第二课时 定点、定线与定值

第二课时定点、定线与定值题型一定点问题例1(2024·惠州调研节选)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线BN的斜率为k(k≠0)，直线AM的斜率为3k，求证：直线MN过定点．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．或以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参．(2)特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平或竖直位置，即k＝0或k不存在．训练1(2023·全国乙卷)已知椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(5),3)，点A(－2，0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二定线问题例2(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2eq\r(5)，0)，离心率为eq\r(5).(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程．2．待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数．3．面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”．训练2(2024·郑州调研节选)已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点．直线l：x＝my＋1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S.当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，求此定直线方程；若不是，请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三定值问题例3(2024·合肥质检节选)已知椭圆E：eq\f(x2,4)＋y2＝1，且椭圆E的上、下顶点分别为A，B，右顶点为D，直线l过点D且垂直于x轴．如图，若点Q在椭圆E上(且在第一象限)，直线AQ与l交于点N，直线BQ与x轴交于点M，试问：|OM|＋2|DN|是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．训练3(2024·石家庄调研)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若|F1F2|＝2，△ABF2的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)eq\o(MA,\s\up6(→))＝λeq\o(F1A,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝μeq\o(F1B,\s\up6(→))，试分析λ＋μ是否为定值，若是，求出这个定值；否则，说明理由．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________