北师大版七年级数学下册解题技巧：巧用幂的运算法则（3类热点题型）（解析版）

第04讲解题技巧专题:巧用嘉的运算法则（3类热点题型讲练）

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目录

【考点一逆用黑的相关公式求值】...........................................................1

【考点二先化为同底数，再灵活运用幕的公式计算】..........................................5

【考点三利用累的运算比较大小】...........................................................8

典型例题

【考点一逆用幕的相关公式求值】

例题：（2023下•安徽合肥•七年级统考期中）己知：5。=2,5"=9,5。=72,

⑴求（5。丫的值；

（2）求5。"的值.

【答案】⑴4

⑵16

【分析】（1）根据幕的乘方的运算法则及有理数乘方的运算法则即可解答；

（2）根据同底数幕的乘除混合运算法则：暧-'+/>=十一屋/4即可解答.

【详解】（1）解：回5"=2,

0（5°）2=22=4；

（2）解：05"=2,5b=9,5。=72,

国5所"。=5"+5〃x5。=2+9x72=16.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘除混合运算法则，暴的乘方的运算法则，掌握同底数累的乘除混合运算

的法则是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023下•江苏盐城•七年级校联考期中）已知〃=5,必=6,求

⑴产+》；

（2）清电

【答案】⑴150

【分析】(1)先求出/工=25,再根据"2=/工・加进行求解即可；

(2)先求出产=125,0=36,再根据a3f=03匕/进行求解即可.

【详解】(1)解：团优=5,

0(ar)2=52,即0=25,

回。2'+>=。2工•">=25x6=150;

(2)解：回优=5,ay=6,

0(aA)3=53,(av)2=62,即产=125,/=36,

团42.3v=艺

36

【点睛】本题主要考查了哥的乘方计算，同底数幕乘除法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键.

2.(2023上•吉林长春•八年级长春外国语学校校考阶段练习)已知10。=5,10"=6,求下列各式的值：

⑴KTJ

⑵]023+J

【答案】⑴30

(2)24

【分析】⑴10②的指数是a+匕,用同底数幕相乘的形式表示是10J10J

(2)1023+3的指数是2一20+6,用同底数塞运算的形式表示是IO,-IO?jI。j

【详解】(1)解：io“+J

=10a-10A,

=5x6,

=30.

(2)IO?-叫

=1O2+1()2J10J

=102-(10fl)2-10\

=1024-52X6,

=24.

【点睛】本题主要考查同底数累的乘法以及累的乘方，掌握同底数募的乘法法则及塞的乘方的运算法则是

解题的关键.

3.(2023上•河北石家庄•八年级统考阶段练习)(1)己知k=2，2y=4求2内的值；

(2)已知/=5,求(3/")2一4'广的值.

【答案】(1)8；(2)1025

【分析】本题主要考查了同底数募乘法的逆运算，累的乘方的逆运算和积的乘方计算，熟知相关计算法则

是解题的关键.

（1）根据同底数基乘法的逆运算法则得到2，+》=2,•2〉，据此代值计算即可；

（2）先根据积的乘方将所求式子变形为9/"-4/",再根据塞的乘方的逆运算法则进一步变形为

9（”-4（铲）2,据此代值计算即可.

【详解】解：（1）m2工=2，2y=4，

团2也=2*2=2*4=8.

（2）回龙2”=5,

回（3”『一4

=9x6"-4x4n

=9（x2n）3-4（x2"）2

=9X53-4X52

=1025.

20022023

4.（2023上•八年级课时练习）计算：（-0.125）15X（215）3+v2i

1Q

【答案】-y

【分析】先对式子进行变形，再逆用哥的乘方、同底数累的乘法、积的乘方的运算性质计算.

18

【点睛】本题考查事的运算，熟练掌握逆用嘉的乘方、同底数幕的乘法、积的乘方的运算是解题的关键.

5.（2023上•湖南永州•七年级统考期中）回答下列问题.

⑴填空：

①（2x3）z=_,22X32=_

⑵比一比，（1）中每组中的两个算式的结果是否相等？猜一猜：当”为正整数时，（劭）"=_.

⑶试一试，计算：[1g]x^-|j的值.

【答案】⑴①36,36；②-1,-1

(2)相等,(abY=an-b"

(3)-1

【分析】(1)①第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算;

②第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算；

(2)由(1)归纳可得：(ab)"=a"b"；

(3)由可得""=(")",再利用规律进行简便运算即可.

【详解】(1)解：①(2x3)2=6?=36；22X32=4X9=36;

②[IT=(T)、T，(4]X23=-1X8=-1；

(2)(ab)"=a%"("为正整数)

【点睛】本题考查的是乘方运算的含义，积的乘法运算的应用，理解题意，归纳总结规律是解本题的关键.

6.(2023下•江苏盐城,七年级校考阶段练习)小红学习了七年级下册“第八章暴的运算"后，发现暴的运算法

则如果反过来写，式子可以表达为：am+n=am-an/"=""""；a"m=(am)",可以起到简化计算的作用.

⑴在括号里填空:26=22X2(>;26=28+2()；26=(2?/)

(2)已知：2"=6,2"=3.

①求2m+n的值.②求的值.

(3)已知2X8*X16=223,求x的值.

【答案】⑴4,2,3

⑵①18；②4

⑶x的值为：6

【分析】(1)根据同底数塞的乘除法的逆运算即可求解；

(2)①根据同底数累的乘的逆运算即可求解；②根据同底数塞的乘除法的逆运算即可求解；

(3)根据乘方的运算，将等式左边化成底数相同的数，再根据同底数塞的乘法运算法则列式解方程即可求

解.

【详解】(1)解：团同底数幕的乘法是底数不变，指数相加，即4+2=6,

El26=22X2(4)；

回同底数塞的除法是底数不变，指数相减，即8-2=6,

026=284-2(2)；

团幕的乘方是底数不变，指数相乘，即2*3=6,

026=(22)(3)；

故答案为：4,2,3.

(2)解：2"'=6,2"=3

①国2'"+"=2'"x2"，

回原式=6x3=18,

团2加+〃的值为：18；

②团2"f+i=2“+2”X2，

回原式=6+3x2=4,

团2"-”+1的值为：4.

(3)解：2X8R16=223变形得,2X(23)X^24=223,

团21+3%+4_23x+5_223

03x+5=23,解得，x=6,

团工的值为:6.

【点睛】本题主要考查整式的乘除法的逆运算，掌握同底数塞的乘除法运算法则，及逆运算的计算方法,

解方程的方法是解题的关键.

【考点二先化为同底数，再灵活运用易的公式计算】

例题：(2023春・江苏•七年级专题练习)已知加为正整数，且4x8"'xl6"'=48,求加的值.

【答案】2

【分析】根据同底数哥的乘法和幕的乘方，即可解答.

【详解】解：048=216，

团4*8"'X16"'=22X23MX24m=22+7，",

04x8mxl6,H=48,

022+7ra=216，

(32+7m=16,

0m=2.

【点睛】本题考查了哥的乘方和同底数幕的乘法，解决本题的关键是转化为同底数嘉的乘法.

【变式训练】

1.(2023春・江苏徐州•七年级校考阶段练习)(1)已知2〃z+3“=5,求4m8的值.

(2)已知9向-3?”=72,求〃的值.

【答案】(1)32；(2)n=l

【分析】(1)先根据累的乘方的逆运算得到4"=22"8=23",再根据同底数曙乘法计算法则求解即；

(2)先根据幕的乘方和塞的乘方的逆运算法则得到9向=32*,进一步推出32132一32"=72,由此得到

320=32,贝1]2〃=2,即〃=1.

【详解】解：⑴14"=02『=22*,8'=03)"=23",

团2帆+3〃=5,

04m-8"=22'"+3"=25=32;

(2)09B+1(32)"+l=32"+2,9"+1-32Z,=72,

H32n+2-32n=72,

032"-32-32;'=72,

团>32"-32”=72,

032"=9=32,

02〃=2,

0/2=1.

【点睛】本题主要考查了同底数累乘法，暴的乘方，哥的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键.

2.(2023下•江苏泰州•七年级校考阶段练习)(1)已知3HsM=15243,求x的值；

(2)已知2x+3y-2=。，求9、.27"的值.

【答案】(1)4；(2)9.

【分析】(1)利用积的乘方的逆运算，再列方程即可求解；

(2)利用塞的乘方和同底数塞的乘法的逆运算即可求解.

【详解】(1)解：(3x5)向=15皿，

15，*1=152X~3，

国x+1=2x-3,

解得：x=4；

(2)解：27?冬岁3y3=2x+3y,

E]2x+3y—2=0,

02尤+3y=2,

El原式=32=9.

【点睛】此题考查了幕和积的乘方运算以及同底数幕的乘法运算，正确将原式变形是解题关键.

3.(2023春•江苏•七年级校考周测)(1)已知加+3〃-4=0,求3*27"的值;

(2)已知2"4=26,求(_〃?2)3的值.

【答案】(1)81

(2)-64

【分析】(1)首先将m+3〃-4=0变形为7”+3〃=4,再将3%27"变形为"(划，然后利用早的乘方与同底

数塞乘法得到3时3”，再把机+3〃=4代入计算即可；

(2)首先将2叫”=26变形为2%(22)"'=26,即23W=26,则》〃=6,求得机=2,代入(-疗了计算即可.

【详解】解：(1)0771+3/7-4=0,

团根+3几=4,

团3"・27〃=T-(33)/_3m38〃一3m+3〃=34=81；

(2)02m-4m=26,

02m-(22)m=26,

2帆22nl-2‘，

23W=26，

团3m=6，

解得：m=2,

团(-加2)3=(-22)3=-64.

【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握累的乘方和同底数塞的乘方法则及其灵活运用是解题的关键.

4.(2023春•江苏•七年级期中)求值：

(1)已知4筋=23x7,求X的值.

(2)已知一=3,a3m=5,求产出的值.

(3)已知3.2,+2*=40,求x的值.

【答案】⑴尸-1

27

(2)----

125

(3)x=3

【分析】直接利用同底数新的乘除运算法则以及幕的乘方运算法则分别计算得出答案.

【详解】(1)解：回42%=23f

团24X=23X-1，

团4x=3x-l,

团X二-1；

(2)回〃2〃=3,a3m=5,

6n9m6n9m2n

回a-=a+a=(a丫.⑷吁=§3.$3=总；

(3)团3・2"+2>1=40,

团3x2"+2x2x=40,

团5x2"=40,

02v=8,

02t=23，

0x=3.

【点睛】本题考查同底数累的乘除运算以及塞的乘方运算.正确掌握相关运算法则是解题的关键.

5.(2023下•安徽滁州•七年级校考阶段练习)在算的运等中规定：若优="(0>0且awl,x,y是正整数),

则*=儿利用上面结论解答下列问题：

⑴若9,=36,求尤的值；

(2)若3川_3*=18,求x的值；

(3)若加=2*+1,77=4"+2\用含机的代数式表示

【答案】⑴x=3；

(2)x=l；

(3)«=m2-m.

【分析】(1)根据幕的乘方运算法则把两边底数为成一样，再根据题目规定解答即可；

(2)根据同底数幕的乘法法则把3*-3㈤=18变形为3,02-3)=18即可解答；

(3)把加=2*+1代入n=4"+2x=(221+2,=(2'7+2'即可.

【详解】(1)09'=(32)'=32X=36,

团2x=6,

团x=3；

(2)团3班2—3抖1=18,

03"(32-3)=18,

03x-6=18,

03*=3

回尤=1

(3)回加=2'+1,

团2*=〃？一1,

团〃=4,+2'=(22),+2、=Qx7+2*=(w-1)2+/71-1,

【点睛】本题主要考查了同底数幕的乘法以及幕的乘方，解题的关键是熟练利用幕的乘方对式子进行变形.

【考点三利用幕的运算比较大小】

例题：(2023春•江苏无锡・七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习)比较下列各题中幕的大小：

(1)比较255,3*,533,622这4个数的大小关系；

⑵已知a=8产,6=273c=961,比较a、b、c的大小关系；

OO91I9

（3）已知尸=瞟，e=—,比较尸，。的大小关系；

【答案】⑴2”<63<3"<5\

{2）c<b<a；

⑶尸=。.

【分析】（1）根据早的乘方的逆用进行转换得2$5=32”、3M=8产、533=125”,622=36",比较即可;

（2）根据察的乘方的逆用进行转换得〃=/、方=3⑵、°=3⑵，比较即可；

（3）依据积的乘方公式及同底数的事的除法化简可得*即可得结果.

【详解】（1）解：Q255=（25）"=3211,

344=（34）11=8111,

533=（53）"=125",

622=（62）11=3611,

•.-3211<36n<81"<125n,

...255<68<344<533；

（2）•.­a=8131=（34）31=3124,

Z,=2741=（33）4'=3123,

61261122

C=9=（3）=3,

3122<3123<3124,

.-.961<2741<8产，

:.c<b<a；

en999（9x11）999X119ll9

*―g99-g99—999―99。

。二上

.■.P=Q.

【点睛】此题考查了幕的乘方的逆用，积的乘方以及同底数幕的除法；解题的关键是利用相关公式将底数

或指数统一.

【变式训练】

1.（2023上•北京海淀•八年级校考期中）阅读下列材料：若〃=2,b=3,比较。，6的大小.

解：因为/=（“3）5=25=32,卢=仅5）3=33=27,32>27,所以35>W，所以

依照上述方法解答下列问题：已知犬=2,V=3,试比较尤与y的大小.

【答案】

【分析】仿照题意分别求出储2=8,y12=81,由此可得x<y.

【详解】解：回J