导数的恒成立、存在性问题-2025年北京高考数学二轮复习（原卷版）

重难点04：导数的恒成立、存在性问题

一、知识点梳理

L利用导数研究不等式恒成立问题的总方针：

1、构造函数法：令尸(x)"(x)-g(x),利用导数求得函数尸(X)的单调性与最小值，只需尸⑺晶20恒成

立即可；

2、参数分离法：转化为aN°(x)或aW0(x)恒成立,即心夕⑺一或三夕⑺二恒成立,只需利用导数求

得函数夕(力的单调性与最值即可；

3,数形结合法：结合函数y=f(力的图象在y=g(尤)的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.

2.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)\fx^D,m</(x)^m</(x)min；(2)VxeO,m>f{x)<^m>f^x)^-

(3)BxeD,〃/4〃。。机4/⑺厘；(4)BXED,m>f(x)<^m>

3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=〃x),x&[a,b\,y=g(x),x^[c,d\.

⑴若fe[a,6],Vx2G有/(石)<g(%)成立，则/⑺­<8⑺.；

⑵若％e[a,6],上2clc,d],有/(xj<g(x2)成立，则1mx<g(x)a；

(3)若叫e[a,6],3x2&[c,d],有/'&)<g(z)成立，则-⑺1ntoMg(x)1mx;

(4)若叫有〃％)=g(巧)成立,则〃x)的值域是g(x)的值域的子集.

4.恒成立与有解问题解法洛必达法则

一、问题指引

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或恒成立命题

时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现9型或艺型可以考虑使用洛必达法则。

000

二、方法详解

法则1：若函数/(X)和g(x)满足下列条件:⑴lim/(x)=0及limg(x)=0；

(2)在点a的去心邻域内，/(%)与g(x)可导且g'(x)wO；

/r(x)

⑶lim=

fg⑺

那么lim

ag⑴ig'(x)

法则2：若函数/(%)和g(%)满足下列条件：⑴lim〃％)=0及limg(x)=0；

00\700\7

(2)HA>0,7"(x)和g(x)在(YO,A)与(A+00)上可导，且g'(x)wO;

ZHi£H

那么lim=im=/

x—>00g(x)ig，(x)

法则3：若函数:(%)和g(x)满足下列条件：⑴=8及limg(x)=Q0；

XTCI\/\7

(2)在点a的去心邻域内,/(%)与g(x)可导且g'(x)wO；

fr(x)

⑶lim^-X=Z

5g(%)

那么lim

x-^ag(x)ig'(x

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:

L将上面公式中的x—a,xf8换成x—+8,x~>-8,%-%洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理-巴,0-oo,V0,oo°,0°,oo—oo型。

000--------------------------

3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足9jj0.ooJ_oo；0；oo-oo型定式，否则滥用洛必

000--------------------------

达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途

径求极限。

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

总结:

2/8

1.不等式恒成立或能成立题目。能分离参数成a(尤)或a<h(x),归结为求/z(x)的某个最值(或其极

限值)问题。常规方法不易求得最值或其极限值(往往多次求导后仍为超越结构)。可考虑在某个端点或断点

处应用洛必达法则求最值(或极限值)。

2.使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。

5.端点效应问题

含参函数恒成立问题中的求解参数范围问题n端点效应问题

(1)：什么是端点效应呢？

恒成立问题中，我们常常能见到类似的命题:“对于任意的xe[a,“，都有/(x)>0恒成立

中包含参数m)

这里的端点。涉，往往是使结论成立的临界条件，因此，如果能利用好这两个值，能为我们的解题提

供不少便利.比如对于上述的命题，我们就应该观察/"(a)和/伍)的取值.

这种观察区间端点值来解决问题的做法，我们称之为端点效应.

(2)：端点效应的三层心法

端点效应的核心思想是：利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该范围

即为所求.

根据端点处所满足的条件不同，我们将端点效应分为如下三层心法：

第一层心法一一利用原函数：若端点处函数值/"(a)和/伍)包含参数加，则根据恒成立条件在端点处也成

立.

故=V,解此不等式组即可缩小参数用的范围

f(a)>0

注意:由二><只是得到了关于参数范围的一个必要条件，接下来还需进行最

U(b)>0

值的讨论才能确定参数的精确范围.端点效应的核心价值在于：将参数范围缩小至一个较小的区间，可以

大大简化接下来的讨论过程.

第二层心法一一利用一阶导：若端点处函数值恰为0,即f(a)=O或/伍)=0,则此时有广(a)NO或

f(b)<0

注意：①/'(。)=0或/(。)=0这个结论并不能直接在解题中使用，虽然这个结论是对的，且大多数时候往

往就是题目的答案，选择题完全没有问题，大题需要侧面证明一下.

②对于此类端点效应型问题，在讨论时要牢记一点n不能分参，因为分参之后会出现?

0

00

或一型的极限，这是我们无法处理的，一旦需要处理只能求助洛必达法则.

oo

③在接下来的分类讨论中，我们要确两件事：1、在参数取值范围内，不等式恒成立；2、在取值范围外,

不等式不能恒成立.

/(«)=Of/(/;)=0

第三层利用二阶导：若端点处函数值和导数值均为0,即O则此时

r(a)=o

1r(a)N。或尸⑹20.

注意：①1r(a)»0或/不能直接在解题中使用，但我们可以由此猜出答案.

②同样的，不能分参，依然要采用整体分析的分析方法.

③在分类讨论中，同样要明确两件事：1、在参数取值范围内，不等式恒成立；2、在取值范围外，不等式

不能恒成立.

作为端点效应的终极大法，第二层心法的升级版，修炼起来自然有一定难度.与第二层心法最大的不同是，

我们需要求二阶导数，对二阶导数找到恰当的分点作分类讨论，并在每种情况下判断恒成立条件是否成立.

二、题型精刷精练

【题型训练-刷模拟】

1.己知函数/(x)=a尤+sinx,xe[0,7t].

⑴若a=-1,证明：/«<0；

(2)若f(x)40,求。的取值范围；

(3)若awO,记ga)=L/(x)-ln(_r+l),讨论函数g(x)的零点个数.

a

2.已知/(x)=(2x—l)e3—x在x=0处的切线方程为x+y+6=0.

⑴求实数。力的值；

(2)证明：/(尤)仅有一个极值点毛,且〃/)<-}

4/8

⑶若g(x)=(丘是否存在％使得g(力2-1恒成立，存在请求出％的取值范围，不存在请说明理

由.

3.3知函数="°+J—1,aeR.

(1)当。=0时，求曲线y=〃x)在点(0"(0))处的切线方程；

(2)当。＞0时，求〃x)的单调区间；

⑶在(2)的条件下，若对于任意xe[l,3],不等式;4/(力41+(成立，求。的取值范围.

4.已知函数/(x)=In(x-a)+2J3a-x(a＞0).

⑴若a=l,

①求曲线y=“X)在点(2,*2))处的切线方程；

②求证：函数/'(X)恰有一个零点；

⑵若vlna+2a对xw(a,3a)恒成立，求a的取值范围.

X（a，%）%(不，3。)

/'(尤)

+0-

/(尤)/极大

5.已知函数/(x)=ax-ln(l-x)(aeR).

⑴求曲线、="尤)在点(。,/(0))处的切线方程；

(2)若〃0士。恒成立,求a的值；

⑶若有两个不同的零点网，马，且匡-求a的取值范围.

6.已知函数/'(x)=xln(x-l).

(1)求曲线y=y(x)在x=2处的切线方程；

⑵设g(x)=/'(x),求函数g(x)的最小值；

(3)若/例＞2,求实数。的值.

x—a

7.已知函数/(x)=(l-依)e*(aeR).

⑴讨论〃x)的单调性；

(2)若关于x的不等式〃x)>a(l-x)无整数解，求a的取值范围.

8.已知函数/(彳)=《尤+J

⑴求的图象在点(L〃l))处的切线方程;

⑵讨论的单调区间;

⑶若对任意xe(l,”)，都有/(x)Wln2-l,求。的最大值.(参考数据：In2ao.7)

9.已知函数〃x)=e"+asinx-l(aeR).

⑴求曲线y=〃尤)在点(o,/(o))处的切线方程；

(2)若函数/(X)在无=0处取得极小值，求。的值，并说明理由.

(3)若存在正实数机，使得对任意的xe(O,,n),都有/'(x)<0,求。的取值范围.

10.已知函数/(x)=e"sinx-2x.

(1)求曲线y=〃尤)在点(0)(0))处的切线方程；

⑵求在区间[-1,1]上的最大值；

(3)设实数a使得/(无)+%>枇£对xeR恒成立，写出。的最大整数值，并说明理由.

al

e

11.已知函数=

y/x

(1)当。=1时，求函数/(X)在(1,『⑴)处的切线方程；

⑵求函数/(X)的单调区间；

⑶若对任意xc[l,+a>),都有/(尤)>\成立，求实数a的取值范围.

12.已知函数/(x)=xln%+62X+2.

⑴当a=0时，求/(%)的极值；

⑵若对任意的xe[l,e2],/(x)V0恒成立，求实数。的取值范围.

13.已知函数/(%)=%sinx+cosx.

6/8

⑴当元£(0,兀)时，求函数/(%)的单调区间；

(2)设函数8。)=一丁+2奴.若对任意不£[一兀，兀存在马€。11，使得成立，求实数°的

2兀

取值范围.

14.已知函数/(尤)=ln上之+乌.

2x

(1)当。=0时，求曲线y=在点(-1"(-1))处的切线方程；

(2)当。=-3时，求函数“X)的单调区间；

(3)当x<0时，恒成立，求”的取值范围.

Q2

15.已知函数/(%)=%+'-+〃Inx(awR).

x

⑴当a=l时，求曲线>=/(X)在点(1]⑴)处的切线方程；

(2)当了£[e,+oo)时，曲线y=/(x)在天轴的上方，求实数。的取值范围.

16.已知函数/(力=日/.

⑴当。=1时，求的单调区间和极值；

(2)当时，求证：/(x)<(o-l)x+l；

(3)直接写出。的一个取值范围，使得依2+(。-1卜+1恒成立.

17.设函数y(x)=e"-依一2.

⑴若曲线y=/(尤)在点(0,/(0))处的切线斜率为1,求实数a的值；

(2)求的单调区间；

(3)若a=l,左为整数，且当x>0时，(x—Q1(x)+x+l>0恒成立，求女的最大值.

1-2

18.已知函数/(%)=—ax+a----(。>0).

22x

⑴若a=l,求曲线y=〃尤)在点处的切线方程；

⑵若对任意xe[l,+e),都有求实数。的取值范围.

19.设函数/(无)=ln无+--,g(x)=ax-3.

X

(1)求函数0(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间;

(2)当。=1时，记〃(x)=〃x)g(x),是否存在整数X,使得关于尤的不等式2%.有解？若存在，请求

出4的最小值；若不存在，请说明理由.

20.已知函数/(x)=x(lnx+l).

(I)求函数的单调区间；

(II)求证：曲线y=/(x)在点(%,/(5))处的切线不经过原点；

(III)设整数左使得了(X"左卜-；]对比6(0,+8)恒成立，求整数上的最大值.

21.已知函数/(x)=e"一/一2双一l(awR)