导数解答题之零点问题 -2025年新高考数学二轮复习

微专题10导数解答题之零点问题

【秒杀总结】

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求

参数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与X轴(或直线丁=左)在某区间上的

交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

【典型例题】

例L(2024.河南.一模)已知函数〃x)=alnx-V+MzeR).

⑴求函数/(x)的单调区间；

(2)若/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.

【解析】(1)根据条件贝iJ/'(x)=g-2x(x>0)

X

当“40时，/'(x)<o在定义域(0,+8)内恒成立，因此/(X)在(0,+8)递减;

当〃>0时，由第x)>0,解得0<x<，p；/'(尤)<0,解得x>与

因此：当“W0时，/⑺的单调减区间为(0,+8),无增区间;

a>0时，/⑴的单调减区间为［字，+8］，增区间为，，容

注：区间端点才=叵处可以是闭的

2

(2)若/(x)有两个零点，有(1)可知〃>0且

即卜1旦+1>0,解得a>2

2e

/(4a)=aIn4a—16/+a=a(ln4a-16a+T)

(8、11-4/

即g«)=ln/_4/+lt=4a>-\=>gf(t)=--4=----

ve)tt

当［时，g'«)<0恒成立，即g⑺在(|,+sj单调递减，

〜口/、8321…32c

可得g«)Vg-=ln-----+I=ln8---<0,

eee

也即得g⑴<0在fe(I，+oo)恒成立，

从而可得/(x)在匕，年］［警，4〃］区间上各有一个零点，

综上所述，若/(力有两个零点实数。的范围为1|，+s］

例2.(2024・湖南•二模)已函数/(尤)=喘+61r2+陵+《〃,瓦c£R),其图象的对称中心为(1,-2).

⑴求a-匕-c的值；

⑵判断函数的零点个数.

【解析】(1)因为函数“力的图象关于点。,-2)中心对称，故y=/(x+l)+2为奇函数，

从而有/(x+l)+2+/(-x+1)+2=0,即〃x+l)+〃-x+l)=T,

/(x+1)=(x+l)3+a(x+l)~+b(x+l)+c=%3+(a+3)x2+(2a+b+3)x+a+b+c+1,

f(1-x)=(l—x)3+ci(l-x)~+b(l—x)+c=-%3+(a+3)x2-(2a+b+3)x+a+b+c+1,

(2Q+6=0,,［a=—3

所以。5rc,解得人

\2a+2Z?+2c+2=—4［b+c=0

所以a-Z?-c=-3；

(2)由(1)可矢口，/(x)=x3-3x2-cx+c,/r(x)=3x2-6x-c,A=36+12c,

①当c4—3时，△=36+12cVO,/，(x)>o,所以f(x)在R上单调递增，

/(l)=-2<0,/(3)=27-3x9-3c+c=-2c>0,

函数/(x)有且仅有一个零点；

②当—3<c<0H寸，芯+9=2>。，芯,天2=—§>0,

二/'（x）=o有两个正根，不妨设占<工2，则诵-6%-c=0,

二函数/（x）在（-"0）单调递增，在（%,马）上单调递减，在（9，+。）上单调递增，

1/（不）=邸一3寸一（玉一1）（3町一6%）=-2为（X；—3毛+3）<0,f（3^——2c>0,

二函数/（力有且仅有一个零点；

③当c=0时，/（x）=x3—3x2,

令f（x）=%3—3x~=0,解得x=0或x=3,

/(X)有两个零点;

④当c>0时，项+兀2=2,-x2=-1<0,

•••/'(x)=0有一个正根和一个负根，不妨设玉<0<%，

二函数/(X)在上单调递增，在(石,马)上单调递减，在(4,+8)上单调递增,

/G)>/(0)=c>0,/(X2)</(1)=-2<0,

二函数/(力有且仅有三个零点；

综上，当c>0时，函数/(力有三个零点；

当c=0时，函数/(x)有两个零点；

当c<0时，函数/(力有一个零点.

例3.(2024.高三.四川雅安.开学考试)已知函数/(x)=x(lnx-a)+lnx+a.

(1)若a=l,当时，证明：/(%)>0.

⑵若a<2,证明：/(力恰有一个零点.

【解析】(1)证明：因为”=1,所以/(x)=xlnx-x+lnx+l,f'{x}=\nx+-.

当x>l时，则在(1,+⑹上单调递增，

所以当x>l时，/(x)>/(l)=0.

(2)/(x)=x(yax-a)+\nx+a=x|In++—|.

Inxa11—Inxax+l—1nx—a

令g(x)=ln%—a-\---------1——贝Ug'(x)=——।----------------------

xxXX2X2x2

i_i

令/?(x)=x+l-lnx-a,则=l-二=-r--.

当xe(O,l)时，〃(x)<0,/z(M在(0,1)上单调递减，当xe(l,4w)时,h'(x)>0,g)在(1,+助上单调递

增，

所以h(x)>/2(1)=2—。>0,所以g，(X)=x十二厂一">0,

则g(x)在(0,+8)上单调递增.

因为g⑴=0,所以g(M恰有一个零点，则“X)恰有一个零点.

例4.(2024•全国•模拟预测)已知函数/⑺Jnf+](a>0)

(1)当”=1时，求/(力的图象在点(OJ(O))处的切线方程;

⑵若函数g（x）="x）+.有2个零点,求〃的取值范围・

【解析】（1）当.=1时，y（o）=o,

^±i_\_L,r(o)=-.

(x+2)2

根据导数的几何意义可知，/（X）的图象在点（o,7（o））处的切线方程为y=gx；

⑵g(x)=9+，

ax+a+1ax+a

令g(x)=O,即M(x+1)=_

ax+a+1ax+a

整理为：〃(x+l)ln(x+l)+a(x+l)+l=O,

设/=x+l>0,

即Q/ln/+a/+l=0,贝lja(ln%+l)+l=0,

化简为ln，H----F1=0,a>0,

at

设力（。=ln/+^-+l,

=（2tf

〃⑺=1—\2~令〃（/）=0，得"L«>0,

K7tatat''a

当0<r<：,单调递减，

当r>3，〃（。>0,单调递增，

所以当"一时，函数取得最小值，U=-lna+2,

若函数g（x）有2个零点，即函数有2个零点,

所以一lna+2V。，得〃〉e?.

/2（1）=1+1>0,则〃则在区间有1个零点,

设根(X)=e"-X2+x,x>e2,

加'(x)=ex-2x+l,设加(x)==ex-2x+l,

(x)=ex-2>0,所以加(%)=〃(%)在伊户/)上单调递增,

mr(x)>mr(e2)>0,则m(x)=e*+%在(e2,+oo)上单调递增,

m(x)>m(e2)>0,即用(}]〉。，则

根据函数大单调性可知，在区间有1个零点，

所以函数g(x)有2个零点，贝心的取值范围是(e\+8).

例5.(2024.高三.河南•阶段练习)已知函数=

⑴判断“力的单调性；

⑵当ae(2,+co)时，求函数g(x)=〃x+i)-扁的零点个数.

【解析】⑴函数十)=^的定义域为(1,2)32,+8)],("=±二

(4-2)

12—%

令。(无)=l-《7j-ln(尤-1),则夕'(*)=(；_])2.

当xe(l,2)时，”(尤)>0,。(尤)单调递增,当xe(2,+⑹时，0'(x)<0,0(x)单调递减，

所以0(x)<°⑵=0,

所以/'(x)<0在(1,2)u(2,+8)上恒成立，所以/⑴在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递减.

a(x-\]=1、sk一

(2)g(x)=F-含(x>0且"1)的零点等价于/2(力=12------(x>0<x^l)的答点.

x+l

"m+仁产,令小”/+32办+1,

易知p(0)=l〉0,因为Q〉2,p(l)=4—2〃<0,

所以存在不e(O,l),x,e(l,+oo),使得M石)=。，。(々)=0，

所以力(同在(0凸)上单调递增，在(％,1)上单调递减，在。,々)上单调递减,

在(％,+")上单调递增.

当时，=当%€(1,%2)时，%(1)=0,

所以在(石」)，(1,%)上不存在零点.

E2“，。、fl(e2a-l)fl(e2a+3)

取％=e>1,贝1〃(龙3)="(5")=2。2a->0>

所以，(x)在(々，毛)上存在一个零点，设为与.

又力（力+〃仔］=0,所以"伍）+/?—=0,因为/1（5）=0,所以“工卜。，

＞

因为％＞1,所以0＜，＜1,因为力（占）＞力⑴=0,〃—|=O＜/2（X1）,所以,＜芯，

%［无（J龙。

所以力（X）在（0,再）上存在一个零点」

综上所述，当ae（2,+e）时，函数g（x）的零点个数为2.

例6.（2024•广东•模拟预测）已知f（x）=e"-九,gCx）=ae3—2ox+ln%.

（1）讨论““）的单调性；

（2）若/（X）存在两个零点外,&（不＜七）,证明：g（x）存在三个零点七,范，出,且不＜%＜多；

（3）在（2）的条件下，证明：〈考.

【解析】（1）/'（x）=ae"—1,如果贝!|/'0）4—1＜0,所以析》）在R上递减;

如果。＞0,则/'（X）的符号以尤=-1"为分界线，左边负右边正，

a

所以/（x）在［一℃,----）递减，在［-----,+s）递增；

（2）由于/（X）有两个零点%,无3（年＜七），

故。＞。，^＜o,也就是巴吧＜o,

＜aJa

所以。v。＜一,

e

axax

如果/（x）=e-x=0^＞ax=lnx^ie=x,

那么g（x）=aQax—2ax+lnx=ax—lax+ax,

所以g（%）有零点%,$（%＜&），

Llr_L.-r-/•(1|1crilIna1

同时，由于/一二e一-<0且一<----,所以尤1<一v九3,

\a)aaaa

而gO=〃e⑪一2〃+g,令机⑴=g'(x),

贝ijmf(x)=a%⑪一4,令〃(x)=m(x),

贝！J2

+7>0,

这表明加（元）递增,

aX

同时由于加(玉)=〃%⑼_J_=(^1)1<0,加(％3)=。3©*_J_=(3)__^>0,

玉玉玉毛

所以在(玉,鼻)上有一实数诙满足加⑺=0,

且x<"时，m时，ni(%)>0.

所以g(x)在(0,M)递减,在(〃,+00)递增.

假设g'(")20,就意味着g(X)在(0,M)和(M,+00)上均递增，

所以o=ga)<g(M)<g(&)=。,矛盾.

所以g'(")<o,

从而g’(x)在(石,〃)和(”,电)上各有一零点：小，

且在(0,%)和&，x°)上大于。，在(讨2)上小于0.

那么由于不<乙<“<芍<尤3，

我们知道g&)>0>g«2),

所以(04)上一定还有g(x)的零点外

综上所述，g(x)存在三个零点占,々,X,，且巧<w<三；

(3)设/i(x)=e",0.=电=1,2,3),

LL

则有：A=^=x1,p3=^=x3,h(pl)=p1,h(p3)=p3,/i(p2)^p2,

但/1(妆。2))+。2=2网22)，

要证X/3(月，只需要证明：。2>旦产，

首先，容易说明当Pi<》<03时，h(x)<x,

实际上/(%)=h［x)-x,这也就是说此时/⑺<0,

而立("(。2))+。2=2Mp2)意味着/(网。2))=/(P2)，

上一问已证月<L<P3，同时由于-皿是/'(X)的零点(可导函数取极值的必要条件),

aa

r-r-,slIna

所以PlV-------<23，

a

在这里对某个函数网X),我们定义函数列：片(x)=/(x),入M(x)=/(x)#eN*,

换言之月(x)是F(x)进行左次求导后得到的函数，

从而令夕(。=］一?+/卜//｝一1=4+(-/一j

则%(0=人］―乎+］_力［一呼—J,93(，)=力+［+八］学一‘>0,

所以0</<-等时,/(。>02(0)=0,

所以0<f〈一等时，W=K+d?一⑼=2'一竽=0,

所以0</<—皿时，<p(t)=f(--+t]-f(---t]><p(o)=o,

a\a)\a)

2apaP3

也就是/［Pi；，'J=ae-1=ylae'-ae=pxp3-1<0,

由于d且管］<o,

而/'(同在卜巴一也“)上小于0,在［一生",+(»)上大于0,

故旦±£1<_乜

2a

又由于/但(。2))=/(。2)，M22)<P2，

而/(x)在］一°°，-学•)上递减，在［-［，，+00］上递增，

故/7(02)<一见^<必，

a

…iP\+Ina”工2

综上，-----<-----<p>从而再工3<Z.

2a2一

证.

例7.(2024・江苏•模拟预测)已知函数〃x)=e*+x2_x(11n+”1),其中〃eR,e为自然对数的底数.

(1)函数g(x)=#，求g(x)的最小值0(a)；

(2)若苔,土(不<々)为函数/(力的两个零点，证明：.内”一

a-2

【解析】(1)由/(x)=e'+x2_x(11K+0_1)可得gq);e'+__x,tu+a_l)(x>0),

+2x-Inx-a)—[e*+x?-x(lnx+a-1)](%—1)e*+

则g'(x)=±

当X>1时，g'(x)>o,g(x)单调递增,

当0cx<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(x)的最小值为g6=e+2-a,故e(a)=g(l)=e+2-a.

(2)由于%,%(不<9)为函数/(x)的两个零点，所以%,%2(不<%)也是g(x)的两个零点,

故0(a)=g(l)=e+2-a<O,故a>e+2,0<%<1<%,

,、ea+(z2-o(ino+tz-1)e"

g⑷=------------------=——lna+1,

aa

人，ex/\"(x-l)ex1(x-l)ex-x

令h(x)=---lnx+l(x>e),/z(x)=----卷-----=----4------,

xxxx

令机(x)=(x-l)e"-x,贝Um(x)=xe"-1,

当%>e时，相(可>0,故人(元)单调递增，

/z(a)>/z(e+2)>/z(e)=ee-1>0,则g(a)=/i(a)〉0,

所以由零点存在定理可知，1<々<〃，

设心)=ln%—x+l,,

则当兀>1时，〃'(1)=:-1<0,几(%)单调递减,

当Ovxvl时，〃'(x)>O,〃(x)单调递增，故当〃⑴=0,

^lnx<x-l,^ln^—<———1,

a—2a—2

故gU=(a-2)，h”+—+-4”一2)，—一1]+—+1一

\a-2Ja-2a-2\a-2Ja-2

i

二(a-2)e。-2+2-。〉0，

所以由零点存在定理可知，工<花，-西<-一二，

a—2ci—2

/—2。—1

期1以马一再〈〃-----

Q—2。一2

例8.(2024・高三.河南濮阳•开学考试)已知函数/(x)=ax-：hu(a€R).

⑴若xe,讨论“X)的零点个数;

⑵若X，三是函数g(x)=/'(x)+?((尸(x)为“力的导函数)的两个不同的零点，且不<%,求证:

/(百)一/(%2)一嘉+丁<X2-X[.

【解析】(1)由题意知/("=冰-hu(Q£R)的定义域为(0,+8),

令/(无)二°，贝!)〃=也,令"(％)二则，.，.//(%)=―,

%%x

令1(%)=0,则工=e,

当工£[l，e)时，h\x)>0,当xc(e,e2]时，/(元)<0,

即h(x)在廿,e)上单调递增，在(e,e2]上单调递减,

e

71

当-214。<^或々=—时，直线y=。与函数y=/z(x)的图象有1个交点，即/a)有1个零点;

ee

21

当时，直线y=。与函数y=/?(x)的图象有2个交点，即/口)有2个零点；

ee

(2)由题意知g(x)=a」+4="一：+",

XXX

由于占,马是函数g(x)=m)+/的两个不同的零点,

即为3是OX?-尤+°=0的两个不同的正实数根，

A=l-W>0]I

1,..0<〃<7，贝I」再％?=1,玉+%2——,

—>02a

、a

H

要证〃不)一/(%)------<X2-Xi9即/'(玉)f(X2)<X2-Xlf

•XjX?X]工2

由于在(%1，%2)上有以2_%+〃<0,

2

故g(x)=/'(x)+W="一；+♦在上满足g(x)<0，

所以/(%)一旦在(%1，%2)上单调递减，而西〈电，故/(%)-巴>/(冗2)一~巴，

X玉马

故即证/(再)----f(^2)--------<X2-Xi,

XX2

即证工2一七一/(玉)+/(%2)+---------->。,

石x2

令，二手，贝卜>1,设机⑺=*j^+〃一9一ln方,

41114(〃-1)八

则时,M⑺=

(r+1)22〃2t&t«+1)22t&

故相(")=2[：丁+"—9—In%在(l,+oo)上单调递增,

故即)…)=。,即—〃国)+“尤2)+:盛>。成立,

故原不等式得证.

【过关测试】

1.(2024•云南昆明•模拟预测)已知函数产-a.

⑴若/(x)..0,求。的取值范围；

(2)证明：若/(%)有两个零点与尤2，则为+%>2.

【解析】(1)/⑺的定义域为(0,+"),

贝U/⑺="，+(]"*=1+(『)%=(z)(x：l一

XXJXX

构造g(x)=X+l—1HX，贝U，

当xe(O,l)时,g/(x)<0,当无«1,+8)时，g'(x)>0,

故g(X)在区间(o,1)内单调递减，在区间(1,+力)内单调递增，

所以g(x)2g⑴=2>0,

当xe(0,l)时，f,(x)<0,当xw(l,+oo)时，/(%)>0,

故/(%)在区间(0,1)内单调递减，在区间。,+力)内单调递增，贝厅⑺1111n=/⑴，

故要使/(%)“，即需/⑴20,即e—aR,故ae(—%,e］；

(2)证明：由(1)可知/(x)的两个零点一个小于1,另一个大于1,不妨设0<占<1<%,

因为x—InxNl,构造函数〃(%)=把"-4,%€［1,+00),贝！J"'(x)=(x+l)ex〉0,

故M(x)在［1,+8)单调递增，则由/(x)=11--Je*-a=(x-lux)ex~lm-a=u(x-lnx),

则由/(外)=/(%2)可知“(％-呜)=〃(%2-1畛),即％-1叫=电一如2，

即Xj—x2=1nxi—lnx2,即=1,

1叫-lnx2

2」一1

要证占+%>2,即证"/3即证q_2>in%，

出+1%

%

构造函数/<尤)=生?-11«,%G(0,l],

414x—(x+1)2(x—I)2

则”(x)=

(x+1)2Xx(x+l)2x(x+l)2

故MM在区间(0』内单调递减，贝|/1(耳2力(1)=0,即生二^一山对,

x+1

2五一1

特别地，取尤=2€(0,1),则有上_2_in工>0即3一々_]

故%+%>2.

2lnx

%至+1%]叫-2

%

2.(2024・青海・一模)已知函数/(x)=x-土—lnx+〃.

⑴若/(x)W0,求。的取值范围；

⑵若丁(力有两个零点毛，巧，证明：xt-x2<l.

【解析】(1)由题意可知/(%)的定义域为(0,+8),且广⑺=i_^£」=(xT乂…)

对于y=x-e*,有V=l-e*<。在(0,+s)上恒成立，即丫=工-6,递减，

所以x-e“<0-e°=—1,BPx-ex<0在(0,+8)上恒成立,

当尤e(O,l)时，/<x)>0,当xw(l,+oo)时，r(x)<0,

所以/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+⑹时单调递减，

所以当X=1时，函数有最大值，/⑴=l-e+a,所以1-e+aVO,

即awe—1,所以”的取值范围为(―*e-l]

(2)不妨设为<尤2，由(1)知。<不<1<%，即工>1,令F(%)=/(芯)一,

/\1e*x1e%1-

构造尸(x)=x-----Inx---H-r~+Int—=x-----21tnx----Fxe%s%e(o,i)

xxxxx

x

所以/x)=l-e‘(：T)一2+±+e1+xe嚏f--

XXXIXJ

_LJ_1

x2-ex(x-1)-2x+1+x2ex-xex(x-1)2-ex(x-l)+xe%(-X-1)

x2x2

X-\(「

=——x-l-ex+xex,

xI7

令g(x)=x-l-e*+x£，贝Ug，(x)=]_eX+G+xel[_，)=]_e*+el[]_g),

当尤e(O,l)时，g'(x)<0,g(x)递减，故g(x)>g⑴=0,

所以xe(O,l)时9(x)<0,网x)单调递减,故尸(无)>\⑴,

即在(0,1)上〃"_/1£|>尸(1)=0,所以

又/(玉)=/(9)=0,所以-即,

由(1)知/(X)在(L+00)上单调递减，所以电<一，故占，工2<1得证.

尤]

3.(2024.河北•一模)已知函数〃x)=e*-ax2(a>0).

(1)若函数/(x)有3个不同的零点，求。的取值范围；

(2)已知/'(X)为函数/(力的导函数，/'(X)在R上有极小值0,对于某点尸(%,〃/)),4X)在尸点的切

线方程为了=8(力，若对于VxeR,都有(尤-%)•[/(尤)-g(切20,则称尸为好点.

①求a的值；

②求所有的好点.

【解析】(1)

当xVO,/(力单调递增,

且/(o)=l,当Xf-8时，因此〃x)在区间(F,O]上存在唯一零点,

x

e

当x>0时，只要©"-依2=0存在两个根即可，即〃二可存在两个根,

设〃(x)=［则/(x),

当尤£(0,2)时,〃'(犬)<0,函数"(%)单调递减,

当工«2,+。)时，函数单调递增,

由“2)=’,当％->0时，〃(力一+。当Xf+oo时，

2

所以当a时，在区间(0,+8)有2个零点,

因此〃得到取值范围是+f；

⑵①/(%)=6，1加(4>0),/,(x)=er-2av,

令0(x)=/，(x),则”(x)=e，—2a,

令°'(X)=O,得x=ln2a,

当xe(-oo,ln2a)时，R'(X)<0,/'(x)单调递减,

当xe(ln2a,+oo)时，夕'(x)>0,/'(x)单调递增,

故/'(ln2a)=eM2a_2aln2a=2a(l—ln2a)=0,得。=],

②设尸(/J(x°))为好点，对于任意xeR,都有(x-Xo){/(x)-g(x)]2O,

当x=x()时，0W0成立，

当葩时，即为当xNXo时，/(x)-g(x)>0,

当x<x0时，/(x)_g(x)VO成立,

因为/(可在尸点的切线方程为8(力一/5)=/(毛)(4一%),

所以g(x)=/(2(xf)+/&),

设〃(x)=〃x)—g(x),即/i(x)=/(x)-1f(%)(x—M)一八%),

又因为/'(X)在8,1)上单调递减，X«l,+8)上单调递增，故分情况讨论,

(1)当X>Xo时，因为尸为好点，所以〃(%)=/(力-8(%)20恒成立，

,,,

1若/'(x)在xe(/,+e)上单调递增,f(x)>f'(x0),/?(x)=/(x)-/(xo)>O,

所以/z(x)在x>Xo时单调递增，=g(%o)=°，满足条件，故X。21时成立;

2若X°<1,r(x)在上单调递减，在xe(L+")上单调递增，

/,

当时,f\x)<f\x0),//(x)=/(x)-/(xo)<O,

所以/z(x)在xe(%』)时单调递减,=g(%)=0,矛盾，不满足条件；

(2)当时，因为尸为好点，所以/z(x)=/(x)-g(x)&O恒成立，

[若x°41,/'(x)在%«口,%)上单调递减,r(力>/'优)，〃(x)=:")-7%)>0,

所以MM在x</时单调递增，Mx)<M%)=〃%)-g(%)=o,满足条件，故不vi时成立;

2若%>1,/'(X)在xe(-8,1)上单调递减，在xe(l,%)上单调递增，

,,

当无<1,%)时,/(x)</(x0),h'(x')=f'(x)-f'(x0)<0,

所以//(%)在xe(l,a)时单调递减,=〃飞)-g&)=0,矛盾，不满足条件；

综上可知，由(1)(2)可得，且即%=1,所以只有一个好点卜

4.(2024•全国•一模)已知〃无)=，-亚-0

X

⑴若/(x)zo,求实数a的取值范围；

(2)设石，九2是/(1)的两个零点(%>芯2)，求证：①1<；②------<X1+x2.

【解析】(1)/,(x)=2x-2^^=2?+lnX-1,设g(x)=d+lnx-l,(x>0),

则小(力=3无2+[>o,所以g(x)单调递增，注意到g⑴=0,

所以当0<x<l时，g(x)<g(l)=0,r(x)<0,/(力单调递减，

当x>l时，g(x)>g⑴=0,盟勺>0,“X)单调递增，

所以/(“3=*1)=1一。，

若〃“祥0,则〃力晶=/(1)=1-此0,解得aMl,

所以实数。的取值范围为(-8』；

(2)①由题意不妨设王〈尤?，贝U由(1)可知/(同而=/(1)=1一a<0na>l,且。<,<1

、

11

所以“xJ-F-=/(x2)-/一=考

\X2j\X2j

=911“2--------21nx2f

、％2八X2J

设g(x)=x-：-21nx(x>l),g，(x)=]+2-2=(X])>0,(x>])，

所以函数g(x)单调递增，所以g(z)>g⑴=0,

所以〃西)-(斗0,即/(&)>71"

又函数“X）在（0,1）上面单调递减，所以所以1<二一；

«^2

②注意到『「二

In石Inx

2玉+/_/In芯-XjInx1

x2

所以石+%2_玉2_x2]nxl-xl]nx2,要证2再入2(阳一兀2)>X1X2

2

In玉+1Inx2+1

只需九21nx—玉In9〈玉一无2，即只需------<-------

i再

lnx+1,贝匹）=一学

令九（x）=

x

当Ovxvl时，/?（X）单调递增,

当%>1时，〃（x）<0,M9单调递减，

11

又一>%>l,所以〃<"（冗2），

石

1

所以要证人（%）</2（々），只需〃（％）<〃—I，即〃—<0,

玉

lnx+1

不妨设8（X）=M尤）-〃-x(-lnx+l),

贝IH'(x)=-^^+lnx-l+l=lnx-X,

当Ovxvl时，H'(x)〉0,H(x)单调递增,

当%>1时，H'(x)>0,H(x)单调递增，

1

因为0<玉<1,所以H(xJ=/z(玉)一力上卜H⑴=0,Bp/z(xl)<ft|—,

石

又因为〃，<力(％)，所以M%)=@"(必出〜®),

\XlJX1X2

2

综上所述，命题---<再+%2得证.

xxx2

5.(2024•北京门头沟•一模)已知函数〃尤)=odrw-g尤②+(l-a)x.

⑴当4=1时，求曲线y=/(x)在点(1,〃功处的切线方程；

(2)当时，求/⑺的极值;

⑶当;WaWl时，判断了(力零点个数，并说明理由.

【解析】(1)当a=1时/(x)=xlnx—万了2,贝!J/(l)=—J,/'(x)=lnv+l—x,

所以r⑴=0,

所以曲线y=/(x)在点。,〃功处的切线方程为y=-g.

(2)函数的定义域为(0,+8),且r(x)=alnx+a-x+(l-a)=alnx-x+l,

令g(x)=/'(x)=alnx-x+l,则g,(x)=-1-l=-^—,

因为。<0,所以g'(x)<0恒成立，所以g(x)在(0,+可上单调递减,

即广⑴在(0，+8)上单调递减，

又/'⑴=0，

所以当O<X<1时当X>1时/'(x)<0,

则“X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以/(同在x=1处取得极大值f(x)极大值,无极小值.

(3)令/(x)=0,ipaxlnx—+(1—a)x=0,

因为x>0,所以alnx-；x+(l-a)=0,

令_F(x)=alnx_gx+(l—a),

所以判断/(x)的零点个数，即判断的零点个数,

又尸生二，WaWl,

x22x2

所以当0vxv2a时/1%)>0,当尤>2々时,

所以尸(x)在(0,2a)上单调递增，在(2a,+8)上单调递减，

所以1rax-F(2a)-a\n(2a)-2a+\,

令H(x)='|dnx-x+l,xe[1,2],

贝lj/r(x)=glnx—g,因为xe[l,2],所以7T(x)Wgln2—g=g(ln2—l)<0,

所以”(x)在[L2]上单调递减，

所以⑴=0,

所以/(2a)W0,当且仅当a=g时等号成立，

所以当时/(x)有一个零点，即/(%)有一个零点，

当g<aWl时歹(x)无零点，即/(x)无零点，

综上可得当a=g时〃力有一个零点，当时〃力无零点.

6.(2024山东潍坊•一模)已知函数/(x)=2〃71nx-x+L(〃z>0).

X

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)证明：(1+5)(1+2)(1+《)…(1+5)</("cN*，«>2)；

(3)若函数g(x)=7〃21n2》-工-'+2有三个不同的零点，求机的取值范围.

X

【解析】(1)

函数/a)定义域为(0,+8),求导得广⑶=网_]」三+力",

XXX

k(x)=—x2+2mx—1,贝!]八=4(加2_]),

①当。<帆<1时，AW0,/'(%)«0恒成立，且至多一点处为0,函数在(0,+8)上递减；

②当%>1时，A>0,%(x)有两个零点九1=m-dm2-1>0,兀2=、+J帆?—1>0,

贝！|当0v』v芭或」时，k(x)<0,即f\x)<0；当石<%%时，>0,即f\x)>0,

即函数"X)在(0,%),(9,+8)上单调递减，在(和％)上单调递增，

所以当0<加工1时，〃")的递减区间为(。,+00);

当勿>1时，/(X)的递减区间为(0,徵_，加2_1),(加+：加2,递增区间为(切-J疗一1,切+一1).

(2)由(1)知，当力2=1时，xe(L+oo)时，/(%)=21nx-x+-</(I)=0,

V,1]+

则lnx<-----,^x=l+—(HGN*,H>2),

22xn2

-11、11、1_1/14)<A<A11

工曰ln(lH--)<—(1H—z-)---------=——-r,

于是n22n2MJ、2n2+1nn2i1

，U'2)n——n——n+—

n422

ln(l+小+ln(l+最)+ln(l+靠)++ln(l+J)

11、/11、+T1,212

<z(-r-_r)+r__T)+----)=-------<—

\313，

2——2+-3——3+-n——n+-n+-

2222222

•­•(l+4)<e23.

所以(1+

n

(3)函数g(%)=m21n之x—x—'+2=机2]口2(%—1)2X—1

x--------=(minx---尸)(根Inx+

xxy/x

x—]

由于Inx与x-l同号，则y=ndnx+—j=只有一个零点％=1,

令t=G，由/(D=o,则g(X)有三个不同的零点等价于函数/⑴有三个不同的零点,

由(1)知，当。＜加〈1时，/⑴在(0,+8)上单调递减，不合题意;

当%＞1时，由(1)知，“%)的两极值点石,%2满足玉々=1，所以印2=1，得％

由/(1)=0,贝=由(2)知，当r＞l时，lnr＜：

则In〃v---\=，即In%〃—『,

22”业

因止匕/(4m2)=2mln(4m2)-4m2T——[<2m(2m———)-4m2H——[=--野-<0,

4m2m4m4m

由零点存在性定理知，/㈤在区间七,4加2)上有唯一的一个零点7。，

显然//)+/(一)=2mln?0-^0H---i-2mln------F%=0,

‘0。,o。

而/%)=0,则=。，于是当口＞1时，八。存在三个不同的零点;，1%,

所以小的取值范围是(1,欣).

7.(2024•高三.江西.开学考试)已知函数ga)=l-21nx*(a＞。)，且g(x)的极值点为m.

⑴求为；

2

(2)证明：2^(x0)+2<-;

(3)若函数g(x)有两个不同的零点不马，证明：士■+=＞2g(x())+2.

'2

【解析】(1)由g(尤)=l-21nxg(a>0),

x—a

(%>0)，

所以当xe(0,&)时，g[X)>0,g(X)单调递增，

当xe(6,+co)时,g,x)<0,g(x)单调递减,

所以X=«'为g(x)的极大值点，即/=6.

(2)由(1)知，g(x)1mx=g(&)=-lna(a>0),

221

要证2g(%)+