北师大版八年级数学常见题型专练：探索勾股定理（2种题型）（原卷版+解析）

第01讲探索勾股定理（2种题型）

【知识梳理】

一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为

C,那么=c2.

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程

求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

a2=c2—b2,b~=c2—a2,c2=+-2ab.

二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中S正方.⑦=3+^）2=d+4x：aS，所以『+62=3

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图⑵中与s®o=c2=S-a）2+4x9人所以

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

A

、（a4-b）（aA1,12ooo

工rMyjALoBLCijDj=2=22x-c2,所以a+2>=c•

三、勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为后的线段.

边.

二【考点剖析】

题型一、勾股定理的应用

例1、在AABC中，/C=90°,/A、ZB>NC的对边分别为。、b、c.

(1)若。=5,b=12,求c；

(2)若c=26,b=24,求a.

例2.如图所示，在多边形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=45°,/B=ND=90°,求多边形ABCD的面积.

【变式】已知：如图，在△ABC,BC=2,SAABC=3,ZABC=135°,求AC、AB的长.

例3、长方形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,求DE

的长.

题型二、勾股定理的证明

例4、如图所示，在Rtz\ABC中，ZC=90°,AM是中线，MNXAB,垂足为N,

试说明闻V2—师2=人。2.

例5.请用两种方法证明：△ABC中，若/C=90°,则。2+匕2=©2

例6.图中大正方形是由4个全等直角三角形和一个小正方形拼成的，其中每个直角三角形两直角边为a,

b,斜边为c,你能通过此图验证得到勾股定理吗？请说说你的理由.

例7.做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a,b,斜边为c,再做3个边长分别为a,b,

c的正方形，把它们按图4,图5所示的方式拼成两个正方形.利用两个正方形的面积相等来证明勾股定

理：a2+b2=c2.

aab

例8.如图，已知NC=ND=90°,D,E,C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理.

【过关检测】

选择题

1.（2022春•西华县期中）如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”.如果大正

方形的边长为9,那么小正方形的边长为（）

B.2C.3D.4

2.（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全

等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25,小正方形面积为1,若用a、b表示直角三角形的两直角边

Ca>b）,则下列说法：①。2+川=25,②a-b=l,③ab=12,④a+b=7.正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二.填空题

3.用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH,这就是著名的“赵爽弦

图"，若4B=15,AF=12,则小正方形EFGH的面积为

4.（2022春•台江区期中）在△ABC中，NC=90°,若=则A82+BC2+472=.

5.（2022春•长垣市期中）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形,

若正方形A、B、C面积为2、8、5,则正方形。的面积为.

6.1876年美国总统加菲尔德利用图验证了一个十分著名的定理，这个定理称为,该定理的

结论其数学表达式为.

7.（2022春•新邵县期中）如图所示，在中，ZB=90°,4。平分NBAC,交BC于点D,DE±AC,

垂足为点E,若BD=3,则DE的长为

E

BD,

三.解答题

8.（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一

种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB,得到直角三角形ACB,三边分

别为。，b,c,将△ACB裁剪拼接至AAEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股

定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.

9.如图所示是用硬纸板做成的四个完全相同的直角三角形和一个边长为c的正方形，直角三角形两条直角

边的长分别是a,b,斜边的长为c,请你将它们拼成一个能推导勾股定理的图形.

（1）画出拼成的这个图形的示意图；

（2）推导勾股定理.

10.【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明

可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为。、b,斜边长为c.图中大正方形的面积可

表示为（a+b）2,也可表示为c2+4X^ab,即（a+b）2=c2+4X—ab,所以a2+b2=c2.

22

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直

角梯形BCDE,其中△8CA丝△ADE,ZC=ZD=90°,根据拼图证明勾股定理.

【定理应用】在RtZkABC中，ZC=90°,/A、ZB.NC所对的边长分别为a、b、c.

求证：a2c2+a2b2=c4-b4.

第01讲探索勾股定理（2种题型）

【知识梳理】

一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为

a,b,斜边长为c,那么/+b2=c2.

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段

长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问

题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

a1=c2—b2,b2=c2—a~,c~=（«+/?）"—lab.

二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图⑴中染力极6=（。+4=d+4xL儿所以/+/=02.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中S正方13co=1+4x,所以1=『+乩

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

=妇竽地=2x1+y,所以Y+/U

三、勾股定理的作用

3.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

4.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为反的线段.

边.

【考点剖析】

题型一、勾股定理的应用

例1、在AABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的对边分别为〃、b、c.

(1)若Q=5,b=12,求c；

(2)若c=26,b=24,求〃.

【答案与解析】

解：(1)因为AABC中，ZC=90°,a2+b2=c2,a=5,b=12,

所以=a2+b2=52+122=25+144=169.所以c=13.

(2)因为AABC中，/C=90°,a2+b2=c2,c=26,Z?=24,

所以。2=c2-Z?2=262-242=676-576=100.所以。=10.

【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是

斜边，再决定用勾股原式还是变式.

例2.如图所示，在多边形ABCD中，AB=2,CD=1,NA=45°,NB=ND=90°,求多边形

【答案与解析】

解：延长AD、BC相交于点E

NB=90°,NA=45°

ZE=45°,AB=BE=2

,/ZADC=90°,ZDCE=45°,

CD=DE=1

x

•*-SAABE=-^X2X2=2>SADCE=|lxl=1.

【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形(如直角三角形、正方

形、等腰三角形等)，转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线

段，解决面积问题.

【变式】已知：如图，在AABC,BC=2,SAABC=3,ZABC=135°,求AC、AB的长.

解：如图，过点A作ADLBC交CB的延长线于D,

在AABC中，：SAAK=3,BC=2,

AD=2辽瓯=22£^=3,

BC2

VZABC=135°,

AZABD=180°-135°=45°,

・・・AB=bAD=3血，

BD二AD二3,

在RtZXADC中，CD=2+3=5,

由勾股定理得，

AC^AD2+C[)2=^2^2=V34.

例3、长方形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠，使点B与点D重合，折

痕为EF,求DE的长.

【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE.从而设BE即可表示AE.在直角三角形ADE中，根

据勾股定理列方程即可求解.

【答案与解析】

解：设DE=xcm,则BE=DE=x,AE=AB-BE=10-x,

△ADE中，DE2=AE2+AD2,即X?=(10-x)2+16.

.・.x=­29(/cm\).

5

答：DE的长为4cm.

【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等.

题型二、勾股定理的证明

例4、如图所示，在Rt^ABC中，NC=90°,AM是中线，MNXAB,垂足为N,

试说明BN?=人。2.

C

【答案与解析】

解：因为MNLAB,所以AN2+MN2=32,BN?+MN?=MB?,

所以ATV?—5N?=AM?—BA/?.

因为AM是中线，所以MC=MB.

又因为NC=90°,所以在Rt^AMC中，AM2-MC~=AC~,

所以W2—=人。2.

【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化.若

没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明.

例5.请用两种方法证明：△ABC中，若NC=90°,贝1」。2+房=©2

【分析】方法一：用四个大小相同的直角三角形拼成正方形，其中每个直角三角形的直

角边长分别为。、b,斜边长为c,通过证明可得中间也是一个正方形，大正方形的面积

可表示为(o+b)2,也可表示为c2+2ab,利用面积相等即可证明；

方法二：两个大小相同的直角三角形，每个直角三角形的直角边长分别为a、3斜边长

为c,连接BE,构造直角梯形BCDE,利用梯形面积公式可得梯形面积为ab+工(。2+房)，

2

也可表示为ab+』c2,利用面积相等即可证明.

2

【解答】证明：方法一：

如图，用四个大小相同的直角三角形拼成正方形，每个直角三角形直角边长分别为。、b,

斜边长为C,

VZA=ZB=ZC=ZD=9Q°,AB=BC=CD=AD=a+b,

・•・四边形/WC。为正方形，

VZAFE+ZAEF=90°,NAFE=NDEH,

，/DEH+/AEF=90°,

：.ZFEH=90°,

同理可得：

/EFG=/FGH=/EHG=90°,

■;EF=FG=GH=EH=c,

・・・四边形EFGH为正方形,

•^S^ABCD=AB2=(o+b)2,S^ABCD=S^EFGH^S^AEF=C2+4X^ab=c2+2ab,

2

(o+b)2=c2+2ab,

:.a2+b2+2ab=c2+2ab,

a2+b2=c2；

方法二：

如图，放置两个大小相同的直角三角形，每个直角三角形的直角边长分别为。、b,斜边

长为C,连接BE,构造直角梯形8CDE,

aD

VZC=ZD=90°,

梯形BCDE为直角梯形，

•'SBCDE=—(。+b)(b+a)=ab+—(a2+fa2),

22

；/8AC=NA£D,ZDAE+ZAED^90°,

：.ZBAC+ZDAE=90°,

.•./BAE=90°,

；•S梯形BCDE=S/^ABC+SAABE+SADE=—ab+—c2+—ab=ab+—c2,

2222

ab+—Ca2+b2)=ab+—c2,

22

a2+b2=c2.

【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般

采用拼图的方法，然后再利用面积相等证明.

例6.图中大正方形是由4个全等直角三角形和一个小正方形拼成的，其中每个直角三角形

两直角边为a,b,斜边为c,你能通过此图验证得到勾股定理吗？请说说你的理由.

【分析】根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积

即可证明.

【解答】证明：由图得，—Xat>X4+c2=(a+b)X(a+fa),

2

整理得，2ab+c2—a2+b2+2ab,

即a2+fa2—c2.

【点评】本题考查了用数形结合以及等面积法来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结

合的思想方法.

例7.做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a,b,斜边为c,再做3个边

长分别为a,b,c的正方形，把它们按图4,图5所示的方式拼成两个正方形.利用两个

正方形的面积相等来证明勾股定理：a2+〃=c2.

【分析】通过两个组合正方形的面积之间相等的关系即可证明勾股定理.

【解答】解：由图可知大正方形的边长为：a+b,则面积为(a+b)2,

图中把大正方形的面积分为了四部分，分别是：边长为a的正方形，边长为b的正方形，

还有两个长为b,宽为。的长方形，

根据面积相等得：(a+b)2=a2+b2+4X—ab,

2

22

由右图可得(a+b)=c+4xAab.

2

所以o2+b2=c2.

【点评】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形

边长的关系进行组合图形.

例8.如图，已知/C=ND=90°,D,E,C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证

明勾股定理.

Bhc

【分析】先利用“边角边”证明△ADE和AEBC全等，根据全等三角形对应角相等可得/

AED=ZCBE,再求出/AEB=90°,然后根据梯形的面积公式和梯形的面积等于三个直角

三角形的面积列出方程整理即可得证.

rAD=EC

【解答】证明：在△AOE和△EBC中，<Zc=ZD=90°>

DE=BC

:."DE乌AEBC(SAS),

ZAED=ZCBE,

VZCB£+ZBfC=90°,

AZAED+ZBEC=90°,

：.ZAEB=90°,

梯形的面积=△(a+b)(a+b)—2X—ab+—c2,

222

整理得，a2+b2—c2.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，求出/AEB=90。是解

题的关键，难点在于利用梯形的面积列出方程.

【过关检测】

选择题

1.（2022春•西华县期中）如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽

弦图”.如果大正方形的边长为9,那么小正方形的边长为（）

【分析】根据正方形EFGH的面积=正方形4BCD的面积-4s△ABE=9,求9的算术平方根即

可得到结论.

【解答】解：:正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-4S“BE=92-4X18=9,

正方形EFGH的边长=3,

故小正方形的边长为3,

故选：C.

【点评】本题考查了正方形的面积，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键.

2.（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦

图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25,小正方形面积为1,若用

a、b表示直角三角形的两直角边（a>b）,则下列说法：①。2+匕2=25,②a-b=l,③ab=

12,④a+b=7.正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【分析】根据勾股定理和大正方形面积为25,可以判断①；根据小正方形面积为1,可以判

断②；根据大正方形面积为25,小正方形面积为1,可以得到四个直角三角形的面积，从而

可以得到。b的值，即可判断③；根据完全平方公式可以判断④.

【解答】解：由图可得，

a2+b2=c2=25,故①正确；

:小正方形面积为1,

二小正方形的边长为1,

.1.a-b=l,故②正确；

•••大正方形面积为25,小正方形面积为1,

：.Xab=(25-1)4-4,

2

解得ab=12,故③正确；

a2+b2=25,ab=12,

(a+fa)2=a2+2ab+b2=49,

a+b=7,故④正确；

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形的面积，利用数形结合的思

想解答是解答本题的关键.

填空题

3.用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABC。和一个小正方形EFG”，这就是著

名的“赵爽弦图"，若A8=15,Z»F=12,则小正方形EFGH的面积为

【分析】利用勾股定理求出BF,从而求出小正方形EFGH的边长，即可求解.

【解答】解：在RtZXABF中，

AF2+BF2=AB2,

：阳=15,AF=12,

8F=9,

:四个直角三角形全等，

/.BG=AF=12,

：.FG=BG-BF=3,

SBEFGH=FG2=32=9,

故答案为：9.

【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用勾股定理求出BF的长.

4.(2022春•台江区期中)在△ABC中，ZC=90°,若AB=M,则AB2+BC2+472=

【分析】根据勾股定理可以求得AC2+BC2=AB2=2的值，然后即可计算出AB2+BC2+AC2的值.

【解答】解：：NC=90°,AB=42,

：.AC2+BC2=AB2=2,

:.AB2+BC2+AC2

=（,BC2+AC2）+AB2

=2+2

=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是求出的值.

5.（2022春•长垣市期中）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形

是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5,则正方形。的面积为一.

【分析】根据勾股定理和正方形的性质即可得到结论.

【解答】解：由勾股定理得，正方形D的面积=正方形A的面积+正方形8的面积+正方形

C面积=2+8+5=15,

故答案为：15.

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和

一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

6.1876年美国总统加菲尔德利用图验证了一个十分著名的定理，这个定理称

为___________,该定理的结论其数学表达式为.

【分析】根据勾股定理的内容即可得到结论.

【解答】解：1876年美国总统加菲尔德利用图验证了一个十分著名的定理，这个定理称为

勾股定理，该定理的结论其数学表达式为。2+匕2=©2.

故答案为：勾股定理，。2+b2=c2.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握的识别图形是解题的关键.

7.（2022春•新邵县期中）如图所示，在RtZvWC中，ZB=90°,A。平分/BAC,交BC于

点、D,DE±AC,垂足为点E,若8。=3,则0E的长为

【分析】直接根据角平分线的性质求解.

【解答】解：平分Na4C交BC于点0,DE1AC,DB±AB,

：.DE=DB=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

三.解答题

8.（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某

同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB,

得到直角三角形ACB,三边分别为a,b,c,将裁剪拼接至位置，如图2所示，

该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.

图1图2

【分析】连接BF,由图1可得正方形ACDE的面积为b2,由图2可得四边形A8DF的面积为

三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等

即可证明.

【解答】证明：如图，连接8F,

\'AC=b,

•.正方形ACDE的面积为b2,

：CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a,

BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b,

：ZCAE=90°,

\ZBAC+ZBAE^90°,

：ZBAC=ZEAF,

\ZEAF+ZBAE^90°,

•.△8AE为等腰直角三角形，

2222

,.四边形A8DF的面积为：—c+—(b-a)(a+b)=AC+A(b-a),

2222

,/正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，

/.b2=—c2+—（b2-a2）,

22

b2——c2+—b2--a2,

222

.\—a2+—b2=—c2,

222

a2+b2=c2.

【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握勾股定理的证明方法，一般利用

拼图的方法，再利用面积相等证明.

9.如图所示是用硬纸板做成的四个完全相同的直角三角形和一个边长为c的正方形，直角

三角形两条直角边的长分别是a,b,斜边