北师大版八年级下册数学期末常考易错突破卷（拔高）

【期末测试•拔高】北师大版八年级下册数学常考易错突破卷

（考试时间：120分钟试卷满分：100分）

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.（2022•河南新乡•八年级期末）把4x2—9y2分解因式，正确的是（）

A.（4x+y）（x—9y）B.（3x+2y）（3x—2y）C.（2x+9y）（2x—y）D.（2x+3y）（2x—3y）

2.（2022.陕西延安.八年级期末）下列各式中，是分式的是（）

，Xc%-%cX+1

A.-2-—TiB.-2-—XC.-3D.------2--

3.（2022•黑龙江牡丹江.八年级期末）若a,b为等腰△ABC的两边，且满足|a-4|+后5=0，则△ABC

的周长为（）

A.8B.10C.8或12D.8或10

4.（2022•河北承德•九年级期末）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称

5.（2021•河南郑州•八年级期末）如图,直线、=区+》交坐标轴于4（0,3）,8（-5,0）两点，则不等式一收一

b<。的解集是（）

A.%>—5B.x<—5C.x>3D.x<3

（第5题图）□（第6题图）

6.（2022•山东济宁•八年级期末）下列四个选项中的图形，能通过如图所示的图形平移得到的是（)

0171G,日

7.（2022•湖南岳阳•八年级期末）关于x的不等式组户久一1>40-1）的解集为了<3,那么小的取值范围

Ix<m

是（）

A.m>3B.m>3C.m<3D.m=3

8.（2022•河南南阳•八年级期末）如图，在Rt"4BC中，ZC=90°,AC<BC,分别以顶点4、B为圆心，

大于|4B的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N,作直线MN交边CB于点D.若4）=5,CD=3,则

1

4B的长是（）

D.4A/5

（第10题图）

9.（2022・湖南长沙•八年级期末）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升，某书店分别用700元和900

元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多30套，且两次购书时，每套书的进价相同，若设书店

第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（）

.700900G700900—700900—700900

A.—=-----B.-----=—C.—=------D.-----=—

xx-30x-30xxx+30x+30x

10.（2022•山东淄博•八年级期末）如图，点E在平行四边形ABCD内部，AF//BE,DF||CE,设平行

C

四边形ABCD的面积为工，四边形AEDF的面积为Sz，则£的值是（）

23

A.-B.-C.1D.2

32

二、填空题（本题共6个小题，每题3分，共18分）

11.（2022・湖北孝感•八年级期末）若?ri?=2几+2021,n2=2m+2021（mn）,那么式子？n?—477m+

九3值为.

12.（2022•山东淄博•八年级期末）如果a-b=2,那么代数式（近止一2“.3的值是.

13.（2022.全国.八年级期末）如图，直线y[=七％+Q与+b的交点坐标为（1,2）,则关于x的不

等式七%+a<k2x+b的解集为.

14.（2022.河南•永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，在锐角AABC中，ZBAC=40°,ZBAC

的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN有最小值时，

ZABM=°.

15.（2022・山东烟台•八年级期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1,2）,B（-

2,2）,C（-1,0）.将△ABC绕某点顺时针旋转90。得到△DEF,则旋转中心的坐标是.

2

（第16题

图）

16.（2022.重庆巴蜀中学八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC=BC,E为BC上一点，连接

AE,将△力BE沿AE翻折得到AAFE,石尸12。交人（2于点6,若4E=4,CD=3五,则AG的长度为

三、解答题（本题共8个小题，17-22每题5分，23小题10分，24小题12分，共52分）

17.（2021・天津•七年级期末）计算.

（1）计算：V9+V-125+|-22|；

（2）解不等式（3x-4）-3（2x+l）<-1

--1<o（2?

（3）解不等式组：3并把解集在数轴上表示出来.

W3Q+1）②

⑷解方程组：「+2y=3"

13%—4y=4②

18.（2022・四川德阳•八年级期末）按要求作答.

(1)计算：2(a—3)(。+2)—(4+a)(4—a)；

(2)分解因式：9a2(x-y)+4b2(y-%)；

匕2

⑶化简:2b3ab

-27a39ab4

x21

（4）解分式方程:F--+=

x—4%+2x—2

19.（2022•内蒙古鄂尔多斯•八年级期末）计算及先化简，再求值：

（1）（2%+y）（%—y）—2（y2—xy）,其中x=2,y=-1.

Q）岩+（六+W）'请从-2,J，1，2四个数中选择一个合适的数代入求值（说明取值理由）.

20.（2021・山东日照.七年级期末）列方程，解应用题

小明家新买了一套住房，打算装修一下，春节前住进去.现有甲、乙两家装修公司可供选择，这两家装

修公司提供的信息如下表所示：

装修公司可用于装修人数（人）每名装修工人费用（元/天）设计费（元）

甲公司51802700

3

乙公司61601500

若设需要X天装修完毕，请解答下列问题：

(1)请分别用含X的代数式，写出甲、乙两家公司的装修总费用；

(2)当装修天数为多少时，两家公司的装修总费用一样多？

(3)根据装修天数x讨论选择哪家装修公司更合算(提示：结合(2)中的结论进行分类解决问题).

21.(2021•黑龙江牡丹江•七年级期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长

度.在平面直角坐标系中，44%的是2MBe向右平移4个单位长度向上平移2个单位长度后得到的，且

三个顶点的坐标分别为4(1，1),(4,2),Q(3,4).

⑵求出/CO4的面积.

22.(2022・湖南永州.八年级期末)△ACB和ADCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形.

⑴问题发现：

如图1,若点A,D,E在同一直线上，连接AE,BE.

①求证：△ACDgABCE；

②求NAEB的度数.

4

(2)类比探究：如图2,点B、D、E在同一直线上，连接AE,AD,BE,CM为△DCE中DE边上的高,

请求/ADB的度数及线段DB,AD,DM之间的数量关系，并说明理由.

(3)拓展延伸：如图3,若设AD(或其延长线)与BE的所夹锐角为a,则你认为a为多少度，并证明.

23.(2022・四川达州・八年级期末)小明的学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：

E

图1

⑴【习题回顾】已知：如图1,在44BC中，ZXCB=90°,4E是角平分线，CO是高，AE、CD相交于点

F.求证：NCFE=NCEF；

(2)【变式思考】如图2,在AABC中，ZACB=90°,CO是A3边上的高，若AASC的外角N8AG的平分

线交CO的延长线于点尸，其反向延长线与边的延长线交于点E,若/3=40。，求NCEP和NCFE

的度数；

(3)【探究延伸】如图3,在AABC中，在上存在一点£>,使得NACD=/B,角平分线A"交8于点

F.A/SC的外角/BAG的平分线所在直线与BC的延长线交于点若/M=35。，求NCFE的度

数.

24.(2021.河南商丘・八年级期末)如图，平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴正半轴于A、B

两点，且。4=2,03=1,点C在y轴负半轴上，且=行.

(1)求直线AC的函数解析式；

(2)若P是线段CA上的一动点，且从点C出发，由点C向点A以每秒2个单位长度的速度匀速运动，

连接BP,设尸的面积为S,点P的运动时间为t秒，写出s关于t的函数关系式，并直接写出自变量

t的取值范围；

(3)若P是直线AC上的一动点，Q是直线AB上的一动点，是否存在一点P使以O,C,P,Q为顶点

的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

5

6

【期末测试•拔高】北师大版八年级下册数学常考易错突破卷(解析版)

(考试时间：120分钟试卷满分：100分)

一、选择题(本题共10个小题，每小题3分，共30分)

1.(2022•河南新乡•八年级期末)把4x2—9y2分解因式，正确的是()

A.(4x+y)(x—9y)B.(3x+2y)(3x—2y)C.(2x+9y)(2x—y)D.(2x+3y)(2x—3y)

【答案】D

【分析】根据平方差公式因式分解即可.

【详解】解：4x2—9y2=(2x+3y)(2x-3y)

故选：D

【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，掌握平方差公式因式分解是解题的关键.

2.(2022・陕西延安.八年级期末)下列各式中，是分式的是()

.x_XcXrX+1

A•有B.右C.-D.--

【答案】B

【分析】根据分式的定义依次判断即可得出结果.

【详解】解：A、六属于整式，不是分式；B、七属于分式；C、g属于整式，不是分式；D、-等属于

2—712—X32

整式，不是分式；

故选B.

【点睛】本题主要考查了分式的概念，分式的分母必须含有字母，而分子可以含有字母，也可以不含字

母，理解定义是解题关键.

3.(2022•黑龙江牡丹江•八年级期末)若a,b为等腰△ABC的两边，且满足|a-4|+扬=1=0,则△ABC

的周长为()

A.8B.10C.8或12D.8或10

【答案】B

【分析】根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨

论求解.

【详解】解：根据题意，a-4=0,b-2=0,

解得a=4,b=2,

(1)若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4,不能组成三角形；

(2)若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4,能组成三角形，周长为2+4+4=10.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性

质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断.根据题意列出方

程式正确解答本题的关键.

4.(2022•河北承德・九年级期末)下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称

7

图形又是中心对称图形的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】逐项分析，利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可.

【详解】解：A选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；B选项中的图形是

中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；C选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称

图形，故该选项不符合题意；D选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题

思；

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解决本题的关键是理解并掌握“能沿一条直线折

叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形、中心对称图形则是将一个图形绕着平面内某个

点旋转180°,旋转后的图形能够与旋转前的图形完全重合”.

5.（2021.河南郑州•八年级期末）如图，直线尸1+6交坐标轴于4（0,3）,8（-5,0）两点,则不等式一质一

b<0的解集是（）

A.x>—5B.%<—5C.%>3D.x<3

【答案】A

【分析】求-kx-b<0的解集，即为kx+b>0,就是求函数值大于0时，x的取值范围.

【详解】解：：要求-kx-b<0的解集，即为求kx+b>0的解集，

从图象上可以看出等y>0时，x>-5.

故选：A.

【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于结合函数图象进行解答.

6.（2022•山东济宁•八年级期末）下列四个选项中的图形，能通过如图所示的图形平移得到的是（）

S

8

【答案】D

【分析】根据通过图案平移得到必须与题中已知图案完全相同，角度也必须相同，进行判断即可.

【详解】解：观察图形可知D选项中的图案可以通过题中已知图案平移得到，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

7.（2022・湖南岳阳•八年级期末）关于x的不等式组一1>40—1）的解集为彳<3,那么小的取值范围

Ix<m

是（）

A.m>3B.m>3C.m<3D.m=3

【答案】A

【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为x<3,即可求解.

【详解】解：f"-1①，解不等式①得：x<3,

•••不等式组的解集为x<3,

m>3.

故选：A

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小

大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键.

8.（2022•河南南阳•八年级期末）如图，在山/山中，ZC=90°,AC<BC,分别以顶点4B为圆心，

大于料8的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N,作直线MN交边CB于点D.若AT>=5,CD=3,则

4B的长是（）

【答案】D

【分析】利用勾股定理求出AC,再利用线段的垂直平分线的性质求出DB,再利用勾股定理求出AB即

可.

【详解】解：；NC=90。，AD=5,CD=3,

9

*'-AC=V4£）2_C£）2=-^52_32=4,

由作图可知，MN垂直平分线段AB,

；.DA=DB=5,

；.BC=CD+DB=3+5=8,

：.AB=y/AC2+BD2=V42+82=45/5.

故选：D.

【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是求出AC,BC的长，

属于中考常考题型.

9.（2022・湖南长沙•八年级期末）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升，某书店分别用700元和900

元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多30套，且两次购书时，每套书的进价相同，若设书店

第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（）

.700900r700900„700900_700900

A.—=-----B.-----=—C.——=------D.-----=—

xx-30x-30xxx+30x+30x

【答案】C

【分析】根据“第一次进书的总钱数十第一次购进套数=第二次进书的总钱数+第二次购进套数”列方程可

得.

【详解】解：若设书店第一次购进该科幻小说X套，

由题意列方程正确的是出=端，

xx+30

故选：C.

【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系.

10.（2022•山东淄博•八年级期末）如图，点E在平行四边形ABCD内部，AF//BE,DF||CE,设平行

C

四边形ABCD的面积为工，四边形AEDF的面积为色，则盛的值是（）

12

32

【答案】D

【分析】首先由ASA可证明：ZkBCE之aADF；由平行四边形的性质可知：S^BEC+SLAED=

公平行四边形ABCD,进而可求出£的值•

【详解】解：・・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・AD=BC,AD/7BC,

.".ZABC+ZBAD=180°,

•「AF〃BE,

.*.ZEBA+ZBAF=180°,

10

.\ZCBE=ZDAF,

同理得NBCE=NADF,

(NCBE=ZDAF

在^BCE和^ADF中,<BC=AD,

\ZBCE=ZADF

・・・△BCE丝△ADF(ASA),

ASABCE=SAADF,

・・,点E在口ABCD内部，

:・S〉BEC+S—EO=平行四边形ABCD，

1

:，S四边形AEDF=S^ADF+SLAED=SLBEC+SLAED=5s平行四边形ABCD，

・・・口ABCD的面积为Si,四边形AEDF的面积为S2,

彳=2，

故选：D.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边

形边的关系得出面积关系是解题关键.

二、填空题(本题共6个小题，每题3分，共18分)

11.(2022・湖北孝感•八年级期末)若Tn?=2几+2021,n2=2m+2021(mn),那么式子m3—4?rm+

外值为.

【答案】-4042

【分析】根据血？=2九+2021,n2=2m+2021(mHn),可得-2n=2021,n2—2m=2021,

2

m+n=—2,再把血3—4mn+/变形为=m(m2_2n)+n(n—2m),再代入，即可求解.

【详解】解：Vm2=2n+2021,n2=2m+2021(mn),

.".m2—2n=2021,n2—2m=2021,m2—n2=2n—2m,

(m+ri)(m—n)=2(n—m),

m+n=—2,

m3—4mn+v?

=m3—2mn+n3—2mn

=m(m2—2n)+n(n2—2m)

=2021m+2021n

=2021(m+n)

=2021X(-2)

=-4042

故答案为：-4042

【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，根据题意得到血？一2几=2021,n2—2m=2021,m+n=

-2是解题的关键.

11

12.(2022•山东淄博.八年级期末)如果a—b=2,那么代数式(任一2b).二的值是.

【答案】2

【分析】根据分式的混合运算对代数式进行化简，整体代入即可求解

【详解】解：(4—26).三

\a/a-b

_a2+b2-2aba

aa-b

_(a-d)2a

aa-b

=a-b

又因为a一b=2

所以原式=2

故答案为2

【点睛】本题考查分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题的关键.

13.(2022・全国•八年级期末)如图,直线上=/qx+a与%=七乂+人的交点坐标为(L2)，则关于x的不

等式上1久+a<k2x+b的解集为.

【答案】【分析】在图中找到两函数图象的交点，根据一次函数图象的交点坐标与不等式组解集的关系即

可作出判断.

【详解】解：：直线11：yl=klx+a与直线12：y2=k2x+b的交点坐标是(1,2),

当x=l时，yl=y2=2.

而当、1<乃时，即自刀+a<心万+。时，x<1.

故答案为：x<1.

【点睛】此题考查了直线交点坐标与一次函数组成的不等式组的解的关系，利用图象即可直接解答，体

现了数形结合思想在解题中的应用.

14.(2022.河南•永城市教育体育局教研室八年级期末)如图，在锐角AABC中，NBAC=40。，ZBAC

的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN有最小值时，

ZABM=°.

【答案】50

12

【分析】在AC上截取AE=AN,可证AAMEgaAMN,当BM+MN有最小值时，则BE是点B到直线

AC的距离即BE,AC,代入度数即可求/ABM的值；

C

【详解】解：如图，在AC上截取AE=AN,连接BE,E/MYP

ANB

VZBAC的平分线交BC于点D,

ZEAM=ZNAM,

；AM=AM,

.♦.△AME四△AMN,

；.ME=MN,

BM+MN=BM+ME>BE.

;BM+MN有最小值.

当BE是点B到直线AC的距离时，BE±AC,

ZABM=90°-ZBAC=90°-40°=50°；

故答案为：50.

【点睛】本题考查的是轴对称一最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件

结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数.

15.（2022・山东烟台•八年级期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1,2）,B（-

2,2）,C（-1,0）.将△ABC绕某点顺时针旋转90。得到△DEF,则旋转中心的坐标是

【答案】（1,-1）

【分析】由旋转的性质可得A的对应点为D,B的对应点为E,C的对应点为F,同时旋转中心在AD和

BE的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标.

【详解】解：由旋转的性质，得

A的对应点为D,B的对应点为E,C的对应点为F

作BE和AD的垂直平分线，交点为P

，点P的坐标为（1,-1）

故答案为：（1,-1）

13

【点睛】本题考查坐标与图形变化一旋转，图形的旋转需结合旋转角求旋转后的坐标，常见的旋转角有

30°,45°,60°,90°,180°.

16.（2022.重庆巴蜀中学八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC=BC,E为BC上一点，连接

AE,将小ABE沿AE翻折得到4AFE,EF1AC交AC于点G,若4E=4,CD=3a,则AG的长度为

［答案］^2##-Vio

55

【分析】过点F作，力E交于点H,由平行四边形ABCD得AB=CD=3&，由AC=BC,可设48=

^BAC=a,ik^ACB=180°-2a,由EF1AC求出NBEF=90。+180。-2a=270。-2a,由折叠的性

质可得4F=AB=3VL4BEA=^AEF=三4BEF=135°-a,进而求出NEAF=/.BAE=1800-a-

（135。-a）=45。，得出是等腰直角三角形，由勾股定理求出4H=FH=3,故EH=1,在RtA

FHE中，根据勾股定理求出EF,由等面积法即可得出AG的长.

【详解】解:

如图，过点F作交于点H,

:平行四边形ABCD,

：.AB=CD=3&，

"：AC=BC,

14

.•.设=ZBAC=a,

：.^ACB=180°-2a,

\'EF1AC,

：.ZCGE=90°,

/./BEF=90°+180°-2a=270°-2a,

,：AABE^AE褶羽折得至1!△AFE,

：.AF=48=3vL^BEA=ZAEF=|/BEF=135°-a,

ZEAF=ZBAE=180°-a-(135°-a)=45°,

...△4HF是等腰直角三角形，

：.AH2+FH2^AF2,即24"2=(3鱼)2,

解得：AH=3,

：.AH=FH=3,

：.EH=AE-AH=4-3=1,

在Rt△FHE中，EF=<FH2+EH2=V32+I2=V10,

r.S=-EF-AG=-AE-FH,即4G==等=—,

△AAEfF22EFV105

故答案为：处.

5

【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和与外角以及勾股定理，掌握相关知

识点的应用是解题的关键.

三、解答题(本题共8个小题，17-22每题5分，23小题10分，24小题12分，共52分)

17.(2021.天津•七年级期末)计算.

(1)计算：V9+V-125+|-22|；

(2)解不等式(3x-4)-3(2x+l)<-1

—1<0(2)

(3)解不等式组：3并把解集在数轴上表示出来.

#-1W3Q+1)②

%+2y=3①

（4）解方程组:

3%—4y=4②

【答案】（1）2；（2）x>-2；（3）-2<x<3,数轴表示见解析；（4）

【分析】（1）首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；

（2）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案；

（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不

到确定不等式组的解集；

（4）利用加减消元法求解即可.

【详解】解：（1）V9+Vz125+|-22|

15

=3-5+4

=2；

(2)(3x-4)-3(2x+l)<-1

去括号，得：3x-4-6x-3<-l,

移项,得：3x-6x<-1+4+3,

合并同类项，得：-3x<6,

系数化为1,得：x>-2；

(--1<0®

(3)3

U-lW3(x+1)②

解不等式①，得：x<3,

解不等式②，得：x>-2,

则不等式组的解集为-2Wx<3.

解集在数轴上表示如下：

-2-10123

(4)卜+2丫=3。

—4y=4②

①x2+②，得：5x=10,

解得x=2,

将x=2代入①，得：2+2y=3,

解得y=p

(x=2

方程组的解为_l.

[yv~2

【点睛】本题考查的是实数的运算、解一元一次不等式、解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正

确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则

是解答此题的关键.

18.(2022.四川德阳•八年级期末)按要求作答.

(1)计算：2(a—3)(。+2)—(4+a)(4—a)；

(2)分解因式：9a2(%—y)+462(y—%)；

2

⑶化简:b.2b3ab

-27a3'9ab4

x21

(4)解分式方程:F-------F--------=---------

x—4%+2x—2

【答案】(1)3案一2a-28；(2)(x—y)(3a+2b)(3a—2b)；⑶一点;(4)x=3

【分析】(1)利用多项式乘多项式法则进行运算化简即可；

(2)利用提公因式法和公式法因式分解;

16

(3)利用分式的乘除混合运算法则计算即可；

(4)两边同时乘最简公分母(x+2)(x-2),化为整式方程求解即可.

【详解】解：(1)解：原式=2(。2一。一6)—(16—

=2a2—2a—12—16+a2

二3。2—2a—28

(2)解：原式=9〃2(%一,)一4/(%-y)

=(%-y)(9a2-4b2)

=(%—y)(3a+2b)(3a—2b)

(3)解：原式二-^x也•学

-27a32bb4

1

~2ab2

(4)解：*Y+*2=T1

x-4x+2x-2

去分母，得x+2(x-2)=x+2

去括号，得久+2乂-4=刀+2

移项，得x+2x—%=4+2

合并同类项，得2x=6

系数化为1,得x=3

检验：当x=3时，(x+2)(x-2)¥0

，x=3是原分式方程的解

【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，分式的乘除运算以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解

决问题的关键.注意：解分式方程最后要检验，避免出现增根.

19.(2022•内蒙古鄂尔多斯•八年级期末)计算及先化简，再求值：

(1)(2%+y)(x—y)—2(y2—xy),其中x=2,y=-1.

(2)e+(六+占)，请从-2,-1,1,2四个数中选择一个合适的数代入求值(说明取值理由).

【答案】(1)2/一3y2+犯，3；(2)竺|

【分析】(1)利用整式混合运算法则，整式化简为：2/-3y2+xy,带入求值即可；

(2)利用分式混合运算法则，进行化简，注意分式有意义需保证计算过程中的分母均不为零，即可排除

部分a值.

【详解】解：⑴解：原式=2/-xy—y2-2y2+2孙=2/一3y2+孙，

将x=2,y=一1带入原式得：2X22-3X(-1)2+2X(-1)=3；

(2)原式=会+[(上墨L)+(a-2；(a+2)]

_a+l.a2+2a+l

a—2(a—2)(a+2)

_a+1(a—2)(a+2)

~a-2(a+1)2

17

4+2

4+1

若分式有意义，则#2、-2、-1,

...取a=l,原式=誉=|・

【点睛】本题主要是考查了整式以及分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

20.(2021・山东日照・七年级期末)列方程，解应用题

小明家新买了一套住房，打算装修一下，春节前住进去.现有甲、乙两家装修公司可供选择，这两家装

修公司提供的信息如下表所示：

装修公司可用于装修人数(人)每名装修工人费用(元/天)设计费(元)

甲公司51802700

乙公司61601500

若设需要x天装修完毕，请解答下列问题：

(1)请分别用含x的代数式，写出甲、乙两家公司的装修总费用；

(2)当装修天数为多少时，两家公司的装修总费用一样多？

(3)根据装修天数x讨论选择哪家装修公司更合算(提示：结合(2)中的结论进行分类解决问题).

【答案】(1)甲公司的总费用为(900X+2700)元，乙公司的总费用为(960X+1500)元；

(2)当装修天数为20天时，两家公司的装修总费用一样多；

(3)当x<20时，乙装修公司更合算；当x=20时，两家装修公司一样；当x>20时，甲装修公司更合算.

【分析】(1)根据题意和表格中的数据，可以用含x的代数式表示出甲、乙两家公司的装修总费用；

(2)根据题意和(1)中的结果，可以列出相应的方程；

(3)根据(2)中的结果和题意，可以列出相应的不等式和方程，然后求解即可.

【详解】解：(1)解：由题意可得，

甲公司的总费用为：2700+5x180x=(900x+2700)元，

乙公司的总费用为：1500+6xl60x=(960x+1500)元；

(2)解：令900x+2700=960x+1500,

解得x=20,

答：当装修天数为20天时，两家公司的装修总费用一样多；

(3)解：当900x+2700>960x+l500时，

解得x<20,

即当x<20时，乙装修公司更合算；

当900x+2700=960x+1500时，

解得x=20,

即当x=20时，两家装修公司一样；

当900x+2700<960x+l500时，

解得x>20,

18

即当x>20时，甲装修公司更合算；

答：当x<20时，乙装修公司更合算；当x=20时，两家装修公司一样；当x>20时，甲装修公司更合

算.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出

相应的方程和不等式.

21.(2021•黑龙江牡丹江•七年级期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长

度.在平面直角坐标系中，是/2BC向右平移4个单位长度向上平移2个单位长度后得到的，且

三个顶点的坐标分别为4(1,1),Bi(4,2),Q(3,4).

⑵求出/CO4的面积.

【答案】⑴见解析；A(-3,-1),B(0,0),C(-l,2)；(2)|

【分析】(1)利用平移的性质即可解答；

(2)利用三角形的面积公式计算即可.

【详解】解：⑴解：•."4ZQ是由是AABC向右平移4个单位长度向上平移2个单位长度后得到的,

且Ai(1,1),Bi(4,2),Ci(3,4),

.•.点A、B、C的坐标分别为：(-3,-1),(0,0),(-1,2),

顺次连接A、B、C三点，即为求作的三角形，如图所示：

19

5

111

=2x2——x1x2——x1x1——x1x2

222

_3

-2

【点睛】本题考查作图-平移变换、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

22.(2022•湖南永州•八年级期末)△ACB和小DCE是共顶点C的两个大小不一样的等边三角形.

图1图2图3

(1)问题发现:

20

如图1,若点A,D,E在同一直线上，连接AE,BE.

①求证：AACDgABCE；

②求/AEB的度数.

⑵类比探究：如图2,点B、D、E在同一直线上，连接AE,AD,BE,CM为△DCE中DE边上的高，

请求/ADB的度数及线段DB,AD,DM之间的数量关系，并说明理由.

⑶拓展延伸：如图3,若设AD(或其延长线)与BE的所夹锐角为a,则你认为a为多少度，并证明.

【答案】(1)①见解析；②/AEB=60。；(2)ZADB=60°,2DM+BD=AD,理由见解析；(3)a=60°,证明见

解析

【分析】(1)①由△ACB和△DCE是等边三角形知AC=BC,CD=CE,ZACD=60°-ZDCB=ZBCE,据

此即可得证；

②由△ACD丝Z\BCE知NADC=NBEC=120。，结合NCED=60。可得/AEB=60。；

(2)证△ACDgZkBCE得/CDA=/CED=60。，由/ADB+NCDA=/DCE+/CED知/ADB=60。，根据

CMXBE,且△CDE为等边三角形可得DE=2DM,DE+BD=BE=AD；

(3)同理知△ACD0Z\BCE,据止匕得NBEC=NADC,继而知NCDF+NCEF=180°,即

ZECD+ZDFE=180°,从而得出答案.

【详解】解：(1)①证明：:△ACB和ADCE是等边三角形，

；.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACD=60°-ZDCB=ZBCE,

.".△ACD^ABCE(SAS)；

②;△ACD也ABCE,

ZADC=ZBEC=180°-ZCDE=120°,

又：/CED=60°,

ZAEB=60°；

(2)解：ZADB=60°,2DM+BD=AD,理由如下；

VAC=BC,CD=CE,ZACD=60°+ZDCB=ZBCE,

.".△ACD^ABCE(SAS),

ZCDA=ZCED=60°；

ZADB+ZCDA=ZDCE+ZCED,

ZADB=60°；

又：CM，BE,且△CDE为等边三角形，

；.DE=2DM,

A2DM+BD=BE=AD；

(3)解：a=60。，理由如下：

同理可证^ACD丝△BCE,

；./BEC=/ADC,

21

.".ZCDF+ZCEF=180°,

AZECD+ZDFE=180°,而a+NDFE=180°,

.,.a=ZECD=60°.

【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等

知识点.

⑴【习题回顾】已知：如图1,在44BC中，AACB=90°,4E是角平分线，CD是高,AE.CD相交于点

F.求证：NCFE=/CEF;

(2)【变式思考】如图2,在ZL48c中，AACB=90°,CD是4B边上的高，若A4BC的外角AB4G的平分线交

CD的延长线于点F,其反向延长线与8C边的延长线交于点E,若/3=40。，求NCE尸和NCEE的度数；

(3)【探究延伸】如图3,在AABC中，在43上存在一点。，使得NACD=NB,角平分线AE交8于点

F.AABC的外角NBAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点若/M=35。，求NCEE的度

数.

【答案】(1)见解析；(2)25°,25°；(3)55°

【分析】(1)由余角的性质可得/B=/ACD,由角平分线的性质和外角的性质可得结论；

(2)由三角形内角和定理可求NGAF=130。，由角平分线的性质可求NGAF=65。，由余角的性质可求

解；

(3)由平角的性质和角平分线的性质可求NEAN=90。，由外角的性质可求解.

【详解】解：(1)证明：：/ACB=90。，CD是高，

.\ZB+ZCAB=90°,ZACD+ZCAB=9O°,

.\ZB=ZACD,

•；AE是角平分线，

.".ZCAF=ZDAF,

"?ZCFE=ZCAF+ZACDZCEF=ZDAF+ZB,

.\ZCEF=ZCFE；

(2)解：VZB=40°,/ACB=90°,

.".ZGAB=ZB+ZACB=40°+90°=130°,

：AF为/BAG的角平分线，

.\ZGAF=ZDAF=-x130°=65°,

2

22

：CD为AB边上的高，

/.NADF=NACE=90°,

ZCFE=90°-ZGAF=90°-65°=25°,

又：/CAE=NGAF=65°,ZACB=90°,

ZCEF=90°-ZCAE=90°-65°=25°；

(3)证明：：C、A、G三点共线，AE、AN为角平分线，

；.NEAN=90°,

又；/GAN=NCAM,

.•.NM+NCE