等比数列-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第16讲等比数列

【人教A版2019】

符号在数列｛〃“｝中，如果S=q(〃N2,〃GN*)(或乎=q(〃GN*))(分0)成

语言

立，则称数列｛〃.｝为等比数列，常数q称为等比数列的公比

递推

a”=a”1♦于0,〃wN*,〃三2,0手0）或%十1=a”•q（qW0.£N*,白丰0）

关系

2.等比中项

如果在。与6中间插入一个数G(G#)),使“,G力成等比数列，那么G叫做。与6的等比中项.

若G是a与b的等比中项，则£=与，所以G'ab,即G=±，茄.

aG

3.等比数列的通项公式

若等比数列｛。“｝的首项为可，公比为q,则这个等比数列的通项公式是0,(小，#0).

4.等比数列的单调性

已知等比数列｛。”｝的首项为公比为分则

⑴当卜〉?或，:时，等比数列｛a,｝为递增数列；

q>l(J<q<1

(2)当,：或卜时，等比数列｛a"为递减数列；

(3)当q=l时，等比数列｛痣｝为常数歹!J(这个常数列中各项均不等于0)；

(4)当q<0时，等比数列｛&｝为摆动数歹取它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶

数项异号).

5.等比数列的性质

设｛a“｝为等比数列，公比为°,则

(1)^m+n=p+q,m,n,p,qJN*,贝!Ja相。〃=。2%.

(2)若根儿pO几pWN*)成等差数列，则%,即,。夕成等比数列.

(3)数列｛2为｝(丸为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；

数列｛—｝是公比为工的等比数列；

a„q

数列｛|a“|｝是公比为团的等比数列；

若数列｛儿｝是公比为"的等比数列，则数列｛“-6”｝是公比为小丁的等比数列.

(4)在数列｛。“｝中，每隔加teN*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为

qk+'.

(5)在数歹[]｛a"中，连续相邻七项的和(或积)构成公比为q*(或q2)的等比数列.

(6)若数列｛。“｝是各项都为正数的等比数列，则数列｛log〃“｝(c>0且存1)是公差为log/的等差数列.

►题型归纳

【题型1等比数列的基本量的求解】

【例1.1](23-24高二下•四川攀枝花•期末)已知等比数列5｝满足(15-。3=12,。6-。4=24,则首项的=

()

A.-64B.-C.1D.2

2

【解题思路】根据给定条件，列出关于的,q的方程组，再求解即得.

【解答过程】设等比数列的公比为q,

22

4BfaiQ（Q-1）=12

由as—a3=12,a6—a4=24,32

^la1q（Q-1）=24

所以q=2,%=1.

故选：C.

【例1.2](23-24高二上•甘肃定西•阶段练习)己知数列｛时｝为等比数列，若。2/3=2的，且与2a7的等

差中项为£则数列｛an｝的公比q=()

11

A.-B.2C.-D.4

24

【解题思路】根据等比数列下标和性质求出应，再由等差中项的性质求出的，从而求出公比.

a

【解答过程】等比数列｛an｝中w,。3=%.。4，又。2•3=2cl1，所以的•a4=2%,显然的H0,

所以。4=2,又。4与2a7的等差中项为3所以+2。7=2即2+2(^=2x3

444

所以。7=；,贝叼3=匕=；,所以q=；.

4。482

故选：A.

【变式1.11(23-24高二上•山东聊城•期末)已知数列｛%J满足an+i=2((1n+1),若的=78,则%=().

A.4B.3C.-D.2

2

【解题思路】由题意可得｛a九+2｝是公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可，

【解答过程】由册+i=2(an+1)可得a九+i+2=2(an+2),

所以&喈=2,则｛a“+2｝是公比为2的等比数列，

a九十2

所以的+2=(%+2)-24=80,所以的=3.

故选：B.

【变式1.2](23-24高二下•黑龙江哈尔滨•开学考试)已知数列｛an｝为正项递增等比数列，+a2+a3=y,

工+工+工则该等比数列的公比q=()

。2。36

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】由已知结合等比数列的性质求出。2,进而可求出公比.

【解答过程】由题意的>0,q>1,

..,,211,1,17+2=dr+a+a

由+g+%=-9—I------1—二一23

2al股的6«2返

21

得急=（，所以。2=3（。2=-3舍去），

二匚.321015

所以Q]+03=/+o3q=——3=—

整理得2q2-5q+2=0,解得q=2（q=]舍去），

所以q=2.

故选：A.

【题型2等比数列的通项公式的求解】

【例2.1]（2024•全国•一模）等比数列｛an｝中,\a±\=1,a5=-8a2,a5<a2,贝服九=（）

A.（一2）九一1B.一（一2）九一1C.（-2）nD.-（-2）n

【解题思路】根据题意等比数列的性质可得公比q=-2,且由劭可得的=-1，从而可求解.

【解答过程】由题意知数列｛时｝为等比数列，设公比为q,由的=-8。2,得的q3=-802,解得q=-2,

因为即4VQiq,即16al<—2%,所以的V0,又因为|%J=1,所以的=—1,

所以册=aiqnT=-lx（-2）九t=一（一2尸一1,故B正确.

故选：B.

【例2.2]（23-24高二上•广东深圳.期末）已知数列｛%J的前n项和为无,满足%=|即—3,贝=（

nnnn

A.an=3B.an=2-3C.an=6-3D.ctn=6

【解题思路】利用册=[求出为首项为6,公比为3的等比数列，从而求出通项公式.

9九3九—1，八N/

【解答过程】=|a九—3①中，当九=1时，。1=|。1一3,解得的=6,

当九22时，S九_1=|a九_1一3②，

式子①-②得，=|%1—即。九=3册_1，

故匕九｝为首项为6,公比为3的等比数歹（J,

故即=6-3rlt=2・3纵

故选：B.

【变式2.1](23-24高二下•贵州贵阳•阶段练习)已知等比数列｛an｝的前“项和为Sn,且2Sn=3即+]-3.

(1)求｛5｝的通项公式；

(2)求数列｛S"的通项公式.

【解题思路】⑴利用即=[?结合题意可求出｛an｝的通项公式；

(2)利用2s九=3与+1-3结合(1)可求出土.

【解答过程】(1)解：由2szi=3册+1—3,

当九>2,2szi=3an—3,

两式相减得：2an=3an+1-3an,

所以5an=3an+「所以臂1=|

等比数列｛即｝的公比为q=[,而由2S”=3an+1-3,

即2sl=3a2-3,

所以2al=3a也—3,代入q=|,则a[=1,

71—1

©■

71—1

,2S=3a-3,

©nn+1

所以2Sn=3x(§"—3,

所以％=|x(I)-|.

【变式2.2](23-24高二下.四川成都.期中)记外为数列5｝的前〃项和，且25n=3an-2n,nGN*.

(1)求的及数列｛a九｝的通项公式；

(2)若g=卫匕，｛“｝前"项和为心，求7；的取值范围.

anan+l

【解题思路】(1)由an，S”的关系，消去&得到an的递推关系，构造等比数列即可得解;

(2)利用裂项相消法求出和，根据单调性分析范围即可.

【解答过程】(1)由2Sn=3即一2也可得，2s1=3%-2,解得出=2,

当n>2时，由2Sn=3an-2n可得2SnT=3%1T-2(n-1),

两式相减可得2aji=3an-3an_r-2,即册=3an_1+2,

可化为an+1=33n_i+1),

故数列｛的,+1｝是首项为3,公比为3的等比数列，

则a九+1=3%可得=3n—1.

O）rHL_2x3n_2X3___2_____________1

,田％=­+1=（3J）（3\+J）=3J-3九+1—1，

:匚1、1,_11,11,।11_11

所以*=5_金+目一焉+…+==

由e｝为递增数列可知，Tn2T1=|，又，>0,所以〃<5

所以加的取值范围为修彳）.

【题型3等比数列性质的应用】

【例3.1］（2024•甘肃陇南•一■模）已知数列｛厮｝为等比数列，a2++。6=8,工+工+工=2,贝!Ja4=（.）

CLCL

一a246

A.2V2B.±2V2

C.2D.±2

【解题思路】利用等比数列的性质与通项公式即可得解.

【解答过程】因为｛即｝为等比数列，则公比q#0,

所以a,—a2a6，又。2+。4+。6=8,

所以上+工+上=2+工+工=%土生+铝=电+与

。2。4。6。2。6。4。2a6。4。4。4

=a?+；f%=1=2,解得。4=±2,

又g+。4+。6=。2（1+勺？+Q4）=8>0,TfUl+Q2+Q4>0恒成立，

所以。2>0,则北=a2q2>0,故。4=2.

故选：C.

【例3.2】（23-24高二上•江苏常州・期末）已知等比数列木工满足的=2,%+的+劭=26,则的+a5+a7=

（）

A.26B.78C.104D.130

【解题思路】根据已知求出q2=3,然后即可根据等比数列的性质得出答案.

【解答过程】设等比数列公比为q,

根据已知可得，的+他+%=«i（l+那+Q4）=2（1+q?+q4）=26,

所以，1+q2+（q2）2=13,解得q?=3,

2222

所以，a3+a5+a7=arq+a3q+a5q=q^ar+a3+a5）=3x26=78.

故选：B.

【变式3.1］（23-24高一下.四川泸州•期中）在等比数列｛a九｝中，a3a4a5=3,a6a7aQ=24,则a9al。的］的值

为（）

A.48B.72C.144D.192

【解题思路】由等比数列的性质求解

【解答过程】数列是等比数列，则a3a4a5=遍=3,a6a7a8=源=24,

而粤=胃=8,故的=a：。=24X8=192.

故选：D.

【变式3.2]（2024•四川甘孜.一模）在等比数列中，。4，08是方程/—8久+2=0的两根，则至匕=（）

0-6

A.V2B.-V2C.±V2D.3±V5

【解题思路】根据一元二次方程根与系数的关系，结合等比数列的性质求解.

【解答过程】因为5｝是等比数列，且。4,是方程/一舐+2=0的两根，所以：｛鲁];，且＞3

他＞0.

根据等比数列的性质，得：*，，。7=磷=2,且&＞。，所以即=企

...as-a7=怒=&.

a6

故选：A.

【题型4等比数列的判定与证明】

【例4.1]（24-25高二上•全国•课后作业）已知数列｛%｝中,at=l,a2=2,2an=an+2-an+1.

（1）求。3，。4，。5,并猜想｛%J的通项公式（不需证明）；

（2）证明：数列｛an+i+%J是等比数列.

【解题思路】（1）先根据递推公式得出。3«4，。5,再计算得出等比的通项公式；

（2）结合已知应用递推公式,根据等比数列定义证明等比数列.

【解答过程】（1）由2ct-fi=a^+2—/1*可。3=2al+a2=4,CL^=2a2+ct^*8,。$=2a3+ct^=16.

n

结合的=1,。2=2可猜想数列｛an｝的通项公式为an=2-\

（2）因^/（Zw+2=2cin+cZw+i，a1—1,a2=2,

所以｛即｝为正项递增数列，所以即+1+an^0,

以。n+2+。1+1_2a）+a7t+1+6172+1_2

an+l^~anan+l~^an

故数列｛册+1+a/是等比数列.

【例4.2]（2024高二•全国•专题练习）已知数列和｛4｝满足的=%an+1=|an+n-4,bn=

n

(-l)(an-3n+21),其中4为常数，〃为正整数.

(1)证明：对任意实数人数列｛厮｝不是等比数列；

(2)试判断数列｛b｝是否为等比数列.

【解题思路】(1)利用反证法，根据成=的。3,可得矛盾，即可求解，

(2)代入化简可得e+1=-|匕，利用等比数列的定义，即可求证.

【解答过程】(1);cin+i=~Qn+n—4且a1—A)a2——2.—3,CL^——A—4.

假设存在一个实数九使数列是等比数列，

2

则匿=的03，即(|"3)=2(9-4),即疗一42+9=#一4九得9=0,矛盾.

故对任意实数人数列｛%J不是等比数列.

n

(2)-：bn-(-l)(an-3n+21),

n+1n+1

=(-l)-[an+1-3(n+1)+21]=(-l)(|an-2n+14)=—|(—l)”(an—3n+21)=

•.•瓦=-(2+18),

.•.当4=—18时，瓦=0,此时数列｛匕｝不是等比数列;

当;IH—18时,瓦力0,此时宇=6N*),数列｛b｝是等比数列.

6n3

【变式4.1】(2024高三•全国•专题练习)已知数列｛%｝满足的=1,a2=5,an+2=5an+1-6an.

(1)证明:｛a』一2%J是等比数列；

(2)求an.

【解题思路】(1)由题意，可得的i+2-2。n+1=3(a九+i-2。九)，(neN*),又由。2-2。1=3,利用定义

法即可证明数列5+1-2%｝是以3为首项，3为公比的等比数列；

(2)同理可得a九+2—3a九+i=2(an+1—3czn),由%—2al=3,即可利用定义法证明数列｛a九+1—3%；｝是

以2为首项，2为公比的等比数列，求出｛%+1-3须｝通项公式，再结合厮+1-3%=2九即可求解.

【解答过程】(1)由已知，61rl+2=5(1rl+1—6。九，

a

,•n+2~2a九+i=5an+1—6an—2an+1,

・・a九+2-2azi+i=3。九+1—6an=3(an+i—2an)>

显然%i+i-2a九=。与=1,a2=5矛盾,

••@九+1-2a九W0,

•an+2~^-an+i_&

an+l~^-an

・••数歹U｛册+1—2%J是首项为。2—2%=5—2=3,公比为3的等比数列.

（2）•。九+2=5。九+I6a九,

a

,•n+2~3a九+i=5a九+i—6an—3an+1,

a

,,n+2~3a九+i=2。九+1—6cin=2（。九+1—3an）,

显然。九+1-3a九—0与a1=1,a?~5矛盾，

••0几+i3ctfi.0，

•an+2~^an+l_9

an+l~^an

♦•・数歹式31+1_3an｝是首项为。2-3%=5-3=2,公比为2的等比数列，

-•・。九+1-3a九=2九,①,

n

又,由第（1）问，an+1-2an=3,②，

・・・②一①得册=3n-2n.

【变式4.2]（23-24高一下•上海•阶段练习）已知数列｛a九｝满足的=a（aER,aH-|）,an=2an_r+^+

显用（neN,n>2）.又数列｛%｝满足%=即+三.

（1）求证：数列｛与｝是等比数列；

（2）若数列｛厮｝是严格增数列，求a的取值范围.

【解题思路】（1）根据给定的递推公式，裂项变形，再利用等比数列定义判断即得.

（2）由（1）求出数列｛厮｝的通项，再由单调性列出不等式，分离参数，借助单调性求解即得.

【解答过程】（1）当n22时，a”=2厮_1+£+网工）=2an_]+：-即即+W=2（即-1+》，亦

即bn=2bn_i,

又瓦=a+|^0,即品于0,所以数列｛篇｝是等比数歹1L

71

(2)由(1),%=(a+》,2nT,即即+^=9+》.2-1，an=(a+》.2nT-W

n-1

依题意,an+i>厮=(a+1),2"—>(a+|)-2—对任意的正整数TI成立,

BPa+|1>--对--任---意--的---正--整数71成立,

(n+2)(n+l)-2n-

而数列｛一证而看后｝严格增，且一（“+2）（“"々，—<0对任意的正整数「成立，

因此a+工20,又a大一工，解得a>—三,

所以a的取值范围是(一与+8).

等比数列的前几项和公式

1.等比数列的前“项和公式

若等比数列｛。“｝的首项为色，公比为q,则等比数列｛。“｝的前几项和公式为

nax应=1

见（1—q"）_ax—anq

2.等比数列前〃项和公式与指数函数的关系

⑴当q=l时，5〃=〃处是关于及的正比例函数，点(凡S〃)是直线产勾尤上的一群孤立的点.

⑵当点1时，工=虫1^=4——4〃・记A=/，则5“=-力右+4是一个指数式与一个常

数的和.当q>0且#1时，y=q"是指数函数，此时，点(",S")是指数型函数尸-眼”+4图象上的一群孤立的

点.

3.等比数列前〃项和的性质

已知等比数列｛为｝的公比为4,前n项和为S“，则有如下性质：

(1)S"+"=S"+qnS,„.

(2)若S《,S"—S'—S2k(k&N*)均不为0,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2尤成等比数列，且公比为4*.

(3)若｛a“｝共有2”(WGN*)项，则盥

若｛%｝共有(2〃+1)(〃GN*)项，则$Y出=q.

【题型5等比数列前"项和的性质】

【例5.1](2024.湖北襄阳.模拟预测)已知等比数列｛而｝的前?1项和为%,若Sg+$24=140,且524=13s8,

则S16=()

A.40B.-30C.30D.-30或40

【解题思路】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解.

【解答过程】因为S8+S24=140,且S24=13品，

所以§8=10,$24=130,故qW±l,

所以会=皆=3)2+q8+1=13,即3)2+q8一12=o,解得q8=3或q8=一4(舍去)，

由等比数列性质可知,S8，S16-S8，S24-S16成等比数列，公比为q8=3

所以S16-10=10XQ8=30,解得S16=40,

故选：A.

【例5.2](23-24高二下•湖北恩施•期中)设%是等比数列｛a“｝的前n项和，若S3=4,a4+a5+a6=8,则例=

()

A.—16B.7-C.5D.7—

7315

【解题思路】利用S3，S6-S3,S9-S&S12-S9成等比数列求解可得答案.

【解答过程】S3=4,S6-S3=8,可得"匹=合=。=2,

§3S6~S3S9~S6

可得$6=4+8=12,$9=2x8+12=28,S12=2x16+28=60,

则维=竺=竺

S9287,

故选；A.

【变式5.1](23-24高二上.重庆・期中)已知等比数列｛/J有如+1项，的=1,所有奇数项的和为85,所

有偶数项的和为42,贝旧=()

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】根据等比数列的性质得到奇数项为1+q2+q4+-+q2n=l+q(q+q3+q5+•••+q2^1)=

85,偶数项为q+q3+q5+...+q2n-i=42,得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前〃项和的

公式求出w即可.

【解答过程】因为等比数列有2n+l项，则奇数项有n+1项，偶数项有几项，设公比为q,

得到奇数项为1+q?+q4_(---1.勺2n=1+q(q4-q3+q5H---Fq2n-1)-85,

偶数项为q+q3+q5+...+q2n-i=42；整体代入得q=2,

所以前2n+1项的和为三二=85+42=127,解得n=3.

1—2

故选：B.

【变式5.2](23-24高二下•江西上饶•阶段练习)正项等比数列｛厮｝的前n项和为%,S30=21S10,S10+S30=

220,则S20等于()

A.90B.50

C.40D.30

【解题思路】由S30=21Sio，S10+S30=220可得Si。=10,S30=210,由等比数列前〃项和的性质可得

(S201slo)2=S10(S30—S2o)>代入求解即可.

【解答过程】解：因为％是正项等比数列｛即｝的前n项和，

所以(S2n—SQ2=S”(S3n—S2”)，

所以(520-Si。)？=Sio(S3o—S20),

又因为S30=21Sio，S10+S30—220,

所以Si。=10,S30=210,

所以(520-10)2=io(21O-S20),

解得S20=50或$20=—40(舍).

故选：B.

【题型6求等比数列的前“项和】

【例6.1](23-24高二下.天津期中)等比数列QJ的前ri项和为5,满足4S”=2an+1-1,则S4的值是()

A.20B.30C.—20D.40

27

【解题思路】根据公式%—5^1=6^,n>2,求公比，再赋值九二1求首项，最后代入等比数列的前几项

和公式，即可求解.

【解答过程】由4szi=2an+1-1,

当九之2时，4Sn_x=2an-1,两式相减得4。九=2。九+1—2。九，

即册+1=3册，n>2,因为数列｛an｝是等比数列,

所以q=&±i=3,

由4szi=2azi+1-1中，令几=1,4sl=4al=2a2—1,

即4al=2ait/—1=6al—1,得的=

所以S4=4p=20.

故选：A.

【例6.2】(23-24高二下•安徽芜湖•阶段练习)已知数列｛&J为等比数歹U,S九是它的前几项和，若g•%=2%,

且ci4与2a7的等差中项为章则54=()

A.35B.33C.31D.30

【解题思路】设等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差中项的性质，解方程可得首项的=16

和公比q=|,运用等比数列的求和公式即可.

【解答过程】设等比数列｛a"的公比为q，

,,,•03=2d],：♦(Z]•(Z4=2d],

,,,a1W0,•*•。4=2,

•・•。4与2a7的等差中项为3,

a4+2a7=2x即2+2a7

••・q=、，

由=a1qS=-a1—2,口Td^Q]=16,

ai(i-q4)_16x[1~(；)4]

•••S4=

故选：D.

【变式6.1]（24-25高二上•全国•课后作业）在数列｛即｝中，已知的=4,2.=而+3.2%

（1）证明：｛口-2/是等比数列;

（2）求数列｛斯｝的前几项和立.

【解题思路】（1）根据题意，化简得到皿若n二结合等比数列的定义，即可得证；

an—22

（2）由（1）求得册=++2%结合等比数列的求和公式，即可求解.

【解答过程】（1）因为数列｛%｝中，2与+1=厮+3x2%

n

可得25+1-2"+i）=an-2,网一2丰0,所以

因为的=4,所以数列｛%,-2r是首项为2,公比为西勺等比数列.

（2）由（1），可得加一2"=2'©l-1=©尸-2,所以厮=去+2%

【变式6.2]（2024•内蒙古包头•三模）已知数列｛an｝的前〃项和为先,的=3,Sn=l+an+1.

⑴证明:数列｛S“—1｝是等比数列，并求立；

（2）求数列｛J的前〃项和

【解题思路】（1）根据题意S九=1+%i+i及4i+i=s九+i—Sn,整理可得，即可得证;

（2）根据（1）中为可求出与分类讨论求出工的通项公式，再根据等比数列前n项和可求得%.

an

【解答过程】（1）因为%=1+即+1，又厮+1=Sn+i-Sn，

所以上+1-2Sn+1=0,整理得%+1-1=2（Sn-1）.

由题意得Si-1=%-1=2,

所以数列周一1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，故%-1=2%

即％=2n+l.

（2）由⑴可厮吨=:上，

当n=1时，

当n22时,工=（广

an\2）

所以〃=（++…+（广

一+

当n=1,代入7n==:满足公式,

综上，T=

ni-GF

【题型7等比数列的简单应用】

【例7.1]（23-24高二下•辽宁沈阳•阶段练习）明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层,

红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（）

A.3盏B.4盏C.5盏D.7盏

【解题思路】根据等比数列的前n和公式建立方程，解出即可.

【解答过程】设各层塔的灯盏数为an（n=1,2,…7）,

数列｛即｝是公比为2的等比数列，

由题意可得S7=”中=381,

解得＜21=3,

故选：A.

【例7.2]（23-24高二下•河南南阳•期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款。元购买一台笔记本电脑，然

后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，

且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为九则小明每个月所要还款的钱数为（）元.

A.a(l+t)12

a(l+t)12

D.---------

12

C皿l+t)12

•12[(l+t)12-l]

nat(l+t)12

D，(l+t)12-l

【解题思路】根据等额本息还款法，分别写出第一个月末，第二个月末，…，第12个月末所欠银行贷款,

其中第12月末还清所有的欠款，利用递推关系由等比数列前n项和公式列出方程求出结果.

【解答过程】设小明每个月所要还款的钱数为万元，

根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：的=a(l+t)-x,

第二个月末所欠银行贷款数为：=^1(1+t)-x=a(l+t)2-%(1+t)-x；

第12个月末所欠银行贷款为：

=a(l+t)]？一%(1+t)"-x(l+t)i°一…—X(1+t)-X

]_(1+[)12

=a(l+t)12—%[(1+t)114-(14-1)10+...+(1+t)+1]=a(l4-1)12—x-—------------r-

1-(1+

=a(l+t产+“*匕

由于分12次还清所有的欠款，所以a(l+t)12+%-匕等兰=0,

解得“=黑普

故选：D.

【变式7.1](23-24高二下•四川南充•阶段练习)我市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2018年投

入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,则：

(1)我市在2024年应该投入电力型公交车多少辆？

(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的军

(参考数据：lg657a2.818,lg3Vo.477,lg2«0.301)

【解题思路】(1)结合题意计算即可得；

(2)借助等比数列求和公式即对数运算法则解不等式即可得.

【解答过程】(1)设第2017+71年投入时辆电力型公交车，则斯=128X(|)"T,

2024年应该投入电力型公交车a?=128X(1)6=1458辆;

(2)设第2017+ni年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的3

有的+。2+•••%„=―」=256•(£)—256,

则有的+a2+,,,am>-(a]+a2+c1m+10000),

即256•(|)m-256>j[256•(|)6-256+lOOOo],

整理得(|)m>罢=署，即mQg3—lg2)>Ig657-51g2,

即巾>1鸵57-5悴x2H8YX0.301-”,

lg3Tg20.477-0.301

即2025年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的:.

【变式7.2](23-24高二上.江苏无锡.阶段练习)某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，

计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带

来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记

2022年为第1年，/(元)为第1年至此后第4nGN*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润=累计收入-累

计投入,单位:千万元)，且当/㈤为正值时,认为新产品赢利.(参考数据1,257工4.8,1,258«6.0,1.259工7.5,

1.2510~9.3)

(1)试求((71)的表达式；

(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.

【解题思路】(1)由题意求出累计投入，可判断出每年的收入为等比数列，根据等比数列求和公式求解出

累计收入，从而表示出/■(?!)；

(2)由(1)可得f(n+1)-f(n)=-1,根据/(n+1)-/(n)的正负判断出/⑺的单调性，再根据

f(n)的单调性即可得出结论.

【解答过程】(1)由题意知，第1年至此后第以zieN*)年的累计投入为4+(n—1)=几+3(千万元)，

设第n年的收入为a“，前n年的累计收入为S”，

由题意得的=a=aX(1+25%)=-a,

2n+1n4n

所以数列｛时｝是以I为首项、以泊公比的一个等比数列,

则有与=[(3nT(千万元)，

犯-停5

\4/=2[(£)"一1](千万元)，

S=Cl]++…+&i=—

n1--

4

所以/'(ri)=Sn—(n+3)=2[(：)-1]-n-3,即/(n)=2,(：)-n—5(千万元).

所以f5)的表达式为f5)=2-(I)"-n-5(neN*)；

(2)因为/5+1)-/5)=[©)"—1,

所以当nW3时，f(n+1)-f(n)<0,即/(n)单调递减，

当几24时，f(n+1)-f(n)>0,即/(ri)单调递增，

8

又/⑴--|<0,/(8)=2xg)-8-5<0,/(9)=2x-9-5>0,

所以该新产品将从第9年开始并持续赢利.

所以该新产品将从2030年开始并持续赢利.

【题型8等比数列与不等式综合】

【例8.1](24-25高三上•浙江•阶段练习)已知数列｛册｝的首项的=-1,且满足厮+1=蒜.

(1)求证：数列｛^-1｝为等比数列，并求出数列｛£｝的通项公式；

(2)若工+10,求满足条件的最大整数??.

。2。3

【解题思路】(1)根据等比数列的定义证明数歹可5-1｝为等比数列，再根据等比数列的通项公式写出数

(2)利用分组求和法求得上+工+上+…+工=n-3+5，记%=n-3+。，判断出｛6n｝单调递增，再

tl]。2。3§3

分别取n>13和n=12验证即可.

厮+厮="）

【解答过程】(1)因为与+1=/%所以二1=211=1-11

a

n+l3dn3ttn3\dn/

又，=一2,

所以数列｛2-1｝是以-2为首项，:为公比的等比数歹U；

所以怖T=-2x=一会

i.

所以?=1-六；

anJ

2777

（2）由（1）知工+工+工+…+工=九一2-2—吃------=TL一（2+/”-+布）=n-2x

aia2a3an333n-i

理二1+亲

记如=n-3+亲则匕+i--=1一121-1>0。eN*),

所以｛%｝单调递增，

当71>13时,71—3+^>10+^>10,不符合；

当n=12时，n-3+4=9+-^<10,

3〃3±z

所以n的最大值为12.

n

【例8.2](2024•湖北・一模)已知数列｛%J的前n项和为Sn,且的=沁=(2-l)an.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)证明：S2S4-S2n>l，

【解题思路】(1)根据前n项和为土与厮的关系，利用相减法得数列递推关系式，从而根据等比数列可得｛即｝

的通项公式；

⑵由⑴得%=1-去，根据不等式(1+/)(/£)=1+展一康>1，n>2,即可证得结论.

71

【解答过程】(1)当nN2时，由％=(2—1)厮，得Sn_】=(2或1-

n-1

则册=Sn-Sn_1=(2"-l)an—(2—l)an_1,整理得cin=|on-i-

因为的=%所以｛aj是以|为首项，1为公比的等比数列，

则an=aiqn-1=©.

71

⑵证明：由(1)可得Sn=(2_1)斯=-J=]一/，贝i]S2n=1-2=(1+£)(1—

当n>2时’对于(1++)(1一味)=1一展++一肃T=1+/一肃T>1'

所以(l+9x(l-5)x(l+3x(l——X…x(l+六)x(1—5)〉1,

AM2S4...S2n=(l-|)x(l+|)x(l-^x(l+i)x(l-^)x-x(l+^)x(l-i)x

(1+5)->：.

【变式8.1](23-24高二下•四川雅安・期中)设数列｛即｝的前n项和为S”，且满足%+an=3.

(1)求｛5｝的通项公式；

(2)设e=-anlog2数列｛b｝的前几项和为心,若对任意的neN*,Tn<2A-1恒成立，求2的取值范围.

【解题思路】(1)根据与与与之间的关系分析可知数列｛斯｝是首项为|，公比为(的等比数列，进而可得通

项公式;

(2)由(1)可知：簧，利用错位相减法可得〃=9-簧，结合恒成立问题分析求解即可.

【解答过程】(1)因为S九+an=3,

当九=1时，由%+%=3,解得的=|；

当九>2时，则S九+an=3,5九_1+an_r=3,

两方程相减得2a九—dn-i=0,即=：；

an-l2

可知数列｛七｝是首项为|,公比为1的等比数列，

所以“=^厂、/

(2)由(1)可知：bn=—anlog2

则〃=|+9+奈+…+誓,

_6।9।12।.3九+3

2n2223242n+1

两式相减得九=3+俱+'+.•.+――鬻=3+狂？L黑,

2

可得加当-篝，即7=9-甯.

因为7n+L7n=(9-蟹)一(9一箸)=笨>。，

可知｛〃｝是单调递增数列，且智>0,可得6=9-甯<9,

因为对任意的neN*,&<22-1恒成立，可得9W22—1,解得225,

所以2的取值范围为［5,+8).

【变式&2】(2024・河南周口•模拟预测)记目为正项等比数列｛an｝的前几项和，己知S2=-,S4=-,nEN*.

(1)求数列｛厮｝的通项公式；

(2)设组=2n一1,做为数列｛0｝的前几项和，证明：^<Tn<3.

an2

【解题思路】(1)设等比数列的公比为q(q>0),结合等比数列求和公式可得的4,即可得结果；

(2)由⑴得，源=宏，利用错位相减法可得窈=3-(2n+3)•(1)”,进而分析证明.

【解答过程】⑴设等比数列｛时｝的公比为q(q>0),由S2=：,54=登可知，q不1,

416

(ai(l-q2)3

则Vl-q3得l+q2=，解得q=；(负值舍去)，

154Z

Il-q16

将q=、弋入生产=：解得的=5，

N1—Q4Z

所以数列Sn｝的通项公式为厮=a1qnT=(|)n

(2)由(1)得，加=第，

则〃=：+,+…+缶二可得|〃=,+卷+…+舞白

两式相减可得加=W/+…++一