北师大版八年级数学常见题型专练：勾股定理之“出水芙蓉”模型（原卷版+解析）

重难点05勾股定理之“出水芙蓉”模型

【知识梳理】

出水芙蓉类题和风吹树折类题一样，数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，正确设出未知数列

方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点也是语言文字如何转化成数学模型。

〜【考点剖析】

一、单选题

1.（2021.福建•校联考模拟预测）（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一"引葭赴岸"问题："今有池

方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何."其大意为：有一水池一丈

见方，池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问

水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为x尺，则可列方程为（）

B.(x-l)2+52=x2

C.（%+1）2+52=X2D.（A:+1）2=X2+52

2.（2022秋•全国•八年级专题练习）如图是一圆柱形玻璃杯，从内部测得底面直径为12cm,高为16cm,

现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（）

A.6cmB.5cmC.9cmD.25-2A/75cm

3.（2022秋•八年级单元测试）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿A2

竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离CD=0.8米.竹竿高出水面的部分AD长0.2米，如果把

竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度8。为（）

A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米

4.（2022秋・江苏•八年级专题练习）如图在平静的湖面上，有一支红莲54,高出水面的部分AC为1米，

一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB=DB）,已知红莲移动的水平距离。为3米，则湖

水深CB为（）

A.百米B.3米C.4米D.12米

5.（2022春•河南三门峡•八年级校考阶段练习）将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm

的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为/?cm,则的取值范围是（）

A.0</?<12B.12</?<13C.11</?<12D.12</?<24

6.（2023春•河南三门峡•八年级统考期中）如图是一个饮料罐，下底面半径是5,上底面半径是8,高是

12,上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆

孔的大小忽略不计）的取值范围是（）

A.12<fl<13B.12<a<15C.5<a<12D.5<fl<13

7.（2020秋•河南新乡•八年级校考期中）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4刖、3cm、

12cm,现有一长为16cm的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分力（加）的取值范围为（）

3

A.3<h<4B.C.2</z<4D./?=4

8.（2022春・湖南长沙•八年级校考阶段练习）如图所示，将一根长为24c机的筷子，置于底面直径为5cm,

高为12c机的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为/low,则/?的取值范围是（）

A.0</?<11B.11</?<12C.h>12D.0c任12

二、填空题

9.（2022春・广西梧州•八年级校考期中）《九章算术》卷九"勾股"中记载：今有户不知高广，竿不知长短，

横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖

放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是尺.

10.（2021,江苏宿迁,统考中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸"问题："今有池一丈，葭生其中央，出

水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？"题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正

方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉

向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的。处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是

1L（2022秋•四川达州•八年级校考期末）现将一支长20。%的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个长和宽

分别为8CTW,652的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为cm.

三、解答题

12.（2021・全国•八年级专题练习）读诗求解"出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求

水深几何请你算”.

13.（2023春・湖北武汉•八年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，一个直径为12cm的杯子，在它的

正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外2cm当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯

口，求筷子长度.

14.（2022秋•江苏•八年级专题练习）一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它

偏离原来的位置有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度.

15.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，一个直径为12c7〃（即BC=12c机）的圆柱形杯子，在杯子底面

的正中间点£处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外20机（即FG=2aw）,当筷子GE倒向杯壁时（筷子底

端不动），筷子顶端正好触到杯。，求筷子GE的长度.

【过关检测】

选择题（共2小题）

1.（2021秋•常宁市期末）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这

根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（

A.10尺B.B尺C.12尺D.13尺

2.（2021秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9c7加内壁高12cm.若

这支铅笔长为18cm,则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）

B.5cmC.6cmD.8cm

二.填空题（共4小题）

3.（2021秋•未央区校级期末）如图，一架梯子长10米，底端离墙的距离为6米，当梯子下滑到。E

4.（2021秋•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5优的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子8c

的长为13m.

（1）开始时，船距岸A的距离是m；

（2）若淇淇收绳5机后，船到达。处，则船向岸A移动m.

5.（2021秋•宽城区期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jia）

生其中，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何？"（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为:

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB,它高出水面1尺（即8c

=1尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端8恰好到达池边的水面。处.问水的深度是多

少？则水深OE为尺.

6.（2021秋•滕州市校级月考）印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：

平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？

如图所示：荷花茎与湖面的交点为。，点。距荷花的底端A的距离为0.5尺；被强风吹一边后，荷花底

端与湖面交于点8,点B到点。的距离为2尺，则湖水深度OC的长是尺.

三.解答题（共4小题）

7.（2022秋•二道区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度。E=1相，将它往前

推送4机（水平距离8C=4加）时，秋千的踏板离地的垂直高度8尸=2根，秋千的绳索始终拉得很直，求

绳索的长度.

8.（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，

引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇A8

生长在它的中央，高出水面为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶

部8恰好碰到岸边的8（如图）.问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）

9.（2021秋•栖霞区校级月考）水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，

它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度和这

根芦苇的长度分别是多少？

10.（2021秋•南山区校级期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的

意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面

1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的

长度各为多少？

重难点05勾股定理之“出水芙蓉”模型

【知识梳理】

出水芙蓉类题和风吹树折类题一样，数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，正确

设出未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点也是语言文字如何转化成数学

一【考点剖析】

一、单选题

L（2021•福建•校联考模拟预测）（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一"引葭赴

岸"问题："今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长

各几何."其大意为：有一水池一丈见方，池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一

尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为

十尺，设水深为x尺，则可列方程为（）

222

C.（尤+1了+52=尤2D.（x+1）=X+5

【答案】D

【分析】利用勾股定理建立方程即可得.

【详解】解：如图，由题意得：AC=x尺，BC=（BE=5尺,=1尺,

2

AB=AD=(x+l)f^,AD1BC,

则在RtAABC中，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2,即（元+1）2=f+52,

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理、列一元一次方程，熟练掌握勾股定理是解题关键.

2.（2022秋・全国•八年级专题练习）如图是一圆柱形玻璃杯，从内部测得底面直径为

12cm,高为16cm,现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最

少是（）

A.6cmB.5cmC.9cmD.25-2J75cm

【答案】B

【分析】吸管露出杯口外的长度最小，则在杯内的长度最长，此时若沿杯子的底面直径纵

向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯内吸管最长，然后用勾股定理即可解

决.

【详解】如图，沿杯子的底面直径纵向切开，则当吸管在矩形的对角线所在直线上时，杯

内吸管最长，则吸管露出杯口的长度最小，由勾股定理得：杯内吸管的长度为：

A/122+162=20（cm）

所以吸管露出杯口外的长度最少为25-20=5（cm）

【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是构造直角三角形，利用勾股定

理解答.

3.（2022秋,八年级单元测试）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们

把一根竹竿A3竖直插到水底，此时竹竿A3离岸边点C处的距离CD=Q8米.竹竿高出水

面的部分AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相

齐，则人工湖的深度3。为（）

A.1.5米B.1.7米C.L8米D.0.6米

【答案】A

【分析】设8。的长度为初7,则A8=BC=（x+0,2）m,根据勾股定理构建方程即可解决问

题.

【详解】解:设8。的长度为笛"，则AB=8C=（x+0.2）m,

在R/0CD2中，0.82+/=（x+0.2）2,

解得尤=1.5.

故选:A.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决

问题.

4.（2022秋,江苏•八年级专题练习）如图在平静的湖面上，有一支红莲54,高出水面的部

分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB=DB）,已知红莲移

动的水平距离C。为3米，则湖水深CB为（）

A.百米B.3米C.4米D.12米

【答案】C

【分析】根据题意得出水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，然后

设出BC的长度为h,分别表示出8。和CD的长度，根据由勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：在MSBC。中，设BC=/7,BD=AB=h+l,DC=3,

回由勾股定理得：BD-=BC-+CD1,即（6+1）2+3?,

团解得：h=4.

故选：C.

【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，能够从实际问题中抽象出数学模型是解决此题

的关键.

5.（2022春•河南三门峡•八年级校考阶段练习）将一根长24cm的筷子，置于底面直径为

5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为/icm,则//的取值范围是

（）

A.0</?<12B.12</?<13C.11</?<12D.12</?<24

【答案】C

【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可.

【详解】当筷子与杯底垂直时〃最大，/?最大=24-12=12（cm）.

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小，

如图所示：此时，A8=‘AC?+BC?=J/+5之=13（cm）,

故7z=24-13=11（cm）.

故h的取值范围是：llcm</?<12cm.

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理在实生活中的应用，把问题转化为直角三角形模型是关键.

6.（2023春•河南三门峡・八年级统考期中）如图是一个饮料罐，下底面半径是5,上底面半

径是8,高是12,上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分

a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（）

A.12<o<13B.12<«<15C.5<a<12D.5<a<13

【答案】A

【分析】最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答.

【详解】解：由题意可得：

a的最小长度为饮料罐的高，即为12,

当吸管斜放时，如图，此时。的长度最大，即为A3,

回下底面半径是5,

048=+12?=13,

加的取值范围是12<a<13,

故选：A.

【点睛】本题考查正确运用勾股定理.主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常

见，难度不大.

7.（2020秋•河南新乡•八年级校考期中）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为

4cm、3cm、12cm,现有一长为16m的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分

〃（C〃2）的取值范围为（）

A.3</i<4B.3W/z<4C.2MhM4D.h=4

【答案】B

【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长

度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口

外的最短长度.

【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16-12=4

（cm）；

②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，

底面对角线长=+4?=5cm,高为12cm,

由勾股定理可得：杯里面管长=斤宏=13cm,则露在杯口外的长度最短为16-13=3

（cm）,

133W/Q

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最

长和最短时，吸管在杯中所处的位置.

8.（2022春•湖南长沙•八年级校考阶段练习）如图所示，将一根长为24。"的筷子，置于底

面直径为5cM7,高为的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为ZlCTM,则的取值范围

是（）

A.0</i<llB.11<//<12C./z>12D.0</?<12

【答案】B

【分析】根据题意画出图形，先找出/?的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理

解答即可.

【详解】解：当筷子与杯底垂直时场最大，//最大=24-12=12c:w.

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

如图所示：

h

此时，AB=VAC2+BC2=A/122+52=13cm,

M=24-13-11cm.

0/z的取值范围是llcm<h<12cm.

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出

何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度.

二、填空题

9.（2022春•广西梧州•八年级校考期中）《九章算术》卷九"勾股”中记载：今有户不知高

广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根

竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是

______尺.

【答案】10

【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构

成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长.

【详解】解：设竹竿》尺，则图中8。=心

田BC=BE-CE=x-4（x>4）,CD=CF-DF=x-2（尤>2）,

在直角三角形BC。中，0BCD=9O°,

由勾股定理得：BC2+CD2=BD2,

所以（尤-4）2+（x-2）2=/,

整理，得X2；2X+20=0,

因式分解，得（x-10）（x-2）=0,

解得无尸10,无2=2,

取〉4,

0x=lO.

答：竹竿为10尺.

故答案为：10.

【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是

解答本题的关键.

10.(2021•江苏宿迁,统考中考真题)《九章算术》中一道“引葭赴岸"问题："今有池一丈，

葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池

塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为

1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的

。处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺.

【答案】12

【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC'的长为10尺,

则C3=5尺，设芦苇长AC=AC'=x尺，表示出水深A8,根据勾股定理建立方程，求出

的方程的解即可得到芦苇的长和水深.

【详解】解：依题意画出图形，

设芦苇长AC=AC=x尺，

则水深A8=(x-1)尺，

EIC'E=10尺，

EIC3=5尺，

在RtAAC'B中，

52+(X-1)2=X2,

解得x=13,

即芦苇长13尺，水深为12尺,

故答案为：12.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合.

11.（2022秋•四川达州•八年级校考期末）现将一支长20cm的金属筷子（粗细忽略不计）

放入一个长和宽分别为8c777,6c机的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水

深至少为cm.

【答案】106

【分析】如图，由题意可得，跖=6,歹"=8,a=20,利用勾股定理可以求解然后再

根据勾股定理，即可求得从而可得答案.

【详解】解：如图，由题意可得，EF=6,FH=8,EL=20,

EH=782+62=10,（cm）,

故水槽中的水深至少为：LH=yjEl3-EH2=V202-102=V300=1073（cm）,

故答案为：10函.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，二次根式的化简，解答本题的关键是明确题意，利用

勾股定理的知识解答.

三、解答题

12.（2021•全国•八年级专题练习）读诗求解"出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移

动有6尺，求水深几何请你算

【答案】4.5尺

【分析】设出水深AP的高，PB=PC=（x+3）,根据勾股定理解答即可.

【详解】设水深AP=无尺，PB=PC=（x+3）尺，

根据勾股定理得：B42+AC2=Pr,K+62=（X+3）2.

解得：x=4.5,

答El水深4.5尺.

【点睛】本题比较简单，考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是设出AP

的长，再根据勾股定理求出AP的值.

13.（2023春・湖北武汉•八年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，一个直径为12°相

的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子漏出杯子外当筷子倒向杯壁时（筷子

底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度.

【答案】10cm

【分析】设杯子的高度是xcm,那么筷子的高度是（x+2）cm,可求杯子半径为6cm,根

据勾股定理构造方程x2+62=（x+2）2,解方程即可.

【详解】解：设杯子的高度是xcm,那么筷子的高度是（x+2）cm,

团杯子的直径为12cm,

团杯子半径为6cm,

13x2+62=（x+2）2,

0x2+36=x2+4x+4,

0x=8,

08+2=lOcm.

答：筷子长度为10cm.

【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形，利用勾股定

理构造方程.

14.（2022秋・江苏•八年级专题练习）一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴

着水面，这时它偏离原来的位置有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度.

【答案】荷叶的高度为|■5米，水面的深度为39米.

22

【分析】设。4=OB=x米，则OC=（x-1）米，在Rtl3O8C中，利用勾股定理得：（x-

1）2+22=尤2,解方程即可.

【详解】解：设。4=03=x米，则0C=（x-1）米，BC=2米，

在RtElOBC中，由勾股定理得：

Ofy+BC^OB2,

0（尤-1）2+22=N,

解得X=g,

53

回。4=—（米），OC—x-1——（米），

22

答：荷叶的高度为15•米，水面的深度为3:米.

22

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意建立方程是解题的关键.

15.（2022秋•江苏•八年级专题练习）如图，一个直径为12c根（即BC=12a〃）的圆柱形杯

子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即EG=2c"z）,

当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯求筷子GE的长度.

【答案】筷子GE的长度是10cm.

【分析】根据题意可得。乐GE,EF=GE-2,在R/fflDEE中，根据勾股定理列出方程，解方

程即可求解.

【详解】解：设筷子GE的长度是那么杯子的高度EP是（尤-2）cm,

团杯子的直径为12cm,

回杯子半径DF为6cm,

在R龙］。FE中，（尤-2）2+62=x2,

即x2-4x+4+36-x2,

解得：x=10,

答：筷子GE的长度是10。〃.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解

决问题.

【过关检测】

选择题（共2小题）

1.（2021秋•常宁市期末）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1

尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是

A.10尺B.11尺C.12尺D.13尺

【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答.

【解答】解：设水深为尤尺，则芦苇长为（x+1）尺，

根据勾股定理得：X2+（也■）2=（X+1）2,

2

解得：x=12,

芦苇的长度=龙+1=12+1=13（尺），

故选：D.

【点评】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

2.（2021秋•朝阳区期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,

内壁高12cm.若这支铅笔长为18c则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度.然后求其差.

【解答】解：根据题意可得图形：AB=ncm,BC=9cm,

在中：22=15

Rt^ABCAC=^AB2+BC2=I/12+9

所以18-15=3（cm）,18-12=6（cm）.

则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm〜6cm之间.

观察选项，只有选项。符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题

的关键.

二.填空题（共4小题）

3.（2021秋•未央区校级期末）如图，一架梯子45长10米，底端离墙的距离为6米,

当梯子下滑到DE时，AO=2米，则8E=2米.

【分析】在Rt^ABC中，根据勾股定理得出AC,进而得出。C,利用勾股定理得出CE,

进而解答即可.

【解答】解：在RtaABC中，根据勾股定理，可得：AC=7AB2-BC2=V102-62=

8（米），

：.DC=AC-AD=8-2=6（米），

在RtZkDCE中，CE=VDE2-DC2=V102-62=8（米），

：.BE=CE-BC=S-6=2（米），

故答案为：2.

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运

用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键.

4.（2021秋•晋州市期末）如图，淇淇在离水面高度为5机的岸边C处，用绳子拉船靠岸,

开始时绳子BC的长为13m.

（1）开始时，船距岸A的距离是12m；

（2）若淇淇收绳5机后，船到达。处，则船向岸A移动（12」阿）m.

【分析】（1）在Rt^ABC中，利用勾股定理计算出AB长；

（2）根据题意可得CZ）长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用

可得3。长.

【解答】解：（1）在中，ZCAB=9Q°,BC=13m,AC=5m,

AB=7132-52=12（m）＞

故答案为：12；

（2）•.•淇淇收绳5，〃后，船到达。处，

：.CD=8（机），

•'-A£）=VCD2-AC2=VS2-52=V39（m）,

；.BD=AB-A£）=（12-\/39）m.

故答案为：（12-J丽）.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学

模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

5.（2021秋•宽城区期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一

丈，葭（jia）生其中，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何？"（丈、尺是长度

单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正

中央有一根芦苇A8,它高出水面1尺（即BC=1尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的

中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处.问水的深度是多少？则水深DE为J2

【分析】设水深为/?尺，则芦苇长为（/7+1）尺，根据勾股定理列方程，解出a即可.

【解答】解：设水深为场尺，则芦苇长为。7+1）尺，

根据勾股定理，得31）2-层=（104-2）2,

解得/?=12,

水深为12尺，

故答案是：12.

【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键.

6.（2021秋•滕州市校级月考）印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出过“荷花问

题”：

平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？

如图所示：荷花茎与湖面的交点为。，点。距荷花的底端A的距离为0.5尺；被强风吹

一边后，荷花底端与湖面交于点2,点B到点。的距离为2尺，则湖水深度OC的长是

3.75尺.

【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），

再根据已知条件求解.

【解答】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5,

根据勾股定理得：（x+0.5）2=7+4

解得:尤=3.75.

答：湖水深3.75尺.

故答案为：3.75.

【点评】本题考点：勾股定理的应用.根据已知条件得出直角三角形各边的长度，然后应

用勾股定理即可求出湖水的深度.

三.解答题（共4小题）

7.（2022秋•二道区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度

=1加，将它往前推送4〃?（水平距离BC=4〃z）时，秋千的踏板离地的垂直高度2尸=2根，

秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度.

【分析】设秋千的绳索长为mi,