北师大版八年级数学下册 第三章 图形的平移与旋转（5类题型突破）

第三章图形的平移与旋转（5类题型突破）

题型一图形的平移

【例题】

1.下列生活现象中，属于平移现象的是（）

A.急刹车时汽车在地面滑行

B.风车的转动

C.投影片的文字经投影转换到屏幕上

D.钟摆的摆动

巩固训练：

2.将点（-L2）先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的点的坐标为（）

A.(-3,5)B.(-3,-1)C.(1,5)D.(1,-1)

3.在平面直角坐标系中，线段A的是由线段A3经过平移得到的，已知点A（-2,1）的对应

点为4（1,-2）,点3的对应点为夕（2,0）.则3点的坐标为（）

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-t-3)

4.如图，将AABC沿3c所在直线向右平移得到ADEF,则下列说法错误的是（）

A.AABC^ADEFB.AC1.DE

C.AB//EDD.BE=CF

5.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为4。,3）,沿轴向右平移后得到A’,A点的对应点A

在直线＞=%上，则点B与其对应点B，间的距离为（）

A.2B.3C.4D.5

6.如图，在三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,将三角形ABC沿直线BC向

右平移3个单位得到三角形。Eb,连接AD.则下列结论：

@AC/IDF,AC^DF-

②NEDF=90°；

③四边形ABFD的周长是18；

④AZ）:EC=3:2；

⑤点A到2c的距离为2.4.

其中正确结论的个数有（）

A.5B.4C.3D.2

题型二图形的旋转

【例题】

7.下列运动属于数学上的旋转的是）

A.乘坐升降电梯B.地球绕太阳转动

C.钟表上的时针运动D.将等腰三角形沿着底边上的高对折

巩固训练：

8.下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（）

A.

事tB蛛4A

9.如图，&43C绕点P逆时针旋转一个角度得到ADEF,则下面选项中不能表示旋转角的是

()

ZAPDC.NBPED.ZCPF

10.如图，在4x4的正方形网格中，△/〃、口绕某点旋转一定的角度，得到△MNP,则其旋转

中心可能是（）

MN

A.点AB.点8C.点CD.点。

11.如图，A。钻绕点。顺时针旋转40。得到AOCD,若450c=15。，则/O的度数是（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

12.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=1cm将RtAABC绕点A逆时针旋转得

到RtZXAB'C',AB'=()

A.1cmB.2cmC.&cmD.26cm

13.AA5C和△BD石是等边三角形，且人民。在一条直线上，连接A瓦交于点P,则下列结

论中错误的是（）

A.AC||BE

B.ZAPC=60°

C.可以看作是AA5c平移而成的

D.ACBD可以看作是△ABE绕点B顺时针旋转60。而成的

14.以原点为中心，将点尸（4,5）按逆时针方向旋转90。，得到的点。的坐标为（）

A.（-4,5）B.（-5,4）C.（4,5）D.（-…）

15.如图，正六边形绕中心。旋转一定的角度后能与自身重合，则旋转角至少是（）

16.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,将绕点3顺时针旋转得到△ABC,

使点A在BC的延长线上，则4c的长为（）

17.如图，在中，ZCMB=90°,边。1在x轴上，04=4,AB=3.将AOAB绕点。顺时针

18.如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段08=2夜，将A。出绕

原点逆时针旋转，每次旋转45。，则第2023次旋转结束后，点B对应点的坐标为（）

C.(0,-272)D.(0,2码

19.两块完全相同的含30。角的直角三角板ABC和AbC重合在一起，将三角板AEC绕直角

顶点C按逆时针方向旋转a(0°<«<90°),如图所示.以下结论错误的是()

A.当a=30。时，AC与A8的交点恰好为中点.

B.当《=60。时，A的恰好经过点8.

C.在旋转过程中，存在某一时刻，使得

D.在旋转过程中，始终存在A4U32.

题型三中心对称

【例题】

巩固训练:

21.下列图形中,既是轴对称图形，又是中心对称图形的是)

A.B.C.D.

22.如图，AABC与AAEC关于点。成中心对称，则下列结论不成立的是（）

BO=B0

C.AB//AB'D.NACB=NC'A'B'

23.如图，AABC与关于点。成中心对称，则下列结论不成立的是（）

B.AO=A'O

C.ZAOB=ZAOB'D.ZACB=ZC'AB'

题型四设计图案

【例题1

24.如图，由图案(1)到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是

(

(1)

A.轴对称B.旋转C.中心对称D.平移

巩固训练:

25.如图，由图案(1)到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是

()

(1)(2)(3)

A.轴对称B.旋转C.中心对称D.平移

26.下图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使图形是中心对称图形，添加方

法有（）种.

△A-\

/

A.1B.2C.3D.4

27.风车应做成中心对称图形,并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转.现有一长条矩形

硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片,将纸片黏到硬纸板上，做成一个能绕着

小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是（）

仁00

28.小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格,

下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（）

搭配①搭配②搭配③搭配④

!>>■豁EM

MMES.Ew

A.1种B.2种C.3种D.4种

题型五图形的平移与旋转综合解答题

【例题

29.如图，在边长为1的小正方形格中，AAC®顶点均在格点上,

(1)将SOB向左平移3个单位长度得到AA。#,请画出A4。4；

(2)以原点。为旋转中心，画出把AAOB顺时针旋转180。的图形^OB2

巩固训练：

30.如图，在平面直角坐标系中，4(3,4),3(4,2),C(l,l).

⑴画出AABC关于y轴的对称图形△ABC；

⑵画出△&4G沿y轴向下平移4个单位长度后得到的鸟a；

⑶若线段2c上有一点M(a,b)经过上述两次变换，则对应的点外的坐标是.

31.图①、图②和图③都是5x5的正方形网格，每个小正方形边长均为1.按要求分别在图①、

图②和图③中画图：

S©囱面面面

⑴在图①中画等腰AABC,使其面积为3,并且点C在小正方形的顶点上；

⑵在图②中画四边形ARDE,使其是轴对称图形但不是中心对称图形，D,E两点都在小正方

形的顶点上；

⑶在图③中画四边形ABBG,使其是中心对称图形但不是轴对称图形，F,G两点都在小正

方形的顶点上；

32.如图，在RtA4BC中，ZC=90°,把AABC绕着点3顺时针旋转得到△8DE,点C的对应

点。落在上，连接

E

⑴若3C=6,AC=8,求AE的长；

(2)若。为AB的中点，求证：右4珥是等边三角形.

33.如图，等边三角形ABC内一点。，将线段AD绕点A逆时针旋转60。，得到线段AE,连接

CD,BE,DE.

(1)请判断△⑷汨的形状,并写出判断的依据

⑵若ZAT>C=105。，求/3瓦)的度数.

34.如图，在等腰直角AABC中，AC=3C=4,ZACB=90。，点D,召分别为边AC,8C的中点，点

尸为线段OE上一点，现将线段CP绕点C顺时针旋转90。得到线段。。，连接BP,AQ.

(1)求证：NPBC=NQAC；

(2)若DP=2PE,连接QD,求丝的值.

35.如图，在RtAABC中，ABAC^9Q0,将RtA4BC绕点A顺时针旋转一定的角度得到Rt/\ADE,

且点E恰好落在边2C上.

⑴若/4BC=20。，贝l]NCAE=0

(2)求证：£4平分NCE。；

(3)连接OB,判断线段OB与线段BC的位置关系，并说明理由.

36.在等边AABC中,

(1)如图1,。为&4BC外一点，ZBDC=120°.求证；AD=DB+DC-

⑵如图2,。为AB边上一动点，连8,将CD绕着。逆时针旋转120。得到DE,连BE,取BE

中点F,连。/，猜想AD与。尸的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,/尸。。=60。，过C作CDLO尸于。，作CE，。。于E,(OD>Q4,OE>O3),若相>=«BE,

求黑的值.(用含〃的代数式表示)

(JD

第三章图形的平移与旋转(5类题型突破)

答案全解全析

题型一图形的平移

【例题】

1.下列生活现象中，属于平移现象的是()

A.急刹车时汽车在地面滑行

B.风车的转动

C.投影片的文字经投影转换到屏幕上

D.钟摆的摆动

【答案】A

【解析】略

巩固训练：

2.将点(T，2)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的点的坐标为()

A.(-3,5)B.(-3,-1)C.(1,5)D.(1,-1)

【答案】B

【分析】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，根据平移变化规律，横坐标，右移加，左移

减；纵坐标，上移加，下移减可得所得到的点的坐标为2-3),再解即可.

【解析】解：(T，2)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的点的坐标是

(-1-2,2-3),即(-3,-1).

故选：B.

3.在平面直角坐标系中，线段AB是由线段A3经过平移得到的，已知点A(-2,1)的对应

点为4(1,-2),点3的对应点为8(2,0).则3点的坐标为()

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(一1,-3)

【答案】C

【分析】根据对应点A、4找出平移规律，然后设点5的坐标为(x,y),根据平移规律列式

求解即可.

【解析】解：•••点A(-2,1)的对应点为4(1,-2),

.*.-2+3=1,1-3=-2,

•••平移规律是横坐标向右平移3个单位，纵坐标向下平移3个单位，

设点B的坐标为（x,y）,

则x+3=2,y-3=0,

解得x=-l,y=3,

所以点3的坐标为（-1,3）.

故选C

【点睛】本题考查了平移变换与坐标与图形的变化，根据已知对应点A、4找出平移规律是

解题的关键，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.

4.如图，将&43C沿8C所在直线向右平移得到ADEF,则下列说法错误的是（）

A.Z\ABC^/\DEFB.ACIDE

C.AB//EDD.BE=CF

【答案】B

【分析】本题考查了平移和三角形全等的性质，由平移的性质得到AXBC二△DEF,由三角形

全等的性质得Z6=ZDEF和3C=EF,即可得到答案.

【解析】解：A、AABC沿BC所在直线向右平移得到由平移性质得△ABC/ADEb,此

选项正确，不符合题意；

B、ACLDE无法证明是否正确，此选项错误，故本选项符合题意；

C、由△ABC当△DEF得ZB=ZDEF,则成立，此选项正确，不符合题意；

D、由△ABC/跖得3C=EF,则3E=CF成立，此选项正确，不符合题意；

故选：B.

5.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为4。，3）,沿轴向右平移后得到A’,A点的对应点4

在直线"%上，则点B与其对应点B，间的距离为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】c

【分析】先根据平移的特点可知所求的距离为83',且跖=44'=。。'，点4纵坐标与点A纵

坐标相等，再将其代入直线＞=%求出点A’横坐标，从而可知。。’的长，即可得出答案.

【解析】•••4(0,3)

由平移的特点得：所求的距离为38,88=44=0。，点4纵坐标与点A纵坐标相等，即点4

纵坐标为3

令y=3,代入直线丫=%得，X=4

则BB=AA=Od=4

故选：C.

【点睛】本题考查了平移的特点、一次函数的图象，掌握理解平移的特点是解题关键.

6.如图，在三角形A3C中，ABAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,将三角形ABC沿直线2C向

右平移3个单位得到三角形连接AD.则下列结论：

@AC//DF,AC^DF-

②NEDF=90°；

③四边形ABFD的周长是18；

④AD:EC=3:2；

⑤点A到BC的距离为2.4.

其中正确结论的个数有()

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】设AC与DE的交点为H,根据平移的性质可得

AC=DF^4,AC//DF,AB//DE,AD=CF=BE=3,然后可得ZEHC=ZBAC=ZEDF=90°,过点A作

AG,3c于点G,则AG即为点A到3C的距离，然后利用等积法可进行求解.

【解析】解：设AC与DE的交点为如图所示：

VAC=4,将三角形ABC沿直线2C向右平移3个单位得到三角形D卯，连接AD,

・••根据平移的性质知，AC=DF=4,ACHDF,ABHDE,AD=CF=BE=3,故①正确；

ABAC=90°,

：.NEHC=ABAC=NEDF=90°,故②正确；

VAB=3,BC=5,

•••四边形ABED的周长为

AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD=3+4+5+6=18,故③正确；

*.•EC=BC-BE=5-3=2,

：.AD:EC=3:2,故④正确；

过点A作AG,3c于点G,则AG即为点A到3c的距离，如图，

,：S^c=^AB-AC=^BC-AG,

•••AG=U=2.4,故⑤正确；

•••正确的个数有5个；

故选A.

【点睛】本题主要考查平移的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关

键.

题型二图形的旋转

【例题】

7.下列运动属于数学上的旋转的是（）

A.乘坐升降电梯B.地球绕太阳转动

C.钟表上的时针运动D.将等腰三角形沿着底边上的高对折

【答案】C

【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着

某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案，正确把握定义是解题

的关键.

【解析】A、乘坐升降电梯属于平移，不符合题意；

B、地球绕太阳转动不属于旋转，不符合题意；

C、钟表上的时针运动属于旋转，符合题意；

D、将等腰三角形沿着底边上的高对折属于轴对称，不符合题意;

故选：D.

巩固训练：

8.下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（）

【答案】C

【分析】本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、

对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变.要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；

②旋转方向；③旋转角度.（2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完

全重合，这样的图形叫做轴对称图形.能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向

和旋转角度.

【解析】解：选项A,B,D都是可以由一个基本图形旋转得到.选项C是轴对称图形，不

能旋转得到.

故选：C

9.如图，AABC绕点P逆时针旋转一个角度得到AQEF,则下面选项中不能表示旋转角的是

（）

A.NCPDB.ZAPDC.NBPED.ZCPF

【答案】A

【分析】本题考查旋转的性质，关键是掌握旋转角的定义.旋转角是指旋转中心与旋转前后

的对应点连线的夹角，由此即可判断.

【解析】解：由旋转角的定义知ZAP。，NBPE、NCPE都是旋转角，

故3、C、。不符合题意；

旋转后的对应点是F

・,./CPD不是旋转角，

，A符合题意.

故选：A.

10.如图，在4x4的正方形网格中，△WP绕某点旋转一定的角度，得到则其旋转

中心可能是（）

A.点AB.点BC.点CD.点。

【答案】B

【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线

的垂直平分线上，则连接PP,NN',分别作出PP,的垂直平分线，垂直平分线的交点

即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键.

【解析】解：如图，连接PP,NN',分别作出PP,的垂直平分线，

MN

PP',MV'的垂直平分线的交点为8,

二旋转中心是点8,

故选：B.

11.如图，AOAB绕点。顺时针旋转40。得到AOCD,若ZBOC=15。，则，。的度数是（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】C

【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握旋转

的性质是解题关键.

根据旋转得到AO=OC,根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出ZA=ZAC。，再根据

三角形的外角定理即可求出.

【解析】解：由旋转的性质可知，AO=OC,ZB=ZD,

：.ZA=ZACO,

：.ZAOC=40°,

ZA=ZACO=1(180°-ZAOC)=70°,

ZACO=Z.BOC+ZB,NBOC=15°,

.-.ZB=70°-15°=55°,

:.ZD=ZB=55°.

故选：C.

12.如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=lcm将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得

到RtZXAB。,AB'=()

A.1cmB.2cmC.V3cmD.26cm

【答案】B

【分析】本题考查直角三角形30。角所对直角边等于斜边一半及旋转的性质：旋转前后图形大

小形状不变只是位置发生改变；

【解析】解：：NC=90。，ZABC=30°,AC=1cm,

AB=2AC=2cm,

・・,将RtZkABC绕点A逆时针旋转得到RtWC,

AB'=AB=2cm,

故选：B.

13.AABC和△血汨是等边三角形，且A民〃在一条直线上，连接AE,。交于点尸，则下列结

论中错误的是()

A.AC\\BE

B.ZAPC=60°

C.△助DE可以看作是AABC平移而成的

D.ACBD可以看作是AABE绕点3顺时针旋转60。而成的

【答案】C

【分析】A、利用等边三角形的定义可得：NCAB=NDBE=60°，由同位角相等可得：AC\\BE.

B、先证明则ZBDC=ZAEB,根据外角的性质得：ZAPC=/EBD=60。,

C、因为两个等边三角形的边长不确定，所以本选项错误；

D、由B选项中的全等可得结论.

【解析】解：A、•.•3史和ABDE是等边三角形，

/.ZCAB^ZDBE^60°,

：.AC\\BE,

选项正确，不符合题意；

B、：AABC和△BDE是等边三角形，

/.AB=BC,BE=BD,ZABC=ZDBE=60°,

ZABC+ZCBE=NDBE+NCBE,

即ZABE=NCBD,

:.AABE珏CBD(SAS),

,NBDC=ZAEB,

：.ZAPC=/EAB+ZBDC=ZEAB+ZAEB=ZEBD=60°,

选项正确，不符合题意；

C、：AABC和△BDE是等边三角形，

但边长不一定相等，

选项错误，符合题意；

D、,:AABE二卫BD,且/EBD=60。，

ACBD可以看作是AABE绕点8顺时针旋转60。而成，

选项正确，不符合题意；

故选C.

【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定和

性质，本题是常考题型，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形.

14.以原点为中心，将点尸(4,5)按逆时针方向旋转90。，得到的点。的坐标为()

A.(-4,5)B.(-5,4)C.(4,5)D.(FT)

【答案】B

【分析】此题主要考查了坐标与图形变换-旋转.建立平面直角坐标系，作出旋转后的图形,

然后根据图形写出点Q的坐标即可.

【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为(-5,4).

)AP

故选：B.

15.如图，正六边形绕中心。旋转一定的角度后能与自身重合，则旋转角至少是()

B.60°C.90°D.150°

【答案】B

【分析】本题考查旋转对称图形的知识，正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的

部分，则旋转的角度即可确定.

【解析】解：正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转至少360+6=60

度，能够与本身重合.

故选：B.

16.如图，在AASC中，ZACB=90。，AC=3,BC=4,将AASC绕点B顺时针旋转得到△ABC,

使点4在BC的延长线上，则AC的长为（）

【答案】A

【分析】在AMC中，利用勾股定理可得钻=阮7^=5,再由旋转的性质可得A'3=AB=5,

然后由A'C=A3-BC即可获得答案.

【解析】解：在AABC中，ZACB=90°,

VAC=3,BC=4,

•*-AB=VAC2+BC2=V32+42=5-

由旋转可知，A'B=AB=5,

：.A,C=A,S-BC=5-4=1.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.

17.如图，在中，ZOAB=90°,边04在x轴上，04=4,AB=3.将绕点。顺时针

【答案】C

【分析】本题考查图形规律.根据题意先将前几次旋转后的坐标表示出查看规律即可得到本

题答案.

【解析】解：：NQ4B=90。，边0A在无轴上，0A=4,AB=3,

,将AOAB绕点。顺时针旋转，每次旋转90。，

.•.点8（4,3）,

第一次旋转片（3,-4）,第二次旋转员（-4,-3）,第三次旋转为（-3,4）,第四次旋转为（4,3）,

・••可知点B的坐标4次一循环，

・•.第2023次旋转结束时，2023+4=505……3,

.•.点5的坐标为（-3,4）,

故选：C.

18.如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段。3=2夜，将A04B绕

原点逆时针旋转，每次旋转45。，则第2023次旋转结束后，点3对应点的坐标为（）

A.（-2,-2）B.（20,0）C.（。,-2闾D.（。,2回

【答案】B

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转及探索图形规律.根据题意和角平分线的性

质，即可得到B点的坐标,根据旋转的规律即可得到旋转后B的坐标，找到规律，即可求解.找

到旋转的规律是解题的关键.

【解析】•.•射线是第一象限的角平分线，08=2也，

・••现2,2）,

由题意得：第一次旋转后点3对应点的坐标为（。,2应），

第二次旋转后点B对应点的坐标为（-2,2）,

第三次旋转后点B对应点的坐标为卜20,0）,

第四次旋转后点B对应点的坐标为（-2,-2）,

第五次旋转后点B对应点的坐标为倒厂2行），

第六次旋转后点3对应点的坐标为（2,-2）,

第七次旋转后点B对应点的坐标为（20,0）,

第八次旋转后点3对应点的坐标为（2,2）,

•••第八次旋转后与原来点B重合,

•••每8次一个循环，

•.•2023+8=252……7,

.,.第2023次旋转结束后，点B对应点的坐标与第七次的坐标相同为（20,0）.

故选：B.

19.两块完全相同的含30。角的直角三角板A3C和重合在一起，将三角板绕直角

顶点C按逆时针方向旋转a（0°<a<90°）,如图所示.以下结论错误的是（）

A.当。=30。时，AC与的交点恰好为AB中点.

B.当a=60。时，AE恰好经过点8.

C.在旋转过程中，存在某一时刻，使得

D.在旋转过程中，始终存在

【答案】C

【分析】根据全等三角形的性质可得AC=4C,BC=B'C,再根据旋转角求出等边三角形，

判断出①②正确，假设44=38,则可推出AA4，C冬的C,可得AC=BC与已知矛盾，判断出

③错误，再根据四边形的内角和等于360。求出A4,与M，的夹角为90。，判断出④正确.

【解析】解：：直角三角板ABC和重合在一起，

/.AC=AC,BC=B'C,

A：当a=30。时，ZACB=60°,

设AC与A3交点为G,如图所示,

B'

(C)CIr/

'：ZB=60°,

：.ZCGB=60°,

.♦.△BCG为等边三角形，

BC=BG,

'：NA=30。，

/.BC=-AB,

2

/.BG=-AB,

2

即4c与AB的交点为AB的中点，

故A正确；

B：当&=60。时，/&CB=60。，

NB'=60°,

I.以点E、C、8构成的三角形是等边三角形,

，B'B=B'C,

'：B'C=-A'B',

2

/.B'B=-A'B',

2

：.AF恰好经过B,

故B正确；

C在旋转过程中，ZACA=ZBCB'=a,

XVAC=AC,BC=B'C

.ACA'C

••兹一匹’

...AAABABB'C,

.AA,ACr-

：.AA'*BB,

故C错误;

D：如图，设直线A4,与直线班，交于M,

VZACA=a,AC=AC,

ZCAA'=ZCA'A=1(180°-«),

同理可得NCBa=NCB3=g(180O-a),

又*.*ZACB'=ZACA+ZACB'=900+a,

/.ZAMB'=360°-ZCAA-ZCB'B-ZACB'=360°-2x1(180°-a)-(90°+«)=90°,

：.AMIB'M,

...在旋转过程中，始终存在A4U32,

故D正确；

故选：C.

【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质,

熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

题型三中心对称

【例题】

【答案】D

【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：在同一平

面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个

图形就叫做中心对称图形.

根据中心对称图形的定义直接判断即可.

【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选不项符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

巩固训练：

21.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【答案】A

【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.在平面内，把一个图形绕着某个

点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这

个点叫做它的对称中心；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合

的图形叫轴对称图形.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选：A.

22.如图，AABC与关于点。成中心对称，则下列结论不成立的是（）

B

A.AB=ABB.BO=BO

C.AB//AB'D.ZACB=ZC'A'B'

【答案】D

【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键.

根据中心对称的性质判断即可.

【解析】解：；&ABC与AAEC关于点。成中心对称，

:.AB=AB,BO=BO,AB//AB,故A,B,C选项正确，NACB=NA'C'B'，故D选项错误.

故选：D.

23.如图，AABC与AAEC关于点。成中心对称，则下列结论不成立的是（）

A.点A与点A是对称点B.AO=AO

C.ZAOB=ZAOB'D.ZACB=ZC'AB'

【答案】D

【分析】本题主要考查了中心对称的性质，熟练掌握“成中心对称的两个图形，对应点的连线

被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等，”是解题的关键.根据中心对称图形的性质，

逐项进行判断即可.

【解析】解：A、点A与点A是对称点，故本选项正确，不符合题意；

B、AO=A'O,故本选项正确，不符合题意；

C、ZAOB=ZAOB',故本选项正确，不符合题意；

D、ZACB=ZAC'B'＞故本选项错误，符合题意.

故选：D.

题型四一元一次不等式（组）的解法

【例题】.

24.如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是

(1)⑵⑶

A.轴对称B.旋转C.中心对称D.平移

【答案】D

【分析】考查图形的对称、平移、旋转等变换，对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是

一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕

着一点旋转180。后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况.平移是将一个图

形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同.旋转是指将

一个图形绕着一点转动一个角度的变换.观察时要紧扣图形变换特点，认真判断；

观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答；

【解析】由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，可能用作的图形变化是旋转

变换和中心对称、轴对称变换，

图（1）图形沿某一直线方向移动不能得到图（2）（3）中图形重合，故没有用到平移.

故选：D.

巩固训练：

25.如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是

（）

【答案】D

【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答.

【解析】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90。的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋

转变换和中心对称.图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换.不符合题意；

图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移.

故选：D.

【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换.对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是

一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕

着一点旋转180。后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况.

平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相

同.旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换.观察时要紧扣图形变换特点，认真

判断.

26.下图由正六边形与两条对角线所组成，添加一条对角线使图形是中心对称图形，添加方

法有（）种.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据中心对称图形的性质作答即可.

【解析】解：如图，根据题意，添加一条对角线使图形是中心对称图形的方法只有一种方法,

故选：A.

【点睛】本题考查的是中心对称图形的性质，熟悉相关性质是解题的关键.

27.风车应做成中心对称图形,并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转.现有一长条矩形

硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片,将纸片黏到硬纸板上，做成一个能绕着

小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是（）

B.I6—

D.

【答案】A

【分析】风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，结合选项进行判断即可.

【解析】风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，

A、是中心对称图形，并且不是轴对称图形，符合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；

故选A.

28.小明有一个俯视图为等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图所示的九个空格,

下面列有积木的四种搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（）

搭配①搭配②搭配③搭配④

豁SM

MMES.EwMF

A.1种B.2种C.3种D.4种

【答案】D

【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项.

【解析】解：•••将搭配①②③④组合在一起，正好能组合成九个空格的形状，

・••恰好能放入的有①②③④.

故选：D.

【点睛】本题考查了图形的剪拼，解题关键是培养学生的空间想象能力以及组合意识.

题型五图形的平移与旋转综合解答题

【例题

29.如图，在边长为1的小正方形格中，AAC®顶点均在格点上,

(1)将AAOB向左平移3个单位长度得到A4。4,请画出A4。4；

(2)以原点。为旋转中心，画出把AAOB顺时针旋转180。的图形^OB2

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

【分析】本题考查了平面直角坐标系内点关于对称轴对称或原点对称，平移、旋转变换，本

题的关键是找到平移后和旋转后的对应点.

(1)根据平移的性质得到对应点，然后连线即可；

(2)根据旋转的性质得到对应点，然后连线即可.

30.如图，在平面直角坐标系中,4(3,4),3(4,2),C(l,l).

⑴画出AABC关于y轴的对称图形△ABC；

⑵画出△AB&沿y轴向下平移4个单位长度后得到的鸟a；

(3)若线段BC上有一点M(a,b)经过上述两次变换，则对应的点加2的坐标是.

【答案】(1)画图见解析

(2)画图见解析

(3)(-a,b-4)

【分析】本题主要考查作图一轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移

变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点.

(1)分别作出三个顶点关于＞轴的对称点，再首尾顺次连接即可；

(2)将△ABC的三个顶点分别向下平移4个单位长度，再首尾顺次连接即可；

(3)根据“关于y轴对称点的横坐标互为相反数、纵坐标不变”及“右加左减、上加下减”求解

即可.

【解析】(1)解：如图，△ABC即为所求作的三角形；

(2)如图，自G即为所求作的三角形；

(3)”(“力)经过第一次变换后的坐标为：(-凡9,

再经过第二次变换后的坐标为：。-4),

•••线段BC上有一点对(。力)经过上述两次变换，则对应的点画的坐标是(-4,。-4).

31.图①、图②和图③都是5x5的正方形网格，每个小正方形边长均为1.按要求分别在图①、

图②和图③中画图：

⑴在图①中画等腰AABC,使其面积为3,并且点C在小正方形的顶点上；

(2)在图②中画四边形AB/汨，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，D,E两点都在小正方

形的顶点上；

(3)在图③中画四边形使其是中心对称图形但不是轴对称图形，F,G两点都在小正

方形的顶点上；

【答案】(1)作图见解析

(2)作图见解析

⑶作图见解析

【分析】(1)取格点C,连接AC、2C即可；

(2)取格点。、E,连接AE、DE、即可；

(3)取格点F、G,连接AG、GF、所即可.

【解析】(1)解：取格点C,连接AC、BC,取格点。，连接B。，

•••图①是5x5的正方形网格，每个小正方形边长均为1,

ACO=AO=1,BO=3,BOIAC,

80垂直平分AC,

/.BC=BA,

AABC是等腰三角形，

XVSAABC=|AC-OB=1X2X3=3,

等腰AABC面积为3,且点C在小正方形的顶点上，

则即为所作；

(2)取格点。、E,连接AE、DE、BD,

•••图②是5x5的正方形网格，每个小正方形边长均为1,

AE//BD,AE^l,BD=3,

：.AE^BD,

四边形AB3E是梯形，

,•*AB=A/12+32=A/10-ED=《fS=而，

AB=ED,

四边形是等腰梯形，它是一个轴对称图形，不是中心对称图形,

则四边形4切E即为所作；

图②

(3)取格点F、G,连接AG、GF、所即可，

•••图③是5x5的正方形网格，每个小正方形边长均为1,

AAG//BF,AG=2=BF,

四边形ABFG是平行四边形，它是一个中心对称图形，不是轴对称图形,

则四边形AB/G即为所作.

G图③

【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，

等腰梯形的判定，勾股定理，平行四边形的判定，中心对称图形，轴对称图形，三角形的面

积等知识.解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题.

32.如图，在RtA4BC中，ZC=90°,把AABC绕着点3顺时针旋转得到△8DE,点C的对应

点。落在上，连接

⑴若3C=6,AC=8,求AE的长；

(2)若。为AB的中点，求证：AABE是等边三角形.

【答案】(1)AE=40；

⑵见解析

【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的

判定.

(1)由勾股定理求得AB=10,由旋转的性质得加=3C=6,OE=AC=8,求得仞=4,再根

据勾股定理即可求解；

(2)由旋转的性质推出OE是线段A3的垂直平分线，得至==即可证明AABE是等

边三角形.

【解析】(1)解：："=90。，3C=6,AC=8,

,,AB=46。+8。=10，

由旋转的性质得3D=BC=6,DE=AC=8,NBDE=NC=ZADE=90。,

：.AD=AB—BD=4,

AE=-JAD-+DE2=>/42+82=4行;

(2)证明：由旋转的性质得ZfiDE=/C=90。，BE=AB,

,。为A3的中点，

...DE是线段A5的垂直平分线，

/•AE=BE,

/•AE=BE=AB，

.••△ABE是等边三角形.

33.如图，等边三角形ABC内一点。，将线段AD绕点A逆时针旋转60。，得到线段AE,连接

CD,BE,DE.

（1）请判断△㈤汨的形状,并写出判断的依据;

⑵若NADC=105。，求的度数.

【答案】（1）等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

（2）45°

【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质：

（1）由旋转的性质可得4）=〃?，结合旋转角为60度，可证是等边三角形；

（2）先证AEAB均D4C（SAS）,推出ZA£B=ZADC=105。，再根据是等边三角形，得出

ZAED=&）°,即可求出/BED的度数.

【解析】（1）解：•••将线段AD绕点A逆时针旋转60。，得到线段AE,

AD=AE,ZZME=60°,

AADE是等边三角形（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形），

故答案为：等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；

（2）解：；3c是等边三角形，

AB=AC,ZBAC=60°,

由（1）知/ZME=60。，

ZEAB+ZBAD=ZDAC+ZBAD=60°,

ZEAB^ZDAC,

在和4c中，

AB=AC

<ZEAB=ZDAC,

AE=AD

A£AB^AZMC（SAS）,

ZAEB=ZA£>C=105°,

•••ZVADE是等边三角形,

ZA£E>=60°,

ZB£D=ZA£B-ZAED=105°-60°=45°.

34.如图，在等腰直角AABC中，AC=3C=4,ZACB=90。，点。，召分别为边AC,8c的中点，点

尸为线段OE上一点，现将线段CP绕点C顺时针旋转90。得到线段Q2,连接BRAQ.

⑴求证：NPBC=NQAC；

(2)若DP=2PE,连接QD,求黑的值.

At

【答案】(1)见解析

⑵竺=立

AC6

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明

三角形全等是解题的关键.

(1)由“SAS”可证△ACQ也ABCP,可得结论；

(2)由“&4S”可证△CPE2△CQD,可得尸后=。。=寺，即可求解.

【解析】(1)证明：•••将线段CP绕点C顺时针旋转90。得到线段CQ,

:.CP=CQ,ZQCP=90°=ZACB,

:.ZBCP=ZACQ,

AC=BC=4,ZACB=90°,

在AACQ和ABCP中,

CQ=CP

<ZACQ=NBCP,

AC=BC

:.AACQ^ABCP(SAS),

NPBC=NQAC;

(2)解：分别为边AC,3c上的中点,

:.DC=-AC=CE=-BC=2,

22

DE=>/2DC=2"

•：DP=2PE,

夕后

...PpE=_2---,

3

在△CPE和ACQD中,

CP=CQ

<ZBCP=ZACQ,

CE=CD

:.ACPE^CQD(SAS),

-,PE=QD=^^,

2V2

.QD卜卓

"AC~46'

35.如图，在RtAABC中，ABAC=9Q°,将Rt^ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到RtAADE,

且点E恰好落在边BC上.

(2)求证："平分NCED；

(3)连接判断线段与线段BC的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)40。

⑵见解析

(3)DB±BC,理由见解析

【分析】(1)由题意得NC=70。，根据旋转得AC=AE,则ZAEC=NC即可求得/。场；

(2)由旋转可得AE=AC和/AED=/C,则有N4£C=NC,得至UWC=N4ED,即可证明结论;

(3)由旋转得=和Z&4C=NZME,贝lj有ZZMB=/C4E和Z4DB=ZABD,进一步求得

ZABD=NC,结合NC+ZABC=90。，即可求得"BC=90。，故。3_L3c.

【解析】(1)解：,.•N/RC=20。，

/.ZC=70°,

根据旋转得AC=AE,则ZAEC=NC=70。，

・•・ZG4E=40°.

故答案为：40°；

(2)解：由旋转可得AE=AC,ZAED=NC,

：.ZAEC=ZC9

ZAEC=ZAED,

£4平分NCED

(3)解：DBA.BC,理由如下：

ABAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE9

：.ZDAB=ZCAE,

AB=AD,

ZADB=ZABD9

ZADB=ZABD=1(180°-ADAB),ZC=1(1800-ZCAE),

ZABD=/C,

ZC+Zz4BC=90°,

ZDB