导数压轴小题-2025年新高考数学二轮复习

微专题08导数压轴小题

【秒杀总结】

一、导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：

①切点坐标满足原曲线方程；

②切点坐标满足切线方程；

③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.

二、不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数a2恒成立(a2/⑺1ra押可)或。〈/⑺恒成立1nm即可)；

②数形结合(y=/(x)图象在y=g(x)上方即可)；

③讨论最值/■(》)111ta或〃x)1mx<0恒成立；

④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

三、根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合

适的抽象函数.常见的构造方法：(1)若出现/(x)+/'(x)形式，可考虑构造g(x)=e"(x)；(2)若出现

r(x)-/(x),可考虑构造g(x)=〃»；(3)若出现y(x)+靖(X),可考虑构造g(x)=^(x)；(4)若出

ex

现“X)-矿(X),可考虑构造g(x)=卓.

四、函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函

数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合

函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数

的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

五、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

六、对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参

数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，

便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很

难研究，就不要使用分离参数法.

【典型例题】

例1.(2024•安徽•高三校联考阶段练习)设a=lnL01,5，c=tan0.01,贝!J()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】令/(x)=tanx-x(0〈尤<g),则:(x)=」^一i=lzWZ=tan2x>0在区间屋］上恒成立,

2cosXCOSXV

即/(元)=tanx-尤在区间上单调递增，所以/(x)>/(0)=0,即tanx>x,

所以c=tan0.01>0.01=1->1-=6,

100101

1Y

令g(x)=x-ln(l+x)(x>。)，贝!jg'O)=l-----=---->0在区间(。,+功上恒成立，

即g(x)=X-In(l+%)在区间(0,+8)上单调递增，所以gM>g(o)=0,即X>ln(x+l)(x>0),

所以0.01>ln(0.01+l)=lnl.01=a,所以,

令加尤)=Inx+1一1(尤>1),则h'(x)=!一士=可>0在区间(1,+«)上恒成立,

XXXX

即/z(x)=lnx+』-l在在区间(1,+⑹上单调递增，所以〃(x)>〃⑴=0,即lnx>l」，

Xx

所以Q=lnl.oi>l—一—=—=b,

1.01101

综上，c>a>b,

故选：D.

例2.(2024・贵州贵阳・贵阳一中校考一模)已知定义域为R的函数/(x),其导函数为f(x),且满足

/'(%)-2/(x)<0,/(0)=1,贝IJ()

A.e2/(-l)<lB./(l)>e2

C./出>eD.〃1)<"出

【答案】D

f(\,(、f(xYe2x-2f(x)e2xfr(x\-2f(x\

l解析］依题意令g(x)=缉x，则g(尤)=(2.2=6

eg)

因为/'(无)-2〃6<。在R上恒成立，

所以g〈X)<0在R上恒成立，

故g(x)在R上单调递减，

所以g(T)>g(0)，冬5=金〃-1)>当=1,故A不正确;

所以g⑴<g(o)，即T<C，即/(l)<e2/(o)=e2,故B不正确;

ee

又gg]<g(o),即/[2J/⑼：1，即U<e,故C错误;

因为⑴，即/匕(”1)，即故D正确;

e1e2

故选：D.

例3.(2024.黑龙江哈尔滨・哈尔滨三中校考一模)设〃>0且awl,若函数

x3E+(3〃2-7〃+2)x+2,xW0

/w=2-2-x">。有三个极值点，则实数a的取值范围是(

A.(2,e)B.(l,e)

C-一(1,2)D.(1，2)

【答案】C

【解析】当xWO时，/(力=d—寸+(3/_7a+2)%+2,f(x)=3f—2x+(3a—l)(a—2)；

对y=3f—2x+(3a-D(«-2),其开口向上，对称轴为x=；,且/'(0)=(3。-1)(。-2),

故当/'(0)“，即(3a-l)(a—2)20,也即a»2或0<aWg时，

f\x)20在(-8,Cf|恒成立，故y=/(x),在(-8,0]没有极值点；

当/'(0)<0,即(3a—l)(a—2)<0,也即时，

存在玉W(T»,0),使得/'(x)=0,

故xe(-8,xj,f'(x)>0,y=/(x)单调递增；

在xe(%,0],f\x)<0,y=/(x)单调递减,y=/(x)在(ro,0]有一个极值点;

当x>0时，/(x)=(log.龙丫一今，令''(x)=〃©)=^^.容一：，N(x)

故当x<O,e)时，加(x)>0,>=/'(x)单调递增；

当xe(e,y)时，硒尤)<0,>=/(尤)单调递减，又;(e)=2.1d*,

eIna

故当/'(e)VO,即0区+⑹时，

/'食)<0在(0,y)恒成立，产/(可在(0,+8)单调递减，无极值点；

当/(e)>o,即ae[,lju(l,e)时，

2

f'(T)=—<0,故存在x,e(l,e),满足/。)=0；

e

Inx0]nY，9

又当X趋近于+8时，趋近于0,/'(x)=J—趋近于

xmaxee

故存在£e(e,+co),满足/'(无)=0；

故当X«0,X2)时，/1(x)<0,y=/(x)单调递减；

当时,f,(x)>0,y=/(x)单调递增；

当％«为,+00)时，/(X)<0,y=〃x)单调递减，

故此时y=/(X)在(。,+°0)存在2个极值点；

综上所述，若y=/(x)有3个极值点，

则y=/(x)在(-6,0]有一个极值点，在(。,+℃)存在2个极值点，

此时且aeg,l)31,e),故aegj(1,2).

故选：C.

例4.(2。24・四川雅安・高三雅安中学校联考开学考试)当x>°时,扰"》n?恒成立,则”的取值范围为

()

A-I。/]B.卜；

C.-,+ooID.1,+00]

l_e)|_2e)

【答案】D

【解析】由题意，当x>0时，恒成立，

ae

所以«e2x>In-^―=InIn。一x在(0,+8)上恒成立，

aex

lnx

即eina+2”+ina+2x>e+In%在(0,+8)上恒成立，

令"x)=e、+x,可得小)=e“+l>0,所以〃力在(0,+功上单调递增，

所以Ina+2xNIn%在(0,+8)上恒成立，即Ina之In%-2%在(0,+8)上恒成立,

11_7Y

令g(x)=lnx-2x,可得/(无)=——2=-------,

XX

当尤e(O,g)时，g'(x)>0,g(无)单调递增；

当xe(：,+8)时，g[x)<0,g(x)单调递减，

所以g(x)4g(4)=ln、T=ln4,所以InaNln],解得

222e2e2e

所以实数。的取值范围为[j，+s).

1_2e)

故选：D.

例5.(2024•内蒙古锡林郭勒盟•高三统考开学考试)若函数/("=(24-2)尤-eZrlnx+ln2a存在零点，则。

的最小值为()

A.JB.ec.e-2D.e2

【答案】B

【解析】由/(x)=0得ln(2依)+2依=2x+e2，，

设g(x)=e*+x,则g'(x)=e£+l>0,g(x)在R上单调递增，

2x

：.g(in(2ox))=g(2x),：.ln(2^zx)=2x,a>0,x>0,BP«=—.

2x

所以/(X)存在零点等价于方程a=|^G>o)有解，

人i(、守(八、\2e2x-2x-2e2x(2x-l)e2jr

令(X)=x(X>)'则/7⑴=-——=、2/'

当0<x<；时，//(x)<0；

当x>g时，〃(x)>0,

所以/z(x)在上为减函数，在上为增函数，

所以〜=〃(xL=h[^]=e-

故选:B

x

例6.(2024・四川成都•高三成都七中校考开学考试)定义在R上的可导函数/⑺满足/(%)-/(T)=xe%+S，

e

当xv0时，/'(%)■)—~>0,若实数〃满足/(2〃)一/(a+2)—2ae~2a+aea2+2ea2<0,则〃的取值范围为

ex

()

-2、

A.——,2B.[2,+oo)

C.—u[2,+co)D.(—00,2]

【答案】C

【解析】由"r)T(T)=xe，+p,得一W=/(T)一三.

令g(x)=〃x)-j,则g(x)=g(—X),即g(x)为偶函数.

当x<0时，g'(x)=7'(x)+?>0,所以g(x)在(-8,0)上单调递增；

所以g(x)在(0,+8)上单调递减.

由f(2<a)-/(a+2)-2ae~2a+aea~2+2ea~2<0,

得八2。)4〃a+2)-安，即g(2a)Wg(a+2).

ee

又g(x)为偶函数，所以g(|2a|)4g(|a+2|),

因为g(x)在(。,+8)上单调递减，

所以囱习夕+2],即4〃22/+4〃+4,解得或〃“，

所以〃的取值范围为§u[2,+co).

故选：C.

例7.(2024・重庆・高三重庆一中校考开学考试)已知定义在区上的函数/(》)=(2X2+4*+4+5,、若存在加,

使得对任意x,都有f(x)N/(〃2),则。的取值范围是()

A.a<-lB.a<0C.a<—2D.a<-3

【答案】D

【解析】/(x)=(2.+4x+a+5)er=2炉+?+。+5,

当xf+oo时，2%2+4元+々+5>0,-0.

r”、_(4x+4)e*-Q/+4x+a+5)e[-2尤2一a-l

/W==-«-'

当-时，r(x)<o,/(x)在R上单调递减，没有最小值，不符合题意，

所以a<-L,令〃x)=。解得x=±p^,

所以在区间[-应上f(x)<0,〃x)单调递减，

7

上尸(x)>OJ(x)单调递增,

若存在机，使得对任意x,都有/•(x)N/(m),

p/_a_1/_a_1

即1rl4d224,J>l,-a-l>2,a<-3.

故选:D

例8.(2024.浙江湖州•高二统考期末)己知函数/(x)=e'T,g(x)=G2,若总存在两条不同的直线与函数

V=/(%)，y=g(x)图象均相切，则实数。的取值范围是()

A.B.仁+[C.已+^

D.

【答案】A

【解析】由题意可知：awO,

设函数/(X)=e*T上的切点坐标为(工,户7),函数g(x)=ax2上的切点坐标为伍,ax；),

Xj—1

且/'(x)=ei,g\x)=2ax,则公切线的斜率e'—=2陋，可得羽=

2a

则公切线方程为y—炉一1=炉一1%—玉),

代入(々a；)得应_酉一1=e“T(马一百)，

代入％=上一可得，整理得〉代

2a

令，=再一1,贝！]—=—,

4ae

若总存在两条不同的直线与函数y=/(x),y=g(x)图象均相切，则方程圭=:有两个不同的实根,

设=贝=

令//(x)>0,解得X<1；令〃(x)<0,解得X>1；

则MM在(-8,1)内单调递增，在(1,+⑹单调递减，可得力(可(刈1)=(,

且当X趋近于-8时，/z(x)趋近于当X趋近于+8时，/《X)趋近于0,

1

故选：A.

例9.(2024•山东青岛•高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试)已知函数/(x)=o?+21nx(aeR)有两

个不同的零点公三，符号［司表示不超过x的最大整数，如［0.5］=0,［1.2］=1,则下列结论正确的是()

A.”的取值范围为

B.玉+/=2五

C.［xj+［x2］>3

D.若［内］+［々］=4,则”的取值范围为―,--—

【答案】D

【解析】函数的定义域为(0,+co),

22(ax2+1)

f'(x\=2cuc+—=-------，

XX

当a20时，f'(x)>Q,函数/(x)=a?+21nx在(0,+co)上单调递增,

函数〃力=加+21旧在(0,+s)上至多只有一个零点，与条件矛盾，故舍去;

当a<0时，由f(x)=0可得x=◎或x=_p(舍去)，

当0<x<E时,f'(x)>0,函数〃元)单调递增，

当x>P时,f(x)<0,函数/(x)单调递减,

Va

因为函数〃x)=4+21nx有两个不同的零点七,巧可得了［Jf)

0,

所以+21n^1>0,所以In'Jvl,

所以-故A错误，

e

01nV0Iny

由加+2L。，可得-即，『与丁=丫有两个交点,

人/、21nxr/日、2-41nx

令g(%)=q^,可得/(%)=---,

当xe(0,公)时，g［x)>0,g(x)单调递增；

当X£(V^,+8)时,gr(x)<0,g(x)单调递减,

当苫=血时，函数取得最大值,1

e

当Xf+8时，g(x)—o,当x.0时，g(x)f—oo,又g(i)=o,

函数g(x)的图象如图所示，

结合图象，若止匕时玉€(1,八)，止匕时工+%#2芥，故B错误;

当、二22时，㈤21,卜］22,则氏］+卜］23,

Va

当\［e.<.—■-<2时，贝！|—<a<-"-,

Vae4

所以/'(2)=40+21n2,当一_L<a<-］n后时，/(2)<0,

e

此时5］=1,［引+上］=2,故C错误，

因为［即+上］=4,

若［引=1则上］=3,f(2)>0,/(3)>0,/(4)<0,

所以4a+21n2>0,9(2+21n3>0,16〃+21n4<0,

寸7In2、2In3In2

所以a>——,aN-----,Q<----

4

2In3In2

所以一<a<----

94

若［引=2,则［々］=2,/(2)<0,/(3)<0,<2<|--<3,

所以4〃+2In2<0,9Q+2In3<0>—<ct<—

49

In221n3

所以Q<——,Q<-------—<a<——

9

In211

所以----,——<a<——,

249

又M24，所以-皿2<《所以-竽<一故满足条件的。不存在,

所以。的取值范围为-臂，-竽

,故D正确,

故选：D.

例10.(2024.四川•校联考模拟预测)已知函数/(x)=(x+l)e，和g(x)=x(lnx+a)有相同的最小值.若

1+lnZ

/(E)=g(9)=r(r>°)，贝I的最大值为(

(玉+1)2考

ec

A.-B.eC.—D.2e

22

【答案】A

【解析】依题意，r(x)=(x+2)e\可知x<-2时,f(x)<0,此时/1)单调递减;

x>-2时，/^%)>0,此时〃x)单调递增；

则x=-2时，取得极小值〃-2)=-，，也即为最小值；

又g'(x)=lnx+a+l,O<x<e-"T时,g,(x)<0,此时。(无)单调递减;

尤>一一1时,g'(x)>0,此时单调递增；

则％=e…时，乳元)取得极小值<?卜一1)=-©-1,也即为g(x)最小值.

由—2=_©一"T,解得a=l.

e

因为〃升)=gQ)=r«>。),所以(百+l)e』=9(11%+1)=4/>0),

11+In/1+1m1+\nt

可知占且再=1叫，所以不4=(丁+1)遥=1厂，

令硝)=曾">0)，则〃⑺=匚产，当0u<e《"«)>0,此时“力单调递增;

当"eW〃⑺<0,此时单调递减；

故r=＞时，"⑺取极大值，葭[=/也即为最大值.

故选：A.

例11.(2024・广东深圳•统考一模)已知函数/(x)=a(x-xj(x-x2)(x-x3)(a＞。)，设曲线y=/(x)在点

(%,/(七))处切线的斜率为%(7=1,2,3),若占,斗，不均不相等，且e=-2,则尤+4%的最小值为.

【答案】18

【解析】由于/(%)=。(%一下)(％-％2)(%-w)(。＞°)，

故/'(尤)=a[(x-x1)(x-x2)+(x-x2)(x-x3)+(x-x3,

故勺=＜7(百一%2)(不一龙3),左2=4(%-X3)(X2-%)，匕=4(£一%)(&—,

111111

贝!J--1----1--=-7-----73-----rH-----y----r+-7-----昼------C

aXXXXaXXXX

kyk2k3矶国一工2)(再一当)\2~3)\2~l)(3~\)(3~2)

=(4-x?)+(%-W)+(4-xj」0

。(占一工2)(%-三)(七一百)

由心=-2,即左2=0(%2-&)(X2-石)＜。，知巧位于尤1，尤3之间,

不妨设玉＜尤2＜%，则左＞。,后＞。，

故则尢+4%的最小值为18,

故答案为：18

例12.(2024.黑龙江齐齐哈尔.统考一模)若直线y=2无为曲线丫=6"型的一条切线，则"的最大值

为.

【答案】4/2^-2

e

【解析】设/(x)=e3:则/'(力=恁3”

设切点为■，△»),则7•'优)=枇巴+",

+b+bax^+b

则切线方程为y-^=ae^(x-x0),整理可得y=ae也+(1-%)e'

所以〔”二型厂=°，解得与=L=5=2'

ICIQ=ZQ

22〃

所以“=2，所以。6=冬，

ee

设g(x)=W，则，(x)=#"，

ce

当x«f1)时,g'(x)>O,g(x)单调递增,

当xe(l,+◎时，g'(x)<O,g(x)单调递减,

所以当％=1时，g⑴取得最大值g⑴=1,

2

所以必的最大值为三.

e

?

故答案为：—

e

u

例13.(2024•四川德阳・统考模拟预测)已知函数〃x)=lna・lnx-乐在1=1处取得极大值，则:的取值范

围是.

【答案】

【解析】/(无)的定义域是(。,+e),

/'⑴_In。心-bx+\na

xx

由于函数/(x)=lna/nx-fer在x=l处取得极大值，

所以/'(1)=一6+111。=0,1114=6,。=苫，

且〃x)在(0,1)上/(x)>0J(x)单调递增，

在(1,+⑹上/'(x)<0J(x)单调递减，

所以V=-"+lna单调递减，

所以一6<0力>0,.

所以,=却>°)，构造函数8(力=*>°)，显然g(x)>。，

g'⑺=F，所以g(x)在区间(。，1)上g'(x)>。，g(x)单调递增，

在区间(1,+co)上g<x)<0,g(x)单调递减，

所以g⑴=工是g(X)的极大值也即是最大值，

所以g(x)e(0,：,也即?的取值范围是［o,：.

故答案为：］。，：

例14.(2024.山东临沂.高三统考期末)己知函数〃x)=一'一『一若关于%的不等式〃x)>ax-e

xlnx,x>Q

(e是自然对数的底数)在R上恒成立，则。的取值范围____.

【答案】u

【解析】e在R上恒成立，等价于“X)的图象恒在直线》=依-e的上方，

y=-y1-x2—2x=-J-(尤+1)~+1，两边平方后得(x+1)?+y2=l(y<0),

所以y=_J_x2_2x的图象是以(-1,0)为圆心,半径为1,并且在X轴的下半部分的半圆,

y=xlnx,(x>0),/=lnx+l=0,得x=L

当尤e(o,g)时,y<0,函数y=xlnx在U单调递减，

当时，y>0,函数y=xlnx在单调递增，

当x=1时，函数y=xlnx取得最小值

ee

如图，画出函数/^”卜廿二2^*'°的图象:

xlnx,x>0

直线y=依一e恒过定点(O,-e),当直线y=ox—e与y=xln尤,x>0相切时,

设切点尸

xInx+e

2

y0=lnx+l,可得k=l+ln.%,由1+111/=」--,解得：x0=e,

%0

则切线的斜率为2,

当直线y=3e与y=_J_(x+i『+］,尤40相切时，直线y=or_e与半圆(x+iy+J相切，由

房.解得：”号

由图可知，。的取值范围是

故答案为:2」J

【过关测试】

一、单选题

1.（2024•浙江绍兴・高三统考期末）若对任意实数xWO,恒有2（e*+2〃ix）+812+4病成立，则实数”?的取

值范围是（）

丽)一班M2一2

A.F'2B.

2

C..2一2呼

【答案】C

【解析】12(ev+2mx)+8>x2+W,

，2e*+4mx-x2>4m2-8(x20),

设f(x)=2ex+4mx—x2,则f'(x)=2ex+4m—2x,

设火力=2er+4m-2x,则〃(x)=2e*—2=2(e-1”0在［0,+e)上恒成立,

；・f'(x)在［0,+s)上单调递增，且f'(O)=2+4m,

当初2-g时，1(0)>0,.-./(x)在［0,”)单调递增，

f«mn=/(0)=2,即一:14加<典，

222

当加〈一:时，则/'(0)<0,不妨取了'(1)=2■+4m—2%=0,即2山=尤。一泊，

当天«0,1)时，f\x)<0,%«5,+力)时，((x)>0,

，/(劝在(0,%)上单调递减，在(％,+。)上单调递增，

2

,尤)min=/(尤0)=2e&+4mx0-=2e*+2x0(x0-e^)-x0=2e“(1一5)+,

2xx2xx

2e'°(1—无o)+x；N(%-e&)-8=>2e'°(1—x0)>e°—2x0e0—8=>e°—2e°-8<0,

<4,即加«1114,而g(x)=x-e"有g'(x)=1-e'W0在［0,+<»)上恒成立,

x

2m=x0-e°>In4-4,BpIn2-2<m<——,

综上可得In2-2<m<-----.

2

故选：C.

2.(2024.安徽池州.高三统考期末)下列不等关系中错误的是()

人In2In3人一、〃131_.77

A.-----<-----B.be>(Q>Z?>1)C.cos—<—D.sin—l—>TI

2343222

【答案】C

【解析】对于A项，因殍<浮。31112<2111301n8<ln9,故A项正确;

对于B项，设k(x)=更，尤>1,则于(x)=.(无-D>0在(1,+8)上恒成立,故函数左(x)在上单调递增,

XX

ag

因a>b>l,故人(。)>左(瓦)，§P—e>—,bea>aeb,故B项正确；

ab

对于C项，因COS^<卫OCOS工<1----=1——f—,故构造/(%)=cosx—1H---工2,(%〉0),

4324322⑷2

则r(x)=x—sinx〉。，则/(x)在(0,+8)上单调递增，dj=c°s；-11>0,故C项错误；

7777(7、7(7、7

对于D项,sin—+—>7rosin—>兀——<4>sinK——>兀——,osin——兀<——兀,构造函数

22222(2J2

/(x)=x-sinx,xG(0,1),

则/，(x)=l-cosx>0,/(%)单调递增，二/-兀［>/(0)=0,g-兀>sin(g-兀J,故D项正确.

故选：C.

3.(2024・四川成都•统考模拟预测)若函数Ax)对任意的xeR都有/'(x)<y(x)+2成立，贝l］27(ln2)与

f(21n2)-2的大小关系为()

A.2/(ln2)>/(21n2)-2B.2/(ln2)</(21n2)-2

C.2/(ln2)=/(21n2)-2D.无法比较大

【答案】A

［解析］令g(x)=/(?+2,则g，(x)J，⑺］⑺-2,

,对任意的xwR都有/'(x)</(x)+2成立，

g'(x)<0,即g(x)在xeR上单调递减，又In2<21n2,

二g(ln2)>g(21n2),即/(叱)+2>/(21：2)+2,可得2/(也2)>/(21n2)-2.

24

故选：A.

一X—CLX—1X<0

4.(2024・全国•高三专题练习)若函数“无)=,/~八恰好有两个零点，则实数。的取值范围

Inx-(«-l)x+1,x>0

是()

A.(1,+8)B.(0,2)。{一2}C.(0,+00)D.(-8,+8)

【答案】A

【解析】因为〃。)=-1#。，所以x=0不是/(X)的零点，

—X—,x<0

当xwo时，令〃尤)=0,得。=I,:,

lnx+1r八

--------+l,x>0

、x

令g(x)=_x」(x<0),

X

由对勾函数性质可得g(x)在(-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增,

所以g(%)min=g(T)=2,

令〃(x)=@±*+l(x>0),

X

贝IJ/z'(无)二1一+当xe(o,l)时，〃(元)>0,当xe(l,+s)时，〃(x)<0,

XX

所以Mx)在(0』)上单调递增，在(1,也)上单调递减，/7(X)max=2,且当Xf+8时，/心)->1,如图所示，

—x—，九<0

所以当时，丫=。与y=।:的图象有且仅有两个交点，此时函数恰好有两个零点.

lnx+1,八

--------+l,x>0

故选：A.

5.(2024.全国.校联考模拟预测)设48为〃x)=3-X?的图象在y轴两侧的点，则y=/(x)在处的切

线与x轴围成的三角形的面积的最小值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

对函数/（x）=3-d求导得八无）=一2元，设4（菁,3-引、B（X2,3-X|）,且再<。<々，

所以，曲线“X）在点A处的切线方程为y—3+才=—2玉（x—石），可得>=-2中+片+3,

同理可知，曲线>=3-炉在点3处的切线方程为y=-2x2X+,+3,

兀二.+入2

y=-2xxx+x；+3

联立<可得=-2，即点-玉

y——2X2X+考+3

》=3一玉冗2

Y2+3尤2+3、石+3o]

在直线方程y=_2%]%+x；+3中，令y=o,得x=—，即c,0,同理得。2%J

2%2占J

所以，印=三一8"-）

g，⑴—+3=3（八2产一3）=3（产+l）（r+l）（I）,

22?一2t212/

当0</<1时，g'⑺<0,此时函数g⑺单调递减，

当,>1时,g'⑺>0,此时函数g⑺单调递增，则g（f）1nhi=g6=8.

当且仅当为一时，CDE的面积取得最小值8.

[Z=1

故选：D.

6.（2024・湖南长沙.长郡中学校考一模）已知实数。/分别满足e"=1.02,ln（b+l）=0.02,且。=《，贝我

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由e"=1.02,则〃=lnl.O2,令/(x)=ln%-2(：：),x>l,

则小）斗产「(if

x(x+l)2

则当x〉l时，r（x）＞0,故/⑴在（O,+。）上单调递增,

,,/\2(1.02-1)2

故/(1.02)=lnl.02—-------^=lnl.O2---->"1)=0,

171.02+1101

221

即。=In1.02>--->---=—=c,艮[I。>。，

10110251

由In优+1)=002,则n=e002_l

令g(x)=e"-ln(l+x)-l,x>0,则g[x)=e*——

令/z(x)=e',,则当x>0时，(尤)=二+1二>0恒成立，

故g'(x)在(0,+8)上单调递增，又g[o)=e°-；=o,故g'(x)>0恒成立，

故g⑺在(0,+8)上单调递增，故g(0.02)=e002-ln(l+0.02)-l>g(0)=0,

即e°M—l>lnl.02,即b>。，故cvavb.

故选：D.

7.（2024・四川成都•高三成都七中校考期末）已知尸（无,月为函数＞=/式+2/-4尤图象上一动点，则

x+y+3

//八2/的最大值为()

J(尤一l)2+(y+4>

e+5e+5「,、

A.i,B.一°=C.1D.j2(e+5)

Ve2+8e+17V2e2+16e+34v7

【答案】A

x+y+3

【解析】由函数解析式可知函数)关于X=1对称，设Z=了户口+盯，不妨设X=〃(〃<1)

_n+y+3一〃+y+5〃+y+3

则J(〃一]J；(y+4)2，当x―2J(j)2；(y+4)2J("])2；(y+4)2，

即当x>1时z的值要大于x<1时z的值，所以只需研究%>1的情况即可,

b

当x〉l时，y=ex~i+2x2-4x,设x-l=a,y+4=Z?,t=—

a

2Q?+2ab+h22

22==

贝/a+bT^+不，

abt

根据复合函数单调性可知：re（O,l）时，z2递增，当fe（l，+8）,Z?递减.

岩，所以'的几何意义是函数y=—+2/_4x上一点与点(1,-4)的斜率，

设过点(IT)的切线与函数y=e，T+2--4尤的交点坐标(即切点)为(m,em-'+2m2-4m)(m>l),

y=ex-1+4x-4,

所以切线的斜率k=em-1+4m-4,切线方程为y-(b+2加-4m)=(e--1+4m-4)(x-m),把点(1,T)代入

切线方程整理得：

(eM-1+2m)(m-2)=0,所以m=2或e"-+2相=0,设/(m)=葭-+2祖，f(m)=e"-1+2>0,

所以f(rn)在(1,+回单调递增,所以/㈣>”1)=3,

即e，"T+2m=0不合题意，所以m=2,此时切线的斜率左=e*i+4山一4=e+4,

如图：

根据数形结合思想可知才的范围为卜+4,+。)，所以当r=e+4时，z2最大,

,2e+5

止匕时1e+4+工Ve2+8e+17-

\e+4

故选：A

8.(2024・广东•高三校联考开学考试)已知a=；,b=&T,c=21n2-ln3,贝U()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】令/(x)=e*-x(O<x<l)、g(x)=lnx+l-x(O<^<l),

则尸(x)=e=l>0,故在(0,1)上为增函数,故/(x)>/(O)=l,

1111

e*>x+l,其中0<x<l,故e3>—+1,即—,故b>-；

333

，1cic।21।41(°।64、1,27xe31,27x3.

而——2In2+In3=——In—=-3-In——=—In-------->—In-------->0,

3333127J364364

故；>21n2一ln3=c,故b>c；

又g，(x)=->0,故g(x)在(0,1)上为增函数，

故g(x)<g0)=。，lnx+l-x<0,其中0<x<l,

33134

^ln-+l--<0,即则上<—ln'=ln?,故〃<。；

44443

故

故选：B.

二、多选题

9.(2024・广东•高三统考阶段练习)若过点可作曲线/(x)=/lnx的〃条切线(〃cN),贝！J()

A.若〃二0,贝

3

右。“且二〃，则〃=

B.、Ct-'cZ?ma2

,21

C.