北师大版数学八年级上册 第一章 勾股定理-折叠路径最值等应用

北师大版八年级勾股定理折叠路径最值等应用

考点9平面展开图-最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下：

长方体

M1M2

类型一、圆柱形展开

【例23]如图是一个圆柱高8cm,底面半径为2cm的圆柱

（1）一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（n取3）是多少？

【变式1】在底面直径为3cm,高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的

最短长度为___cm.（结果保留加）

3

【变式2】如图，圆柱的高为4cm,底面半径为一切，在圆柱下底面的/点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面8处的食物，已

知四边形"比1的边40、比恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是（）cm

4_刍

A.5B.5"C.3+7D.3+乃

【变式3】如图，圆柱的底面周长为16,BC=12,动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S,则移动的最短距

离为（）

A.10B.12C.14D.20

【例24】图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16切，在容器内壁离容器底部4c©的点8处有一滴蜂蜜,

此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4M的点/处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20M,则该圆柱底面

周长为（）

【变式1】如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cll1,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好

在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）.

【变式2】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的4处有一滴

蜜糖，在玻璃杯的外壁，/的相对方向有一小虫尸，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是

()

A.J元厘米B.10厘米C.8&厘米D.8厘米

【变式3】如图，圆柱形容器的高为0.9m,底面周长为L2m,在容器内壁离容器底部0.3m处的点8处有一蚊子.此时，一

只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m.

类型二、几何展开

【例25］如图，长方体的长为15项，宽为10an,高为20c〃，点B距离C点5o»,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点力

爬到点B,则蚂蚁爬行的最短距离是—cm.

【变式1】如图，正方体的棱长为4谶，4是正方体的一个顶点，8是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上

爬行，从点4爬到点8的最短路径是（）

A.9B.3加+6C.2-/10D.12

【变式2】如图，长方体的高为9dm,底面是边长为6dm的正方形•一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点8,那么它爬行的最短

路程为（）

A.10dmB.12dmC.15dmD.20dm

【变式3】如图，在长方体透明容器（无盖）内的点6处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，

已知容器长为6CM,宽为4cm,高为3cm,点A距底部2。机，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）

A.2^29cmB.10cmC.6y/2cmD.4非cm

【变式4】如图，长方体的长为20cm,宽为15clli,高为10cm,点B离点C为5clli,一只蚂蚁如果要沿着长

方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）

A.5^29cmB.25cmC.cmD.16cm

类型三、楼梯展开

【例26］如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20血、3dm、2dm.4和8是这个台阶上两个

相对的端点，点/处有一只蚂蚁，想到点6处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点6的最短路程

为（）

A.7481/B.20dmC.25dmD.35dm

【变式1】如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，/、8是这个台阶上

两个相对的端点，/点有一只蚂蚁，想到8点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到8点最短路程是多少

米？

考点10勾股定理与折叠问题

【例27］如图，矩形纸片ABCD中，AB=8,将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10,当折痕的另一端F在AB边上

时，求AEFG的面积.

【变式1】如图，四边形ABCD是一个矩形，BC=10cm,AB=8cmo现沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，求：（1）

BF的长；（2）CE的长.

【变式2】在长方形4及力中，AB=5,BC=12,点£是边4?上的一个动点，把△物£沿班'折叠，点4落在4'处，当△/'施

是直角三角形时，%1的长为

【变式3】如图，矩形纸片加9中，AB=18ca,把矩形纸片沿直线/。折叠，点8落在点£处，AE交DC于息F,若加'=13,

则股的长为（)A.5cmB.6cmC.10cmD.12cm

D'

【变式4】如图，将一个边长分别为4,8的长方形纸片/四折叠，使。点与4点重合，则折痕"的长是（）

A.V3B.C.疾D.2>/5

【变式5】如图所示，在长方形纸片4?切中，AB=32cm,把长方形纸片沿4c折叠，点8落在点E处，熊交比■于点F,AF=

23cm,则4〃的长为（）A.16cmB.20cmC.24cmD.28cm

【例28］如图，在RtAABC中，ZC=90°.AC=8cm,5C=6cm.现将，ABC进行折叠，使点A恰好与点B

重合，求折痕DE的长.

【变式1】如图，直角三角形纸片的两直角边46=6颔，BC=8ca.现将直角边〃1沿4。折叠，使它落在斜边48上，点。与点

£重合.求⑦的长.

【变式2】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边/C=6的，BC=8cm,现将直角三角形纸片沿直线折叠，使点。恰好落

在斜边？上点£处.（1）求4?的长；（2）直接写出4£、龙的长及立质的度数；（3）求切的长.

考点11勾股定理是计算的工具，识别环境对同学们来说至关重要如果能够了解模型背后的结论，做题可以节省大量的时

间。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出现垂美四边形。

【例29】连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1,四边形四⑺

中线段4G线段他就是四边形4加9的对角线.把对角线互相垂直的四边形叫做；0

垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形4阅9中，AB=AD,"=切，间四边形/以力是

垂美四边形吗？请说明理由.

(2)性质探究：试探索垂美四边形/比Z?两组对边切的平方和与比；4。的平方和之间的数量关系.

猜想结论：(要求用文字语言叙述).

写出证明过程(先画出图形，写出已知、求证).

(1)问题解决：如图3,分别以的直角边4c和斜边A5为边向外作正方形4FG和正方

形ABDE,连接绥BG,GE,已知4C=4,AB=5,求而长.

图1图2图3

【变式1】如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)概念理解：如图2,在四边形加力中，AB=AD,"=切，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由;

(2)性质探究：如图1,四边形/腼的对角线亦、血交于点。，ACVBD.试证明：A#+Clf=Al}+BC；

(3)解决问题：如图3,中，ZACB=90°,AC±AG5.AC=AG,ABLAEV.AE=AB,连接龙、BG、GE.已知4=4,

49=5,求G£的长.

图1图2图3

【变式2】【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

【性质探究】如图1,四边形4?切是垂美四边形，试探究两组对边4ACD与BC,4?之间的数量关系，并证明你的结论;

【拓展应用】如图2,中，NACB=90°,分别以〃和A5为直角边向外作等腰RtzM0和等腰RtA4跖连接您,

若4C=4,AB=5,求加'的长.

【变式3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形ABCD,

角线AC、BD交于点0.若A£>=2,3C=4,则4序+。2=

考点13勾股定理与动点问题

【例32］如图，在双△<%■中，NB=90°,AB=lcm,4C=25aB.点尸从点力出发沿48方向以lc©/s的速度向终点£运动,

点。从点8出发沿况1方向以6c〃/s的速度向终点C运动，P,。两点同时出发，设点？的运动时间为2秒.(1)求死的长;

(2)当e=2时，求P,。两点之间的距离;(3)当/々的时，求f的值？

A

变式1如图，在RtzX/比中，NB=90°,AB=lcm,47=25颂，点？从点4沿4?方向以lc〃/s的速度运动至点昆点。从

点8沿比1方向以6c〃/s的速度运动至点GP、。两点同时出发，设运动时间为t秒.(1)求比的长；

(2)运动几秒后，△〃%是等腰三角形；(3)运动过程中，直线可能否平分△放的周长，若能，求出t的值，若不能，请

说明理由.

A

BQ

变式2如图，在RtA4比中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6an,动点尸从点B出发，以21W秒的速度沿比1移动至点C,

设运动时间为2秒.（1）求能的长；（2）在点尸的运动过程中，是否存在某个时刻t,使得点〃到边4?的距离与点？到点。

的距离相等？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

考点11利用勾股定理求两线段平方和（差）

【例30］如图，NAOB=90°,（M=9Qcm,03=30cm,一机器人在点8处看见一个小球从点/出发沿着4。方向匀速滚向点（9,机

器人立即从点£出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点。处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,

试求机器人行走的路程比■是多少？

【变式1】如图，在AABC中，AC=13,BC=14,AB=15,求物的值.某学习小组经过合作交流，给出了下面的

解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程.（1）过点A作AD_L3C交比于〃，设8D=x,用含x的代数式表

示CD,则CD=.

（2）请根据勾股定理，利用4?作为“桥梁”建立方程，并求出尤的值.

考点12、利用勾股定理求线段之间关系

【例31］如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°-。＞，"＞于点。，AD?+8＞2=2.2.求证45=3。.

【变式1】如图△ACB和..ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD，A4cB顶点A在，ECD的斜边OE

上，求证：AE2+AD2=2AC2-

【变式2】如图在，ABC中，NB=90。，点瓦尸分别在上，求证：AF2+CE2AC2