导数解答题之零点问题八大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题11导数解答题之零点问题八大题型汇总

题型1一个零点问题..............................................................1

题型2两个零点问题..............................................................2

题型3三个零点问题..............................................................3

题型4判断零点个数..............................................................4

题型5最值函数的零点问题........................................................5

题型6同构法解零点问题..........................................................6

题型7零点差问题................................................................7

题型8割线法切线法与零点........................................................8

MKDII

题型1一个零点问题

【例题1】(2024秋•重庆•高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=alnx-R).

⑴讨论的单调性;

(2)若函数g(x)=/(%)+■在区间(1,+8)上恰有一个零点，求a的取值范围.

【变式1-1]1.(2023•河北保定•河北省唐县第一中学校考二模)已知函数f(x)=。+2)ex

+x2+ax,其中常数aeR,e是自然对数的底数.

⑴若a=一3,求久支)的最小值；

(2)若函数g(x)=f(%)-2cosx恰有一^零点，求a的值.

【变式1-1】2.(2023秋・江西•高三统考开学考试)已知函数f(x)=x(a+lnx)—a%2

(aGR).

(1)当a=。时，求曲线y=/(久)在点(1)(1))处的切线方程；

(2)若久久)在(1,+8)上仅一个零点，求a的取值范围.

【变式1-1】3.(2023春•江西赣州•高三校联考阶段练习)已知函数f⑶=%2-2alnx-a2

b.

(1)当a=l时，若f。)的最小值为2,求实数b的值；

(2)若存在ae[e,e3],使得函数/(久)恰有一个零点，求实数b的取值范围.

【变式1-1]4.(2023・河南开封•统考模拟预测)已知函数/(x)=ex-ax2.

(1)若函数f(久)的图象与直线y=%-1相切,求实数a的值；

(2)若函数g(x)=/(%)-%+1有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

题型2两个零点问题

【例题2】(2023秋・全国•高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=21nx+a£(a€R).

⑴若f(久)<。在(0,+8)上恒成立，求a的取值范围：

(2)设9(久)=/一/(吗，%1(久2为函数9(%)的两个零点，证明：xi%2<1.

【变式2-1】1.(2023秋・湖南长沙•高三长郡中学校联考阶段练习)证明下面两题：

⑴证明:当x>l时,ex>x2;

(2)当。<a<5时，证明函数/㈤=方+a(|nx-久)有2个不同零点.

x

【变式2-1]2.(2022秋•广东东莞•高三校考阶段练习)已知函数“久)=ae-ln(x+1)+

Ina—1.

(1)若a=l,求函数/(久)的单调区间及极值；

(2)若函数〃久)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围.

【变式2-1]3.(2023秋・贵州贵阳•高三贵阳一中校考开学考试)已知函数-x)=In%-a，

Ina,a>1.

(1)若函数/。)在万=1处的切线的斜率为1-e,求实数a的值(e是自然对数的底数);

(2)若函数/(吗有且仅有两个零点，求实数a的取值范围.

x

【变式2-1]4.(2023秋•安徽合肥・高三合肥一中校联考开学考试)已知函娄好(久)=ae-x

(e是自然对数的底数).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

x

(2)若。(K)=ae(x-1)-Inx+/(久)有两个零点，求实数a的取值范围.

题型3三个零点问题

【例题31(2023春•重庆九龙坡•高三重庆市育才中学校考开学考试)已知=2|Oga|%|-e

x3(a>0且a丰1).

(1)试讨论函数了(久)的单调性；

(2)当a>1时，若/(久)有三个零点/,久2,"3.

①求a的范围；

②设<%2<x3,求证：+2点+>2e—2.

【变式3-1】1.(2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习)设函数

f(x)=(x+a)(Inx—Ina)—ax+a2,其中a>0.

(1)若a=1,求不等式f(x)>。的解集；

(2)求证：Vae(2,+oo),函数/■(X)有三个零点Xi,%2,冷(久1<%2<乂3),且久2,%3成等

比数列.

【变式3-1】2.(2023秋•重庆•高三重庆一中校考开学考试)设函数FQ)=X—asinx,

xG,g(x)=x2—1—2axlnx,且/(比)有唯一零点.

(1)求a的取值范围；

(2)证明：g(x)存在三个零点；

(3)记/(X)的零点为p,以久)最小的零点为q,证明：q-ep<l,其中e是自然对数的底数.

【变式3-1]3.(2023•山东・山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数了(x)=翳—In久-

Ina-1有三个零点.

⑴求a的取值范围;

(2)设函数/⑴的三个零点由小到大依次是久1,如知证明：a]'〉e.

【变式3-1]4.(2023・广东深圳•校考二模)已知函数“久)=舒一㈤睐

(1)当。=1时，求f(x)的单调区间；

(2)①当0<a<争寸，试证明函数“乃恰有三个零点；

②记①中的三个零点分别为乂1,%2,%3,且<X2<%3,试证明/(1-X3)>d(Xi-1).

题型4判断零点个数

【例题4](2022秋・广东珠海•高三珠海市第一中学校考阶段练习)已知函数f(%)=|%2+

(1—a)x—Inx(a^O).

⑴讨论函娄好(久)的单调性；

(2)当a<一1时，判断函数。(久)=(x-l)lnx-x+1-/(久)的零点个数.

2x

【变式4-1]1.(2023秋・广东•高三校联考阶段练习)已知曲线C：/(%)=sin%+ae-x

(aeR)

⑴若曲线C过点P(0,-1),求曲线C在点P处的切线方程；

(2)当。=—1时，求f(久)在|o,品上的值域；

⑶若。<aW1,讨论g(x)=/(x)+1cos2x-a-甘勺零点个数.

【变式4-1]2.(2023四11成都校联考模拟预测)设函数f⑴=詈.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)=/(久)—a,求以久)在[0,3川的零点个数.

【变式4-1】3.(2023秋•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨德强学校校考开学考试)已知函数

/(%)=alnx—%+1,其中aGR.

⑴讨论函数/(%)零点个数;

(2)求证：ei+9*七>n(nGN*).

【变式4-1]4.(2023河南统考模拟预测)设函数f(久)=fax2-(a+1)%+Inx.

(1)当a>0时，讨论函数-x)的单调性；

(2)当a=—1时，判断函数以久)=/(X)+(久2一2久+1)/的零点个数，并说明理由.

题型5最值函数的零点问题

【例题5】(2023•全国•高三专题练习)已知函数[⑴=e*-a%2(aeR),g(x)=x-l.

(1)若直线y=g(久)与曲线y=/(%)相切，求a的值；

(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值，讨论函数八(久)=min{/(x),g(x)}的零点个数.

【变式5-1]1.(2021秋广东深圳•高三红岭中学校考期末)已知函娄好(久)=In%.

(1)讨论函数9。)=/(久)-ax(a£R)的单调性；

1

(2)①证明函数尸(x)=/(x)—了(e为自然对数的底数)在区间(1,2)内有唯一的零点；

②设①中函数F(x)的零点为久o,记m(x)=min{x/Q：),*}(其中min{a,b}表示a力中的较小

x

值),若m(久)=n(nGR)在区间(1,+8)内有两个不相等的实数根句,孙(孙<x2)，证明：i+

X2>2x0.

【变式5-1]2.(2023・广东•高三专题练习)已知函数“久)=-In%,g(x)=x3-ax+^,

aER.

⑴若函数9(%)存在极值点%o,且g(xD=g(xo),其中xi#久o,求证：打+2沏=0;

(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值，记函数八(久)=min{f(x),g(x)}(x>0),若函数h(x)

有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

【变式5-1】3.(2023・四川南充•统考三模)已知函数f(x)=xsin久+COSX+'/,

X

g(x)=xln-.

⑴当a=0时，求函数f⑶在[—兀闰上的极值;

(2)用max{m,n}表示n中的最大值，记函数%0)=max{fQ),g(x)}(久>0),讨论函数h(x)

在(0,+8)上的零点个数.

【变式5-114.(2023•四川南充•统考三模)已知函数f(x)=£+?—%,g(x)=ln久其中e

为自然对数的底数.

(1)当。=1时，求函数f(x)的极值；

(2)用max{m,n}表示n中的最大值，记函数h(x)=max(/(x),g(x)}(x>0),当a>。时，

讨论函数仅久)在(0,+8)上的零点个数.

题型6同构法解零点问题

【例题6】(2022秋•重庆沙坪坝•高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习)1.已知函数-x)=ae"

—ln(x+2)+Ina—2.

(1)若/。)在％=0处取得极值，求a的值及函数的单调区间；

(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.

①若/'(%)>0恒成立，求a的取值范围.

②若久久)仅有两个零点，求a的取值范围.

【变式6-1]1.(2021秋・重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知函数f(x)=e'-1

—mx2(meR).

(1)选择下列两个条件之一：①爪=3；②6=1；判断久支)在区间(0,+8)是否存在极小

值点，并说明理由；

(2)已知6>0,设函数g(x)=/(x)+伍引式血幻.若9(乃在区间(0,+8)上存在零点，求实

数小的取值范围.

【变式6-1】2.(2020秋・湖南•高三校联考阶段练习)已知函娄好(久)=aex-ln(%+1)+In

CL—1.

(1)若a=l,求函娄好(久)的极值;

(2)若函数"久)有且仅有两个零点，求a的取值范围.

【变式6-1]3.(2021秋・重庆南岸•高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)已知f(x)=%

I[nx+a+1y.

(1)若函数9(%)=/(x)+xcosx—sinx—xlnx—1在(0⑶上有1个零点,求实数a的取值范围.

(2)若关于x的方程比…=|x2+ax-1有两个不同的实数解，求a的取值范围.

【变式6-1]4.(2021春・江苏•高三专题练习)已知函数-x)=e2x+a-jlnx+1

(1)若函数y=f(x)在(oj)上单调递减，求a的取值范围；

(2)若函数y=/(x)在定义域内没有零点，求a的取值范围.

题型7零点差问题

【例题7](2023秋•河南•高三校联考开学考试)/(x)=Ingx+a+1)—楙+9+b有两个零点

^1A2(%1<X2).

(1)a=0时，求b的范围;

(2)6=-1且a<曲寸，求证：x2-^1<2V5-4a.

【变式7-1]1.(2023秋•河北衡水•高三校考开学考试)已知函数f(x)=InQ+1),g(x)=f

x

(x)+ae,其中a€R.

(1)求过点(-1,-1)且与函数f(x)的图象相切的直线方程；

x

(2)①求证：当久>0时，e>l+x+Y；

②若函数g(x)有两个不同的零点,久2,求证：|%2—%ll<2+I"—1.

【变式7-1]2.(2022•全国•高三专题练习)设/(久)=暴3+mx2+nx

(1)如果9(%)=/(%)-2%-3在1=2处取得最小值一5,求/(%)的解析式；

(2)如果m+n<10(771,71eN+),/(%)的单调递减区间的长度是正整数，试求血和荏的值.

【变式7-1]3.(2023秋・河南•高三河南省实验中学校考开学考试)已知函数〃久)=|mx2

—2%+1+ln(x+l)(m>l).

(1)求曲线C:y=八久)在点P(0,l)处的切线方程；

(2)求证：函数”久)存在单调递减区间[a,b],并求出单调递减区间的长度t=b-a的取值范

围.

【变式7-1】4.(2023春•上海黄浦•高三格致中学校考开学考试)已知关于x的函数

y=f(%),y=g(%)与h(%)=kx+b(k,beR)在区间D上恒有/(%)>h(x)>g(%).

(1)若/(%)=/+2%,5(x)=-%2+2%,D=(-oo,4-oo),求h(x)的表达式；

(2)若/(%)=/_%+1,=fclnx,/i(x)=kx—k,D=(0,+8),求k的取值范围；

(3)若/(%)=%4—2x2,g(%)=4x2—8,/i(x)=4(t3—t)x—3t4+2t2(0<|t|<V2),D=

U[-V2,V2],求证：n-m<V7.

题型8割线法切线法与零点

【例题8】(2020•安徽合肥•高三统考阶段练习)已知函数f(x)=詈(e为自然对数的底

数).

(1)求函数"久)的零点与，以及曲线y=/(%)在％=久o处的切线方程；

(2)设方程f(久)=>0)有两个实数根比1/2,求证：|久1一久21<2-侬1+/.

【变式8-1]1.(2020•湖北武汉・统考二模)已知函数f(久)=(e-x)lnx(e为自然对数的底

数).

(1)求函数久久)的零点，以及曲线y=f(久)在其零点处的切线方程；

(2)若方程/(久)=可机40)有两个实数根比1，%求证：|久1-久2l<e-l-言.

【变式8-1]2.(2017・山西临汾•统考一模)已知函数f(久)=(%2-x)e\

(1)求曲线y=f(x)在原点处的切线方程;

(2)若-x)—ax+eNO恒成立，求实数a的取值范围;

(3)若方程f(久)=侬爪€R)有两个正实数根灯/2,求证：⑶一初<十+6+1.

【变式8-113.(2021秋•山东泰安・高三统考期中)已知函数人久)=(x—l)ln(x+l),曲

线y=/(久)在点(1,0)处的切线方程为y=kx+b(k,beR).

(1)求匕b的值；

(2)证明：/(x)>kx+b;

⑶若函数9(x)=/(%)+m(meR)有两个零点久i,%2,证明：咫一/I41一小一哉.

【变式8-1]4.(2022•江西•校联考模拟预测)已知函娄好(x)=(x+1)(1—1).

(1)求/(%)在点(—1/(—1))处的切线方程；

(2)若方程/(久)=6有两个实数根打，%2,且问<“2,证明打一/<1+第苧+言.

X

1.(2023•湖北黄冈・黄冈中学校考三模)已知函数fO)=xsinx+cosK+a/,g(x)=xlr%

⑴当a=o时，求函数/(久)在[一^汨上的极值；

(2)用max{m,n}表示m,n中的最大值，记函数h(x)=max(/(x))5r(x)}(x>0),讨论函数%(x)

在(0,+8)上的零点个数.

2.(2023•河南•校联考模拟预测)已知函数了(%)=/-/+m(m>o).

(1)求曲线y=/(%)在点(1即)处的切线方程；

(2)讨论函数g(x)=|/(%)-加-e的零点个数.

3.(2023广东揭阳校考二模)已知函娄好⑺=lnx-"

(1)讨论-x)的单调性；

(2)若%%2,01<久2)是f。)的两个零点•证明:

.2

(0+x2>-；

(ii)尤2—%i>过产.

4.(2021•山东潍坊・统考三模)设函数f(久)=xlnx.

(1)求曲线y=f(x)在点(e-2/(e-2))处的切线方程；

(2)若关于x的方程久久)=a有两个实根，设为巧，x2(xi<%2),证明：久2-久1<1+2a+

e~2.

5.(2022・全国•统考高考真题)已知函娄好(%)=a久—，(a+l)lnx.

(1)当。=0时，求f。)的最大值；

(2)若f(%)恰有一个零点，求a的取值范围.

6.(2022•全国统考高考真题)已知函数/㈤=?—lnx+x—a.

(1)若了0)20,求a的取值范围；

(2)证明：若fO)有两个零点%1，犯,则当久2<1.

7.(2022•全国统考高考真题)已知函数f(x)=ln(l+%)+。疣一

(1)当a=1时，求曲线y=/(久)在点(0)(0))处的切线方程；

(2)若f(久)在区间(-1,0),(0,+8)各恰