第一课时 正弦定理和余弦定理

第8节正弦定理和余弦定理及其应用考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．【知识梳理】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝___________；b2＝___________；c2＝___________eq\f(a,sinA)＝____________＝________＝2R常见变形cosA＝________；cosB＝________；cosC＝________(1)a＝2RsinA，b＝________，c＝________；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝________，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝____________________；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数____________________________________3.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．[常用结论与微点提醒]1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．()2．(必修二P48T2(2)改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则边c＝________．3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝________．4．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个实数根，且△ABC的面积为eq\f(\r(2),2)，则C的大小是________．第一课时正弦定理和余弦定理考点一利用正弦定理解三角形例1(1)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝eq\f(π,5)，则B＝()A.eq\f(π,10) B.eq\f(π,5)C.eq\f(3π,10) D.eq\f(2π,5)(2)(多选)(2024·张家口部分学校阶段测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．b＝10，A＝45°，C＝60° B．b＝eq\r(15)，c＝4，B＝60°C．a＝eq\r(3)，b＝2，A＝45° D．a＝8，b＝4，A＝80°________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．2．已知△ABC的两边a，b及角A，解三角形的一般步骤(1)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得到sinB＝eq\f(bsinA,a).(2)当sinB>1时，无解；当sinB＝1，且a<b时，B＝90°，有唯一解；当sinB<1时，若a≥b，则有唯一解，若a<b，则有两个解．训练1(1)(2024·成都诊断)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若atanB＝eq\f(20,3)，bsinA＝4，则a的值为()A．6 B．5C．4 D．3(2)(2024·南京调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，b＝eq\r(6)，B＝eq\f(π,3)，则A＝()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)或eq\f(3π,4) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)考点二利用余弦定理解三角形例2(1)(2024·青岛模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a＝3，b＝eq\r(13)，B＝60°，则c＝()A．1 B．2C．3 D．4(2)(2024·南昌调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinA＝eq\r(3)acosC，c＝2eq\r(3)，ab＝8，则a＋b的值是()A．6 B．8C．4 D．2________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．训练2(1)在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A＝cos(B＋C)，且b＝2，c＝6，则a＝()A.eq\r(13) B．2eq\r(13)C.eq\r(7) D．2eq\r(7)(2)(2024·无锡质检)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，则A＝________．考点三三角形的面积、周长例3(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．训练3(2022·北京卷)在△ABC中，sin2C＝eq\r(3)sinC.(1)求C；(2)若b＝6，且△ABC的面积为6eq\r(3)，求△ABC的周长．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________射影定理设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA.例在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2b B．b＝2aC．A＝2B D．B＝2A_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________