带电粒子在匀强磁场中的运动（9大题型）（解析版）-2024-2025学年高二物理（人教版选择性必修第二册）

带电粒子在匀强磁场中的运动（9大题型）

避1粹和周期公式的掰

题型2带电粒子在磁场中运动的轨迹问题

知识点1带电粒子在匀强磁场中的运动题型3带电粒子在单边直线边界磁场中运动

带电粒子在匀强题型4带电粒子在双边平行边界磁场中运动

磁场中的运动题型5带电粒子在三角形边界磁场中运动

知识点2带电粒子在磁场中做圆周运动的题型6带电粒子在多边形边界磁场中运动

半径和周期题型7带电粒子在圆形边界磁场中运动

题型8带电物体（计重力）在磁场中的运动

题型9带电粒子在立体空间的偏转问题

方法技巧：带电粒子在匀强磁场中运动的分析

1、带电粒子在不同边界磁场中的运动

2、圆心的确定

3、半径的确定

4、圆心角与运动时间的确定

知识点1带电粒子在匀强磁场中的运动

1、匀速直线运动

若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（相同或相反），此时带电粒子所受洛伦兹力为零，带电粒子

将以入射速度v做匀速直线运动。

2,匀速圆周运动

若带电粒子垂直射入匀强磁场，粒子所受洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直，因此不改变速度的大

小，但不停地改变速度的方向，所以带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供了匀速圆周运动的向心力。

知识点2带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期

1、观察带电粒子的运动径迹

（1）实验装置

下图是洛伦兹力演示仪的示意图。电子枪可以发射电子束。玻泡内充有稀薄的气体，在电子束通过时

能够显示电子的径迹。励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场，磁场的方向与两个线圈中心的连线平

行。

励磁线网

玻璃泡

电子怆

（2）实验现象

①不加磁场：电子束的径迹为直线。

②在玻璃泡中施加沿两线圈中心连线方向、指向纸面的磁场：电子束的径迹为圆周。

③保持出射电子的速度不，改变磁感应强度，发现磁感应强度越大，圆周运动的轨迹半径越小。

④保持磁感应强度不变，改变出射电子的速度大小，发现电子的出射速度越大，圆周运动的轨迹半径越大。

（3）实验结论

当带电粒子以一定的速度垂直进入匀强磁场时做圆周运动，在强磁场中做匀速圆周运动，且磁感应强

度越大，半径越小；运动速度越大，半径也越大。

2、公式推导

（1）轨道半径

vmV

由于洛伦兹力提供向心力，则有qv8=机一，可知带电粒子做圆周运动的轨道半径外=——o

rqB

（2）周期

由轨道半径与周期之间的关系T二空,得到带电粒子做圆周运动的周期T=3o

vqB

带电粒子在匀强磁场中运动的分析

1、带电粒子在不同边界磁场中的运动

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)

/XXX

1

y'V

V0

(a)(b)(c)

(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)

()e^J

:/:

XX

_/xX；

(a)(b)(c)

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)

/\

；Wr-Kx；

㊀:

,、厂了、

2、圆心的确定

1XXX1；XX金彳A

or<'B'\

OkB1•Bz*/•

；•、、•、「、X°x1/，：

"「X冗2x；M底\

p忙Q为

(a)(b)(c)

圆心一定在与速度方向垂直的直线上。

（1）圆心在速度的垂线上（两垂法）

如图/已知粒子的入射方向和出射方向时。过射入和射出磁场时的两点，作垂直于入射方向和出射方

向的的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹所对应的圆心。

（2）圆心在弦的中垂线上（中垂线法）

如图6,已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连

作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心。

（3）圆心在两速度夹角的角平分线上（角平分线法）

如图c,已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点此时要将

其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（NP/M）,画出该角的角平分线，它与已知点

的速度的垂线交于一点O,该点就是圆心。

3、半径的确定

―一，L..

通过解三角形的办法求解。例如，R=—L或由勾股定理

半径的计算一般可利用几何知识,

sine

R2=Ir+（R-df,求得R=3+♦。

''2d

4、圆心角与运动时间的确定

0彳,（偏向角）

（1）速度的偏向角9等于圆心角0等于AB弦与切线的夹角a的2倍。即0=。=2a。

（2）时间的计算方法：

①由圆心角求：t=——T。

2〃

②由弧长求：t=-o当V一定时，弧长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间越长。

V

题型1半径和周期公式的应用

【例1】（2024•四川•模拟预测）如图所示，在xQy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点

以与x轴正方向成60。的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为加、电荷量

为q,OP=a.不计重力。根据上述信息可以得出（

A.该匀强磁场的磁感应强度

B.带电粒子在磁场中运动的速率

C.带电粒子在磁场中运动的轨道半径

D.带电粒子在磁场中运动的时间

【答案】C

【解析】粒子恰好垂直于y轴射出磁场，作两速度的垂线交点为圆心。，轨迹如图所示

c.根据几何关系可得

cos30°=—

R

所以

2百

R=---a

故c正确;

AB.在磁场中由洛伦兹力提供向心力，即

V2

qBv=m—

R

解得带电粒子在磁场中运动的速率为

m

因轨迹圆的半径及可求出，但磁感应强度8未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故AB错误;

2

D.带电粒子圆周的圆心角为:万，而周期为

2TTR271m

1=-----=------

vqB

则带电粒子在磁场中运动的时间为

2

t5T=2兀刃

2万3qB

因为磁感应强度B未知，则运动时间无法求出，故D错误。

故选C。

【变式1-1]（23-24高二下•海南省直辖县级单位•月考）质量和电荷量都相等的带电粒子M和N,以不同

的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示。下列表述错误的是（）

XXXX

BM

xNx

//—、、x//\\

次XYXX\

st

A.M带负电，N带正电

B.M的速率大于N的速率

C.洛伦兹力对M、N不做功

D.M的运行时间大于N的运行时间

【答案】D

【解析】A.由左手定则可判断出M带负电，N带正电，故A正确;

B.根据牛顿第二定律有

V

qvB=m——

r

解得

V=^L

m

因为所以VM>VN，故B正确；

C.洛伦兹力与速度始终垂直，对M、N不做功，故C正确；

D.根据匀速圆周运动规律有

271r2jim

1=-----=------

vqB

由于M、N的质量和电荷量都相等，所以7相等，由图可知二者都运动了半个周期，所以运动时间相等,

故D错误。

本题选错误的，故选D。

【变式1-2］（23-24高二下•湖北武汉・月考）如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2,沿水平

方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的

偏转角分别为90。，60°,则它们在磁场中运动的（）

A.轨迹半径之比为2：1

C.周期之比为2：1D.时间之比为2：3

【答案】B

【解析】A.设入射点到虚线边界的距离为d,可知粒子1的运动半径

r1=d

粒子2由几何关系

r2cos60°=r2-d

可得

-2=2d

则两粒子的轨迹半径之比为1：2选项A错误;

B.根据

V2

qvB=m——

r

可得

qrB

v=-----

m

可得速度之比为1：2,选项B正确；

C.根据

qB

可知，周期之比为1：1,选项C错误；

D.根据

t=匕T

2%

可知时间之比为

?1_90°_3

丁布一5

选项D错误。

故选B。

【变式1-3]（23-24高二下•福建泉州•月考）如图所示，表示一块非常薄的金属板，带电粒子（不计重

力）在匀强磁场中运动并穿过薄金属板，虚线表示其运动轨迹，由图可知粒子带（选填“正电荷”或“负

电荷”）；粒子穿越金属板后，轨迹半径=（选填“变大”、“变小”或“不变”）

***/°一b~、°B°

•••a；・£•

Me\\cN

•••

、、、」一J

・・•[・・•

【答案】负电荷变小

【解析】由洛伦兹力提供向心力可得

V2

qvB=m—

解得

mv

qB

由于粒子穿越金属板后，粒子动能减少，速度减小，则轨迹半径变小，可知粒子逆时针做圆周运动，根据

左手定则可知，粒子带负电荷。

【变式1-4](23-24高二下•福建莆田•期末)2023年10月在沈阳举行第九届中国二次离子质谱会议。某种

质谱仪的磁场偏转部分如图所示，在尸P下方存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为2,一个

带电粒子在。处以速度v垂直磁场边界入射，在磁场中偏转后落在0处，P、。、。、P在同一直线上。已

知。、。两点间的距离为乙粒子重力不计。求

(1)带电粒子带何种电荷；

(2)带电粒子在磁场中运动的时间t-,

(3)带电粒子的比荷包。

m

o________Q〜

P-T-------------------------------P,

XVXXXX

V

XXXXX

XXXXX

【答案】(1)正电荷；(2)%；(3)2v

Bd

【解析】(1)粒子进入磁场后向右偏转,由左手定则可知粒子带正电荷。

(2)根据匀速圆周运动规律得

T2兀Y

1=-----

V

根据几何关系可知圆周半径

d

r=­

2

解得

T7rd

t=—二——

22V

(3)根据牛顿运动定律得

v2

qvB=m—

解得

q_2v

mBd

【变式1-5］（23-24高二下•内蒙古赤峰•期中）如图所示，在一矩形区域内有磁感应强度方向垂直纸面向外

的匀强磁场，磁感应强度大小为3,磁场宽度为义不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿

过此区域的时间为3粒子飞出磁场时偏离原方向60。角。利用以上数据能求出的物理量是

（1）带电粒子在磁场中运动的半径。

（2）带电粒子的比荷。

【答案】⑴岁；⑵以

【解析】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图

由几何关系可知，带电粒子运动轨迹所对应的圆心角为60。，粒子的轨道半径为

d2gd

r=---------=--------

sin6003

（2）根据洛伦兹力提供向心力有

v2

qvB=m——

r

则运动时间为

117ir

t=—x-----

6v

联立解得

q_71

m3tB

题型2带电粒子在磁场中运动的轨迹问题

【例2】（23-24高二下・上海・月考）图为云室中某粒子穿过铅板P前后的轨迹，。和6是轨迹上的两点。云

室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直，粒子（）

XX_X_XX

XagXXs

X

XXXX

XXXXXp

XXXXX

XXXyX

xxxXxX

X->^XXX

A.由。点运动到b点，带负电B.由Q点运动到b点，带正电

C.由6点运动到。点，带负电D.由b点运动到。点，带正电

【答案】D

【解析】穿过铅板后，粒子的速度变小,由洛伦兹力提供向心力

qvB=m——

r

解得

mv

r——

qB

可知速度变小，粒子做圆周运动的半径也变小，所以粒子由铅板的下方进入铅板的上方，故由6点运动到a

点，由左手定则可知，粒子带正电。

故选D。

【变式2-1］（23-24高二上•江苏南京・月考）如图所示。在MNQP中有一垂直纸面向里匀强磁场。质量和

电荷量都相等的带电粒子。、6、c以不同的速率从。点沿垂直于的方向射入磁场。图中实线是它们的

轨迹。已知。是尸0的中点。不计粒子重力。下列说法中正确的是（）

：Xxx/^X:

/<x

'xXVXx\

poQ

A.粒子6在磁场中运动的时间最短

B.射入磁场时粒子c的速率最小

C.粒子c带负电，粒子.、6带正电

D.若匀强磁场磁感应强度增大，其它条件不变，则a粒子运动时间不变

【答案】A

【解析】B.根据洛伦兹力提供向心力

v2

qvB=m—

r

可得

mv

r------

qB

由图可知，a粒子的半径最小，则射入磁场时a粒子的速率最小，故B错误；

C.根据题图，由左手定则可知，粒子c带正电，粒子a、6带负电，故C错误；

AD.粒子运动的周期为

Ijir27rm

1=-----=-------

vqB

设粒子运动轨迹所对圆心角为夕，则粒子的运动时间为

由图可知，粒子6在磁场中运动的时间最短，若匀强磁场磁感应强度增大，其它条件不变，则。粒子运动

时间改变，故A正确，D错误。

故选Ao

【变式2-2］（23-24高二下•甘肃天水・期中）如图所示，将含有大量正、负带电粒子的气体以相同的速度喷

入云雾室里，观察到有两个粒子的径迹弯曲程度相同，但弯曲方向相反。已知云雾室中匀强磁场方向垂直

纸面向外（图中未画出），不计重力和粒子间作用力，则下列说法正确的是（）

A.粒子①在磁场中做速度增大的曲线运动

B.粒子②在磁场中做速度减小的曲线运动

C.粒子①带正电

D.粒子②的速度保持不变

【答案】C

【解析】粒子进入磁场时做匀速圆周运动，则两粒子在磁场中的速度大小不变，但是方向不断变化，即两

粒子的速度不是不变的；匀强磁场方向垂直纸面向外，由图示粒子运动轨迹可知，粒子刚进入磁场时，粒

子①所受洛伦兹力水平向左，粒子②受到的洛伦兹力水平向右，由左手定则可知，粒子①带正电，粒子②

带负电。

故选C。

【变式2-3]（23-24高二下•山东枣庄•期末）1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子。

他利用放在强磁场中的云室来记录正电子，并在云室中加入一块厚6mm的铅板，借以减慢正电子的速度。

当正电子通过云室内的强磁场时，拍下粒子径迹的照片，如图所示。关于云室中磁场的方向及正电子的运

动方向，下列说法正确的是（）

A.如图甲，磁场垂直纸面向外，粒子从N运动到M

B.如图乙，磁场垂直纸面向外，粒子从M运动到N

C.如图丙，磁场垂直纸面向里，粒子从N运动到M

D.如图丁，磁场垂直纸面向里，粒子从〃运动到N

【答案】D

【解析】A.粒子在磁场中运动时，若速度减小，则半径减小,图中磁场垂直纸面向外，粒子从N运动到

M,半径应减小，与题图不符合，故A错误;

B.磁场垂直纸面向外,粒子从M运动到N,粒子受到向左的洛伦兹力，故B错误;

C.磁场垂直纸面向里,粒子从N运动到粒子受到向左的洛伦兹力，故C错误;

D.磁场垂直纸面向里,粒子从M运动到N,粒子的半径减小，故D正确。

故选D。

【变式2-4］（2024•北京海淀•三模）云室是借助过饱和水蒸气在离子上凝结来显示通过它的带电粒子径迹

的装置。图为一张云室中拍摄的照片。云室中加了垂直于纸面向外的磁场。图中。、氏c、d、e是从。点

发出的一些正电子或负电子的径迹。有关这些径迹以下判断正确的是（）

A.d、e都是正电子的径迹

B.a径迹对应的粒子动量最大

C.6径迹对应的粒子动能最大

D.。径迹对应的粒子运动时间最长

【答案】D

【解析】A.带电粒子在垂直于纸面向外的磁场中运动，根据左手定则可知a、b.c都是正电子的径迹，成

e都是负电子的径迹，A错误；

B.带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有

v2

qvB=m—

R

解得

R=—

qB

由图可知a径迹对应的粒子的运动半径最小，a径迹对应的粒子的速度最小，根据

p=mv

可知。径迹对应的粒子动量最小，B错误；

C.根据

下12

E,=­mv

k2

可知

Eka<Ekb<Eke

即b径迹对应的粒子动能不是最大的，c错误;

D.带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，有

2兀R

qvB=m—,T=

Rv

则

7=处

qB

所以

粒子在磁场中的运动时间

—T

24

其中。为粒子在磁场中的偏转角度，由图可知〃径迹对应的偏转角度最大，则〃径迹对应的粒子运动时间

最长，D正确。

故选Do

题型3带电粒子在单边直线边界磁场中运动

【例3】（22-23高二上・江苏南京•月考）如图所示，带电粒子以与x轴平行的初速度%从。点进入匀强磁场,

运动过程中经过6点，0a=。6。若撤去磁场加一个与了轴平行的匀强电场，带电粒子仍以速度%从。点进

入电场，仍能通过6点，则电场强度E和磁感应强度5的比值为（）

XXV。XX

a

xXXX

XXX

--------

0b

12

A.v0B.—c.2v0D.—

%%

【答案】C

【解析】设Oa=O6=£,带电粒子在匀强磁场中运动时,由题意可知粒子轨道半径为

r=Oa=Ob=L

由洛伦兹力提供向心力可得

qvB=m-

r

解得

3的

qL

粒子在匀强电场中做类平抛运动，则有

L=v0t,L=-at2,a=^-

2m

联立可得

£=2

qL

则电场强度E和磁感应强度B的比值为

”。

故选C。

【变式3-1］（多选）（23-24高二下•甘肃临夏•期末）如图所示，在水平线OP的正上方存在垂直于纸面向

里、磁感应强度大小为2的匀强磁场。从磁场边界上。点同时向纸面内不同方向发射速率均为V、质量均

为加、电荷量均为3仅＞0）的两个带电粒子，两粒子均从边界上P点离开磁场，且。尸的长度为由丝，

Bq

不计粒子的重力及相互作用力。以下说法正确的是（）

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

bP

A.两粒子在磁场中运动的加速度大小不同

B.两粒子射入磁场时速度方向与边界所成锐角均为60°

C.两粒子在磁场运动过程中动量改变量大小均为国v

Tim

D.两粒子在磁场中运动的时间相差k

3Bq

【答案】BC

【解析】A.两粒子在磁场中运动只受洛伦兹力的作用，根据牛顿第二定律

F淹_qvB

U-----------

mm

故两粒子在磁场中运动的加速度大小相等，故A错误;

B.根据洛伦兹力提供向心力

V

qvB=m——

r

解得

mv

r二—

qB

则两粒子在磁场中运动半径相等，两个粒子先后经过尸点，作出两个粒子的运动轨迹如图甲所示，短弧和

长弧均以。尸为弦，已知0P的长度为上空，根据几何关系可得

Bq

-OPA

sin0=-------=——

R2

解得两个粒子射入磁场时与边界的夹角均为

。=60°

故B正确；

C.根据粒子的运动对称性和几何知识作出两粒子动量变化如图乙所示,可以得出两个粒子的动量变化量大

小、方向均相同，为

△p=m\v=27nvsin0=

故C正确；

D.两粒子在磁场中运动的周期为

qB

两粒子在磁场中运动的时间相差

240。1120。？-_2m

―360°360°-3-3的

故D错误。

故选BCo

XXXXXX

z、B

XX/KXXX

x>/xxyx/

XX

0短弧情况b

长弧情况

甲乙

【变式3-2］（多选）（2024高二下•全国•专题练习）如图所示，而上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两

比荷之比为勺：鱼=1：3的带正电粒子A、B均由而边上的ob点以与ab边成a（a<90。）角斜向右上方射入磁

场,经过一段时间两粒子分别从而边上的d两点射出。已知两粒子射入磁场的速度大小相等，do>co,

忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（）

XXXXXXX

XXXXXXX

adcob

A.粒子A从C点射出

B.粒子A、B在磁场中运动的半径之比为3:1

C.粒子A、B在磁场中运动的速度偏转角之比为1:1

D.粒子A、B在磁场中运动的时间之比为1:1

【答案】BC

【解析】AB.作出粒子A、B在磁场中运动的轨迹图，如图所示:

根据

V2

qvB=加元

解得粒子在磁场中运动的半径

Cmvv

结合已知条件，可知粒子A、B的轨迹半径之比为3:1,则粒子B从c点射出，故A错误，B正确;

C.由几何知识可知，粒子A、B在磁场中运动的速度偏转角均为

0-2n-2a

故C正确;

D.根据

4/R

qvB=m

T1

可知

2兀

1=-------

qBkB

可知粒子A、B在磁场中运动的周期之比为3:1,由

/_2兀2二7_兀一々7

2兀71

可知，粒子A、B在磁场中运动的时间之比为3:1,故D错误。

故选BCo

【变式3-3］（23-24高二下•全国・单元测试）如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场

边界d点垂直于磁场方向射入，沿曲线加。打到屏儿W上的。点。若该微粒经过c点时，与一个静止的不带

电微粒碰撞并结合为一个新微粒，最终仍打到屏"N上。微粒所受重力均可忽略，下列说法正确的是（）

"XXXX

XXX'X

A.带电微粒带负电

B.碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒运动轨迹半径变大

C.碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒运动周期变大

D.碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒在磁场中受到的洛伦兹力变大

【答案】C

【解析】A.结合带电微粒的偏转方向，由左手定则可判断带电微粒带正电，A错误;

B.带电微粒和不带电微粒相碰，遵守动量守恒定律和电荷守恒定律，故碰撞前后总动量不变，总电荷量不

变。碰撞前，由洛伦兹力提供向心力可得

2

qBv=m——

r

解得

_mv_p

qBqB

碰撞后，由

解得

,[ni+M^v'p'

r~~q7B~

由于p=p',q=q',则厂=/。碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒运动轨迹不变，B错误;

C.碰撞前，带电微粒运动周期为

2yrm

1=-----=-------

vqB

碰撞后，新微粒运动周期为

「，_2兀r_2万（加+M）

v'q'B

由于q=q'则有

m<（优+M）

则

T'>T

即碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒运动周期增大，C正确;

D.碰撞前

F=qvB

碰撞后

F'=q'v'B

由于q=/,v>M,则尸>尸。碰撞后，相比不发生碰撞时，新微粒在磁场中受到的洛伦兹力减小，D错

误。

故选C。

题型4带电粒子在双边平行边界磁场中运动

【例4】（24-25高三上•西藏林芝•月考）坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为

B,方向垂直纸面向里。质量为加，电荷量为+9的粒子，以初速度y