导数及其应用-2025年高考数学复习易错题（原题版）

专题07导数及其应用

目录

易错点01对导数的概念理解不到位

易错点02错用函数的求导法则

易错点03混淆“在某点”和“过某点”切线的区别

易错点04利用导数求函数单调区间忽略定义域

易错点05混淆极值点与导数等于零的点的区别

易错点06已知单调性求参数时混淆条件

易错点07判断函数零点个数时画图出错

易错点01：对导数的概念理解不到位

叁易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上•全国•课后作业）若函数小）可导，则业生蒙@等于（）

A.-2r⑴B.1r（l）C.一#⑴D./出

【答案】C

【分析】根据导数的定义即可求解.

【详解】lim/(1—-"1).=」1曲/[l+(-Ax)]-/(l)

AxfO2Ax2Ax->0

故选：C

【易错剖析】

f（.r0+Ar）-/（.r0）本题容易忽略分母不是分子函数值对应自变

在解题时要注意f'(x0]=lim—=lim

Ax

量的差而出错.

【避错攻略】

1.导数的概念

函数/（X）在X=X。处瞬时变化率是lim孚=lim./1(天,+-)-/(%)

,我们称它为函数y=在x=%

Ar->0.丫Ax—>0Ax

处的导数，记作尸（X。）或丁（/.

【解读】①增量—可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.-0的意义：心与0之间距离

要多近有多近，即18-0|可以小于给定的任意小的正数;

②当Ac—0时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

"/5+垓）-"）无限接近;

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即尸（与）=lim电=lim/（＞+/）-/（/）.

——°Ax-Ax

2.几何意义

函数y=/（x）在X=尤。处的导数/U）的几何意义即为函数y=f（x）在点P（XO,y0）处的切线的斜率.

3.物理意义

函数s=s⑺在点10处的导数s"o）是物体在t0时刻的瞬时速度V,即v=s'（t0）；v=v⑺在点t0的导

数/仇）是物体在灰时刻的瞬时加速度a,即a=v'«o）.

易错提醒：⑴-优）=lim”=lim以x。+为）二/（不）,要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值

对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；（2）/'（尤0）的代数意义表示函数/（%）在/处的瞬时

变化率；（3）/'（%）的几何意义表示曲线y=/（x）在x=x0处切线的斜率.

叁举一反三

1.（24-25高二上•全国•课后作业）若可导函数的图象过原点,且满足lim/包=-1,则广（。）等于（）

-Ax

A.-2B.2C.-1D.1

2.（24-25高二下•全国•课后作业）如果函数y=〃x）在x=l处的导数为1,那么受（）

A.gB.1C.2D.

3.（24-25高二下•河北石家庄•阶段练习）设函数在点七附近有定义，且有

2

/（x0+AX）-/（X0）=6ZAX+Z?（AX）（。，〃为常数），则（）

z

A.f{x）=aB.f（x）=bC.f（x0）=aD./（x0）=Z?

■易错题通关.

1.（24-25高二上•全国•课后作业）若/'（为）=-2,则lim"%）—〃%+'）=（）

\/Av_s.nA”

A.-1B.-2C.1D.2

2.（24-25高三上•广西玉林•期中）设是定义在R上的可导函数，若?=2。Q为常

数），则广（无。）=（）

A.—2aB.2aC.一〃D.〃

3.（2025高三・全国・专题练习）已知函数〃%）=%ln%,则lim正匀二的值为（）

A.2eB.0C.1D.e

Ax

4.（24-25高三上•上海•期中）若函数y=/（尤）在x=不处的导数等于a,则iim"%+2m。）的值为（）

-Ax

A.0B.—aC.〃D.2a

2

5.（24-25高三上•贵州贵阳•阶段练习）若函数y=〃x）在区间（zb）内可导，且则

lim/U）-fU+/0的值为（）

2°h

A./'（%）B.2广（X。）C.-2/（x0）D.-/'（%）

6.（23-24高二下.福建龙岩.阶段练习）已知函数在x=x°处可导，且lim"/一3—）-〃二）=3,则

Axf02Ax

/'（%（））=（）

A.—3B.—2C.—D.2

2

7.（24-25高二•全国•课后作业）（多选）若函数f（x）在x=x0处存在导数，则+一〃/）的值（）

A.与不有关B.与〃有关C.与与无关D,与//无关

8.（24-25高三上•浙江•阶段练习）已知：当〃无穷大时，|1+-|的值为e,记为+=e.运用上述

<n）〃-n）

结论，可得1加侬"2力（x>0）=.

易错点02：错用函数的求导法则

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•山东聊城•期末）函数y=x%os12x-1］的导数为（）

B.y'=2xcos^2x-^-j-2x2sin^2x-^-j

C.=x2cos-^-2xsin^2x-y

D.y'=2xcos^2x-y^+2x2sin^2x--1-^

【答案】B

【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数.

=2xcos2x--\-2x2sin\2x~—

33

故选：B.

【易错剖析】

本题容易错用复合函数的求导法则而出错，要注意求导公式和求导法则的适用前提.

【避错攻略】

1.求导的基本公式

基本初等函数导函数

/(x)=c(C为常数)rw=o

/（X）=X。（。eQ）/'(%)=axa~x

x

f(x)=a(a>0,Qw1)fr(x)=ax]na

f(x)=log。％(a>0,aw1)fw=.

x\na

/a)=e'「(x)="

/(x)=lnxr«=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosX/'(%)=_sinx

2.导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则："（X）土g（x）］'=f'{x）±g，（x）;

（2）函数积的求导法则："（x）g（尤）］'=（（尤）g（x）+f（尤）g，（x）;

小p期》+日-nmid（无）1尸（X>g（无）一/（x）g'（x）

（3）函数商的1Vl求导法则：g（x）*o,则［uvl=-------------7------------.

g。）8一（无）

3.复合函数求导数

复合函数y=f［g（x）］的导数和函数y=/（«），林=g（x）的导数间关系为4=y,'u'：

易错提醒：（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导

数，即"‘=（2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.注意以下几点：连乘形式则先展

开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，

先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要

时可换元.

举一反三

1.（24-25高二上•全国•课后作业）己知某函数的导数为y'=M--,则这个函数可能是（）

2（x-l）

A.y=AJl-xB.y=InC.y-ln(l-x)D.y=\n—^—

x-1

2.（2025高三•全国・专题练习）下列求导运算错误的是（）

A.(tanx)=-tanxB.(logx)-

、72xln2

C-D.心卜上

3.（24-25高三・全国•联考）已知函数〃x）=cos12x+。!，则

()

A.-1B.--C.1D-I

2

■易错题通关.

1.（2025高三・全国・专题练习）函数y=xln（2x+5）的导数为（）

A./=2xIn（2%+5）B..=2%5

C.y=ln（2x+5）H--------D.yf=ln（2x+5）H——

1515

2.（24-25高三上•北京•开学考试）在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（）

A.y=xlnxB.y=cosxC.y=TD.y=x-\nx

3.（24-25高三上•上海宝山•阶段练习）已知y=e'cosx,则（）

A.yr=-exsinxB.yf=ex-sinx

D.=5/2exsinf-^--xj

C.V=+

4.（24-25高三上山西•期中）若函数"%）满足=d-g-⑵尤2-3X,则/"⑵的值为（）

A.-1B.2C.3D.4

5.（24-25高二下•辽宁•阶段练习）（多选）下列求导运算正确的是（）

A.(In2022/=—^—

B.(log4x)-

、720224xln4

C.]=一——D.(尤3一工]=3元2_二

vtanxJsin2xVX)x

6.（24-25高三上•陕西咸阳•期中）（多选）下列求导运算正确的是（）

A(sinx)xcosx-sinxB=1

〔XJ-X2-rljv

C.(log?3)'=。D.(3]=(2x-x2^ex

7.（24-25高三上•江苏淮安•开学考试）（多选）下列导数运算正确的是（）

A一!尸

-5=B.(b),=C.(tanx)'=—D.(ln|x|)r=—

cosXX

8.（24-25高三上•江苏盐城•阶段练习）（多选）下列导数运算正确的是（）

，

A,〔十TB.(ej=e-

C.(tanx)'=-D.(Igx)=---

COSXxlnlO

易错点03：混淆“在某点”和“过某点”切线的区别

，易错陷阱与避错攻略

典例（2024.新疆.二模）过点（1,4）且与曲线/（x）=V+x+2相切的直线方程为（）

A.4x-y=0B.7x-4y+9=0

C.4x—y=0或7x-4y+9=0D.4x—y=0或4x—7y+24=0

【答案】C

【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.

【详解】设过点(1,4)的曲线y=/(%)的切线为：/:y-y0=(3就+1)(%-&)，

有［(3诏+1)(1—%o)=4-y()

Iy0=就+%。+2

1

X0=-2

解得%=1成.

%=4/9，

y。"

代入/可得4x—y=0或7%-4y+9=0.

故选：C

【易错剖析】

本题容易误将(1,4)点当做函数的切点而出错，要注意过P点的切线P不一定是切点.

【避错攻略】

1.在点P的切线方程

切线方程y-/(^o)=f'^o^x-x0)的计算：函数y=f(x)在点A(%0,/(%))处的切线方程为

%=/(%)

y-/(%)=/'(无o)(尤-尤0),抓住关键

k=f'5)'

2.过点尸的切线方程

设切点为尸(七,%),则斜率左=/'(%),过切点的切线方程为：y-%=/'(%)(尤-尤°),又因为切线方

程过点AO，”)，所以〃-%=((%)(根-尤0)然后解出毛的值.(％有几个值，就有几条切线)

【注意】在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

易错提醒：(1)利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：

(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标.

(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点.

(3)曲线y=/(x)“在”点尸(%,%)处的切线与“过”点尸(%,%)的切线的区别：曲线在点

尸(无。,%)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为左=r(%),是唯一的一条切线；曲线

y="“)过点尸(天,%)的切线，是指切线经过点P,点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可

能有多条.

(2)利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，

进而求出参数的值或取值范围.

（3）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

（1）注意曲线上横坐标的取值范围；

（2）谨记切点既在切线上又在曲线上.

举一反三

1.（24-25高三上•广东•阶段练习）函数〃x）=lnx+2x的图象在点（1,2）处的切线与坐标轴所围成的三角形

的面积为（）

A.士B.—C.-D.—

2368

2.（23-24高二下•山西晋城•期末）过原点。作曲线/（x）=ex-办的切线，其斜率为2,则实数。=（）

A.eB.2C.e+2D.e-2

3.（24-25高三・山东临沂•期中）若过点（4匕）可以作曲线y=e㈤的两条切线，则（）

fc+1a+ia+lb+1

A.e<aB.e<bC.0<b<eD.0<a<e

>易错题通关.

1.（24-25高三上•江苏盐城•阶段练习）曲线y=*（x-l）在x=l处的切线方程为（）

A.x=lB.y=lC.y=xD.y=x-1

2.（24-25高三上•河南•阶段练习）曲线y=ex-2ax在x=0处的切线经过点（2,-1）,则实数。的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

3.（24-25高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）函数y=E在点（0,-1）处的切线与两坐标轴围成的封闭

图形的面积为（）

A.-B.-C.—D.1

842

4.（24-25高三上•天津武清•阶段练习）若直线y="与曲线y=lru+]相切，则％=（）

2x

A.In2H—B.-C.—D.4

424

5.（2024•河南洛阳•三模）（多选）若过点尸（1,0）作曲线y=d的切线，则这样的切线共有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

6.（24-25高三•山东日照•期中）已知过点A（a,0）作曲线y=xe'的切线有且仅有两条，则实数。的取值可能

为()

A.-2B.-3C.-4D.-5

7.(23-24高二下•北京西城•阶段练习)已知直线，=叱-2是曲线y=lnx的切线，则切点坐标为()

A.[：，一1]B.(e,l)C.D.(0,1)

8.(24-25高三上•上海•开学考试)经过点P(>2)可以作与曲线2/_3x-y=0相切的不同直线共有()

A.。条B.1条C.2条D.3条

易错点04：利用导数求函数单调区间忽略定义域

易错陷阱与避错攻略

典例(23-24高二下.宁夏吴忠・期中)函数/(©=《的单调减区间为()

Inx

A.(-oo,e)B.(0,e)C.(l,e)D.(0,1)和(l,e)

【答案】D

【分析】求出函数的导数，再解不等式即得答案.

【详解】函数/(》)=怖的定义域为(。,D5L+⑹，求导得(。)=臀^,

lux(Inx)

由r(x)<0,即臀^<0,解得0<x<l或l<x<e,

(Inx)

所以函数“X)=4的单调减区间为(0,1)和(1,e).

Inx

故选：D

【易错剖析】

本题容易忽略定义域为(0,1)。(1,—)而错选B.

【避错攻略】

1.函数单调性的判定方法

设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果尸(x)>0,则y=/(x)为增函数；如果/'(x)<0,则y=/(x)

为减函数.

【解读】①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号;

②在某个区间内，/'(x)>0(/'(x)<0)是函数/(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必

要条件.例如，函数/(x)=d在定义域(_8,+o。)上是增函数，但/(%)=3必20.

2.求可导函数单调区间的一般步骤

①确定函数/（X）的定义域；

②求/'（x）,令尸（%）=0,解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

③把函数/（x）的间断点的横坐标和f\x）=0的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把

函数/（x）的定义域分成若干个小区间;

④确定了'（X）在各小区间内的符号，根据/'（x）的符号判断函数/（幻在每个相应小区间内的增减性.

3函数在区间上单调与求函数单调区间

/⑴>0=>/（X）单调递增；/（X）单调递增=>f\x）>0；

r（x）<0=>/（X）单调递减；/（%）单调递减=>f\x）<0.

易错提醒：（1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求

函数的单调区间；（2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等

于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内.

举一反三

1.（2024•黑龙江佳木斯•模拟预测）若函数〃尤）=：Y-3A41nx,则函数的单调递减区间为（）

A.（4,+co）B.（0,1）C.（0,4）D.（1,4）

2.（2024全国•模拟预测）已知函数/（x）=ln（x-2）+ln（4-x）,则的单调递增区间为（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（一力,3）D.（3,+。）

3.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）设/（x）=（Y+6）lnx+；尤2,aeR.

（1）若。=0,求"X）在x=l处的切线方程；

（2）若oeR,试讨论/（x）的单调性.

>易错题通关.

InY

1.（2024高三・全国•专题练习）函数〉=吧的单调递增区间是（）

x

A.\双:]B.（e,+e）C.D.（0,e）

2.（2024高三.全国・专题练习）函数7的单调递减区间是（）

110,1

A.一,+8B.—00,—C.(e,+8)D.

3.(2024・浙江•模拟预测)函数〃％)=ln(2%-1)-f+%的单调递增区间是()

A.(0,1)B.r1

Z1-A/21+应、ni+收〕

C.D.

2'2

\/

4.(2025•全国•模拟预测)已知函数〃%)=(m-2)%2-(m-4)x-ln%-2,则()

A.当0＜加＜2时，函数“X)在(0,+8)上单调

B.当机＜0时，函数在(0,+8)上不单调

C.当相，2时，函数八%)在(0,+8)上不单调

D.当根=0时，函数八%)在(0,+8)上单调

5.⑵-24高二下•福建福州•期中)函数/(x)=xln(-x)的单调递减区间是

x

6.(23-24高二下•上海•期中)函数y=匚e的严格递减区间是

x-2

7.(24-25高三上•福建三明•阶段练习)已知函数〃x)=ln(l-%)+0n(l+x)水W0.

⑴若函数〃元)存在一条对称轴，求上的值;

(2)求函数的单调区间.

易错点05：混淆极值点与导数等于零的点的区别

,易错陷阱与避错攻略

典例(2024•辽宁丹东.一模)若x=l是函数/(刈Wd+m+l)/-(02+°_3卜的极值点，则a的值为()

A.-2B.3C.一2或3D.-3或2

【答案】B

【分析】根据题意，求出函数/(X)的导数，由广⑴=。求出。，然后针对。的每一个值，进行讨论，验证尤=1

是不是函数的极值点，即可得答案.

［详解］/(x)=^x3+(«+1)x2—［a1+Q—3)X=>/⑺=兀2+2(Q+1)%-(/+〃-3

由题意可知/'(1)=0=/'(1)=l+2(a+l)—(a~+a—3)=0=>°=3或。=—2.

当a=3时，/'(龙)=无〜+8x—9=(x+9)(x—1),

令广⑺>0,解得x<—9或x>l,函数在(一七一9)和(1,+⑹上单调递增；

令(⑺<0,解得-9<x<l,函数/(尤)在(-9,1)上单调递减，

所以尤=1是函数的极值点符合题意；

当a=-2时，尸(x)=厂-2x+l=(x-1)-上。，

所以函数/(x)是R上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，

故选：B.

【易错剖析】

导数等于零点的点不一定是函数的极值点，对于可导函数而言，其极值点应满足两个条件，一是导数

等于零，二是在极值点两边导函数的符号相反.

【避错攻略】

1.函数的极值

函数在点龙。附近有定义，如果对X。附近的所有点都有/(X)<八/),则称/(X0)是函数的一个极大

值，记作，极大值=/(%).如果对％附近的所有点都有〃尤)>/(%),则称/(X。)是函数的一个极小值，记作

y极小值=/(%).极大值与极小值统称为极值，称/为极值点•

2.求可导函数，(尤)极值的一般步骤

第一步：先确定函数/(尤)的定义域；

第二步：求导数「(X)；

第三步：求方程/'(x)=0的根；

第四步：检验((x)在方程「(无)=。的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为

负，那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数

y=在这个根处取得极小值.

易错提醒：(1)①可导函数/(尤)在点与处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即尸5)=0,

且在无。左侧与右侧，/'(X)的符号导号.

②((%)=0是与为极值点的既不充分也不必要条件，如/。)=无3,­(。)=。，但%=0不是极值点.另

外，极值点也可以是不可导的，如函数/（x）=W，在极小值点尤。=。是不可导的，于是有如下结论：升为

可导函数/（X）的极值点nZVo）=0;但/（X。）=0X^0为了（幻的极值点.

（2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最

值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

1.（24-25高三上•吉林长春•阶段练习）若x=0是函数/5）=33-1+；]/+面+0口一1的极小值点，则

/（x）的极大值为（）

A,-B.-C.--D.--

6336

2.（24-25高三上•天津武清•期中）已知函数/（同=丁+。111（》-1）有极值点，则实数。的取值范围为（）

A.（—oo,0]B.（—co,0）C.^0,—D.^-00,—

3.（2024•辽宁•模拟预测）已知函数〃x）=x*-c）2在x=l处有极大值，贝卜=（）

A.1B.2C.3D.4

♦易错题通关

1.（2024•四川泸州•一模）已知函数/'（x）=x（x-a）2在*=1处取得极大值，贝匹的值是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（24-25高三上•江西阶段练习）若x=0是函数/。）=+3-5+：）/+（4+。及-1的极小值点，贝厅⑺的

极大值为（）

A.-B.-C.--D.--

6336

1JT

3.（24-25高二•全国•课后作业）若函数/（xbasinx+gsiiBx在x=§处有最值，则〃等于（）

A.2B.1C.毡D.0

3

4.（24-25高二上•全国•课后作业）设函数（力=工，若“X）的极小值为则。=（）

x+a

A.—B.—C.—D.2

222

5.（24-25高三上•四川绵阳•阶段练习）/（尤）=g尤3-依2-8依+1在（-3,0）上有极大值，无极小值，则。的取

值范围是（）

A.WB.（。,+<»）C.（-<»,-3）D.1

已矢口/（%）=在元=一处有极值贝|。一人=（

6.（24-25高三上•江西南昌•阶段练习）%3+36/%2+6%+4210,

A.-2或-7B.T或—11C.11D.-7

7.（23-24高二下•山东临沂•期中）已知函数=当x=l时，有极大值则。=（）

A.2B.1C.0D.-1

易错点06:已知单调性求参数时混淆条件

易错陷阱与避错攻略

13

典例（24-25高三上•山东临沂・期中）若函数〃力=y3/+6+4的单调递减区间恰为［T,4］,则实

数a的值为.

【答案】-4

1

［详解］由题意得，f'（x）=x-3X+a,

••・函数的单调递减区间恰为［T4］,

即三一3元+。W0的解集为［T4］,

...所以-1和4是尸（力=0的两根，

々=—1x4=—4.

故答案为：-4.

【易错剖析】

本题易混淆八x）在区间D上单调和八尤）的单调区间是D的区别而出错.

【避错攻略】

1.可导函数六尤）在某区间上单调

（1）可以转化为/,（%）>0（/,（^）>0）在给定区间上恒成立;

（2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解

2.可导函数f（x）在某区间上不单调

（1）可转化为f（x）在给定区间上有正有负，即广（x）=0在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根

（充分条件）;

（2）可以通过求函数值域的方法解决.

（3）可以利用根的分布方法解决.

3可导函数f（x）在某区间上存在单调区间，转化为/'（x）>0（或（尤）<0）有解问题.

易错提醒：

已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点：（1）熟悉基本函数的单调性。

（2）注意下列二者之间的区别：函数在区间/上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D.

注意：其中/三。.

（3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等

式，结果要用集合或区间的形式表示出来.

举一反三

1.若函数〃到=着在[2,+8）上单调递增，则上的取值范围为（）

A.k>—B.kW—1C.k<1D.k<——

33

2.（24-25高二上•全国•课后作业）若函数=-依2一2在区间（1,4）内存在单调递增区间，则实数。的

取值范围是（）

A・[I*）B.

32J

C.D.—

2

3.（24-25高三上•上海•期中）已知g。）是定义域为R、的函数，g（x）=ax+2,若对任意的1<%<尤2<2,都

有g（Jg（2）>3成立，则实数“的取值范围是（

）

玉-x2

A.。+8）B.--r°.

C.D.--

■易错题通关

1.（2024湖北.一模）已知函数/（力=依2_向+2%是减函数，则。的取值范围为（）

C.D.8,一；

A.(-oo,0]B.

2.（2025高三•全国・专题练习）若函数=J尤2一9加在区间,-1间上单调递减，则实数。的取值范围

是（）

A.1<6/<3B.a>4

C.-2<a<3D.l<a<4

3.（22-23高二下.北京海淀•期中）若函数"xb'-lnx在（0㈤上不单调，则实数%的取值范围是（）

A.[l,+oo)B.(l,+oo)C.(0,1)D.(0,1]

4.（24-25高三上•山东枣庄•阶段练习）已知函数〃力=厂：在R上单调递增，贝心的取值范围

Ie—ax,x<（J

是（）

A.[1,+<»)B.[0,1]C.[-1,1]D.(-<»,1]

5.（2025高三•全国・专题练习）已知函数〃同=（2/+如+*"1（4>0）在上存在单调递减区间,

则。的取值范围为（）

C.^0,1^U(8,+°o)D.

A.(0,1)U(4,4W)B.(1,4)

6.（2019・四川凉山・一模）若0<%<工2<，z都有叫-他叫<玉-龙2成立，则。的最大值为（）

A.；B.1C.eD.2e

易错点07：判断函数零点个数时画图出错

叁易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•北京•阶段练习）已知函数/（x）=ae、-/有两个极值点，则实数a的取值范围（）

2e

A.0<a<一B.0<a<ln2C.a<eD.0<«<In—

e2

【答案】A

【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数y=a和g（x）=2mx有两个交点，然后利用

导数求g（x）=/的单调性，进而确定g。）图象，最后根据图象确定实数。的取值范围.

【详解】因为/（无）=。6*-彳2,；./，（力=祝*-2工,

由已知函数於）有两个极值点可得有ae=2x=0两个解

2x

即y=a和g(x)=m有两个交点,

2(1-x)

g'（无）=

二当X＜1时，g'（X）＞0,g（x）在（一8,1）上单调递增,

当尤>1时，g'(X)<0,g(x)在(1,+8)上单调递减，

2

故gOOmax=g6=—，

e

而Xf+8时，g(x)—0,Xf-8时，g(X)->-CO；

故选：A.

【易错剖析】

利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数.

【避错攻略】

1.判断函数＞=/（无）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数

y=/（x）在区间［。，句上的图象是否连续，然后看是否有若有，则函数＞=在区间（a,。）

内必有零点.

2.判断函数y=/（x）的零点个数时，常用以下方法：

（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数；

（2）根据函数的性质结合已知条件进行判断；

（3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与x轴交点的个数来判断.

3.已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法：

方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决.

方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解.

易错提醒：|判断函数零点个数的方法：

方法1：利用零点存在性定理判断法；

方法2：代数法：求方程〃x)=0的实数根；

方法3：几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=/(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或

利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性并分析函数图像的

变化趋势.

举一反三

1.(24-25高三上•辽宁沈阳•阶段练习)已知〃*)=臊如-111%(〃后0),若〃无)有两个零点，则实数机的取

值范围为()

2.(2025高三・全国・专题练习)已知函数/(x)=(x+2)e*-加有两个零点，则实数小的取值范围为()

A.[--B.1一-C.(0,+oo)D.(-℃>,0)

3.(2024高二上•全国・专题练习)若函数“X)和g(x)的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数

和g(x)为“对偶函数”.已知/(x)=l-e*,g(x)=<zr+xlnx是“对偶函数”，则实数a的取值范围为()

A.(e-l,+oo)B.C.D.(-℃,e-l)

■4易错题通