知，在Rt△AOO1中，OOeq\o\al(2,1)＋AOeq\o\al(2,1)＝AO2＝R2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))2＝R2＝5①，又AO1＝BO2，所以AOeq\o\al(2,1)＝BOeq\o\al(2,2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,3)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2②，由①②可得a2＝12，h＝2，所以三棱柱的体积V＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a2))h＝6eq\r(3).故选A.答案：A13．[2024·广东广州调研]已知圆锥的底面半径为1，高为2eq\r(2)，点P是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P动身，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是________．解析：易知圆锥的侧面绽开图是扇形，如图，设绽开的扇形AOA′的圆心角为α，易得半径OA＝3，因为圆锥的底面半径r＝1，所以依据弧长公式可得2π＝3α，即扇形的圆心角α＝eq\f(2π,3).连接AA′，作OH⊥AA′，交AA′于点H，则易得∠AOH＝eq\f(π,3)，所以动点从点P动身在圆锥侧面上绕一圈之后回到点P的最短距离为所对的弦长，即AA′＝2AH＝2×OA×sin∠AOH＝2×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)14．[2024·陕西宝鸡质检]已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O－ABC的体积为eq\f(4,3)，则球O的表面积为________．解析：设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥O－ABC的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R，△ABC是边长为eq\r(2)R的等边三角形，因此依据三棱锥的体积公式，得eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(4,3)，∴R＝2，∴S球＝4π×22＝16π.答案：16π15．[2024·河北沧州质检]已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为________．解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于O.则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝eq\r(3)，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)))2－12)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)16．[2024·广东省七校联考]在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．解析：通解由题意知，球内切于四棱锥P－ABCD时半径最大．设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，则VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即eq\f(1,3)×2a×2a×2a＝eq\f(