北师大版八年级下册数学 第三章 图形的平移与旋转（单元重点综合测试）

第三章图形的平移与旋转（单元重点综合测试）

一、单选题

1.下列图形是中心对称图形的是（）

2.如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看着是由“基本图

案”经过平移得到的是（）

A.B.

C.

3.在平面直角坐标系中，将点（LT）平移到点（-3,-2）,经过的平移变换为（）

A.先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度

B.先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度

C.先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度

D.先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度

4.如图，V相如是由「.ABC旋转后得到的，下列说法正确的是（）

A.旋转中心不是点AB.BC^DE

C.旋转方向是顺时针D.NBAD=NCAE

5.在第四象限内有一点"（x,y）,且国=3,祝=5那么点”关于原点对称的点的坐标是（）

A.（-3,5）B.（3,-5）C.（-3,-5）D.（3,5）

6.如图，将ABC绕点A逆时针旋转70。，得到V相＞E,若点。在线段8c的延长线上，则N3的

大小是（）

7.如图，将ABC绕顶点A逆时针旋转得到△ABC,点B的对应点在BC上，若4=70。,

则/C4c的度数是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

8.小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下

面列有积木的四种搭配方式,其中恰好能放入盒中空格的有（）

搭配①搭配②搭配③搭配④

■BUnEM

MMES.EM■J*

C.3种D.4种

9.如图，Rt^ABC中，ZACB=90。，ZABC=30°,M为直线上的一个动点，将线段AW绕

点A顺时针旋转60。得到线段4V,连接CN,则当CN取得最小值时，下列结论正确的是（)

A.直线OVLABB.直线CN平分43

C.直线CN与直线BC重合D.直线CN与直线AC重合

10.如图，已知ABE,NABE=120。，将绕点3顺时针旋转60。得到CBD,连接AC,ED,

AE和CD交于点P.则下列结论中正确的是（)

A.—APC=30°

B.AC与庞;不平行

C...5DE可以看作是ABC平移而成的

D.MC和.①汨都是等边三角形

二、填空题

11.如图，将.ABC沿直线A3向右平移得到ABDE.若/018=50。，4=30。，则/C3。的度

数为_____

12.已知点4（2,4）与点30一1,24）关于原点对称，则。+6=.

13.如图所示是一个楼层的俯视图，中间阴影部分是两条通道，这两条通道把楼层隔出四个

小房间，根据图示信息，这四个小房间的总面积可表示为.

14.如图，，筋C的顶点都在方格纸的格点上，将.ABC绕点。按顺时针方向旋转得到AB'C,

使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,3）,OAB沿x轴向右平移后得到△04®,

点A的对应点A在直线y=%上一点，则点A与其对应点H之间的距离为

16.如图，将ABC绕点A按逆时针方向旋转70。得到△AED,连接BE,若BE,则/C4E

的度数为°.

17.如图，点A在x轴上，Q4=3,点8在y轴正半轴上.将AB绕着点A顺时针旋转120°得至I」AC,

若点C的横坐标为7,过点C作CFLx轴，垂足为F，则△ACF的面积为.

18.如图，RtABCDEF,ZC=ZF=90°,AC=4,BC=8,点。为AB的中点，点E在AB

的延长线上，将DEF绕点。顺时针旋转。度（。＜。＜180）得到DEF,当3。*是直角三角形

时，的长为.

三、解答题

19.下面两幅图案是中心对称图形吗？如果认为是，标出它们的对称中心.对于图②，至少

把图形绕整个圆的圆心旋转多少度，就能和原图重合?

20.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC的顶点都

在格点上，请解答下列问题：

(1)作出ABC向左平移4个单位长度后得到的并写出点G的坐标；

(2)作出ABC关于原点。对称的△4角02,并写出点C?的坐标；

©)△A与6可看作△ARC以点(,)为旋转中心，旋转180。得到的.

21.如图，已知「ABC,将一ABC沿直线3C平移得到(其中A、B、C分别与4、区、

G对应)，平移的距离为3c长度的|.

BC

⑴画出满足条件的△A4G；

9

(2)连接AG,如果「ABC的面积为万，求出ABC的面积.

22.如图，在，ABC中，点。在BC边上，AB=AD,将线段AC绕点A逆时针旋转到AE的位

置，使得NG4E=4L4D,连接。E,交AC于点H

BDC

⑴求证：BC=DE；

⑵若ZABC=75o,ZACB=25。，求ZAKD的度数.

23.图①、图②和图③都是5x5的正方形网格，每个小正方形边长均为1.按要求分别在图①、

图②和图③中画图：

⑴在图①中画等腰ABC,使其面积为3,并且点C在小正方形的顶点上；

⑵在图②中画四边形ARDE,使其是轴对称图形但不是中心对称图形，D,E两点都在小正方

形的顶点上；

⑶在图③中画四边形ABBG,使其是中心对称图形但不是轴对称图形，F,G两点都在小正

方形的顶点上；

24.如图，已知四边形A5CD是正方形，点E在。C上，将VADE经顺时针旋转后与重

合，再将△钻尸向右平移后与刀S重合.

(1)旋转的中心为点,旋转角的度数;

(2)如果连接所，那尸是_____三角形；

(3)试猜想线段AE和。”的数量关系和位置关系，并说明理由.

25.如图.在Rt^ABC中，ZABC=90°,ZACB=30。，将ABC绕点C顺时针旋转一定角度得

到DEC,点、A、3的对应点分别是。、E,连接AD,点E恰好在AC上.

D

⑴求NC4D的大小；

(2)若AB=2,求AE的长度.

26.如图，在等腰RtaABC中，ZSAC=90°,AB^AC,。在边C4的延长线上，E在边AB上,

AD=AE,连接DE.

观察与思考如图1,连接8。，CE,△曲可以由通过旋转变换得到，请写出旋转中

心、旋转方向及旋转角的大小.

迁移与运用将图1中的VADE绕点A旋转,当直线OE经过BC的中点R时，连接8。，如图

2,求证：BDAE.

操作与拓展将图1中的VADE绕点A旋转,当B,D,E三点在同一条直线上，且该直线恰

好经过AC的中点,直接写出黑的值.

图2备用图

27.在ABC中，ABAC=9Q°,AB=AC,。在边2C上运动(点。不与3,C重合)，连接AO,

把线段绕点A顺时针旋转90。后得到AE,连接DE,交于点H

(1)如图1,求证：NBDE=/DAC；

(2)如图1,当ZAED=67.5。时，请用等式表示线段8尸，BD,3C三者之间的数量关系，并加以

证明；

(3)如图2,若BC=8,G为8C中点，连接EG,四边形ACGE的面积是否会改变？若会改变请

说明理由，若不会改变，请求出它的面积.

第三章图形的平移与旋转（单元重点综合测试）

答案全解全析

一、单选题

1.下列图形是中心对称图形的是（）

【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点

旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【解析】解：选项A、C、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的

图形重合，所以不是中心对称图形.

选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对

称图形.

故选：B.

2.如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看着是由“基本图

案”经过平移得到的是（）

【答案】C

【分析】根据平移的性质：不改变物体的形状和大小，朝一个方向移动能够得到的图形.

【解析】解：观察图形可知A,D选项的图形由旋转可得到，B选项的图形由对折可得到；

选项C的图形是通过图形平移得到的，符合题意；

选项A、B、D图形不能通过平移得到，不符合题意.

故选C

【点睛】此题考查了图形的平移，平移只改变位置，不改变大小和性质，要注意与旋转和翻

折的区别是解题的关键.

3.在平面直角坐标系中，将点。,~4）平移到点（-3,-2）,经过的平移变换为（）

A.先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度

B.先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度

C.先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度

D.先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度

【答案】C

【分析】本题考查点的平移.根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行判断即可.

【解析】解：•；-3-1=y-2-(T)=2,

•••将点(1，T)先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点(-3,-2)；

故选C.

4.如图，VAOE是由ABC旋转后得到的，下列说法正确的是()

A.旋转中心不是点AB.BC/DE

C.旋转方向是顺时针D./BAD=NCAE

【答案】D

【分析】由旋转中心，旋转方向，旋转前后的对应边，旋转角的含义可以直接求解.

【解析】解：一ADE是由ABC旋转后得到的，

•••旋转中心为点A,BC=DE,旋转方向可以是顺时针,也可以是逆时针,旋转角为ZBAD=ZCAE,

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质以及基本概念是解题的关键.

5.在第四象限内有一点M(x，>),且冈=3,闻=5那么点M关于原点对称的点的坐标是()

A.(-3,5)B.(3,-5)C.(-3,-5)D.(3,5)

【答案】A

【分析】本题考查绝对值、点所在的象限、求关于原点对称的点的坐标，先求得点〃的坐标，

再根据点(x,>)关于原点对称的点的坐标为求解即可.

【解析】解:依题意，》=3-=-5,

点/(3,-5)关于原点对称的点是(-3,5).

故选：A.

6.如图，将ABC绕点A逆时针旋转70。，得到VADE,若点。在线段3c的延长线上，则的

大小是（）

【答案】D

【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.由旋

转的性质可得=NBAD=70。,由等腰三角形的性质可求解.

【解析】解：将ABC绕点A逆时针旋转70。得到

:.AB=AD,ABAD=10°,

故选：D.

7.如图，将ABC绕顶点A逆时针旋转得到点3的对应点玄在BC上，若4=70。,

则/CAC的度数是（）

A.40°B,50°C.60°D.70°

【答案】A

【分析】本题主要考查图形旋转的性质和等腰三角形的性质，根据AB=AB',ABAC=ZB'AC,

可求得ZC'AC=ZBAB'.

【解析】解：根据题意，得：

AB=AB',ABAC=AB'AC.

VZB=70°,AB^AB',

：.ZAB'B=10°.

：.ZBAB'=1SO°-ZB-ZAB'B=40°.

,?ABAC=ZBAB'+NB'AC,ZB'AC=ZC'AC+NB'AC,ABAC=ZB'AC,

ZC'AC=ZBAB'=40°.

故选：A.

8.小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格，下

面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（）

搭配①搭配②搭配③搭配④

!>>■豁EM

MMES.Ew

A.1种B.2种C.3种D.4种

【答案】D

【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项.

【解析】解：.••将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状，

•••恰好能放入的有①②③④.

故选：D.

【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识.

9.如图，Rt^ABC中，ZACB=9Q°,ZABC=30°,“为直线上的一个动点，将线段AM绕

点A顺时针旋转60。得到线段⑷V,连接CN,则当CN取得最小值时，下列结论正确的是（）

A.直线aVLABB.直线CN平分A3

C.直线CN与直线8c重合D.直线CN与直线AC重合

【答案】B

【分析】延长AC到E,使得AE=AB,连接NE,先求出Nfi4c=60。，AB=2AC,由旋转的性质可

得=ZMAN=60°,则/RAM=/FAN.证明.BAM四.EW（SAS）,得至lj==30。,

则点N在直线EN运动，故当CNLEN时，CN最小，设当CN，EN时，点N与点H重合，延

长8C交A3于证明△AB是等边三角形，得到AF=AC,则AB=2AF,即直线CN平分A8.

【解析】解：如图所示，延长AC到E,使得4E=AB,连接NE,

•.,□△ABC中，ZAC3=90°,ZABC=30°,

：.ABAC=180°-NACB-ZABC=60°,AB=2AC,

由旋转的性质可得4W=㈤V，ZMAN=60°,

/BAC=/MAN,

：.ZBAM=/EAN,

：..BAM^EAN(SAS),

/.ZAEN=NABM=30°,

•••点N在直线EN运动，

.,.当CVLEN时，CN最小，

设当CN1.EN时，点N与点”重合，延长8C交于R

ZACF=/HCE=90°-30°=60°,

...是等边三角形，

AF=AC,

"：AB=2AC,

AB=2AF,

...直线CN平分AB,

故选B.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角

和定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，确定N的运动轨迹是解题的关

键.

10.如图，已知一ABE,NASE=120。，将一年绕点3顺时针旋转60。得至kCBD,连接AC,ED,

AE和8交于点P.则下列结论中正确的是（）

FE

ABD

A.』APC=30°

B.AC与BE不平行

C..比史可以看作是AFC平移而成的

D.ASC和一一8DE都是等边三角形

【答案】D

【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，平移的性质，

熟练掌握旋转的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键.设AE与BC相交于点产，

根据旋转可得：■^ABC=NDBE=60。,,ABE-CBD,从而可得NBAE=NBCD,BA=BC,BE=BD,进

而可得ABC和一BED都是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得的C=60。，从而可

得ZB4C=ZZME=60。，进而可得ACBE,再利用三角形内角和定理，以及对顶角相等可得

ZAPC=ZABC=60°,最后根据ABwBD,可得一ABC和.BED不全等，从而利用平移的性质可得

不可以看作是，ABC平移而成的，即可解答.

【解析】如图：设AE与BC相交于点产，

由旋转得:乙改=ZDBE=60°,^ABE^CBD,

；.ZBAE=ZBCD,BA=BC,BE=BD,

：.ASC和BED都是等边三角形，

/.ZR4c=60。,

ZBAC=ZDBE=60°,

：.ACBE,

'；ZAFB=ZCFP,ZAPC=180°-ZBCD-ZCFP,ZABC=180°-ABAE-AAFB,

：.ZAPC=ZABC=60°,

"：AB^BD,

/.ABC和BED不全等,

・•.BDE不可以看作是ABC平移而成的，

故A、B、C不符合题意，D符合题意，

故选:D.

二、填空题

11.如图，将.ABC沿直线A2向右平移得到ABDE.若/G4B=50。，4=30。，则/C3D的度

数为.

【解析】略

12.已知点A（2,4）与点30_L2a）关于原点对称，则。+6=.

【答案】-3

【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，横纵坐标都互为相反数，再得到关于

a,6的方程，然后求解即可.

【解析】解：•••点42,4）与点3（6一1,2a）关于原点对称，

・・h—1——2,2a——4,

解得：a=-2,b=-l,

〃+Z?=-1+（-2）=—3•

故答案为：-3.

13.如图所示是一个楼层的俯视图，中间阴影部分是两条通道，这两条通道把楼层隔出四个

小房间，根据图示信息，这四个小房间的总面积可表示为.

【答案】

【分析】本题主要考出来了平移的性质，根据平移的性质可得，这四个小房间的总面积等于

一个长为S-c），宽为S-d）的长方形面积，据此可得答案.

【解析】解：由平移的性质可得，这四个小房间的总面积等于一个长为（。-C）,宽为的

长方形面积，

・••这四个小房间的总面积可表示为（a-c）。-d）,

故答案为：

14.如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上，将.ABC绕点。按顺时针方向旋转得到A'B'C,

使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是.

【答案】90。/90度

【分析】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是掌握旋转角的概念.根据旋转角的概

念找到,欣阳是旋转角，从图形中可求出其度数即可.

【解析】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且

/BOB'=90°,

故答案为：90°.

15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,3）,沿x轴向右平移后得到△ON®,

点A的对应点在直线y=%上一点，则点A与其对应点A之间的距离为.

【答案】4

【分析】本题考查一次函数的平移和点坐标的平移问题，先根据向右平移纵坐标相同得到点A

的坐标为（4,3）,即可求解平移距离.

【解析】解：连接A4，，如图所示,

a

当y=3时,-x=3,

解得：尤=4,

・••点A的坐标为（4,3）,

又点A的坐标为（0,3）,

••AA=4.

故答案为：4.

16.如图，将ABC绕点A按逆时针方向旋转70。得到△血），连接跖，若短＞BE,则/C4E

的度数为

【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，先

180°-ZBAE

由旋转的性质得到AB=M，NBAC=NEAD,ZBAE=70°,进而得到/AE8=

2

再由平行线的性质得到的C=55。，即可得到答案.

【解析】解：•••将绕点A按逆时针方向旋转70。，得到△AED

/.AB=AE,ABAC=NEAD,ZBAE=70°,

ADBE,

/.ZEAD=ZAEB=55°9

：.ABAC=55°,

/.Z.CAE=ZBAE-ABAC=15°.

故答案为：15.

17.如图，点A在x轴上，Q4=3,点B在，轴正半轴上.将AB绕着点A顺时针旋转120°得至I」AC,

若点C的横坐标为7,过点C作轴，垂足为F，则△ACF的面积为.

【分析】本题考查了旋转的性质和含30。角直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的

关键，首先将AO3绕点A顺时针旋转120。，得到△ADC,延长。C交x轴于点E,即可求出

AE=2AD=2（M=6,AF=7-3=4,EF=6-4=2.然后求出CF=撞，进而求出△ACT的面积.

3

【解析】解：如图，将AO3绕点A顺时针旋转120。，得到八位）。，延长DC交x轴于点E.

在RtADE中，ZZME=60。，贝ljAE=2AD=2(M=6,AF=7—3=4,

/.EF=6-4=2.

在RtCEF中，ZE=90°-60°=30

c7

3

•••AACF的面积=?醇4=华,

故答案为半

18.如图，RtABC^RtDEF,ZC=ZF=90°AC=4,BC=8,点。为48的中点，点E在AB

的延长线上，将DEF绕点。顺时针旋转。度（。＜。＜180）得到DEF,当.3。面是直角三角形

时，的长为.

cF

/

A£>'、、B\E

'、、\

'、、\

'、、、.'、\

、、'E

【答案】10或2西

【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，旋转的性质.根据勾股定理可求出AB=46,

先根据全等三角形的性质和旋转的性质，得到OE=DE=AB=4g,从而得到A。=80=26.再

分情况讨论：①当/由足'=90。时；②当//叼£=90。时，利用勾股定理分别求解，即可得到答

案.利用分类讨论的思想解决问题是解题关键.

【解析】解：.“=90。，AC=4,BC=8,

由勾股定理得：AB=^AC2+BC2=4X/5>

Rt.ABC^RtDEF,

:.DE=AB=4y/5,

DEF绕点D顺时针旋转得到VDE尸,

:.DE=DE'=4书,

点。为AB的中点，

,-.AD=BD=1AB=2>/5,

①当N&)E=90。时，

NBDE'=90。,

:.ZADE'=90°,

AE'=y]AD2+DE'2=«2灼2+(4扃=10；

②当/ftBE=90。时，

在RtDBE'中，BE'=yjDE'2-BD2=44后一（2用=2^/15,

在RtW中，AEjBE松+A3,=42后1+卜肩=2后,

综上可知，的长为10或2后.

故答案为：10或2后.

三、解答题

19.下面两幅图案是中心对称图形吗？如果认为是，标出它们的对称中心.对于图②，至少

把图形绕整个圆的圆心旋转多少度，就能和原图重合？

【答案】图①是中心对称图形，对称中心为。，如下图；图②不是中心对称图形，图形绕圆

心至少旋转120,就能和原图重合.

【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕着某一点旋转180后能够与自身重合的图形

就是中心对称图形，可知：图①是中心对称图形，中间圆的圆心就是图形的对称中心；

图②不是中心对称图形，至少把图形绕整个圆的圆心旋转120,就能和原图重合；由此得出

答案即可.

【解析】解：图①是中心对称图形，对称中心为。如下图：

o

图②不是中心对称图形，图形绕圆心至少旋转360+3=120,就能和原图重合.

【点睛】此题考查利用旋转设计图案，掌握旋转的意义与性质是解决问题的关键.

20.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC的顶点都

在格点上，请解答下列问题：

(1)作出ABC向左平移4个单位长度后得到的△44G,并写出点G的坐标;

(2)作出ABC关于原点。对称的并写出点C2的坐标;

(3)人%鸟&可看作△A4G以点Q)为旋转中心，旋转180。得到的.

【答案】⑴作图见解析，q(-i,2)

(2)作图见解析，Q(-3,-2)

(3)-2,0

【分析】本题主要考查图形的平移、旋转以及中心对称：

(1)根据图形平移的性质分别求得点A,B,C平移后的对应点A,B,,G，依次连接点A,

BL,G即可.

(2)分别求得点A,B,C关于原点。的对应点人,星，G,依次连接点4,层，G即可.

(3)根据图形旋转的性质，连接△A8C和△44&中任意两个对应点，线段的中点即为旋转

中心.

【解析】(1)如图所示，点G的坐标为(-1,2).

(2)△AAQ如图所不，C,(-3,-2).

(3)△A/C可看作△A用G以点(-2,0)为旋转中心，旋转180。得到的.

故答案为：-2,0

21.如图，已知「ABC,将「ABC沿直线2C平移得到△4BC(其中A、3、C分别与4、4、

G对应)，平移的距离为BC长度的|.

⑴画出满足条件的△A4G；

Q

(2)连接AG,如果:ABC的面积为万，求出,A2G的面积.

【答案】(1)见解析

⑵T

【分析】(1)根据平移作图的方法作图即可；

7S

（2）先根据平移的性质得到CG="C,则B£=至C,过点A作AD13C于。，根据三角形

面积公式得到=|BCAD=|,则5AAflCi=|BC,.AD=y.

【解析】（1）解：如图所示，△ABC即为所求；

7

(2)解：由平移的性质可知CGJ2C,

/.BQ=BC+CC[=|sc,

过点A作ADIBC于D,

19

''SAABC=-BC-AD=~,

•••^C1-1BC1-AP=^.

【点睛】本题主要考查了平移作图，平移的性质，三角形面积，熟知平移的相关知识是解题

的关键.

22.如图，在，ABC中，点。在BC边上，AB=AD,将线段AC绕点A逆时针旋转到AE的位

置，使得NC4E=N胡D,连接DK,交AC于点H

⑴求证：BC=DE；

⑵若ZABC=75o,ZACB=25。，求ZA/力的度数.

【答案】（1）见解析

（2）55°

【分析】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点：

（1）根据NC4E=N3AD,可得ZBAC=4ME,根据旋转的性质可得AC=M，根据SAS可证

AABC^AADE,利用全等三角形的对应边相等即可求出结论.

(2)根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出ZB4D=30。，从而可得4AF=/BAD=30。,

利用全等三角形的性质可得ZE=ZACB=25。，即可.

【解析】(1)证明：=

ZBAD+NDAC=ZCAE+ADAC.

即NBAC=NDAE,

将线段AC绕点A旋转至UAE的位置，

AC=AE.

在ABC与.AOE中，

AB=AD

<ABAC=ZDAE

AC=AE

ABC组ADE(SAS),

/.BC=DE；

(2)解：AB=AD,ZABC=75。,

o

.".ZJBAD=180°-75x2=30°.

:.ZEAF=ZBAD=30°.

^ABC^AADE,

..ZE=ZACB=25°.

二/AFD=NE4B+/E=30。+25。=55。.

23.图①、图②和图③都是5x5的正方形网格，每个小正方形边长均为1.按要求分别在图①、

图②和图③中画图：

⑴在图①中画等腰ABC,使其面积为3,并且点C在小正方形的顶点上；

(2)在图②中画四边形ASDE,使其是轴对称图形但不是中心对称图形，D,E两点都在小正方

形的顶点上；

(3)在图③中画四边形钻尸G,使其是中心对称图形但不是轴对称图形，F,G两点都在小正

方形的顶点上；

【答案】(1)作图见解析

(2)作图见解析

⑶作图见解析

【分析】(1)取格点C,连接AC、8c即可；

(2)取格点。、E,连接AE、DE、即即可；

(3)取格点/、G,连接AG、GF、所即可.

【解析】(1)解：取格点C,连接AC、BC,取格点。，连接8。，

•••图①是5x5的正方形网格，每个小正方形边长均为1,

，CO=AO=1,80=3,BO1AC,

：.3。垂直平分AC,

BC=BA,

・•・ABC是等腰三角形，

XVSAASC=|AC-OB=1X2X3=3,

等腰面积为3,且点C在小正方形的顶点上，

则ABC即为所作；

(2)取格点。、E,连接AE、DE、BD,

•••图②是5x5的正方形网格，每个小正方形边长均为1,

/.AE//BD,AE=1,BD=3,

：.AE^BD,

•••四边形ABDE是梯形，

AB=Vl2+32=710-ED7fs=M,

：.AB=ED,

I.四边形ABDE是等腰梯形，它是一个轴对称图形，不是中心对称图形,

则四边形即为所作;

图②

(3)取格点/、G,连接AG、GF、M即可，

•••图③是5x5的正方形网格，每个小正方形边长均为1,

/.AG//BF,AG=2=3b,

•••四边形"FG是平行四边形，它是一个中心对称图形，不是轴对称图形,

则四边形ABFG即为所作.

G图③

【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，

等腰梯形的判定，勾股定理，平行四边形的判定，中心对称图形，轴对称图形，三角形的面

积等知识.解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题.

24.如图，已知四边形ABCD是正方形，点E在。C上，将VADE经顺时针旋转后与△谢重

合，再将AAB/向右平移后与DS重合.

(1)旋转的中心为点I______,旋转角的度数;

(2)如果连接斯，那AAE尸是______三角形；

(3)试猜想线段AE和。”的数量关系和位置关系，并说明理由.

【答案】⑴A,90°

(2)等腰直角

(3)钻=。〃且钻，/)”,理由见解析

【分析】本题考查了旋转和平移这两种图形变换，掌握相关性质是解题关键.

(1)根据旋转的定义即可求解；

(2)由旋转的性质可得加?=",结合/E4F也为旋转角即可求解；

(3)由旋转的性质可得：AE=AF,ZBAF=ZDAE-,由平移的性质可得：AF=DH.NBAF=/CDH,

据此即可求解.

【解析】(1)解：：将VADE经顺时针旋转后与重合，

旋转的中心为点A,/BAD为旋转角,

,/四边形A5CD是正方形，

ZBAD^90°,

故答案为：A,90°；

(2)解：由旋转的性质可得：AE=AF,

：-E4F也为旋转角，

，ZEAF=9Q°

I.AAEF是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角；

(3)解：AE=DHS.AE±DH,理由如下：

由旋转的性质可得：AE=AF,ZBAF=ZDAE,

由平移的性质可得：AF=DH,ZBAF^ZCDH,

：.AE=DH,ZCDH=NDAE,

ZAED+ZDAE^90°,

：.ZAED+ZCDH=90°,

ZDGE=90。

AE±DH.

25.如图.在Rt^ABC中，ZABC=90°,ZACB=30。，将ABC绕点C顺时针旋转一定角度得

到DEC,点A、3的对应点分别是。、E,连接AD,点E恰好在AC上.

D

⑴求/CW的大小；

(2)若AB=2,求AE的长度.

【答案】(1)75。

(2)4-2月

【分析】本题主要考查旋转的性质，30。角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理等知识:

(1)由旋转的性质可得CA=CD,ZACB=ZDCE=30°,ZABC=/DEC=90°,由等腰三角形的性质

可得/C4D=75。，即可求解.

(2)根据“30。角所对的直角边等于斜边的一半”求出AC=4,再根据勾股定理求出BC=26,

进一步可求出AE=4-2g.

【解析】(1)解：•••将，ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到DEC,

：.CA=CD,ZACB=ZDCE=30°,

/.ACAD=1(180°-ZACD)=1(180°-30°)=75°.

(2)解：在中，

VAB=2,ZABC=90°,AACB=30°,

AC=2AB=4,

由勾股定理可得：BC=ylAC2-AB2=2A/3，

由图形的旋转可知：△ACS四

CB=CE=24),

/.AE=AC-CE=4-2y/3.

26.如图，在等腰RtAABC中，/SAC=90。，AB=AC,。在边04的延长线上，E在边AB上，

AD=AE,连接OE.

观察与思考如图1,连接B。，CE,可以由A4CE通过旋转变换得到，请写出旋转中

心、旋转方向及旋转角的大小.

迁移与运用将图1中的VADE绕点A旋转，当直线OE经过BC的中点R时，连接8。，如图

2,求证：BDAE.

操作与拓展将图1中的VADE绕点A旋转，当B,D,E三点在同一条直线上，且该直线恰

好经过AC的中点,直接写出黑的值.

图2备用图

【答案】观察与思考：是由"CE绕点A逆时针旋转90。得到的；迁移与运用：见解析;

操作与拓展：黑半

【分析】观察与思考先证明ZfiW=90。，再证明ABZ^zACE(SAS),根据旋转定义判断解答

即可.

迁移与运用连接CE,延长EF至点G,使FG=FE,连接8G.证明△BFG/△CFE,再证明

AB。-E(SAS),利用内错角相等，两直线平行证明即可.

操作与拓展连接CE,过点A作于点设AC的中点为Q,先证明ABD^.：ACE(SAS),

再证明AQH%CQE(AAS),得至"CE=AH=DH=EH=BD=a,利用勾股定理计算解答即可.

【解析】解：观察与思考

AD=AE

ZBAD=ZCAE=90°,

AB=AC

/.AB^ACE(SAS)

故AABD是由AACE绕点A逆时针旋转90。得到的.

迁移与运用

连接CE,延长斯至点G,使FG=FB,连接BG.

BF=CF

<NBFG=NCFE,

FG=FE

：.BFG^,CFE'(SAS),

...ZFBG=ZFCE,BG=CE.

ZBAD=900-ZBAE=ZCAE,

AD=AE

\ZBAD=ZCAE9