导数解答题之极最值问题 -2025年新高考数学二轮复习

微专题11导数解答题之极最值问题

［秒杀总结］

1、利证数求函数的极最值问题.解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极

最值.只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求

导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引

入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作.

【典型例题】

例1.（2024•山东济南•一模）己知函数〃x）=e2x+e'—or.

⑴当"=3时，求的单调区间；

（2）讨论/'（x）极值点的个数.

【解析】（1）当。=3时，〃x）=e2，+e'-3x定义域为R,

又尸（x）=2e2*+e-3,

所以_f（x）=（2e工+3）（e工一1）,

由解得尤＞0,此时“X）单调递增；

由_f（x）＜0,解得x＜0,此时/（x）单调递减，

所以/'（X）的单调递增区间为（o,+8）,单调递减区间为

（2）函数的定义域为R,

由题意知，r（x）=2e2，+e，-。，

当a40时，所以/⑺在R上单调递增，

即/⑺极值点的个数为。个；

当〃〉0时，易知1+8〃＞0,

故解关于r的方程2/+-=0得，土正量，/=二1七互电,

1424

所以尸（x）=2@F）（e，-2），

-r-t—1+J1+8a—1+1八-1-J1+81.

又右=---------->-----=0,t.=----------<0,

24414

所以当xAlnr2时，f^x)>0,即/（同在（历5+«））上单调递增,

当x＜如々时，r（x）＜。，即/（x）在（-°°,1必2）上单调递减,

即“X）极值点的个数为1个.

综上，当aWO时，“X）极值点的个数为。个；当4＞0时，“X）极值点的个数为1个.

例2.（2024•湖南邵阳•二模）设函数/（x）=7%（x+l）e',根＞0.

⑴求的极值；

⑵若对任意有by(x)W2e"恒成立，求加的最大值.

【解析】(1)f(.X)=m(x+2)ex,m>0.

令尸(x)>0,得x>—2,令/(x)<0,得x<-2.

故/(X)在(-8,-2)单调递减，在(-2,+8)单调递增.

二/⑺在x=-2处取得极小值f(-2)=~,无极大值.

(2)对V%£(-l,+8)恒成立，即lnmW2e"—ln(x+l)—%对Vx£(-l,+8)恒成立.

令g(%)=—In(x+1)-%£(-1,十⑹,则只需Inm<g即可.

g，(x)—2e*------1,x£(―1,+“).

易知y=2e[y=--^-1,均在(-1,+力)上单调递增，

故g，(x)在(-1,+向上单调递增且g'(O)=0.

.•.当xe(-1,0)时，g'(x)<0,g(%)单调递减;

当尤e(0,+oo)时，g，(x)>0,g(x)单调递增.

:遭⑺血!=g(°)=2.故In机<2=lne2,，0<〃zWe2，故加的最大值为e?.

例3.(2024•广东深圳•模拟预测)已知函数/(尤)=空二其中aeR.

ex

(1)当。=1时,求曲线在(o"(o))处的切线方程：

(2)求证：“X)的极大值恒为正数.

_rr-..(4x—a)e，'—e'_u,x+cT)—+(ci+4)x—2a

【解AT1析】(1)xf(x)=----------------------=-----------------，

当a=l时，f(x)=~2x'+5x~2,尸(0)=-2,

ex

又；f(0)=l,故曲线y=/(x)在(o,/(o))处的切线方程为2x+y-1=0；

/C、+(Q+4)%—2Q(—2x+Q)(X—2)

⑵.J(x)=----------------=--------------=。，

ee

解得知石=2,

若〃>4,当xv2或时，/\x)<0,当2<%<刊时，/\x)>0,

22

所以〃X)在(-8,2),递减，［吗］递增，

故极大值为了>0

e-

若。=4,则/'(x)V0,

所以函数单调递减，无极大值;

若a<4,当或x>2时，/'(%)<0,当1<x<2时，/'(x)>0,

所以小)在［-《J，(2,+s)递减，g，2)递增，

故极大值7(2)=/>0,

e

综上，“X)的极大值恒为正数.

例4.(2024•辽宁•一模)已知函数f(x)=21nx-2(a-l)x-ax2(tz>0).

(1)当〃=1时，求曲线y=/(x)在点(2J(x))处的切线/的方程；

(2)讨论了⑺的极值.

2

【解析】(1)当〃=1时,/(x)=21nx-x2,求导得/(x)=——2%,则八2)=-3,而/(2)=2比2-4,

x

所以/的方程为y~(21n2—4)=—3(%—2),即3x+y—21n2—2=0.

(2)函数的定义域为(0,+s),求导得广(元)=1—2(“一1)—2依=—2汽+1)(♦-1),

XX

而4>0,则当xe(0,：)时，/")>。，当xe(：+8)时，八龙)<0,

因此了⑺在(0,-)上单调递增,在d,+w上单调递减，

aa

所以当尤=工时，/(X)取得极大值/'(1)=2111,+工一2,无极小值.

aaaa

例5.(2024.浙江金华.模拟预测)已知函数〃x)=(cosx-l)e：

⑴求函数〃x)在x=0处的切线方程；

(2)当xe(O,?i)时，求函数的最小值.

【解析】⑴由/(x)=(cosx-l)eT,

"广⑺=（Tinx）e~：osx-1）4-sinx-cosx+1

'RY

所以〃0)=0,r(o)=o,

函数/(x)在x=0处的切线方程y=0

,(._(-sinx)ex-(cosx-l)ex_-sinx-cosx+1

⑵gy=?

令y=-sinx-cosx+\=-在sin+：J+1,

当0<无<二时，-<x+-<—,则一点4-0sin［x+0<-l,

2444I

所以y=—sinx—cosx+1=-^2sin、+£j+l<0,所以/'(x)<0,

■rr

所以〃x)在。，5单调递减；

当5<x<?i时，—<%+—<—,贝ij-1<0sin［x+乙］W1,

2444V4)

止匕时y=-sinx-cosx+l=-0sin［x+：］+l>0,

所以在3n单调递增，

所以当x=］时，函数/'(X)取得最小值；

所以当x«0㈤时，函数/(元)的最小值为f［T=-e^

例6.(2024・高三•浙江•阶段练习)已知函数/(尤)=ln尤-加，其中aeR.

(1)若曲线y=/(x)在x=l处的切线在两坐标轴上的截距相等，求。的值；

(2)是否存在实数。，使得了⑴在x«0,e］上的最大值是-3?若存在，求出。的值;若不存在，说明理由.

【解析】(1)f\x)=--a,贝!!/'(1)=1一°,/(1)=一。，

故曲线>=/(%)在％=1处的切线为>+〃=(>。)(九—1),

即y=(一)%—1,

当a=l时，此时切线为y=-l,不符合要求

当awl时，令x=0,有>=一1,

令y=。，有无=---,故----=-1,即a=2,故〃=2

l—a1—a

,„,,_〃/、11—cix

(2)j(x)=lnx-ax,「./(%)=---a=--------,

xx

①当。《0时，/(%)在(0,e］上单调递增，

4

.."(%)的最大值是/(e)=l—ae=-3,解得〃=—>0,舍去；

e

②当。>0时，由/(%)=,一。=^—―=0,得1=」，

xxa

当0<，<e,即时，时，/(%)>0;x£(，,e1时，f(x)<0,

ae<a)\a)

・•・/。)的单调递增区间是(o,：］,单调递减区间是

2

又了(九)在(0,e］上的最大值为-3,/./(x)max=f=-1-Intz=-3,/.«=e；

11

当eV—,即—时，/(%)在(0,e］上单调递增，「./QOmax=/(e)=l—〃e=—3,

ae

41

解得〃=—〉—，舍去.

ee

综上所述，存在。符合题意，此时〃=e2

例7.(2024•北京•模拟预测)已知函数/(x)=a(x+：-

(1)求〃x)的图象在点处的切线方程；

⑵讨论的单调区间；

⑶若对任意xe(l,+«O,都有〃x)Wln2-1,求。的最大值.(参考数据：In2ao.7)

【解析］(1)/(%)=+-Inx^,f'(x)=a"-'［—］=。+1)(:1)5x),又

/(l)=-p1(i)=o,

故"X)的图象在点(1,/(1))处的切线方程为y=。，即y=

(2)/(x)=----八八-----,又x>0,x+l>0,

x

贝UaVO时，当x«0,l),/(无)>0,>=〃力单调递增；当xe(l,w),/(x)<0,y=〃x)单调递减;

0<a<l时，当x«0,a),f\x)<0,y=〃x)单调递减；当x«a,l),/(x)>0,y=〃x)单调递增;

当无«l,+oo),f\x)<0,y=/(x)单调递减；

a=l时，当xe(0,4<o),y(x)<0,y=/(x)在(0,+co)单调递减；

a>l时，当x«0,l),/(x)<0,y=〃x)单调递减；当xe(l,a),f\x)>0,y=/(x)单调递增；

当xe(a,4w),/(x)<0,y=/(x)单调递减.

综上所述：当aVO,/(尤)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,内)；

当0<a<l,“X)的单调减区间为(0,。),(1,内),单调增区间为(a,l)；

当0=1,/(X)的单调减区间为(0,y)，没有单调增区间；

当a>l,“X)的单调减区间为(0,1),(a,y),单调增区间为(1,a).

(3)若对任意都有/■(x)«ln2—l,则〃x)在(1,+⑹上的最大值/⑺1mx<ln2—l；

由(2)可知，当a>l,/(x)在(1,。)单调递增，在(。,水»)单调递减，

/(X)=/(a)ualaH----2^—ci^—InaJ=In—2a+1；

■^-m^x)=\nx+—x1-2x+\,x>\,贝！|“/(x)=—+x-2>2.—-x-2=0,

2xVx

故y二加(%)在(1,+QO)单调递增，Xm(2)=ln2+2-4+l=ln2-l,则m(2)<ln2-l；

故当〃=2时，/(x)max=lna+gQ2—2a+lWln2-l,

也即当a=2时，对任意%£(l,+oo),都有/(x)Wln2-l.

故〃的最大值为2.

例8.(2024.天津河东.一模)已知函数=1仪且(%)=%-山-1.

⑴求函数“可在点(I"⑴)处的切线方程；

⑵求函数g(X)的最小值；

(3)函数尸(%)=/(x)-mg(x)(m>2),F(1)=F(^)(n1),证明：VxG(l,n],(m-l)lnx>x-l.

【解析】(1)

r211

/(X)=y-llU,f\x)=X~~,切线斜率为(⑴=0,/(1)=-

故切线方程为y-；=0(%-1),即＞=：•

(2)g(x)=x-lnx-l,令/(%)=1」=0,可得％=1,

x

当x«0,l),g<x)<0；xe(l,-H3o),g'^x)>0,

故g(左)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+8)上单调递增,

故函数g(x)的最小值g(l)=o.

r21是

(3)F(x)=--lnx-m(x-lnx-l),由/(1)=/(〃)，5=万一111〃一机(〃一In〃一1)①

欲证明VxG(l,n],(m-l)lnx>x-l,只需要——,

令G(x)=^^,lnx-l+—

(1，〃］

Inx(lax)2

111r_1

令A(x)=ln%_l+_,A(x)=-----=-->0

XXXX

/、/\lux—1H—

A(x)在区间(1,〃)上单调递增，则A(X)＞{1)=0,故G0)=_____上＞0；

(inx)2

则G(x)在区间(1同上单调递增，只需证明Vx€(l,"],(根一1)＞二，

Inn

由①可矢口(几21)=(m-l)(zz-l-lnn)，

由(2)可知〃一1一111〃>0,(冽-1)=-^^-----——-,

'72(n-l-lnw)

只需证明(m-1)=-7>:匚，

2(〃一1—hvz)ln〃

化简为：1吁黜］>0成立即可，令B(x)=ln%_2［餐

则B\x)=7>。,B(x)在区间(1,n\上单调递增,

x(x+l)

故3(x)>3⑴=0,所以1吁21＞。得证.

例9.(2024•北京石景山•一模)已知函数/卜)=祀气。＞0).

⑴求曲线y=/⑺在点(0,〃。))处的切线方程；

(2)求/■(%)在区间[-1』上的最大值与最小值；

(3)当。=1时，求证：/(x)21nx+x+l.

【解析】(1)

/'(x)=(l+w)e*-(0)=1,/(0)=0,

所以曲线y=/(x)在点(oj(o))处的切线方程为'=壬

(2)/,(x)=(l+ox)ear,a＞0

当0＜aWl时，((无)2。在区间上恒成立，“X)在区间上单调递增,

所以函数“X)的最小值为〃-1)=-片：最大值为〃l)=e“，

当a>l时，y(x)=0,得苫=—e(—1,0),

a

尸(X)在区间-1,-：］小于0,函数“X)单调递减，

广⑺在区间-大于0,函数“X)单调递增，

所以函数/⑺的最小值为

kcij

〃T=—eTf(l)=ea,显然所以函数的最大值为〃l)=e。，

综上可知，当0<。41时，函数/(%)的最小值为/(-1)=-6",最大值为了⑴=巴

当。>1时，函数〃x)的最小值为弁-3=-'，最大值为〃1)=日

(3)当〃=1时，f(x)=xex,即证明不等式Alnx+%+1,

^g(x)=xex-lnx-x-l,x>0,g，(x)=(工+1)1—J,

■^7z(x)=ex--,x>0,/ir(x)=ex+^->0,

所以/z(x)在(0,+8)单调递增，并且//1)=&-2<0,/z(l)=e-l>0,

所以函数Mx)在g，l)上存在唯一零点飞,使方［)=炉，-J=0,

即g，(％)=0,则在区间(0,1),g'(x)<0,g(x)单调递减，

在区间(%,+℃),g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x)的最小值为-lnx0-^-l,

由/i(xo)=e〜-,=0,得/6'。=1,且

冗0

所以g(%)=0,

所以g(x)=xe*-lnx—%—120,即/(x)21nx+x+l.

【过关测试】

1.(2024•广东汕头•一模)已知函数4%)=ax_1_(a+l)lnx(awR).

x

⑴当。=-1时，求曲线y=在点(3(e))处的切线方程；

(2)若/(%)既存在极大值，又存在极小值，求实数。的取值范围.

【解析】(1)当。=—1时，函数/。)=-工一工，求导得尸(幻=3-1,则尸七)=3-1,而”e)=_e-L

xxee

所以曲线y=/(元)在点(e"(e))处的切线方程为y-(-e二)=(1-l)(x-e),即y=(4-l)x-2

eeee

(2)函数/(%)=以一(〃+l)lnx的定义域为(0,+oo),

x

求导得广⑴=〃+二上二加一”1)%+1=(")(D,

XXX2X

当时，ax-1<0,由/'(%)>0,得Ovxvl,由/'(%)<0,得%>1,

则函数“元)在(0,1)上递增，在(1,内)上递减，函数〃九)只有极大值/⑴，不合题意；

当。>0时，由广。)=。，得尤=i或尤=!，

a

①若即〃>1,由r(x)>0,得0〈尤〈4或X>1,由广。)<0,得［<尤<1,

aaa

则函数/(x)在(0,-),(1,+<»)上递增，在d,1)上递减，

aa

因此函数/(X)的极大值为/d),极小值为了⑴，符合题意；

a

②若L>i,即由广。)>0,得o<x<i或x>L由尸。)<。，得i<x<L

aaa

则函数/(尤)在(0,1),(-,+«)上递增，在。」)上递减，

aa

因此函数/a)的极大值为了⑴，极小值为了2)，符合题意；

a

③若工=1,即a=l,由广(》)2。在(0,+⑹上恒成立，得"X)在(0,+⑹上递增，

a

函数〃为)无极值，不合题意，

所以a的取值范围为(。，1)51,+⑹.

2.(2024・高三・江苏苏州•阶段练习)已知函数g(x)=/+办2+6x(“,beR)有极值，与函数〃x)=(x+a)e”

的极值点相同，其中e是自然对数的底数.

⑴直接写出当。=1时，函数/'(x)在彳=1处的切线方程；

(2)通过计算用。表示b；

(3)当a>0时，若函数刊x)=〃x)—g(x)的最小值为加⑷，证明：

【解析】(1)当a=l时，/(x)=(x+l)e\r(%)=(x+2)e\

从而/(l)=2e,7'⑴=3e,

所以函数/(x)在x=l处的切线方程为y=3e_r-e；

(2)因为/'(x)=(尤+a+l)e"令f'(x)=Q,得x=-a-1,

当时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

当x>—a-1时,f^x)>0,/(%)单调递增，

故X=F-1是函数/(X)的极小值点；

又因为g'(x)=3%2+2ar+Z?,

所以且'(-〃-1)=3(〃+1)2一2a(Q+l)+b,

整理得一4。一3,

又当0=-々2一4〃一3时，g'(x)=3尤2+2ov—(a+l)(a+3)=(x+a+l)(3元一a—3),

若要使得函数g(%)=/+双2+陵£R)有极值，

则还需即aw-。，

32

综上所述，h=-a2—4a—3,

(3)H^jF(x)=/(x)-g(x)=(x+«)ex-(x3+ax2+bx^,且由(2)可知g'(x)=(x+a+l)(3%—a—3),

所以F(x)=/'(%)—g'(x)=(x+a+l)e*—(%+a+l)(3x—a—3)=(x+Q+l)(e*—3«X+Q+3),

令7z(x)=eX-3x+a+3,贝|/Z(x)=e%-3,

令//(x)=0,得至Ij%=ln3,

当犬vln3时，/zr(x)<0,/z(x)单调递减，

当％>ln3时，”(兀)>0,,(%)单调递增，

所以"(xj疝n=〃(ln3)=e*—3X+Q+3=3(2—ln3)+a>a>0,

所以,(九)>0,

从而令尸〈力=0,得犬=-a-1,

当xv—a—1时，尸(x)<0,〃力单调递减，

当x>—a—1时，F(x)>0,/⑺单调递增，

所以M(〃)=尸(％)min=/(―Q—1)=_。一"T_[(_。-1)3+〃(―Q—1)+b(-a—1)J=—e~a~i—(^a+1)2(a+2),

令，=—a—1,则，<—1,记根—e’—〃(i—v—i,

则irt(%)=—e'+3〉—2t,tv—1,

因为一e—i<-e?<0,3〃—2%>5,

所以加⑺〉0,加⑺单调递增，

177

所以〃z(f)<_eT_2<_§_2=_§,即

3.(2024•内蒙古赤峰•一模)已知函数/(彳)=(工+”1-6”.

⑴当0=1时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程;

(2)当a=2时，求函数“X)的单调递增区间；

⑶若函数/(x)在区间(0,1)上只有一个极值点，求a的取值范围.

【解析】(1)当。=1时，/(x)=—,贝I］尸(x)=e'(x「D,

XX

所以，/(l)=e,广⑴=0,

故当0=1时，曲线y=/(x)在点处的切线方程为y-e=o,即了=6.

(2)当a=2时，/5)=［：+1卜=区产，该函数的定义域为{x|xwo},

(x+2)xe'-(x+l)ev(x2+x-l)e%

由r(x)>o,即/+》一1>0,解得x<-上手或尤〉与L

因此，当a=2时，函数/(尤)的单调递增区间为

⑶法I：因为/⑺=则八x)=］+”>:卜=吐身胃)£

令g(尤)=(°-1)%2+%一1,因为函数〃X)在(0,1)上有且只有一个极值点，

则函数g(x)在(0,1)上有一个异号零点，

当4=1时，对任意的X«O,1),g(x)=x-l<0恒成立，无零点，故不符合题意;

当时,函数g(x)=(a-l)1+x-1在(0,1)上单调递增,

因为g(O)=T<。，只需g(l)=。一1>0,故“>1符合题意;

当时，函数g(x)的图象开口向下，对称轴为直线x=-J不>0,

因为g(0)=T<0,只需g⑴=a—1>0,故a<1不符合题意，舍去

综上所述，实数a的取值范围是+少).

法n：令(a-1)/+%_1=o,

贝！|。-1=3一工有根，令f='e(l,+oo),

x~xx

设g⑺=产一，Ze(l,+oo),

又函数对称轴为f=g,则te(l,+x)时，g⑺单调递增,

所以g«)>g(l)=o，即q_l>0,

4.(2024.四川成都.二模)已知函数/(x)=(x+a)lnx的导函数为尸(x).

⑴当0=1时，求尸(X)的最小值；

(2)若/'(X)存在两个极值点，求。的取值范围.

【解析】(1)

当。=1时，"X)=(x+l)lnx,xe(0,+<o),/,(x)=ln.r+-+l,

111X—\

令函数/i(x)=lnx+-+l,X£(0,+oo),则有hr(x]=-----=——,

XXXX

当xe(O,l)时，//(x)<0,/?(x)为减函数；当xe(l,+oo)时，〃(x)>0,/z(x)为增函数,

所以/的同=〃。)=2,即尸(x)的最小值为2；

(2)因为xe(0,+oo),有尸(x)=lnx+@+l,

令g(x)=1f(x),有==

①当aWO时，因为x-a>0,所以g'(x)>0,即尸(力在(。,+“)上为增函数，

所以至多存在一个％e(0,+oo),使得/'(x)=0,故/(%)不存在两个极值点，

②当a>0时，解g，(x)=O,得x=a,

故当xe(O,a)时,g<x)<0,/'(尤)为减函数,当时用)，g'(x)>0,

f'(x)为增函数,所以/'⑺二=/'(a)=lna+2,

(i),当lna+2»0,即。2屋时，f'(x)>/'^>0,/⑺在(0,+。)上为增函数,

故“X)不存在极值点，

(ii).当lna+2v0,即Ovave、时,

2,2、2,r\

又因为0<幺<〃，所以rk=lnkH---nl=21na-ln2H---Fl,

22Jlaa

又由第(1)问知InxH---Fl>2,故21nad—22,所以/'1二~123—ln2>0,

xaI2J

又因为1>。，又r(l)=a+l>0,

所在eE]、，，，%2£(。，1)使得/'(X)=°，

且〃工)在(。，石)，(w,y)上为增函数，在(%,%2)上为减函数，

所以芯，4分别是丁=/(力的极大值点和极小值点，

综上所述，a的取值范围为(0,尸).

5.(2024・高三・浙江湖州•期末)已知函数/(x)=ln<ix+(ax—a-l)e*T-ax(a>0).

(1)是否存在实数a,使得函数/(x)在定义域内单调递增；

⑵若函数“X)存在极大值极小值N,证明：M+N<7.(其中e72.71828是自然对数的底数)

【解析】⑴因为a>0,则/(x)的定义域为工«0,收)，

广(%)二—F1+(QX-a-1_Q=—a+l)e"’1

进一步化简得：尸(2=(依-1)卜t-J

令g⑴=4一,g，(x)=j+5>。，则g(%)在x©(。,y)上单调递增，

且g(l)=0,所以xe(O,l)时，g(x)<0,xe(l,+8)时，g(x)>0

要使得/'(尤)单调递增，则「(“上。在xe(0,y)上恒成立

当a=］时一,尸(x)=-JN0恒成立

当0<“<1时，1<1,当时，/'(x)<。，不合题意

当”>1时，!<1,当xef尸(x)<0,不合题意

综上：a=l.

(2)由(1)可得a>0且awl,极值点为工与1,

a

(］、--1--i

以M+N=/(1)+fI—I-ln〃-1-〃+(-a)e"-1—ln〃-a-ae"-2

/、L/、1幻1、门Vi-i、

^^/z(a)=lriQ_a_ciQa_2,//(〃)=—1-ea_aca［——j——1J+1

当0<a<l时,〃⑷>0,〃(a)单调递增

当aZl时，〃(a)20,〃(a)单调递减，

所以/z(a)</z(l)=T,即Af+N<T成立.

6.(2024•云南大理•模拟预测)已知函数/(x)=a/-lnx,aeR.

⑴讨论函数"X)的单调性；

⑵设a>o,g(x)=/(x)+6x,且x=l是g(x)的极值点,证明：

⑴尤=1时，g(无)取得极小值；

(ii)lna+2b<0.

【解析】(1)函数/(x)=--1IU-的定义域为(。,+刈，求导得/(幻=2狈」=生二

XX

当aVO时，(。)<0恒成立，/⑺在(0,+⑹上单调递减，

当。>0时，由/'(x)<0,得0<工(叵，由广(幻>0,得x>叵,

2a2a

即函数/⑺在(0.叵)上单调递减，在(叵,80)上单调递增，

2a2a

所以当aWO时，函数/⑺在(0,+刈上单调递减，

当。>0时，函数Ax)在(0,叵)上单调递减，在(叵,+00)上单调递增.

2a2a

(2)函数且(%)=/(%)+法=以2-血+法的定义域为(0,+00),求导得g'(x)=2ax-，+b,

x

由x=l是g(%)的极值点,得g")=2〃—1+6=0,即。=1—2〃，

/.、，/、小I1c2tzx2+(l-2a)x—l(2ax+l)(x-1)

(i)g(x)=2ax----F1-2a=------------------------=-------------------，

XXX

而a>0,则当0vx<l时,g'(x)<O,g(x)单调递减，当x>l时，g'(x)〉O,g(无)单调递增，

所以当X=1时，g(x)取得极小值.

(ii)h{a)=Ina+2Z>=ln«+2-4a,a>0,求导得//⑷=1-4,

a

当0<a<，时，h\a)>o,当a>J_时，〃(“)<(),则函数/i(a)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递

4444

减，

因止匕//(a)<〃(；)=l-ln4<0,所以Ina+28<0.

7.(2024・高三・北京昌平•期末)已知函数〃x)=fe"-x+l.

(1)求曲线y=/⑺在(2,/(2))处的切线方程；

⑵设函数g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间;

⑶判断极值点的个数，并说明理由.

【解析】(1)由题意知/(x)=de2T-x+l,定义域为R,所以/(同=(-/+29/:1,

所以直线的斜率％=/'(2)=-1,八2)=3,

所以切线方程为>=T+5,即x+y-5=0.

(2)由(1)知8(%)=y(%)=(-彳2+2无)62-*-1,所以g'(x)=(*2_4x+2)e2T,

令g'(x)=O,即f-4x+2=0,解得x=2-0或尤=2+0，

当xe卜co,2-0),g'(x)>0,

当xe（2-0,2+@,g[x）＜0,

当xe（2+忘,+co）,g'（x）＞0,

所以g（x）在卜町2-忘），（2+夜,+8）单调递增，在（2-62+@单调递减.

（3）2个极值点，理由如下：

由（2）知当无＜2-后时，g（x）在区间卜叫2-a）上单调递增，

g（2-A/2）=（2-V2）e^-l＞|e-l＞0,g（0）=-l＜0,

所以存在唯一占e（0,2-虎），使g&）=0；

2--\/2＜%＜2+四时，g（x）在区间（2-0,2+0）上单调递减，

g（2-夜）＞0,g（2+&）＜g⑵=一1＜0,

所以存在唯一％e（2-&,2+&）,使81）=0；

当x＞2+0时，（一/+2了）＜0,e2T＞0,所以g（尤）=（一/+2了户-，一1＜。

所以g（x）在区间（2+忘,十00）无零点；

综上，当xe（fo,xj,g（x）=/'（x）＜0,

当X«4X2），g（x）=/'（x）＞。，

当x《X2，+co）,g（x）=r（x）＜0,

所以当尤=%时，/（X）取到极小值；当x=z时，/（X）取到极大值；

故“X）有2个极值点.

8.（2024・高三・北京房山•期末）已知函数〃x）=Y+a1e:

⑴当a=0时，求曲线y=/（x）在点。，/⑴）处的切线方程；

（2）当。=1时，求函数“X）的单调递增区间；

（3）若函数/（x）在区间（0,1）上只有一个极值点，求。的取值范围.

【解析】（1）当。=0时、/（尤）=・，则尸（力=」（：-1）,所以，/（l）=e,/'⑴=0,

故当0=0时，曲线y=/（x）在点（I/⑴）处的切线方程为y-e=o,gpy=e.

（2）当a=l时，〃x）=R+l卜=但芈，该函数的定义域为{巾#0},

）+2）-—（尤+1）1=（丁+尤-1）。',

由广々x),。，即/+x-l＞0,解得彳＜一^^或尤

因此，当a=l时，函数“X)的单调递增区间为卜巩-，叵J、［与^+刃］

(3)因为〃x)=R+a，e)则/'⑴"卜,二卜=("+「卜’

令g(x)=o?+x-l,因为函数〃x)在(0,1)上有且只有一个极值点，

则函数g⑺在(0,1)上有一个异号零点,

当a=0时，对任意的xe(O,l),g(x)=x-l＜0,不合乎题意；

当。＞0时,函数g(x)=^+xT在(0,1)上单调递增，

因为g(0)=_l＜0,只需g(l)=a＞0,合乎题意；

当。＜0时，函数g(x)的图象开口向下，对称轴为直线尤=-《＞0,

因为g(O)=T＜。，只需g⑴=a＞。，不合乎题意，舍去.

综上所述，实数。的取值范围是(0,+@).

2

9.(2024・高三•全国•专题练习)已知/(幻=］丁-2/+5+4,g{x)=e-^~x+f(x),

⑴若八刈在x=1+应处取得极值，试求c的值和/(%)的单调增区间；

(2)如图所示，若函数y=/(x)的图象在［a,0连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在ce(db),

使得尸(c)="?一"")，利用这条性质证明：函数＞=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

b-a

9.

【解析】（1）因为=-2/+6+4,贝!J/（尤）=2/—4x+c,

依题思9有f'（y+*\/2）=0>即c=-2（1+A/2）2+4（1+5/2）=—2.

2

=

以f(%)=§d—2f—2,x+4ff\x)2炉—4x-2,

令广(%)＞0,得x＜l—0或x＞l+0,

令八无)＜0,得1一垃＜工＜1+也,

所以了⑺在(-00』-应］和口+a,+00)上单调递增，在(I-应,1+后)上单调递减,

所以C=-2满足题意，同时，/(X)的单调增区间为和口+&,+00);

(2)猜想如下：

因为左=一"互表示的/(X)两端点连线的斜率,

而由题可知，〃力上必然存在点cw(a,6),使得其切线的斜率为左,即左=/'(c),

所以一定定存在ce(。，3,使得广(。)=要二以Q；

b-a

证明如下：

9

因为g(x)=e-/(x)=e-J-2X2-2X+4,

贝I]g'(x)=e，+e"+2x2-4x-2=e*+<+2(x-l)「-42£+2x0-4=2e-4.

由猜想可知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A,8,

在A8之间一定存在一点C(c,g'(c)),使得g'(c)=KAB,

又g'(x)±2e-4,故有K.B=g'(c)Z2e-4.

10.(2024.高二.浙江温州•阶段练习)已知函数〃x)=lnx+g尤2-a尤有两个极值点为/々(为<%2)，aeR.

(1)当。=|时，求/(%)-/(%)的值；

⑵若(e为自然对数的底数)，求/(%)-/(不)的最大值.

【解析】(1)易知函数"x)=lnx+g尤?-ax的定义域为(0,+%)，

则f(x)」+…/一依+1,

XX

因此可知当或xe(2,+⑹时，/'(x)>0；当年仁乂]时，广(“<0；

所以/'(X)在(0,；]和(2,+8)上单调递增，在2)上单调递减；

可得x=；和尤=2是函数的两个极值点，又占<%,所以％=^,毛=2；

所以可得/(%)-/(占)=/(2)-/(；]=ln2+2-5-[ln；+：-[]=21n2-3,

J\Zo4yo

即当a时，〃尤2)-〃％)=21n2-

2o

(2)易知〃%)-/。)=山"5(后一引一。(尤2一%)，

又/3=/一：+1,所以占,超是方程/一依+1=。的两个实数根,

由韦达定理可得玉+%=4X1X2=1，

=ln&_」*_x；)=ln卫_L_L(考一无;)=in%_，(三一土〕,

v77

x12%2x{x21再21玉％,

设匕=，，由z"为可得土=f2e,令g⑺=lnr-1卜-1］,

xi玉2vt)

则g，⑺3斗+：］=一R-<0,所以g⑺在［e,+s)上单调递减，

t21t)2%

可得g⑺海仁)=1-1，一］=1一“*,

N\CJ乙4c

故可知/(电)-/(%)的最大值为1-'+丁.

22e

11.(2024•高三・河南周口•阶段练习)已知函数/(x)=ae,i+ln尤-(a+l)x.

(1)当。=1时，证明：函数了⑺在(0,+8)上单调递增；

(2)若x=l是函数/(盼的极大值点，求实数。的取值范围.

【解析】(1)因为。=1,所以/(x)=e、i+lnx-2x,且知/'(x)=e*T+工-2,

x

要证函数/(X)单调递增，即证/'(X)*。在(0,+8)上恒成立，

设g(无)=/-+工-2,尤>0,贝Ug'(x)=ei-±,注意y=ei,y=-二在(0,+<»)上均为增函数，故g'(x)在

x尤-尤

(0,+8)上单调递增，且g'(l)=0,于是g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,他))上单调递增,g(x)上g⑴=0,即

因此函数/(x)在(。,+劝上单调递增；

(2)由f\x)=aex14----a—1,有f'(X)=0,

x

令h(x)=aex~l+--a-\,所以h'(x)=ae%-1-与，

xx

①当aW0时，h'(x)=ae--3<0在(0,+co)上恒成立，

因此/'(x)在(0,+8)上单调递减，

注意到广⑴=0,故函数Ax)的增区间为(0,1),减区间为(1,+8),

此时尤=1是函数/(X)的极大值点；

②当a>0时，y=ae"，y=-与在（0,+s）上均为单调增函数，

尤

故"⑺在（0,+功上单调递增，注意到“⑴=a-l,

若〃⑴<0,即0<a<1时，此时存在"（1,”），使〃（"）=0,

因此/'（x）在（0,n）上单调递减，在（"，叱）上单调递增，

又知/（1）=0,则/（X）在（0,1）上单调递增,在（L"）上单调递减,

此时尤=1为函数fM的极大值点，

若〃⑴>0,即a>l时，此时存在机e（0,l）,使/0）=0,因此/'（x）在（0,加）上单调递减，在（机,+8）上单

调递增，又知r⑴=0,则Ax）在（九1）上单调递减，在（1,+◎上单调递增，此时尤=1为函数/CO的极小值

点.

当。=1时，由（1）可知/（X）单调递增，因此x=l非极大值点，

综上所述，实数。的取值范围为

12.（2024•高三.辽宁朝阳•阶段练习）已知函数/•（耳=办2；.+4（4€1t）-

⑴若a=0,求函数〃