常用逻辑用语（十四大题型+模拟练）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

专题02常用逻辑用语（十四大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01命题及其关系

♦题型02充分条件与必要条件

♦题型03全称量词与存在量词

♦题型04集合与充分条件、必要条件

♦题型05复数与充分条件、必要条件

♦题型06函数与充分条件'必要条件

♦题型07三角函数与充分条件'必要条件

♦题型08平面向量与充分条件'必要条件

♦题型09统计、概率与充分条件、必要条件

♦题型10立体几何与充分条件、必要条件

♦题型11平面解析几何与充分条件'必要条件

♦题型12数列与充分条件、必要条件

♦题型13导数与充分条件、必要条件

♦题型14高考新考法一新定义充分条件、必要条件综合

♦题型01命题及其关系

I.（2022高一上•全国•专题练习）下列语句中，命题的个数是（）

①空集是任何集合的真子集；②请起立；

③-1的绝对值为1；④你是高一的学生吗？

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

根据命题的概念逐一判断.

【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.

故选：C.

2.（23-24高一上映西延安•阶段练习）已知。:2+2=5,q:3N2,则下列判断中，正确的是（

A.p为真，q为假B.p为假，q为真

C.p为真，q为真D.p为假，q为假

【答案】B

【分析】根据命题的真假即可判定.

【解析】0为假，4为真，

故选：B

3.（22-23高三上•宁夏•阶段练习）已知命题P：对任意xeR,总有f-x+l";Q：若/</,则

。<6.则下列命题为真命题的是（）

A.M人qB.pjqc.f人fD.PI

【答案】B

【分析】先判断命题。，命题9的真假，在判断选项的真假

17

【解析】由龙2-尤+1=。一彳）2+：>0

24

所以命题P为真命题

令。=0,6=一1,则/<%2,但是a>b

所以命题9为假命题

故为真

故选：B.

♦题型02充分条件与必要条件

4.（2024高三•全国・专题练习）“x为整数”是“2x+l为整数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由当x为整数时，2x+l必为整数；当2x+l为整数时，x不一定为整数；即可选出答案.

【解析】当x为整数时，2x+l必为整数；

当2x+l为整数时，x不一定为整数，

例如当2x+l=2时，x=1.

所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.

故选：A.

5.（2024高三・全国・专题练习）对于非零向量a,b,“a+2b=0”是“a//b”的C）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若a+2b=0,则a=-2b,所以a||b.若a||b,则a+2b=0不一定成立，故前者是后者的充分不必

要条件.故选A.

6.（2024•江苏南通•模拟预测）在。3c中，已知48=30°,c=2,则“=也”是"NC=45°”成立的（）

条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果.

bc6_2

【解析】由正弦定理得二彳=’"，即丁一而不，

sinBsinC—

2

sinC=——，又因为c〉b,

2

二.C=45°或。=135°;

则“=V2”是“NC=45。”成立的必要不充分条件.

故选：B.

7.（23-24高三下•河南周口・开学考试）若是的必要不充分条件，则实数。的取值范围为

（）

A.（-（x）,l）B.（-oo,l]C.（l,+°o）D.[l,+oo）

【答案】A

【分析】由题意可得｛x|x>l｝呈｛x|x>a｝,再根据集合的包含关系求参即可.

【解析】因为“无】a”是“x>1”的必要不充分条件，

所有｛小>1｝些｛小>.｝,所以a<1,

即实数。的取值范围为（-叫1）.

故选：A.

8.（23-24高一上•重庆渝北•阶段练习）若不等式一。<工<。的一个充分条件为0<xvl,则实数。的取值范

围是（）

A.0<a<lB.0<«<1C.a>\D.a>1

【答案】C

【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解.

【解析】由题意可得{x[O<x<l}u{M-a<x<a},

所以-aWO且解得a21,

故选：C

♦题型03全称量词与存在量词

9.（2024高三•全国•专题练习）命题“VxeZ,的否定是（）

A.eZ,x2>0B.3xgZ,x2<0

C.eZ,%2<0D.3xgZ,x2<0

【答案】C

【分析】根据命题“Wxe/,O（x）”的否定是FxeM,”（尤）”直接得出结果.

【解析】命题“VxeZ,/20"的否定是“*eZ,/<0”.

故选：C.

10.（2024高三・全国•专题练习）下列正确命题的个数为（）

①VxeR,x2+2>0；②VxeN./Nl；③ireZ）/cl；④mxeQ,/=3.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得.

【解析】VxeR,x2+2>2>0,①正确；当x=0时，x4=0<1,②错误；

当x=0时，x3=0<l,③正确；由于（±右）2=3,而-。，石都是无理数，④错误,

所以正确命题的个数为2.

故选：B

11.（2024・四川成都・模拟预测）命题玉«-1』/+国<0的否定是（）

A.3xe[-l,l],x+|x|>0

B.Vxe[-l,l],x+|x|>0

C.Vxe(-ao,-l)u(l,+<»),x+|x|>0

D.Vxeu(l,+oo),x+|x|<0

【答案】B

【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.

【解析】因为命题上«-1,1］广+忖<0,

则其否定为心目-1,1］广+卜但。

故选:B

12.（2024高三•全国•专题练习）若命题“*oeR,x；-2%+〃7<0"为真命题，则实数"?的取值范围是（）

A.（-℃,1）B.

C.（0,1）D.（1,+℃）

【答案】A

【分析】由题意可得不等式V-2x+加<0在R上有解，结合△>（）计算即可求解.

【解析】由题意可知，不等式/-2x+7〃<0在R上有解，

A=4-4w>0,解得m<\,

••.实数〃？的取值范围是

故选：A.

13.（23-24高三上•山东潍坊•期中）若“*eR,sinx<a”为真命题，则实数。的取值范围为（）

A.a>1B.a>1C.a>-\D.a>-\

【答案】D

【分析】只需sinx的最小值小于。即可.

【解析】3xeR,sinx<a,只需sinx的最小值小于。即可，

由于sinx的最小值为-1,故a>-l.

故选：D

♦题型04集合与充分条件、必要条件

14.（23-24高三上•安徽合肥•阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选

择补充到下面横线上.

已知集合？=卜卜1Wx45},S=^x\2-m<x<3+2m^,存在实数加使得“xeP"是"xeS”

的条件.

【答案】②，③

【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可.

【解析】①“xe尸”是“xes”的充要条件，则2-加=-1,3+2/71=5,此方程无解，故不存在实数加，则不

符合题意；

②"xeP"是"xeS”的充分不必要条件时，2-加4-1,3+2m>5,2-m<3+2m；解得加23,符合题意；

③"xeP"是“xeS”的必要不充分条件时，当S=0,2-/77>3+2m,得，"<；；

当S/0,需满足2-加W3+2加，2-m>-l,3+2m<5,解集为一

3

综上所述，实数〃?的取值范围-生加<上

33

故答案为：②，③.

♦题型05复数与充分条件、必要条件

15.（2024•全国•模拟预测）已知复数句名，则"z；=z/是“闻=团”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】根据复数模长性质和充分不必要条件即可得到答案。

【解析】z；=z；=0=（Z]-Z2）（Z]+Z2）=OOZ]=Z2或Z]=-z2n匕|=匕|。

因为㈤=㈤至4=Z?或Z]=〜2,

例如取4二字+等匕=i,此时㈤=忤|,不满足㈤=㈤中马=z?或4=~2,

故选：A.

♦题型06函数与充分条件、必要条件

16.（23-24高三下•四川成都•阶段练习）若a<x<3是不等式l°g[X>T成立的一个必要不充分条件，则实

2

数。的取值范围是（）

A.（-%0）B.（-»,0]C.[0,2）D.（2,3）

【答案】B

【分析】求出不等式bg±x>T成立的充要条件，根据充分必要条件关系判断.

2

【解析】loglX>=logj.X>logj2=0<X<2,

222

因为a<x<3是1O§1无>T成立的必要不充分条件，

2

所以a<0.

故选：B.

17.（2024・湖南•一模）已知a,beR,且a>0,6>0,则仍>1是Ina-1昉>0的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可.

【解析】若。=6,6=1,符合°6>1,但此时lna/n6=0,不满足充分性，

若（7=「=，，符合lna/n6>0,但是ab<l,不满足必要性.

故选：D

♦题型07三角函数与充分条件'必要条件

18.（2024•全国•模拟预测）"函数>=tanx的图象关于伉,0）中心对称”是“sin2x0=0”的—条件.

【答案】充分必要

【分析】先由函数丁=122的图象关于（％,0）中心对称求得%的值，再解方程sin2x°=0求得％的值，进而得

到二者间的逻辑关系.

【解析】函数y=tamr图象的对称中心为左eZ,

所以由“函数产taiu的图象关于的,0）中心对称”等价于“％=g,左eZ”.

因为sin2xo=0等价于2%=kn,k&Z,即Xo=g,EeZ.

所以“函数片tanx的图象关于伉,0）中心对称”是“sin2x0=0”的是充分必要条件.

故答案为：充分必要

19.（23-24高三下•浙江金华•阶段练习）设ae（0,兀），条件p:sina=；,条件q：costz=立，则p是q的

22

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解.

【解析】由于ae（O,兀），

若sina=—,贝。cosa=±，1-sin%=士——,充分性不成立，

22

若cosa=且，则sina=A/1-COS%=』,必要性成立，

22

故P是9的必要不充分条件.

故选：B.

♦题型08平面向量与充分条件'必要条件

20.（2024・全国•模拟预测）已知向量方=（4,用），B=（m-2,2）,贝广加=4”是“I与B共线''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由m=4,可得Z与刃共线，充分性成立；由3〃兀可得%=-2或心=4,必要性不成立，可得结

论.

【解析】由%=4,得2=（4,4）,5=（2,2）,所以力与3共线，

所以“m=4”是“是a与b共线”的充分条件；

由a〃5，可得加-2）=8,解得小=-2或心=4,

“加=4”是“3与b共线”成立的不必要条件，

故'加=4”是“«与b共线”的充分不必要条件.

故选：A.

21.（2024•四川成都三模）在"8C中，"//。8是钝角”是“|声+口|<|京卜的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】C

【分析】先将用+词<丽等价变形为用+词<|赤-可，两边平方后得5•而<0,且42,C三点不

共线，即可做出判断.

【解析】而+3|<|万卜等价于"而+3|<|9-引”，

所以q+C闻=CA+2CACB+CB<|C5-G4|=CA-2CACB+CB,

从而

在“3。中，显然4瓦C三点不共线，即两个向量而，而不能方向相反，则N/C8是钝角，则必要性成立,

若N4C8是钝角，则段而<0,则向+用<阿，则充分性成立，

则“//C2是钝角”是“向+词<画”的充要条件.

故选：C.

♦题型09统计、概率与充分条件'必要条件

22.（2024・河北•二模）已知随机变量X服从正态分布"（2,才）9>0）,则，加=「，是

“尸（刀2:叫+尸（X>%+2）=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.

【解析】因为X~N（2,4）,则尸（X<1）=尸（X>3）,尸（X>4）=尸（X<0）,

若力=1则尸（X21）+尸（X>3）=尸（X21）+尸（X<1）=1,

即尸（X2/）+尸（x>m+2）=l,故充分性成立，

若尸（X2加2）+尸（x>加+2）=1,则/+",+2=2x2,

解得加=1或加=-2,故必要性不成立，

所以“m=1”是“尸（X2/）+p（x>加+2）=1”的充分不必要条件.

故选：A

♦题型10立体几何与充分条件、必要条件

23.（2024•广西贺州•一模）已知加，〃为不同的直线,见尸为不同的平面,若""，加//〃,则是

“m//a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【分析】由给定条件可得加，尸，再利用面面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.

【解析】由〃"刈//",得加

若a_L「，则机//a或加ua,“c”不是“机//a”的充分条件；

若加〃a,则存在过直线加的平面/与平面。相交，令交线为/,则/〃加，而加_L/?,

于是又/ua,因此即“a，£”是“〃?//a”的必要条件，

所以“c_L/”是“mIla”的必要不充分条件.

故选：B

♦题型11平面解析几何与充分条件'必要条件

24.（23-24高三下•安徽芜湖•阶段练习）已知直线4:sx—y—3=OJ?：（机—2）x—y+1=0,贝！=是

414”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】当比=1时可得上色=-1,即4^/2；当《工4时可得加=1，结合充分、必要条件的定义即可求解.

【解析】当7〃=1时，/,:x-y-3=0,/2:-x-y+l=0,

即4:y=x-34:y=-x+1,则上/?=-1,即乙;

当Z[_L，2时，加（加-2）+（-1）x（-1）=0,解得心=1.

所以"7"=1”是“42”的充要条件.

故选：C

25.（2024•四川成都三模）已知圆C：x2+y2=l,直线/：x-y+c=0,贝『％=变”是“圆C上恰存在三个

2

点到直线/的距离等于的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用圆C上恰存在三个点到直线/的距离等于：，等价于0（0,0）到直线/：x-y+c=0的距离为

1,从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.

【解析】因为圆C：/+了2=1的圆心。倒⑼，半径为-1,

当圆C上恰存在三个点到直线/的距离等于y时，

则。（0,0）到直线/：x-y+c=o的距离为9

所以卑却=:，解得c=±Y2,即必要性不成立；

V1+122

当c=#时，由上可知。（0,0）到直线/：x7+c=0的距离为.

此时圆c上恰存在三个点到直线/的距离等于3,即充分性成立；

所以“c=包”是“圆C上恰存在三个点到直线I的距离等于:'的充分不必要条件.

22

故选：A.

♦题型12数列与充分条件、必要条件

26.（2024•北京东城•一模）设等差数列｛g｝的公差为d,贝『'0</<1”是"｛%｝为递增数歹|]''的（）

n

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用等差数列通项公式求出％,再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即

n

得.

【解析】由等差数列｛%｝的公差为d,得a“=a「d+nd,则2=%二4+”,

nn

当0</<d时，％-4<0,而,>々，贝|]幺二1<幺4,因此冬<玛，｛%｝为递增数列；

当｛5｝为递增数列时，则&<4当，即有义二《<幺二?，整理得不能推出0</<",

nnn+1nn+1

所以"0</<d”是“｛%｝为递增数列”的充分不必要条件.

n

故选：A

27.（2024•青海•模拟预测）记数列｛%｝的前〃项积为设甲：｛%｝为等比数列，乙：为等比数列,

则（）

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲是乙的既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.

【解析】若｛%｝为等比数列，设其公比为9,贝普“=%尸，小可严…"-嗔耽婚，

Ta.四）

T蚂2瑞今）"％2a

于是3=（?a）%=，V=―k=十a九当时，$/'不是常数，

22

余仔2〒22

此时数列｛今｝不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；

若修为等比数列，令首项为4,公比为P,则会=60,7；=2*（2。尸，

于是当"22时，a“=?==功，而q=4=24，

T；,H（i）

I2*2p

当时，｛%｝不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，

所以甲是乙的既不充分也不必要条件.

故选：D

28.（2024•江苏扬州•模拟预测）设｛%｝是公比不为1的无穷等比数列，贝广｛。“｝为递增数列”是“存在正整数

No,当〃>N0时，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】借助充要条件的定义，分别验证充分性与必要性，结合等比数列、递增数列的定义，借助反证法

证明即可得.

【解析】若｛%｝为递增数列，

当.1<0,且0<«<1时，有4+1-%>0,

此时｛«„）为递增数列，当对任意»eN+,«„<0,

故"｛%｝为递增数列''不是"存在正整数乂，当”>N。时，%>1”的充分条件；

若存在正整数或，当〃>乂时，a„>l,

此时an+l=a^q">1,故4>0,g>0,

m

假设存在m>N0,使得am+lWam,则有am+1-am=al(q-l)q~'<0,

则”1<0,又q>0且qwl,故0<4<1,

则当〃f+co时，a“=%q"T-0,与条件矛盾，

故不存在m>N。,使am+lWam,即％十］>an在(乂什功上恒成立，

即。“+］-%=%(q-l)q"T>0,又％>0,q〉0,故g>l,

即对任意的〃wN+,=%(q-l)/T>0,

即｛%｝为递增数列，

故"｛%｝为递增数列”是“存在正整数既，当〃>乂时，an>1”的必要条件；

综上所述，“｛%｝为递增数列”是“存在正整数乂，当心N。时，%>1”的必要不充分条件.

故选：B.

♦题型13导数与充分条件'必要条件

29.(23-24高三下•贵州•阶段练习)已知命题〃。=2,命题见函数/(无)=龙口-〃)?有极小值点2,则〃是

9的条件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一).

【答案】充要

【分析】

利用充分条件、必要条件的定义，结合由极值点求出参数，再判断即可.

【解析】当。=2时，函数/(x)=x(x-2)2=Y-4/+4x,求导得/，(x)=3x'-8x+4=(3x-2)(x-2),

22

显然当x<W或无>2时，/V)>0,当黄x<2时，r(x)<0,因此2是/(X)的极小值点，

当函数/(无)=x(x-a)2有极小值点2时，f\x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a),

显然/''(2)=0,贝！］a=6或a=2,

当a=6时，x<2有/'(x)>0,2不是极小值点，不符合题意，

22

当a=2时，当或x>2时，r(x)>0,当;<x<2时，f'(x)<0,因此2是/⑶的极小值点，即a=2,

所以P是9的充要条件.

故答案为：充要

♦题型14高考新考法一新定义充分条件'必要条件综合

30.(2024・广东•模拟预测)设X,y为任意集合，映射定义:对任意再用ex,若X产乙，则

/(XJH/(X2),此时的/为单射.

(1)试在R-R上给出一个非单射的映射；

(2)证明：/是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合Z与映射g,ZfX,若对任意zeZ,有

f(g(z))=f(h(z)),则g=〃；

⑶证明：/是单射的充分必要条件是：存在映射夕:Y-X,使对任意xeX,有夕(〃x))=x.

【答案】(l)/(x)=x2(答案不唯一)

(2)证明过程见解析

(3)证明过程见解析

【分析】

(1)结合单射的定义举出符合条件的例子即可；

(2)结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；

(3)结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.

【解析】(1)由题意不妨设/(x)=x2,当%(%,%非0)互为相反数时，/(再)=/仁)满足题意；

(2)一方面若/是单射，且〃g(z))=/(抑z是,则g(z)=〃(z),即g=〃(否则若g(z)w〃(z),有

f(g(z))w/(/z(z)),矛盾),

另一方面，若对任意zeZ,由/(g(z))=/(/z(z))可以得到g=A,

我们用反证法证明/'是单射，

假设/不是单射，即存在g(z)#/z(z),有〃g(z))=jW)),

又由〃g(z))=/(〃(z))可以得到g=/7,即g(z)=〃(z),这就产生了矛盾，

所以/是单射，

综上所述，命题得证；

(3)一方面若/是单射，则由再可得/(再)//(%2),

同理存在单射。，使得/(x1)^/(x2),有夕(/(%))=』会2=夕(/3))，

另一方面，若存在映射。:¥-＞丫，使对任意xeX,有夕(/(x))=x,

我们用反证法来证明了是单射，

若/■不是单射，即存在x产乙,有/(国)=/6)，

又若/(网)片/(%2)，则由题意夕(/(再))=玉=%=0(八>2)),这与Xi#9产生矛盾，

所以此时/是单射，

综上所述，命题得证.

【点睛】

关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证.

31.(2024•广东•模拟预测)已知集合A中含有三个元素x，-z,同时满足①X<y<z；②x+y>z；③x+y+z

为偶数，那么称集合A具有性质尸.已知集合S“={1,2,3,…,2〃}(”eN*,〃24),对于集合S,的非空子集8,

若S”中存在三个互不相同的元素。也c,使得。+仇人+c,c+”均属于8,则称集合B是集合S„的“期待子集”.

⑴试判断集合/={1,2,3,5,7,9)是否具有性质P,并说明理由；

(2)若集合3={3,4,可具有性质产，证明：集合B是集合其的“期待子集”；

(3)证明：集合“具有性质P的充要条件是集合M是集合S.的“期待子集”.

【答案】(1)不具有，理由见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)分取到的三个元素都是奇数和有偶数2,两种情况比较三个条件，即可判断；

(2)首先根据性质P,确定集合8,再根据“期待子集”的定义，确定集合3是集合邑的“期待子集”；

(3)首先证明充分性，存在三个互不相同的。,仇。，使得a+b/+c,c+a均属于“

证明满足性质产的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的上c,再证明a+b,A+c,c+a均属于

即可证明.

【解析】(1)集合/={1,2,3,5,7,9}不具有性质p,理由如下：

(i)从集合A中任取三个元素x/,z均为奇数时，x+y+z为奇数，不满足条件③

(ii)从集合A中任取三个元素有一个为2,另外两个为奇数时，不妨设y=2,x<z,

则有z-x22,即z-xNy,不满足条件②，

综上所述，可得集合/={1,2,3,5,7,9}不具有性质P.

(2)证明：由3+4+。是偶数，得实数。是奇数，

当Q<3<4时，由Q+3>4,得l<a<3,即a=2,不合题意，

当3<4<〃时，由3+4〉〃，得4<。<7,即a=5,或〃=6(舍),

因为3+4+5=12是偶数，所以集合5={3,4,5},

令a+6=3,b+c=4,c+a=5,解得3=2,b=1,c=3,

显然。,6,ceS4={l,2,3,4,5,6,7,8},

所以集合3是集合国的“期待子集”得证.

(3)证明：

先证充分性:

当集合初是集合S’的“期待子集”时，存在三个互不相同的6,c,使得a+b,6+c,c+a均属于”,

不妨设a<6<c,令x=a+6,y^a+c,z=b+c,贝！即满足条件①，

因为x+y-z=(a+6)+(a+c)-(6+c)=2a>0,所以x+y>z,即满足条件②，

因为x+y+z=2(a+b+c),所以x+7+z为偶数，即满足条件③，

所以当集合M是集合S”的“期待子集”时，集合M具有性质P.

再证必要性:

当集合〃■具有性质产，则存在x/,z,同时满足①x<y<z；@x+y>z.③x+y+z为偶数,

^-a=X+y^Z-z,b=X+y^Z-y,c=x+；+z_x,则由条件①得。<6<c,

由条件②得。=书"-z=叶尸>0,

由条件③得均为整数，

甲*x+y+zz+x-yz+(z-y)-y

因为z-c=z+x--------=-------->--------=z-y>0,

222

所以0<Q<b<c<z,且4,6,。均为整数，

所以a,b,c£S〃，

因为a+b=x,a+c=y,6+c=z,

所以。+仇b+c,c+a均属于M,

所以当集合初具有性质尸时，集合M是集合S”的“期待子集”.

综上所述，集合刊是集合S”的“期待子集”的充要条件是集合州具有性质P.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质P”和“期待子集”的定义

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）已知命题oVxeZlNO,则“为（）

A.eZ,x2<0B.3x^Z,x2<0

C.eZ,x2<0D.gZ,x2<0

【答案】C

【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【解析】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得：

命题p:VxeZ,x?20的否定为：「。为IreZ,/<0.

故选：C.

2.（2024•浙江宁波・二模）已知平面a,吠%ac£=/,则“/_L是“a且力_L7"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面垂直，即可利

用线面垂直的判断求证必要性.

【解析】由于an尸=/,所以/ua,/u4,

若Z1/,则a，/,j,故充分性成立，

若a-Ly,y51/,设</□?=，"，£□/=〃，

则存在直线au%使得qj_加，所以a_La,由于/utz,故。

同理存在直线6u%使得6_L〃，所以由于/u£,故

由于a力不平行，所以。力是平面7内两条相交直线，所以故必要性成立，

故选：C

3.（2024・陕西咸阳三模）己知“ln（a+l）>0,q:*20,2*+l〈a,则P是-'4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】分别求得。为真时，a>0,「4为真时，a<2,可得结论.

【解析】P为真时，可得。+1>1,所以。>0,

9为真时，«>(21+1)^,又xNO,所以2工+1220+1=2,所以。22,

所以为真时，a<2,

所以。是「4的即不充分又不必要条件.

故选：D.

4.（2024•江西南昌・二模）已知集合/={x|lnxW0},8={x|2，W2},贝「xe/”是“xe3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必要性.

【解析】不等式InxVO解得0<尤<1,则4=（0』；

不等式2，W2解得xWl,则8=（一叫1].

(0,1］口(-8』,

所以“xeA”是“xeB”的充分不必要条件.

故选：A

5.（2024•江苏南通•模拟预测）若命题：“血，beR,使得a-cosbW6-cosa”为假命题，则。，b的大小

关系为（）

A.a<bB.a>bC.a<bD.a>b

【答案】B

【分析】由命题的否定为真命题，转化为a+cosa>b+cosb成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解.

【解析】由题意，命题的否定“V。，beR,使得a-cos6>6-cosa”为真命题，

即a+cosa>b+cosb,

设/（x）=x+cosx,则/'（x）=1-sin尤20,

所以/（x）为增函数，

所以由可知a>b,

故选：B

6.（2024•陕西西安•模拟预测）设函数/"）="2-2"，命题“土式2,6],W-2。+3”是假命题，则实

数Q的取值范围是（）.

-w

A.B.(3,+oo)C.(2,+co)D.

【答案】A

【分析】根据特称名为假命题可得办2-2ax+2a-3>0,对右右微⑹恒成立，令/z(x)=ax~-2办+2。-3,

利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论.

【解析】因为命题“二e[2,6],f(x)V-2a+3”是假命题,所以Vxe[2,6],/(x)>-2°+3恒成立，

®ax2-2ax+2a-3>0,对Vxe[2,6]恒成立,

令/?(x)=ax2-2"+2a-3,则二次函数的对称轴为直线x=1,

要使得Vxe2,6,4x>0恒成立，贝叶解得。>：,

[用⑼=26〃一3>02

所以实数0的取值范围是

故选：A.

7.(2024•四川成都•三模)已知圆C:x2+/=i,直线/：x-y+c=0,贝『心0”是“圆C上任取一点(x,y),

使尤-y+cV0的概率小于等于»的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】由事件从圆C上任取一点(x,y),使x-y+cWO的概率小于等于。，求。的范围，结合充分条件和

必要条件的定义判断结论.

【解析】直线x-y+c=O的斜率为1,在X轴上的截距为-c,在V轴上的截距为C,

当c>0时，如图，圆C上不存在点(XJ),使x-y+cWO,

所以事件圆C上任取一点(x,田，使x-y+cV0的概率为0,

当c=也时，如图，圆C上有且仅有一个点(xj),使x-y+cVO,

所以事件圆C上任取一点（x,y）,使X-V+C40的概率为0,

若0＜c〈后，如图，圆c上满足条件无-V+CWO点为劣弧48（含45）上的点,

设劣弧48的长度为f,贝1]0＜/＜兀，

所以事件圆C上任取一点使x-y+cWO的概率尸=[＜：,

2兀2

若c=0,如图，圆C上满足条件x-y+c40点为直线/上方的半圆上的点,

所以事件圆C上任取一点（X,.y,使x-y+cwo的概率尸=F7T=彳1，

2712

若-册＜c＜0,如图，圆C上满足条件x-7+cWO点为优弧CD（含C。）上的点,

设优弧的长度为s,则兀＜S＜2TI,

所以事件圆C上任取一点（x,»,使x-y+c4O的概率P=《＞:，

若c"也,如图，圆C上所有点满足条件x-y+cwo,

27r

所以事件圆C上任取一点（X））,使x-.y+cMO的概率尸=h=1,

所以“圆C上任取一点（x,y）,使x-y+cW0的概率小于等于A-”等价于“c20”，

所以“c对”是“圆C上任取一点（羽力，使x-y+cV0的概率小于等于!”的充要条件，

故选：C.

2

8.（2024・四川•模拟预测）已知命题“Vxe[1,4],e*-1-加20”为真命题，则实数小的取值范围为（）

A.（-00,e-2]B.1一叫/一；C.[e-2,+oo）D.5一;,+oo）

【答案】A

【分析】分离参数加Ve'->求函数/仁）=/-、6«1,4]的最小值即可求解.

2?

【解析】因为命题"Vxe[l,4]e-二机20”为真命题，所以也<1,4],小《6'-1

令〃x）=e，-Fxe[l,4],y=ex与k在[1,4]上均为增函数，

故〃x）为增函数，当x=l时，/（*）有最小值e-2,即加Ve-2,

故选：A.

二、多选题

9.(2024・云南楚雄•模拟预测)下列命题为真命题的是（）

A.VxeR,x+—>2B.VxeR,W1

xVJx2+1

C.3xeR,ln(|x|+l)=0D.3xeR,x2+x+1<0

【答案】BC

【分析】运用全称和特称量词的命题的知识分析即可.

【解析】对A,当x=0时，x+工无意义,故A错误;

X

对B,易得VxeR,x2+l>l,则&+121，可得f故B正确；

+1

对C,当x=0时，ln(|x|+l)=O成立，故C正确；

对D,A=l-4=-3<0,可得—+》+1>0,故D错误.

故选：BC

10.(2024•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知集合/=｛小<3｝,集合8=｛小<%+1｝,能使么口8=/

成立的充分不必要条件有()

A.m>0B.m>1C.m>3D.m>4

【答案】CD

【分析】由4nB=/成立的充要条件求出对应的参数加的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.

【解析】=4当且仅当A是3的子集，当且仅当加+1N3,即加22,

对比选项可知使得加22成立的充分不必要条件有m>3,m>^.

故选：CD.

11.(2023•辽宁•模拟预测)已知数列｛七｝满足再=2m用=再二T^eN*).给出以下两个命题：命题“对任

意〃eN*,都有1<Z+1<X"；命题方e(0,l),使得对尸+1成立.()

A.p真B.p假c.q真D.9假

【答案】AD

【分析】对于命题,，利用数学归纳法和作差法可判断，对于命题9,利用反证法进行分析判断.

【解析】对于命题P,先利用数学归纳法证明%>1,

当”=1时，无]=2>1,不等式成立，

假设当〃=上时不等式成立，即4>1,则

X"+]=-1〉J2x1-1=1,

所以当”=k+1时，不等式也成立，

综上，%>1,

因为x；+1-x；=2x,-1一x；=-(x“-I)2<0,所以x；+i<x；,

因为斗>1,所以l<x0+i<x"，所以命题P为真命题，

对于命题9,假设存在飞(0,1),使得对V〃eN*,x“Vr"T+l,

X—12

由已知可得1=2(怎-1),得4T

XnTx”+i+l

222

所以当+1-1=-7•——…一——,

%+1X3+IX„+1+1

2222〃

所以尸〃>----------……-----=----------------------

n2

r+2/+2r+2(r+2)(r+2).•…(/+2)

/〃c、2〃(2丫

所以3+2)(，+2)

所以V(r+