第一课时 求值与证明

高考难点突破系列(二)圆锥曲线中的综合问题第一课时求值与证明题型一求值问题例1(12分)(2024·广州模拟)已知点A，点B和点C为椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上不同的三个点．当点A，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若O为坐标原点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，求△ABC的面积．[思路分析](1)分析A，B，C的位置求a，b得椭圆方程．(2)引入A，B，C坐标，由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0得坐标关系→斜率不存在时求S△ABC；直线BC斜率存在时写出底边和高的表达式，求S△ABC.[规范解答]解(1)当点A，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形，eq\x(①当点A，点B和点C中有两个点为上顶点和下顶点，一个为左顶点或右顶点时，)→eq\a\vs4\al(研究正三角形各顶点的位置，由位置写出a，b的值)不妨设点A，点B分别为上顶点和下顶点，点C为右顶点，此时，a＝eq\r(3)，b＝1；(2分)①eq\x(②当点A，点B和点C中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点时，)→eq\a\vs4\al(研究正三角形各顶点的位置，由位置写出a，b的值)不妨设点A，点B分别为左顶点和右顶点，点C为上顶点，此时，a＝1，b＝eq\r(3)(舍去)．(3分)②eq\x(所以椭圆E的标准方程为\f(x2,3)＋y2＝1.)→eq\a\vs4\al(写出椭圆方程)(4分)③(2)设A(p，q)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，因为eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以p＋x1＋x2＝0，q＋y1＋y2＝0.→eq\a\vs4\al(设点，解析向量等式)eq\x(①当直线BC的斜率不存在时，)→eq\a\vs4\al(讨论直线BC斜率不存在的情形)x1＝x2，y1＝－y2，因为p＋x1＋x2＝0，则A(－2x1，0)．因为点A在椭圆E上，所以xeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,4)，则有yeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,4)，所以|BC|＝eq\r(3)，点A到直线BC的距离为|3x1|＝eq\f(3\r(3),2)，此时S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9,4).(5分)④②eq\x(当直线BC的斜率存在时，)设直线BC的方程为y＝kx＋m，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，则Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2＋1－m2)>0.由根与系数关系得x1＋x2＝eq\f(－6km,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(3（m2－1）,1＋3k2)，→eq\a\vs4\al(当直线BC斜率存在时，设直线方程，与椭圆方程联立，写出根与系数的关系)(6分)⑤所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq\f(2m,1＋3k2)，所以p＝－(x1＋x2)＝eq\f(6km,1＋3k2)，q＝－(y1＋y2)＝－eq\f(2m,1＋3k2).(7分)⑥因为点A(p，q)在椭圆E：eq\f(x2,3)＋y2＝1上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6km,1＋3k2)))eq\s\up12(2)＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2m,1＋3k2)))eq\s\up12(2)＝3，eq\x(化简得4m2＝1＋3k2，)→eq\a\vs4\al(用参数m，k表示点A坐标代入椭圆得m，k的关系)(8分)⑦所以|BC|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－6km,1＋3k2)))\s\up12(2)－4×\f(3（m2－1）,1＋3k2))＝eq\r(1＋k2)·eq\f(2\r(3)×\r(3k2＋1－m2),1＋3k2)＝eq\r(1＋k2)·eq\f(2\r(3)×\r(4m2－m2),1＋3k2)＝eq\r(1＋k2)·eq\f(6|m|,1＋3k2)＝eq\r(1＋k2)·eq\f(6|m|,4m2)eq\x(＝\f(3\r(1＋k2),2|m|)，)→eq\a\vs4\al(表示底边长)(9分)⑧点A到直线BC的距离d＝eq\f(|pk－q＋m|,\r(1＋k2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6km,1＋3k2)k＋\f(2m,1＋3k2)＋m)),\r(1＋k2))eq\x(＝\f(|3m|,\r(1＋k2))，)→eq\a\vs4\al(表示高)(10分)⑨所以S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(3\r(1＋k2),2|m|)·eq\f(|3m|,\r(1＋k2))＝eq\f(9,4).→eq\a\vs4\al(计算面积)综上所述，△ABC的面积为eq\f(9,4).(12分)⑩[满分规则]❶得步骤分由①②③写出椭圆的方程，①2分，②③各1分；由⑤写出根与系数的关系，得1分；由⑩写出结果，得1分．❷得关键分由④计算斜率不存在的面积，得1分；由⑥⑦写出A点坐标及m，k的关系，各得1分．❸得计算分由⑧⑨分别计算三角形ABC的底边长|BC|和高d，⑧得2分，⑨得1分．训练1(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ＝2eq\r(2)，求△PAQ的面积．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二证明问题例2(2024·长沙调研)如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于M，N两点(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升圆锥曲线中的证明问题常见的有：(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明．训练2(2023·四省联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点A(4eq\r(2)，3)，且焦距为10.(1)求双曲线C的方程；(2)已知点B(4eq\r(2)，－3)，D(2eq\r(2)，0)，E为线段AB上一点，且直线DE交双曲线C于G，H两点，求证：eq\f(|GD|,|GE|)＝eq\f(|HD|,|HE|).________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________