导数与函数的单调性（高考高频考点）（ 8大题型+ 2大方法+ 2大易错）（原卷版）-2025年新高考数学

导数与函数的单调性

（高考高频考点,8大题型+2类方法+2类易错）

目录

第一部分：题型篇..........................................2

题型一：重点考查求函数的单调区间......................2

题型二：重点考查根据函数的单调性求参数.................2

题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数..........4

题型四：重点考查/'（X）为一次型的单调性讨论问题..........5

题型五：重点考查/'（X）为可视为一次型的单调性讨论问题....6

题型六：重点考查/'（X）为可因式分解的二次型的单调性讨论问题

.....................................................................................................................7

题型七：重点考查/'（X）为可视为可因式分解的二次型的单调性讨

论问题................................................10

题型八：重点考查/'（X）为不可因式分解的二次型的单调性讨论问

题...................................................11

第二部分：方法篇.........................................12

方法一：单调性讨论优先考虑是否可因式分解.............12

方法二：单调性讨论△法................................13

第三部分：易错篇.........................................14

易错一：求单调区间忽视了定义域..........................14

易错二：已知/（x）在区间。上单调等价转化忽略了等号......15

第一部分：题型篇

题型一：重点考查求函数的单调区间

典型例题

例题1.(23-24高二下•广东广州•期末)已知函数〃x)=x-lnx,则/'(x)单调递增区间是

()

A.(-8,0)B.

C.(-oo,0)u(l,+co)D.(0,1)

例题2.(23-24高二下•湖北襄阳•阶段练习)函数/(尤)=111(2%+3)+/的单调增区间是,

精练高频考点

1.(24-25高三•上海•随堂练习)函数.y=/(x),其中/(x^x+liw,则了=/(x)的单调增

区间为().

A.(-oo,-l)B.(0,+8)C.(-1,0)D.(0,1)

2.(23-24高二下•上海•期末)求函数/(x)=e^.(x2-3x+l)的单调区间.

题型二：重点考查根据函数的单调性求参数

典型例题

例题1.(23-24高二下•山东荷泽•期末)已知函数〃x)="2+：的单调递增区间为［1,+动,

则。的值为()

33

A.6B.3C.-D.-

24

例题2.(23・24高二下,安徽合肥・期中)已知函数［(x)=lnx+f—M.若函数/⑺在［1,2］

上单调递减，则实数加的最小值为()

例题3.(23-24高二下•辽宁•期末)若函数/(x)=lnx+ax2T在区间(1,2)上存在单调递减

区间，则实数。的取值范围是（）

A.1,总B.C.UJD.一:

例题4.（2024高二•全国•专题练习）函数/（力=砂（2/一以-4）在区间（"1,后+1）上不单

调，实数上的范围是.

例题5.（23-24高二下•上海•阶段练习）若函数/（幻=!/+々/一!在上存在严

格减区间，则"，的取值范围是

精练高频考点

1.（23-24高二下•四川内江•期中）函数/（*）=史在（。,+8）上单调递减，则实数4的取值

X

范围为（）

A.（0,e）B.[e,+oo）C.[0,e-l]D.（0,e-l）

2.（23-24高二下・重庆渝北•期中）若函数〃（》）=11^-：苏-2X在§,2）上存在单调递减区

间，则实数。的取值范围为（）

A.[-1,+co）B.（-1,+co）

C.[0,+8）D.（0,+<»）

3.（2023・全国•高考真题）已知函数/（x）=ae=lnx在区间（1,2）上单调递增，则°的最小

值为（）.

A./B.eC.e-1D.e-2

4.（23-24高二下•吉林四平•期中）若函数〃x）=lnx+；办2+3在区间0,4）内存在单调减

区间，则实数a的取值范围是（）

一<»,一总1]（1,+⑹

A。B.

C.（-oo,-l）D.（0,1）

5.（2024•四川•模拟预测）已知函数/（x）=x2+（x-2）e，-2x+5在区间（3加-1,〃?+2）上不

单调，则〃？的取值范围是.

题型三：重点考查根据函数单调区间的个数求参数

典型例题

例题1.（2024高二下•全国•专题练习）若函数/（力=/+3/-x+1恰好有三个单调区间,

则实数〃的取值范围是（）

A.（-3,0）B.（0,+oo）

C.（一8,-3）。（0,+8）D.（-3,0）u（0,+co）

例题2.（23-24高二下•广东佛山•阶段练习）已知J，=；X3+6/+（6+6）X+3在R上存在三

个单调区间，则6的取值范围是（）

A.弥-2或623B.-2<b<3

C.-2<b<3D.分<一2或方>3

例题3.（23-24高二下•甘肃•阶段练习）若函数/（耳="3+3尤2-才恰好有三个单调区间，

则实数。的取值范围是.

精练高频考点

4

1.（23-24高二上•河南安阳・期末）若函数”》）=^3-2分-（"2八+5恰好有三个单调

区间，则实数。的取值范围为

A.-1<tz<2B.-2<a<]C,Q>2或QV-1D.〃>1或Q<-2

2.（23-24高二•全国•课后作业）若函数/（》）=0?+3/+%+6（°>0,6€11）恰好有三个不同

的单调区间，则实数。的取值范围是（）

A.（0,3）U（3,+s）B.[3,+s）C.（0,3]D.（0,3）

3.（23-24高二上•河南平顶山•期末）若函数〃x）=ax3+办2+x恰好有三个单调区间，则实

数。的取值范围是.

题型四：重点考查/'(x)为一次型的单调性讨论问题

典型例题

例题1.(2024高三•全国•专题练习)已知函数〃x)=f+liuTaeR.讨论函数“X)的单

调性;

例题2.(23-24高二下•广东梅州•期中)已知函数"x)=(a+l)x-lnx.

(1)当。=0时,求/(x)在［1,2］上的值域;

(2)讨论/(x)的单调性.

例题3.(23-24高二下•全国•课后作业)已知函数/(x)=lnx-a［x-其中aeR,

aNO.讨论函数/'(x)的单调性;

精练高频考点

1.(2024高三・全国•专题练习)已知函数/■(x)=alnx+x-l(aeR).讨论/(X)的单调性;

2.(2024高三・全国・专题练习)已知函数〃x)=aln(x-l)-尤+1,求/(x)函数的单调性;

3.(2023高二•全国•专题练习)已知函数/(x)=ax+lnx(aeR),求函数/(无)的单调区间.

题型五：重点考查/'（X）为可视为一次型的单调性讨论问题

典型例题

例题1.（2024高三・全国•专题练习）已知函数"%）=苫+2-原.讨论/3的单调性；

例题2.（22-23高二•江苏•课后作业）已知函数〃x）=e2x+(a+2)e*+ox.讨论/*)的单

调性；

精练高频考点

1.（22-23高二下•全国裸后作业）已知函数〃x）=e，-"-l（aeR）.讨论/"（X）的单调性;

2.（2024高二•全国•专题练习）已知函数/（力=〃记2，+(m-2)ex-x

（1）当机=0时，求曲线y=/（x）在点（0,7（0））处的切线方程;

（2）讨论/（x）的单调性.

题型六：重点考查/'（X）为可因式分解的二次型的单调性讨论问题

典型例题

例题1.（2024高三•全国•专题练习）已知函数++b=l

时，讨论/（x）的单调性.

（2024高三•全国•专题练习）已知〃x）=lnx+肛F-3-2.W0）,讨论了⑺的

例题2.

ay/xX

单调性.

例题3.（23-24局二下•北乐・期中）已知函数/'（尤）=]/+（。—l）ln尤—亦一],其中aeR,

且为常数.

⑴当°=0时，求函数f（x）的极值；

（2）求函数〃尤）的单调区间.

例题4.（23-24高二下•河南郑州•期末）已知函数〃x）=#_（a+4）x+21nx,其中a>0.

⑴当a=l时，求函数/（x）在（0,4］上的最大值；

（2）讨论f（x）的单调性.

精练高频考点

1.（2024高二•全国•专题练习）已知函数/（xN-Z/lnx+gx'+axgeR）,讨论函数/'（x）

的单调性.

2.（2024高二•全国・专题练习）已知函数/（力=/，-ax-lnx.讨论/（X）的单调性;

3.（23-24高二下•全国•课后作业）已知函数/（x）=三二”（aeR）.讨论/"（X）的单调性;

4.(23-24高二下•四川内江•期中)已知函数

[7

f(＜x^=—ax2-("+l)x+lnx,g(x)=x2-2bx+—

⑴当0＜。＜1时,求函数/(%)的单调区间;

⑵当〃=:时，函数/(x)在(0,2]上的最大值为跖若存在xe[l,2],使得g(x)»M成立,

求实数6的取值范围.

题型七：重点考查/'(X)为可视为可因式分解的二次型的单调性讨论

问题

典型例题

例题1.(23-24高二下•辽宁•期末)已知函数/(x)=(ku：+°0：+1,a＞0.

⑴求证：尤＞0时，e，＞/；

(2)讨论/(x)的单调性;

例题2.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(x)=lnx-x,g(x)=x2-2x+3

h(x)=(x-2)ex+ag(x),讨论函数〃(x)的单调性；

精练高频考点

1.(23-24高二下•河北承德•阶段练习)己知/(x)=2+alnx-J(aeR).

xx

(1)求函数/(x)的单调区间；

2.(广东省广州市2025届普通高中毕业班摸底考试数学试题)已知函数

f(x)=------aInx.

x

(1)若/(x)在x=1处取得极小值，求实数”的取值范围;

题型八：重点考查/'（x）为不可因式分解的二次型的单调性讨论问题

典型例题

例题1.（2024高三•全国•专题练习）已知函数〃x）=2ax7iu+B，。H0.试讨论函数/'（x）

的单调性.

例题2.（2023高三•全国•专题练习）讨论函数〃x）=/—%2_|_ax+1的单调性.

精练高频考点

1.（2024高三•全国・专题练习）已知函数/（x）=x2-2x+alnx（a＞。），求函数/（无）的单调

增区间.

2.(2024高二•全国•专题练习)已知函数〃x)=lnx+*+3办+1,讨论函数/⑴的单调

性.

第二部分：方法篇

方法一：单调性讨论优先考虑是否可因式分解

典型例题

例题1.(23-24高二下•海南海口•期中)已知函数/(耳=/+办2一/x+2.

⑴若a=l,求曲线V=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程；

(2)求函数/(x)的单调区间.

精练高频考点

1.（23-24高二下•山东烟台•期末）已知函数/（司=（/+办+1,，（℃町.

⑴当。=-2时，求过点（1,0）且与/（%）图象相切的直线的方程；

⑵讨论函数/（x）的单调性.

方法二：单调性讨论A法

典型例题

例题1.（23-24高二下.广东广州•期末）已知函数/（力=-办2+*-欣,0>0.

⑴讨论f（x）的单调性；

例题2.（23-24高二下•广东深圳•期末）已知函数〃x）=Htu+x2-4x.

⑴讨论函数/（无）的单调性；

精练高频考点

1.(河北省张家口市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题)已知函数

f(x)=x2-2x+aln(l+x)(aeR).

⑴当。=-1时，求函数/(X)的极值；

(2)讨论/(x)的单调性.