等差数列-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第15讲等差数列

【人教A版2019】

1.等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫

做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.

2.等差中项

由三个数aA力组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做。与6的等差中项，则有

2A=a+b.反之，若2A=a+6,则a八力三个数成等差数列.

3.等差数列的通项公式

(1)等差数列的通项公式

等差数列的通项公式为为二见+(止l)d,其中火为首项，d为公差.

(2)等差数列通项公式的变形

已知等差数列｛%｝中的任意两项为,am(n,muN*则

(

1Qn

a=------,

。〃=©+(〃_l)d,n—m

,z,x,a„-am=(n-m)d<

am=a\-\-(m-1)d

Ian=am+(n—m)d.

4.等差数列的单调性

由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.

①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；

②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；

③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.

因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.

图①图②图③

5.等差数列的性质

设｛0“｝为等差数列，公差为“，则

(1)若m+n=p+q(m,n,p,qGN*),贝!j%+Q〃=即+4.

(2)数列｛2%+b｝3力是常数)是公差为Ad的等差数列.

(3)若｛乩｝是公差为"的等差数列，｛对｝与｛乩｝的项数一致，则数列｛4为+%乩(九为常数)是公差为

九d十心"的等差数列.

(4)下标成等差数列且公差为m的项耿，〃左+帆,欧+2加N*)组成公差为md的等差数列.

(5)在等差数列｛4｝中，若/=加，am=n,m^n,则有。加+〃=0.

►题型归纳

【题型1等差数列的基本量的求解】

【例1.1](2024•山东•模拟预测)在等差数列｛an｝中，已知的=一9,a?+a5=-9,42兀-1=9,则几=()

A.7B.8C.9D.10

【例1.2】(24-25高三上•贵州贵阳•阶段练习)已知等差数列满足+a7=32,a6-a4^6,则的=()

A.2B.4C.6D.8

【变式1.1](24-25高二上•福建龙岩•开学考试)等差数列｛厮｝满足a4+a7=12,a5=5,则该等差数列的

公差d=()

A.1B.2C.3D.4

【变式1.2]（23-24高二下.河南南阳•期末）若｛即｝是正项无穷的等差数列，且口3+。9=6,则｛/J的公差d

的取值范围是（）

A.[1,2）B.（0,|）C.（|,+8）D.[0,|）

【题型2等差数列的通项公式的求解】

【例2.1]（23-24高二上•重庆•阶段练习）已知等差数列｛an｝为递增数列,且满足+a7=34g-a6=280,

则其通项公式为（）

A.an=6n-10B.an=3n+2

C.an=2n+7D.an=n+10

【例2.2]（2024•陕西宝鸡•模拟预测）已知首项为2的等差数列｛an｝,的前30项中奇数项的和为A,偶数

项的和为2,且8-2=45,则厮=（）

A.3九一2B.3n—1C.3九+1D.3九+2

【变式2.1]（2024高二.全国・专题练习）在等差数列-5,-3|,-2,-右…每相邻的两项之间插入一个数，

使之组成一个新的等差数列｛a".

（1）求新数列｛aj的通项公式；

（2）28是新数列｛时｝的项吗？若是，是第几项？

【变式2.21（23-24高二下•北京怀柔•阶段练习）在等差数列｛a九｝中，已知的+他+ai3=12,a3a8a13=28

⑴求数列｛即｝的通项公式；

（2）求。23的值；

（3）—蔡是不是数列｛a九｝中的项？

【题型3利用等差数列的性质解题】

【例3.1］（2024•全国•模拟预测）已知等差数列｛an｝满足的劭+。2a7+a3a9+a7a8=则的=（）

A.|B.5C.5或一5D.［或一］

【例3.2］（23-24高二上•陕西咸阳•阶段练习）在等差数列｛即｝中，^a3+a4+a5+a6+a7=45,则+

O.Q—（.）

A.16B.17C.18D.19

【变式3.1］（23-24高二下•辽宁鞍山•期中）已知数列｛的J是等差数列，若%-的+%7=7,则的+的5等

于（）

A.7B.21C.14D.17

【变式3.21（23-24高三下•海南省直辖县级单位•阶段练习）等差数列中，若以+卷+他+%o+%2=

120,则口9一2的1的值是（）

A.14B.15C.16D.17

【题型4等差数列的判定与证明】

【例4.1】（24-25高二上•全国•课后作业）已知正项数列｛&J满足a九+遂九+2+an+1an=2an+2an+1an+

九+2072，日.a1—,a?=—,

2a一14

⑴判断数列［二一-二）是否为等差数列，并说明理由；

lan+ian）

（2）求数列｛册｝的通项公式.

【例4.2】（23-24高二下•云南昆明•阶段练习）已知数列｛an｝满足：at=1,a2=4,an+2=2an+1-an+2.

（1）证明：｛册+i—即｝是等差数列，并求｛即｝的通项公式；

（2）设垢=an+2，若数列｛,｝是递增数列，求实数k的取值范围.

【变式4.1]（23-24高二下.重庆荣昌•阶段练习）己知数列5｝满足限1=鲁m缶7*）,且的=3.

（。3,。4；

（2）证明：数列｛忘｝是等差数列，并求an.

【变式4.2]（24-25高二上•上海•课后作业）已知数列｛&J有的=a,a2=p（常数p>0）,对任意的正整

n

数"，S”=a1+a2—+an1并有％满足%=（"3"i）.

⑴求a的值；

（2）试确定数列｛即｝是不是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由.

等差数列的前〃项和公式

1.等差数列的前“项和公式

等差数列的前“项和公式

"（0+。”）,公甫一、

S„=nai+〃D-d（公式二）.

2.等差数列前〃项和的性质

等差数列｛斯｝的前n项和Sn的常用性质

性质1等差数列中依次上项之和Sk,S2lrSk,S^S2k,…组成公差为炉d的等差数列

若等差数列的项数为2〃（几£N*）,贝！IS?”=+a〃+i）,S偶一S奇=nd,

S偶_4〃+1

性质2S奇4〃’

若等差数列的项数为2〃-l（〃£N*）,则S21=（2〃-1）-a〃（斯是数列的中

间项），S奇S偶=。“，q=

3奇〃

｛斯｝为等差数列分｛手｝为等差数列

性质3

若｛斯｝，｛5｝都为等差数列，分别为它们的前〃项和，则咨=>

性质4

Um/2m—1

3.求等差数列前〃项和的最值的常用方法：

（1）邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求

得和的最值；

（2）二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前"项和S产A,+Bw（A,B为常数，AWO）为二次函数,

通过二次函数的性质求最值.

（3）不等式组法：借助当&最大时，有《「二:一】，S22,〃£N*）,解此不等式组确定〃的范围，进

而确定n的值和对应S〃的值（即S〃最大值），类似可求S”的最小值.

►题型归纳

【题型5等差数列前〃项和的性质】

【例5.1］（2024高三・全国・专题练习）已知％是等差数列｛&J的前“项和，若54=12$=40,则2=（）

A.44B.52C.68D.84

【例5.2］（2024高二•全国・专题练习）已知又是等差数列｛%｝的前"项和，若的=—2。24,寝-需=6,

贝伊2。24等于（）

A.-4040B.-2024C.2024D.4040

【变式5.1］（2024•陕西榆林•模拟预测）已知数列｛%J,｛与｝都是等差数列，记Sn,7；分别为｛an｝,｛,｝的

前〃项和，且员=吵二，则”=（）

Tn3nb5

A.-B.-C.-D.-

5533

【变式5.2]（23-24高二上•黑龙江牡丹江•期末）已知等差数列｛aj也｝的前n项和分别为S,*,若?=一三,

n1flOlliJ.

则笆色=（）

%+匕5

A.—B.—C.—D.—

11111314

【题型6求等差数列的前“项和】

【例6.1】（24-25高三上•江苏苏州•开学考试）已知等差数列｛an｝的公差大于0,a5+a3-a2=0,a5a7=-1,

则｛5｝的前10项和为（）

A.-4B.0C.-5D.5

【例6.2]（2024•河南信阳•模拟预测）已知数列｛即｝,｛.｝通项公式为即=2n-1,刈=3n-2,将数列

｛即｝｛b｝的公共项从小到大排列得到数列｛%｝,设数列｛0｝的前n项和为S”，贝US.=（）

A.3n2B.3n2—nC.2n2—2nD.3n2—2n

【变式6.1]（24-25高二上.福建莆田•阶段练习）记立为等差数列｛即｝的前n项和,已知a2=-27,a7=-17.

（1）求等差数列的通项公式；

（2）求出数列的前n项和

【变式6.2]（23-24高三上•广东广州•期中）已知数列的首项为的=点且满足与+1+4即+网-即=0.

⑴证明：数列｛J为等差数列；

⑵设数列身的前n项和为Sn,求数列｛（一l）"Sn｝的前n项和.

【题型7等差数列前"项和的最值】

【例7.1](24-25高三上•江苏南通•开学考试)在等差数列｛厮｝中，若a4+2a9=ci2=8,则下列说法错误

的是()

A.%=9B.Si。=45

C.Sn的最大值为45D.满足%>0的n的最大值为19

【例7.2](2024.黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知｛册｝是等差数列，是其前n项的和，则下列结论错误的是

()

A.若与=2/1—25,则％取最小值时n的值为12

B.若斯=-3n+27,则%的最大值为108

C.若Si3=S"，则必有$30=0

D.若首项的>0,S6=S12,则％取最小值时n的值为9

【变式7.1](23-24高二下•北京怀柔•期中)已知数列的前n项和为Sn=21-18Tl

(1)求数列｛册｝的通项公式a“

(2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由；

(3)求工的最小值，并求又取最小值时n的值.

【变式7.2](23-24高二下•贵州遵义•阶段练习)已知等差数列｛an｝的前〃项和为Sn,a3=7,S9=27.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)当"为多少时Sn取得最大值，并求先的最大值；

(3)若“=|*,求数列｛砥｝的前〃项和田.

【题型8等差数列的简单应用】

【例8.1](23-24高二上.云南迪庆・期末)明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，n,S”和d求各

项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长

儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排

列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，

则该问题中老人长子的岁数为（）

A.27B.31C.35D.39

【例8.2］（23-24高二上•河南洛阳•期末）倜髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、

立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、

立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则谷雨日影长为（）

A.1.5尺B.3.5尺C.5.5尺D.7.5尺

【变式8.1］（24-25高二上•全国•课后作业）一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务.第一辆

车于14时出发，以后每间隔lOmin发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息.

（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？

（2）如果每辆车行驶的速度都是60km/h,这个车队当天一共行驶了多少千米？

【变式8.2］（23-24高二下•全国・单元测试）用分期付款的方式购买家用电器需11500元，购买当天先付1500

元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%,若从交付1500元后的第1个月开始算分期付款的

第1个月，问：

（1）分期付款的第10个月应交付多少钱？

（2）全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？

A课髓施（19题）

一、单选题

1.（24-25高三上•天津•阶段练习）等差数列｛&J中，a2=4,a4=10,则ag=（）

A.26B.22C.18D.14

2.（24-25高二上•全国•随堂练习）若a,b是方程%2一2%-3=0的两根，则a,b的等差中项为（）

33

A.-1B.--C.1D.-

22

3.（23-24高二上•河北保定•期末）已知数列｛&J满足即+1=即+6,｛a｝的前几项和为无,则黯-濡=

n20242022

（）

A.12B.6C.3D.2

4.（24-25高三上•山西忻州•阶段练习）已知数列｛册｝满足皿+皿=2,且a2=#则3a1oo=

G九ClTI+2+17

（）

A.-B.-C.-D.—

65676971

5.（2024高二•全国•专题练习）已知数列｛册｝中，的=l,a2=30,2an=an+1+an_r+2（neN*且n>2）,

则数列｛%J的最大项是（）

A.。15B.。16C.。17D.。18

6.（2024高二•全国・专题练习）现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里的钱不一样多，依次成

等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，则丁有（）

A.107钱B.102钱C.101钱D.94钱

7.⑵-24高二下•河北张家口•开学考试）已知等差数列｛厮｝,%=-4048,其前n项和为金，若黑-普=4,

则52025=（）

A.0B.20242C.2025D.20252

8.（24-25高三上•河北衡水•阶段练习）已知等差数列｛an｝的公差小于0,前〃项和为%,若a2=安,S8=44,

则土的最大值为（）

A.45B.52C.60D.90

二、多选题

9.（23-24高二上•重庆•阶段练习）对于数列｛%3，若的=1,a4=2,an+2-an+2（neN*）,则下列

说法正确的是（）

A.a2=0B.数列｛a"是单调递增数列

C.数歹式。2„.1｝是等差数列D.数列｛厮+an+J是等差数列

10.（23-24高二上.江苏南通•阶段练习）已知等差数列｛aj的前"项和为无,且公差dK0,若对于任意正

整数”，5^252022,则（）

A.%>0B.d>0

C.。2022=°D.S4045>0

11.（24-25高三上•内蒙古包头•开学考试）已知等差数列｛an｝的前〃项和为Sn,的<0,且（S7-53）67-S。<

0,则（）

A.<0B.S4<S7<S3

C.当几=6时，Sn取最小值D.当0时，”的最大值为10

三、填空题

12.（24-25高三上•重庆・开学考试）已知等差数列｛an｝中，的=-3,a2+a3=0,