北师大版七年级数学下册同步训练：平行线的判定和性质（10类热点题型）解析版

第02讲平行线的判定和性质（10类热点题型讲练）

学习目标

1.掌握同位角、内错角、同旁内角的位置关系;

2.掌握利用同位角、内错角、同旁内角判定判定两条直线平行的条件，并能解决一些问题;

3.掌握平行线的性质与判定的综合运用;

4.体会平行线的性质与判定的区别与联系.

思维导图

平行线的判定和性质

同位角、内错角、平行线的定义及表示平行公理及推论平行线的判定方法平行线的性质

同旁内角的概念

知识点01同位角、内错角、同旁内角的概念

1.同位角、内错角和同旁内角：

填空：⑴如图，/I和/5,分别在直线AB,CD的上方（同一方）,在直线EF的右侧（同侧）.具有这种

位置关系的一对角是同位角.

（2）如图，N3和N5,在直线A3,CD之间,在直线EP的西侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角.

（3）如图，/3和N6,在直线AB,CDZ（B],在直线跖的圆侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.

【总结】（1）同位角：在被截直线的同一方向，截线的圆侧的一对角.

⑵内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角.

（3）同旁内角：在被截直线的内侧,截线的同侧的一对角.

知识点02平行线的定义及表示

⑴定义：在同一平面内内,不相交的两条直线.

⑵表示：平行用“2”符号表示，读作“平行于”.

1.同一平面内，两条直线的位置关系：⑴壬后⑵相交

2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.

【注意】平行线的画法四字诀

1.“落”：三角板的一边落在已知直线上；

2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；

3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；

4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线.

知识点03平行公理及推论

⑴平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

⑵推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果c//a,那么b〃c.

【注意】平行公理

⑴“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.

⑵前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.

知识点04平行线的判定方法

平行线的判定方法1：

⑴文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角想笠，那么这两条直线平行.简单说成：同位角

相等,两直线平行.

⑵几何语言*

或者/4=/8,N3=/7）,

：.AB//_CD.

平行线的判定方法2：

⑴文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相笠，那么这两条直线平行.简单说成：内错角

相等,两直线平行.

⑵几何语言：

：/2=/8（或者N3=/5）,

：.AB//_CD.

平行线的判定方法3：

⑴文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互处，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内

角互补,两直线平行.

⑵几何语言：

VZ2+Z5=180°(或者N3+N8=180"),

：.XB//_CD.

平行线的其他判定方法：

⑴在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.

(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线壬立.

【总结】判定两直线平行的方法

方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.

方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

方法三：同位角相等，两直线平行.

方法四：内错角相等，两直线平行.

方法五：同旁内角互补，两直线平行.

方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.

知识点05平行线的性质

⑴文字表达：

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相篁，内错角相笠，同旁内角互补;

②简单说成：

两直线平行，同位角相等;

两直线平行，内错家相等;

两直线平行，同旁内角互补;

⑵几何语言表述：

已知，如图所示，若

则①同位角：N1=N£（或N2=N§,Z4=Z8,Z3=Z7）；

②内错角：/2=/8（或/3=/£）；

③同旁内角：Z2+Z5=180°（或/3+/芭=180°）.

题型精讲

题型01同位角、内错角、同旁内角的辨别

【例题】（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级校考期中）如图，下列结论正确的是（）

A.N5与N4是对顶角B.N1与N3是同位角C.N2与N3是同旁内角D.N1与N2是同旁内角

【答案】D

【分析】本题考查同位角同旁内角、对顶角，根据同位角、同旁内角、对顶角的定义进行判断，熟练掌握

各角的定义是解题的关键.

【详解】A、/5与N2+Z3是对顶角，故本选项错误，不符合题意；

B、N1与N3+N4是同位角，故本选项错误，不符合题意；

C、N2与N3没有处在两条被截线之间，故本选项错误，不符合题意；

。、N1与N2是同旁内角；故本选项正确，符合题意；

故选：D.

【变式训练】

1.（2023上•四川巴中•七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①N1和N4是

同位角；②/3和N5是内错角；③N2和/6是同旁内角；④N5和N2是同位角；⑤N1和/3是同旁内角；

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②④⑤

【答案】D

【分析】本题考查了同位角、内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、同位角以及同旁内角的定义寻

找出各角之间的关系，再比照五种说法判断对错，即可得出结论.

【详解】解：根据内错角、同位角以及同旁内角的定义分析五种说法.

①N1和N4是同位角，即①正确；

②N3和N5是内错角，即②正确；

③N2和/6是内错角，即③不正确；

④N5和N2是同位角，即④正确；

⑤N1和N3是同旁内角，即⑤正确.

故选：D.

2.（2023下•广东河源•七年级期中）如图，a,b,c三条直线两两相交，下列说法错误的是（）

A.N1与N2是同位角B.N2与N4是内错角

C.23与N4是对顶角D.N1与N3是同旁内角

【答案】B

【分析】本题考查相交直线所成相关角的概念，解答关键是熟知同位角、内错角、同旁内角、对顶角的相

关概念和判断方法.

【详解】解：A.N1与/2是直线纵直线6被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意；

B.N2与/4是直线八直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项8符合题意；

C.23与N4是对顶角，因此选项C不符合题意；

D.N1与23是直线从直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项。不符合题意；

故选：B.

题型02同位角相等，两直线平行

【例题】根据要求完成下面的填空：

如图，直线A3,CO被政所截，若已知Nl=/2.

vZ2=Z3（）,

又•.•N1=N2（已知），

.-.Z=Z______,

0//（）.

【详解】vZ2=Z3（对顶角相等）,

又•.•N1=N2（已知），

:.Z\=Z3,

:.AB//CD（同位角相等，两直线平行），

故答案为：对顶角相等，1,3,AB.CD,同位角相等，两直线平行.

【变式训练】

1.请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：

如图，AB±BC,Z1+Z2=90°,Z2=Z3,仍与。尸平行吗？为什么？

^ABIBC（已知），0ZABC=°

即N3+N4=°（）

又回4+/2=90。（）,

且—2=13（已知）

0Z1=Z4（）

^BE//DF（）

【详解】解：BE//DF.理由如下：

SAB1BC（已知），SZABC=90°,

即N3+N4=90。（等量代换）

又回4+/2=90。（已知），

且/2=N3（已知）

0Z1=Z4（等角的补角相等）

@BE〃DF（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：90,90,等量代换，已知，等角的补角相等，同位角相等，两直线平行.

2.如图，已知AC_LAE,BD±BF,Z1=35°,Z2=35°.AC与BD平行吗？AE■与班'平行吗？阅读下

面的解答过程，并填空或填写理由.

解：AC与3D平行；AE与8尸平行，理由如下:

Z1=35°,N2=35°

Z1=Z2

()//()()；

又；ACYAE

ZEAC=90°

■.ZEAB=ZEAC+Z1=()。

同理可得NFBG=NFSD+/2=()。

0()//()().

【详解】解：AC与平行；AE与8尸平行，理由如下：

Z1=35°,Z2=35°

Z1=Z2

AC//同位角相等，两直线平行)；

又；ACYAE

Z£AC=90°

ZE4B=/EAC+4=125°

同理可得/FBG=ZFBD+/2=125°

AE〃'(同位角相等，两直线平行).

题型03内错角相等，两直线平行

【例题】如图，EF交AD于O,交AD于A,CD交于。，Z1=Z2,N3=24,试判断A3和CD

的位置关系，并说明为什么.

【详解】解：AB//CD.

理由：•.•N1=N2,N3=/4,/2=/3,

.-.Z1=Z4,

^AB//CD.

【变式训练】

1.推理填空：

已知：如图AB上3C于B,CD,3c于C,Z1=Z2,求证：BE//CF.

A

证明：^ABIBC^B,CO_L3C于C（已知）

0Z1+Z3=9O°,N2+N4=90°

EINI与N3互余，N2与N4互余

X0Z1=Z2J）,

0_=_（_）

SBE//CF（_）.

【详解】解：^ABIBC^B,CO,3c于C（已知）

回/1+/3=90°,Z2+Z4=90°

EIN1与/3互余，N2与N4互余

又国/1=/2（已知）,

国/3=/4（等角的余角相等）

0BE//CF（内错角相等，两直线平行）.

2.如图，直线C。、所交于点。，OA,08分别平分NCOE和NDOE,已知Nl+N2=90。，且N2：N3=2：5.

⑴求/3。尸的度数；

⑵试说明AB〃CD的理由.

【详解】（1）回Q4,03分别平分/COE和ZDOE,

0ZAOE=ZAOC=-ZCOE,Z2=ZBOE=-ZDOE,

22

0ZCOE+ZDOE=180°,

0Z2+ZAOC=9O°,

I3ZCOE=Z3,

mZA0C=-Z3,

2

0Z2+-Z3=9O°,

2

团N2：N3=2：5,

0Z3=-Z2,

2

0Z2+ix-Z2=9O°,

22

0/2=40°,

0Z3=1OO°,

团NB。尸=N2+N3=140°；

(2)0Z1+Z2=9O°,N2+NAOC=90°,

0Z1=ZAOC,

ElAB〃CD.

题型04同旁内角互补，两直线平行

【例题】如图，已知直线AB、CD被直线E尸所截，GE平分4£下，GF平分NEFC,Zl+Z2=90°,AB//CD

吗？为什么？

解：I3GE平分上4£尸，GF平分NEFC(已知)，

0ZAEF=2N,ZEFC=2N,

^ZAEF+ZEFC=(),

0Z1+Z2=9OO(),

团ZAEF+NEFC=°,

^AB//CD.

【详解】解：•；GE平分NAEF,GF平分NEFC(已知),

.-.ZAEF=2Z1,ZEFC=2N2,

ZAEF+ZEFC=2(Z1+Z2)(等量代换)

vZl+Z2=90o(已知)，

ZAEF+ZEFC=180°,

AB//CD.

【变式训练】

1.如图，Zl=60°,Z2=60°,Z3=120°.

A

DE

试说明。石〃BC,。/〃A3,根据图形，完成下列推理:

0Z1=6O°,Z2=6O°（已知）

0Z1=Z2（等量代换）

B//（）

团4员。石相交，

0Z4=Z1=6O°（）

0Z3=12O°

0Z3+Z4=18O°

回一〃_（）

【详解】团4=60。,/2=60。（已知）

0Z1=Z2（等量代换）

BDE//BC（同位角相等，两直线平行）

0AB,OE相交，

0Z4=Z1=6O°（对顶角相等）

团/3=120°

EIZ3+Z4=180o

0DF"AB（同旁内角互补，两直线平行）

故答案为：DE,BC,同位角相等，两直线平行；对顶角相等；DF,AB,同旁内角互补，两直线平行.

2.完成下面的证明.

已知：如图，直线。，b,c被直线/所截，Zl+Z2=180°,Z1=Z3.求证：b//c.

证明：0Z1+Z2=18O°,

Ela〃().

EIZ1=Z3,

Sa//().

^b//c().

【详解】证明：HZ1+Z2=18O°,

^a//b（同旁内角互补，两直线平行）.

0Z1=Z3,

Bia//c（同位角相等，两直线平行）.

Blb//c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.

题型05平行线及平行公理

【例题】如图，已知直线a,b,c被d所截，且a〃6,N1=N2.试说明：b//c.

解:因为N1=N2（已知）

Z1=Z3（）

所以N=N（等量代换）

所以//（）

又因为（己知）

所以//（）

【详解】解：因为N1=N2（已知）

Z1=Z3（对顶角相等）

所以N2=N3（等量代换）

所以2〃c（同位角相等，两直线平行）

又因为。〃6（已知）

所以心〃£（平行于同一直线的两条直线互相平行）

【变式训练】

1.如图所示，直线AB,CD相交于点O,OD平分NEOB,O尸平分/AOE,GHLCD,垂足为点”，GH

与尸。平行吗？说明理由.

【详解】解：GH//FO,理由如下:

回。。平分/反归，O尸平分NAOE,

0NEOD=-ZEOB,/EOF=-ZAOE,

22

ZAOE+ZEOB=180°,

aZEOD+ZEOF=90°,即尸O_LCD,

◎GHLCD,

0GH〃FO.

2.如图，AB1MN,CD工MN,垂足分别是8,D,NFDC=NEBA.

⑴判断CD与AB的位置关系；（不需要证明）

⑵求证：DF//BE.

【详解】（1）解：^ABIMN,CD±MN,

^\CD//AB.

（2）证明：-.-ZFDC=ZEBA,ZCDM=ZABM=90,

ZCDM-ZFDC=ZABM-ZEBA（等式的性质），

即ZFDM=ZEBM,

DF//BE（同位角相等，两直线平行）.

题型06添加一条件使两条直线平行

【例题】（2023下•黑龙江牡丹江,七年级统考期末）如图，写出能判定CD的一个条件（写出

一个即可）.

【答案】NEAB=NC（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了平行线的判定.要判断AB〃CD,要看它们的截线所构成的“三线八角"图中各角

的位置关系，根据平行线的判定定理解答即可.

【详解】解：0Z£AB=ZC,0AB//CD（内错角相等，两直线平行）；

0ZC4B+ZC=18OO,0AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）；

0ZB=ZD,^AB//CD（内错角相等，两直线平行）；

0ZCDB+ZS=18O°,^AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）；

故答案为：ZEAB=ZC（答案不唯一）.

【变式训练】

1.（2023下•江苏苏州•七年级校考阶段练习）如图，在下列四组条件中：①4=/2,②N3=/4,③

ZBAC=ZACD,（4）ZBAD+ZABC=180°,能判定AD/BC的是.（填序号）

【答案】①②④

【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断即可解答.

【详解】解：①4=N2,能判断AD/3C,故此选项符合题意；

②•.•/3=/4,，AD〃3C,故此选项符合题意；

®-.-ZBAC^ZACD,:.AB//CD,故此选项不符合题意；

（4）•.­ZBAD+ZABC=180°,:.AD//BC,故此选项符合题意，

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了平行线的判定条件，即内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内

角互补，两直线平行，熟知上述判定条件是解题的关键.

2.（2023下•山东德州•七年级校考阶段练习）如图，已知直线族，MN,垂足为且4=140。，若增加

一个条件使得AB//CD,试写出一个符合要求的条件.

【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可.

【详解】解：可以添加条件N2=50。，

团EF_LMN,

团区=90。，

团ZBFM=900+50°=140°,

ZAFN=ZBFM=140°f

^ZAFM=Z1,

^\AB//CD.

故答案为：Z2=50°.（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定，内错角相等，两直

线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

题型07根据平行线的性质求角度

【例题】（2023下•新疆阿克苏•七年级校考期末）如图，AB//CD,直线所分别交A3、8于点E、F,

【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义结合平角的定义即可求解.

0Z3=Z1=35°

EIEG平分，AEF

0Z3=Z4=35°

团N2=180°—35°—35°=110°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、求出N3=4=35。是关

键.

【变式训练】

1.（2023下・浙江金华•七年级校联考期末）如图，点E在8C的延长线上，连接DE,作NCED的角平分线

分别交线段A。，DC于点尸，点G,已知AB〃CD,AD//BC.

AFD

⑴试说明NMD=2NDEE；

⑵若ZB=105。，ZDFE=28°,求NCDE的度数.

【答案】⑴见解析

(2)ZCDE=19°

【分析】⑴根据角平分线的性质得出NB£»=2NB£F，根据平行线的性质可得NDFE=NB£F；

(2)根据平行线的性质可得"CE=N3=105。，根据平行线的性质得出NADC=4>CE=105。，

ZAD£+ZBED=180°,根据(1)的结论得出NBED=2NOfE=56。，ZADE=180°-ABED=124°,进而

根据NCDE=NADE-NADC,即可求解.

【详解】(1)解：S1EF平分NCED,

SZBED=2ZBEF,

BAD//BC

^ZDFE=ZBEF,

(2)解：^AB//CD,ZB=105°,

0ZDCE=ZB=105°,

SAD//BC,

ElZADC=Z.DCE=105°,ZADE+ZBED=180°.

ZDFE=28°,

0NBED=2NDFE=56°,

0ZADE=180O-ABED=124°,

0ZCDE=ZADE-ZADC=124°-105°=19°.

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

2.(2023下,贵州黔南•七年级统考期末)如图，已知AB〃CD,AD//BC,ZDCE=90°,点E在线段AB

上，N/CG=90°，点尸在直线AD上，ZAHG=90°.

⑴图中与一。相等的角有

⑵若NECF=25。,求NBCD的度数；

⑶在(2)的条件下，点。(点。不与8,"两点重合)从点8出发，沿射线BG的方向运动，其他条件不

变，求NB4F的度数.

【答案】⑴NOCG,NECF,ZB

(2)155°

⑶25。或155。

【分析】(1)根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与“相等的角；

(2)根据/瓦户=25。，ZDCE=90°,可得？/CD65?,再根据N5c/=90。，即可得到

?BCD65?90?155?；

(3)分两种情况讨论：当点C在线段9上；点。在初延长线上，根据平行线的性质，即可得到NB4方

的度数为25。或155。.

【详解】(1)解：・・・AD〃5C,

:.ZD=ZDCG,

vZFCG=90°,NDCE=90。,

ZECF=ZDCG,

：.ZD=ZECF,

­.•AB//DC,

:.ZDCG=ZB,

..ZD=NB；

・•・与/。相等的角为NOCG,/ECF,NB；

(2)解：・.ZECF=25。,NDCE=90。,

ZFCD=65°f

QN3c/=90。，

/.ZBCD=650+90°=155°；

(3)解：分两种情况进行讨论：

①如图。，当点。在线段5”上时，点尸在ZM的延长线上，此时NECF=ZDCG=ZB=25。，

•：AD〃BC,

.\ZBAF=ZB=25°；

②如图4当点。在5"的延长线上时，点尸在线段AD上.

・・・N5=25。，AD//BC,

ZBAF=180°-25°=155°,

综上所述，NB4尸的度数为25。或155。.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题关键.

题型08平行线的性质在生活中的应用

【例题】（2023下,全国•七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A,B,C三处经过

三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即CD）,若NA=100。，ZB=160°,则NC

【答案】120。/120度

【分析】首先过8作3尸〃AE,根据AE〃CD,可得AE〃班'〃CD,进而得到NA=NAB尸,

ZFBC+ZC=180°,然后可求出NC的度数.

•.♦ZA=100°,

ZABF=ZA=100°,

XvZABC=160°,

ZFBC=160°-100°=60°,

■：AE//CD,

:.FB//CD,

,-.ZC=l800-ZFBC=180°-60°=120°,

故答案为：120。.

【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.

【变式训练】

1.（2023上•福建泉州•七年级统考期末）光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射

现象.如图，水面与底面所平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线8C射到水底C

处射线X3。是光线的延长线，4=60。，N2=43。，则的度数为.

【答案】17。/17度

【分析】由平行线的性质可知N/监C=Z1=60°,再根据对顶角相等得出N的9=Z2=43°,最后由

ZDBC=ZMBC-N侬求解即可.

【详解】解：0MN〃EF,

0NMBC=Z1=60°.

0ZMBD=Z2=43°,

02DBC=AMBC-AMBD=17°.

故答案为：17。.

【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等.利用数形结合的思想是解题关键.

2.（2023下•江苏苏州•七年级苏州市立达中学校校考期中）图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的

示意图，支架AB、8C为固定支撑杆，灯体是CO,其中A3垂直地面于点A,过点C作射线CE与地面平

行（即CE//D,已知两个支撑杆之间的夹角ZABC=140°，灯体CD与支撑杆之间的夹角/DCB=80。，

则NQCE的度数为.

D.

E-

A

水平地面

图1图2

【答案】30。/30度

【分析】过点5作B/〃CE.先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出NC3/，再利用平行

线的性质和角的和差关系求得结论.

【详解】解：过点8作3尸〃CE.

-,-CE//1,

.-.ZABF=XI=90°.

ZABC=140°,

ZCBF=140°-90°=50°.

■.■BF//CE,

:.ZECB=Z.CBF=5CP.

ZDCE=ZDCB-ZBCE

=80°-50°

=30°.

水平地面

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质和角的和差关系是解决本题的关键.

题型09平行线的性质与判定综合应用

【例题】（2023上•吉林长春•七年级统考期末）【感知探究】（1）如图①，已知，AB//CD,点M在A3上,

点N在CO上.求证：AMEN=ZBME+ZDNE.

【类比迁移】（2）如图②，NF、NBMF、ZDNF的数量关系为（不需要证明）

【结论应用】（3）如图③，已知ZBAC=120°,ND=80。，贝|NACD=_°.

F

图①图②图③

【答案】(1)见解析；(2)NF=NBMF-ZDNF；(3)20

【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键.

(1)过点E作跖〃钻，根据平行线的性质可求解；

(2)如图②，过F作根据平行线的性质即可得到结论；

(3)如图③，过C作CG〃钿，根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】(1)证明：如图①，过点£作跖〃钙，

又

SEF//CD,

:.ZNEF=ZDNE,

ZMEN=ZMEF+ZNEF,

即/MEN=/BME+NDNE；

(2)解：NBMF=ZMFN+4FND.

证明：如图②，过歹作厂K||AB,

图②

:.ZBMF=ZMFK,

⑦AB〃CD,

^\FK\\CD,

.\ZFND=ZKFN,

.•.ZMFN=ZMFK-ZKFN=ZBMF-ZFND,

即：ZBMF=ZMFN+ZFND.

故答案为：ZBMF=ZMFN+AFND-

(3)如图③，过C作CG〃AB,

ZGCA=180°-ABAC=60°,

SAB//DE,

国CG〃DE,

Z.GCD=NCDE=80°,

.-.ZACD=20°,

图③

故答案为：20.

【变式训练】

1.（2023上•湖南岳阳,八年级校考开学考试）如图，Z1=Z2,ZBAE=ZBDE,点尸在DE的延长线上,

点C在AB的延长线上，且平分ZBEF.

⑵若NA4E=40。，求NEBD.

【答案】⑴见解析

（2）40°

【分析】（1）根据对顶角相等结合题意推出NABE=N1，根据"同位角相等，两直线平行"即可判定AB〃OE；

（2）根据平行线的性质结合题意推出Z4£F=NBDE,即可判定短〃8。，根据平行线的性质及角平分线的

定义求解即可.

【详解】⑴证明：B\ZABE^Z2（对顶角相等），又N1=N2（已知），

0ZABE=Z1（等量代换），

BiAB//DE（同位角相等，两直线平行）；

（2）解：由（1）已证可得：ZBAE=ZAEF=40°（两直线平行，内错角相等），

又也NBAE=NBDE,

^ZAEF=ZBDE（等量代换）,

SAE//BD（同位角相等，两直线平行），

SZAEB=ZEBD（两直线平行，内错角相等），

又EIEA平分ZBEF,

^ZAEB=ZAEF,

0Z.EBD=ZAEB=ZAEF=ZBAE=40°,

0Z£BD=4O°.

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.

2.（2023下•江苏泰州•七年级校考期中）如图，在AABC中，点。、F在边上，点E在AB边上，点G在

AC边上，E尸与GD的延长线交于点H,ZBDH=ZB,ZAEH=ZADH.

⑴即与AD平行吗？为什么？

⑵若NH=40。，求/&ID的度数.

【答案】⑴平行，见解析

（2）40°

【分析】（1）EH//AD,理由如下：由己知条件，ZBDH=ZB,根据平行线的判定可得⑷5〃G”,根据平

行线的性质得44D+ZAZ汨=180。，等量代换得到Z&W+ZA£H=180。，即可得出答案；

（2）结合（1）根据平行线的性质即可得解.

【详解】（1）EH//AD,理由如下：

■.ZBDH=ZB,

:.AB//GH,

ZBAD+ZADH=180°,

ZAEH=ZADH,

.-.ZBAD+ZAEH=180°,

:.EH//AD;

（2）■.■ZBAD+ZADH=180°,

5L-.-EH//AD,

.-.ZH+ZADH=18Q°,

:.ZH=ZBAD,

■.■ZH=40°,

:.ZBAD=40°.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键.

题型10根据平行线的性质与判定探究角的关系

【例题】（2023下•浙江•七年级专题练习）如图，已知直线且％和小4分别交于48两点，点P在

直线上.

（1）4、N2、N3之间的关系为；

（2）如果点尸在A、2两点之间运动时，4、N2、N3之间的关系为；

⑶如果点尸（点尸和A、2不重合）在A、B两点外侧运动时，4、N2、N3之间关系为

【答案】⑴N1+N2=N3

（2）Z1+Z2=Z3

（3）Z1-Z2=Z3^Z2-Z1=Z3

【分析】本题考查了平行线性质：两直线平行，内错角相等，平行于同一直线的两条直线平行.

（1）过点尸作PQ〃4,如图1,由于4〃/2,则尸。〃4,根据平行线的性质得N1=N4,Z5=Z2,所以

Z1+Z2=Z3；

（2）由（1）中的证明过程，可知4、N2、N3之间的关系不发生变化；

（3）根据题意，画出图形，分点尸在A3延长线上和点尸在班延长线上两种情况；利用平行线的性质可推

出4、Z2,N3之间的关系.

【详解】（1）解:如图1,过点P作PQ〃/一

回户。〃/1,

0Z1=Z4（两直线平行，内错角相等），

团尸。〃/1，4〃4（已知），

团尸。〃/2（平行于同一条直线的两直线平行），

0Z5=Z2（两直线平行，内错角相等），

0Z3=Z4+Z5,

0Z1+Z2=Z3（等量代换）;

故答案为：/1+N2=N3；

(2)解：由(1)的证明过程知，Zl、N2、N3之间的关系不发生变化;

故答案为：Z1+Z2=Z3；

(3)解：过点P作尸2〃4，

飘〃4，

团PQ〃/2〃小

当点P在A3延长线上时，如左图

贝上2=14,?11CPQ?3?4

0Z1=Z3+Z2,

BPZ1-Z2=Z3；

当点尸在54延长线上时，如右图,

国PQ〃/2〃4，

fflZl=Z4,?21DPQ?3?4,

0Z2=Z3+Z1,

BPZ2-Z1=Z3；

综上，Z1-Z2=Z3Z2-Z1=Z3.

故答案为：Z1-Z2=Z3^Z2-Z1=Z3.

【变式训练】

1.（2023上•黑龙江佳木斯•八年级校考开学考试）如图，已知尸，NA=60。，点P为射线AE上任意

一点（不与点A重合），BC,分别平分NABP和/尸3F,交射线AE于点C,点。.

(1)图中NCBD=°；

⑵当NACB=/ABD时，ZABC=°；

⑶随点尸位置的变化，图中NAPB与NAZ汨之间的数量关系始终为,请说明理由.

【答案］⑴60

(2)30

⑶不变，2：1

【分析】(1)根据角平分线的定义只要证明即可；

(2)想办法证明ZABC=ZCBP=NDBP=ZDBF即可解决问题；

(3)不变.可以证明NAPS=NPBF,ZADB=ZDBF=ZPBF.

【详解】(1)解：•.•AE〃BF,

ZABF=180°-ZA=120°,

又,：BC,3D分别平分NAB尸和NPM,

Z.CBD=ZCBP+ZDBP=|(ZABP+NPBF)=ZABF=60°,

故答案为：60.

(2)-.-AE//BF,

:.ZACB=ZCBF,

又•：ZACB=ZABD,

ZCBF=ZABD,

ZABC=ZABD-ZCBD=ZCBF-ZCBD=ZDBF,

ZABC=ZCBP=ZDBP=ZDBF,

ZABC=|ZCBD=30°,

故答案为：30.

(3)不变.理由如下：

AE//BF,

:.ZAPB=APBF,ZADB=ZDBF,

又•：BD平货/PBF,

:.ZADB=NDBF=gNPBF=g/APB,^ZAPB：ZAD3=2：1.

故答案为2：1.

【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属

于中考常考题型.

2.（2023下•浙江杭州•七年级校联考阶段练习）如图，已知直线即与直线45,直线。分别交于点E,F,

平分NAEF交直线C。于点M,且NFEM=NFME.

⑵点G是射线MD上的一个动点（不与点尸重合），团平分NEEG交直线8于点”，过点H作“

交直线AB于点N,设NEHN=a,NEGF=B.

①点G在点尸右侧，且£=70。，求c的度数；

②点G在运动过程中，&和4之间有怎样的数量关系？请写出结论.

【答案】⑴见解析

（2）①55。；②，=2a或£=180°-2a

【分析】（1）由角平分线的定义即得出=,结合题意可证明ZA£M=4ME,即得出AB〃CD；

（2）①EH平分NFEG和HN〃EM,可得NEHN=NHEM=/HEF+/FEM,从而得到

NEHN=NHEF+NFME=a,再由NEGE=180。一/孙花—NG邱/,可得£=180。-20,即可求解；②分

两种情况讨论：当点G在点下的右侧，当点G在点尸的左侧时，即可求解.

【详解】（1）证明：EI£M平分NAEF,

团NAEM=NFEM.

y^NFEM=NFME,

SZAEM=ZFME,

0AB“CD；

团E”平分NFEG,

^\ZHEF=ZHEGf

出HN〃EM,

团^EHN=ZHEM=ZHEF+Z.FEM,

⑦ZFEM=NFME,

国NEHN=/HEF+NFME=a,

^\ZEGF=1800-ZFME-ZGEM=1800-ZFME-ZFEM-2ZHEF=180°-2(ZFME-^ZHEF),

团/=180。一2a,

070=70°,

团70。=180。—2a,

解得a=55。.

②a和4之间的数量关系为月=2。或/?=180。-2a.理由如下：

当点G在点尸的右侧，由(2)得a=180。-26

当点G在点方的左侧时，如图2,

团平分NFEG,

^ZHEF=ZHEG,

田HN〃EM,

⑦ZEHN=ZHEM,

©ZFEM=NFME,

⑦NEGF=/FME+NGEM=NFEM+NGEM=NGEM+2NHEG+NGEM=2(/GEM+NHEG)=2/HEM,

⑦NEGF=2/EHN,

即Z?=2。，

综上所述，。和£之间的数量关系为6=2。或，=180。-2a.

【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键.

强化训练

一、单选题

1.（2023下•云南昭通•七年级统考阶段练习）如图，下列条件不能判定9〃8的是（）

A.Z1=Z3B.Z3=Z5C.Z1+Z2=18O°D.Z1=Z5

【答案】B

【分析】根据平行线的判定定理，对各项逐一进行判断即可.

【详解】解：44=N3,根据同位角相等，两直线平行可判定钻〃CD,故此选项不符合题意；

B、Z3=Z5,对顶角相等，不能判定A3〃8,故此选项符合题意；

C、Zl+Z2=180°,根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB〃CD,此选项不符合题意；

D、Z1=Z5,根据内错角相等，两直线平行可判定故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是正确识别"三线八角"中的同位角、内错角、同旁内角，

不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才

能推出两被截直线平行.

2.（2023下•广东江门,七年级统考期末）如图所示，以下说法错误的是（）

A.N1与N2是同位角B.N4与23是同位角

C./5与N3是内错角D.N4与/5是同旁内角

【答案】C

【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可.

【详解】解：A、N1与N2是同位角，正确，不符合题意；

B、N4与/3是同位角，正确，不符合题意；

C、N5与/3不是内错角，错误，符合题意；

D、N4与/5是同旁内角，正确，不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角，解答的关键是理解定义：如果两条直线被第三条直线所截

所形成的的角，在两条被截直线之间且在截线两侧的两个角互为内错角；在两条被截直线同一方且在截线

同侧的两个角互为同位角；在两条被截线之间且在截线同侧的两个角互为同旁内角.

3.（2023上•陕西铜川•八年级统考期末）如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（）

A.^AD//BC,:.ZBAD+ZD=18O°（两直线平行，同旁内角互补）

B.-.-AB//CD,:.ZBCD+ZABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）

C.vZl=Z3,:.AB//CD（内错角相等，两直线平行）

D.-.-ZDAM=ZCBM,..AD//BC（同位角相等，两直线平行）

【答案】A

【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，利用平行线的判定方法与性质逐一分析即可得到答案，熟记

平行线的判定方法与平行线的性质是解本题的关键.

【详解】解：回.•.NB4D+NABC=18O。（两直线平行，同旁内角互补），故A符合题意；

-.-AB//CD,ZBCD+ZABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），故8不符合题意；

vZl=Z3,:.AB//CD（内错角相等，两直线平行），故C不符合题意；

ZDAM=ZCBM,..AD//BC（同位角相等，两直线平行），故D不符合题意；

故选A

4.（2023上•陕西榆林•八年级校考期末）如图，直线。〃6,直线/与直线。相交于点P,与直线b相交于点

A.35°B.55°C.125°D.145°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线性质，根据两直线平行，同位角相等，平角的定义计算即可.

【详解】如图，0a"b,4=55。，

团/3=/1=55°,

M-

a

团N2+N3+N4=180°,N4=90°,

团N2=180°—N3—N4=35°,

故选A.

5.（2023上•四川宜宾•七年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）如图，已知：AB//CD,CD//EF,AE

平分ZBAC,ACVCE,有下列结论：①AB〃跖；②2N1-N4=90°；③2N3-N2=180°；④

N3+；/4=135。.结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D4个

【答案】D

【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②“'1您所以/2+/4=90。，然后根据两直线平行同旁

内角互补可得N2+N54C=180。，即N2+2/l=180。，联立可求得结果；③根据/1+/3=180。以及

2?1?2180?,可求得结果；④根据/2+/4=90。即2?1?2180?以及4+/3=180。，可求得结果.

【详解】解：^\ACLCE,

0/2+/4=90°,

EIAE平分NBAC,

SZBAE=ZCAE=Z1,即/BAC=2/1,

(1)^AB//CD,CD//EF,

SAB//EF,

故①正确；

②团AB，C£）,

0Z2+ZBAC=18O°,

0/2+2/1=180°,即/2=180°—2/1,

0/2+/4=90°,

[S180o-2Zl+Z4=90o,

即2Z1-Z4=9O°,

故②正确；

③由①可得AB〃EF,

EIZBAE+Z3=180o,

EIZl+Z3=180o,即/1=18O°-N3,

又AB〃CD,

0ZBAC+Z2=18O°,

即2?1?2180?,

将/1=180。一/3代入2?1?2180?,

化简可得：2N3—N2=180。，

故③正确；

④0/2+/4=90°,2?1?2180?,

02Z1-Z4=9O°,

团/1+/3=180。，

0Z3+-Z4=1350,

2

故④正确；

正确的个数共有4个，

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内

角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键.

二、填空题

6.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图所示的四个图形中，N1和N2

是同位角的是________.（填序号）

【答案】①②④

【分析】根据同位角的定义，逐一判断选项，即可得到答案.

【详解】解：①即和回2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；

②町和国2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；

③即与回2分别是四条直线中的两对直线的夹角，不符合同位角的定义，故它们不是同位角;

④町和团2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角.

故答案为：①②④.

【点睛】本题主要考查同位角的定义，掌握同位角的定义："两条直线被第三条直线所截，在两条直线的同

侧，在第三条直线的同旁的两个角，叫做同位角”，是解题的关键.

7.（2023下•湖北•七年级统考期末）如图，直线QE经过点A,请添加一个条件使直线,则该条件

可以是.

BN-----------

【答案】ZB=ZDAB##Z.C=AEAC

【分析】根据“内错角相等，两直线平行"，可得出答案.

【详解】解:由"内错角相等，两直线平行”得：

当=或=时，都有DE〃3c

【点睛】本题考查平行线的判定定理.熟记相关定理时解决此题的关键.

8.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，1//AB,ZA=2.ZB.若Nl=108。，则N2

的度数为.

AL--------------------

【答案】36。/36度

【分析】由对顶角相等可得N3=Nl=108°,再由平行线的性质可求得NA=72。，ZB=Z2,结合已知条

件可求得即可求解.

【详解】解：如图，

-.•Zl=108°,

r.N3=Nl=108。，

团/〃AB,

.•.Z3+ZA=180°,N2=NB,

...ZA=180°—N3=72°,

•：ZA=2ZB,

.".ZB=36°,

.-.Z2=36°.

故答案为：36°

【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直

线平行，同旁内角互补.

9.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，一条公路两次拐弯后，和

原来的方向相同，如果第一次拐的角是136。