北京市某中学2024-2025学年高三年级上册开学考试数学试题（解析版）

北京市日坛中学2024-2025

工.-业/J、、九

局二数学

2024.8

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项）

1.已知集合“=回一3<*<1),27=(.X|-1<X<4)J则()

（x|-l<x<l）

AB.U

C{XI-3<.r<4）x卜<4)

D.

【答案】c

【解析】

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【详解】由题意得"UN={X|-3<X<4}.

故选：c.

2.已知命题P：玉eR,有SHL171,则十为（）

A.VxeR,sin.T<1B.areR,sinx<1

c.V.xeR,sin.x<lD.BxeR,sinx<l

【答案】c

【解析】

【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.

【详解】由特称命题的否定形式可知小七区，有sina「1的否定为：V.veR,SHIA<1.

故选：C

3.已知/（*）是定义在R上的奇函数，当x>0时，/（・'）=l°g，L贝（）

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.

【详解】因为/（1）是定义在R上的奇函数，当X>0时，/（X）=l°g2X,

所以{2）=力2）=-1。小=-1,

故选：A

4.已知x,J,eR,则“x"”是＞』”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】通过特例，结合充分必要条件的判定方法即可判断.

【详解】T＞（Y,而

同样J2）＞（7）,而一？＜（一1）,所以充分性、必要性都不成立.

故选：D

国的，的取值范围是（）

/（2x-l）＜f

5.已知函数/"）是定义在［°，+0°）上的增函数，则满足

12

A.B.M)住

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的定义域及单调性计算即可.

2.x-l>0

、11

2J-1<-XE

【详解】由题意可知3,解不等式得同.

故选：D

6.若I。-二）=】，则二+亍=（）

A.一一B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法可求二，从而可求二+二

1…二】

【详解】由题设有\故二=1七，故二+亍=（1+1）+（1-1）=?

故选：D

7.已知（，+x+a）（2*-l）展开式中各项系数之和为3,则展开式中1的系数为（）

A.-10B.-11C.-13D.-15

【答案】B

【解析】

【分析】先求出a的值，再利用二项展开式的通项公式的特点，求出展开式中x的系数.

,y0

【详解】•.•N+'+a"2'T)展开式中各项系数之和为3,

所以令x=l,可得2+。=3,解得。-1,

26

(x+x+a)(2x-l)=(X3+.T+1)(2X-1)6

.心川的展开式的通项为a=*8'(-】)=C"i(-1),广

2

当在(*'+*+】)项中取X时,(2K-1)备项中需取“7,不符合条件；

当在"项中取1时，(八；1『项中需取、0,贝(j6/=0,即k=6,此时1的系数为

”(-1)6=1；

当在!丁+.1+1)项中取[时，项中需取X,贝即七=5,此时工的系数为

C；21(-1)3=-12

综上，卜'+x+a)(2D展开式中x的系数为

故选：B.

C=JFlog3[l+—|

8.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：A它表

示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽卬，信道内信号的平均功率S,信道

内

S

部的高斯噪声功率N的大小，其中万叫作信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.

按照香农公式，若不改变带宽印，而将信噪比方从100°提升至800°,则「的增长率约为

(lg2«0,3010；lg3w0,4771)()

A.16%B.26%c,30%D.33%

【答案】c

【解析】

【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得结果.

S

【详解】解：当"一时，。1=力叫1000,

S

—=8000

当N时,C2=fFlog28000

C2=JFlog38000=lg8000=3+31g2

===l+lg2«l+0.3010=1,3010

G=fFlog21000lgl000-3-

所以,

故°的增长率约为30%.

故选：c.

9.如图，在等腰梯形前CD中，皿=8,30=4,00=4,点P在线段功上运动，则以+尸3的取值范

【答案】B

【解析】

【分析】以中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求出各点坐标，求出4。方程，设P的

剧4-4,0)5(4,0)。(-2,24)

易知，ZDXO=60\故A。方程为：】'="(x+4),

故设尸6国"+4)),-44x4-2.

所》=(-4-X,-+4))丽=(4-+4))

PA+PB=(-2x.-2j3(x+4)}

，

|PA+PB|3=4xa+12(x+4)J=16[(x+3)3+3]

v-4<T<-2,

.•津+西最小值为16x3=做最大值为16x[(Y+3y+3]=16X4=64

方+廊|』4壬,8-

故选：B.

10.设集合人={(x，J)Ix-J21,g+r>4,x-qi'<2),则

A.对任意实数a,C，l)€”

B.对任意实数a,(2,1)«A

C.当且仅当a<0时，(2,1)«A

a/

D.当且仅当2吐(2,1)«A

【答案】D

【解析】

【详解】分析：求出(?」)€乂及01)£月所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.

J0

详解：若('DwA贝->2且a20,即若(LI)€4则°>2,

此命题的逆否命题为：若2,则有0」,任力，故选D.

点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种

非常有效的方法，根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设

4={x|p(x))，B=(x|g(x)),若月£3,则pnq；若且=3,则P=U,当一个问题从正面思

考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.

第二部分(非选择题共60分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.直线、一】'+3=0被圆*'+炉+%-4v=0所截得的弦长为.

【答案】-V5

【解析】

【分析】利用圆的一般方程与标准方程的转化先化简方程，再圆心在直线上求解即可.

【详解】，+丁+"4.1，=0化为标准方程得3+1)’+(.V-2)3=5

则圆心为半径「=下，

显然直线*-丁+3=°过圆心，则所截得弦为直径，其长为2把.

故答案为：2而

12.能使“cos(a+m=cosa+cosg”成立的一组a,1的值可以为.

【答案】33(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据给定的等式，写出一组a,.6的值并代入验证作答.

B=±

【详解】取一3'"-3,则cos(a+g)=cosO=l,

„,n.nil,

cosa+cosp=cos(-y)+cos—=-+—=1

因此cos(a+0=cosa+cos(成立

nn

oc---.pa=-

故答案为：

92a+l

13.若对任意正数x,不等式f+4x恒成立，则实数。的取值范围为.

--.+00

【答案】L4

【解析】

【分析】利用基本不等式计算即可.

2+12-,

-r——4-------0——r"2a+l

x+4xx+i

【详解】由题意可知'x对任意正数工恒成立,

4

rd—>2Jx-=4（x>0）

由基本不等式可知XVv当且仅当x=2时等号成立,

3

V~41

x+——

则X的最大值是2,

1

一S2a+1na2—

所以24,

--,+co

故答案为:4

...JmV+LxNO

/（X）=<3*

14.已知函数l（a-1）｝，*<°在（一叫地）上具有单调性，则实数加的取值范围是

【答案】（LJ5]

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性，考虑增或减两情况，列出相应的不等式组，求得答案.

fw.x2+l,.x>0

/（X）=53

【详解】因为函数"M-D丁,X<0在（应他上具有单调性，

力>0

<w2-1>0

所以当为增函数时，有liNm,-i,解得

m<0

,m3-1<0

当/（x）为减函数时，有解得加€0,

故实数用的取值范围为0，J?〕，

故答案为：（L0]

15.已知函数'（"-sini）,关于此函数的说法:①工为周期函数；

②人⑶（*eM）有对称轴；③（2°）为/式x）（"e"*）的对称中心；@1-4（x）|^»（«eN）；正确的序

号是.

【答案】①②④

【解析】

,..smnx,....

e

..裁一工£（力=--（"N）

【分析】由三角函数的性质及sinx,分别对各选项进行验证，即可得出结论.

.,、SID71X.

A(x)=--(”eN)

【详解】解：由函数smA

可得①工（x+%）y（x）（”eM）,可得〃力为周期函数，故①正确;

,,、sinnx.、八sin(-?ix)sinnx/入八

4。)=--(«eN)£（r）=

②由sin.vsin(-x)

故工（x）=X（--1»■）,£（力是偶函数，故Ace」『）有对称轴正确，故②正确;

“sin?2—n—sin—7i

惠0=^^=0〃5）=1^0

sin—sin一

③刀为偶数时，2,〃为奇数时，2

邑0），⑶=吧巴（〃=）

故2不为sinx的对称中心，故③不正确；

④由M1"半卜sina],可得正确，故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】本题主要考查三角函数的值域、周期性、对称性等相关知识，综合性大，属于中档题.

三、解答题共4小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数/6）=）二°$1（&111+60°,'）一招

（I）求/r）的单调递增区间；

[加—]

（U）若/（X）在区间,不上的最小值为-2,求m的最大值.

[-—■j-kTi,—+kTi].keZ.2

【答案】(I)1212(□)12

【解析】

【分析】（I）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增

区间;

（II）利用正弦函数的定义域和值域，求得加的最大值.

【详解】解：（I）〃"）=28"卜1nx+每。=2ccsx皿+2板4x-6

=sni2x+V3cos2x=2sin(2.v+—

--+k7r<>x^—+kn,keZ

得1212

5兀，兀，，r

——+k/r,—+k兀,ke1.

所以的单调递增区间是一1212

n'.兀c7t2n

xem，62x4-—62m+—,—

(II)因为所以33

兀

要使得了（"在［见6」上的最小值为一2,

n

sin2x+—jm,—

I3)在一

即6」上的最小值为-1.

、兀,兀-5几

-加+—W——切0——

所以32,即12.

5兀

所以加的最大值为12.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，定义域和值域，属于中档题.

bsinA-acosIB--6

17.在△ABC中,

(1)求B；

C=-

⑵若c=5,,求。从①6=7,②4这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

n

【答案】（1）3

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理，结合三角恒等变号，即可求解角3；

C=N.

(2)若选①匕=7,根据余弦定理求a；若选②一7，根据sin，=siw3+C),再根据正弦定理求a.

【小问1详解】

ab

在AABC中，由正弦定理得Sin/-sin5,得bsinA=asmB,

bsin-4=acos5--

又I61

Dc

：.asinB=acosI61

,_(.nA_n，n，兀6_1,_

sinB=cosB—|=cosBcos—+sinBsin—=—cos54--sinB

即I6；6622,

tanB=>/3

又8日0,n),

：,B=-

3

【小问2详解】

若选①〃=7,

则在△ABC中，由余弦定理b'=a'+c'-2accosB,可得J一5。-24=0,

解得a=8或a=-3(舍去)，可得。=8.

C=—sinZ=sin(5+C)=sin—cos—+cos—sin—=#+。

若选②4,则34344,

a_5

c而+『乃._5万+5

由正弦定理sin月sinC,可得一4—~F,解得2.

18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区

(人数众多)随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：

非患者的检测结果人数患者的检测结果人数

阳性1阳性76

阴性99阴性4

(1)从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；

(2)从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结

果为阳性的患者人数，利用(1)中所得概率，求X的分布列和数学期望；

(3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结

果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过05?并说明理由.

19

【答案】（1）20（2）详见解析（3）此人患该疾病的概率未超过05,理由见解析

【解析】

【分析】

（D直接用古典概型的概率公式计算可得答案；

（2）可知随机变量X服从二项分布，即丫~3（"，9），其中〃=3,-20,根据二项分布的概率公式

可得分布列和数学期望；

（3）根据患病率为0.01可知10万人中由99000人没患病，1000人患病，没患病检测呈阳性的有990

人，患病的检测呈阳性的950人，共有990+950=1450人呈阳性，所其中只有950人患病，所以患病率为

空＜。5

1450由此可得答案.

【详解】（1）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性.

76_19

所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为为一三.

（2）由题意可知其中〃=3,201

X的所有可能的取值为0,1,2,3.

山=。）=嘿2（孑忐

Pg”。喘八（步藕

达3端八（/黑

P（『）=C得八（9=绘

所以X的分布列为

w

X01

P

8000800080008000

vE（X）=叩=3x—=—

故X的数学期望2020.

（3）此人患该疾病的概率未超过05.理由如下：

由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为

119

99000x—+1000x--990+950-1940

10020,其中患者人数为950.

9509700•

若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为19401940^

所以此人患该疾病的概率未超过0.5.

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了二项分布的概率公式、分布列、数学期望，属于中档题.

19.已知椭圆。x'+A'S,设椭圆C与y轴的交点为4B(点A位于点8的上方),直线丁=匕+4

与c交于不同的两点M，N,直线1=1与直线交于点G,求证：三点共线

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】设坐标，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及两点之间的斜率公式判定*川即可.

【详解】由曲线c的方程为/+丁=8,可知点40,2),3(0,-2),

=Jex+4

「2-c2n(l+*)F+166+24=0

由1X+>=8

因为直线与曲线C交于不同的两点，

△=(16jt)3-96(l+>3)>0=>Jt3>-

所以2,

设点必知内),％(、”>),则n=4+4..4=a+4

16r24

y+2c\3玉，

J+2=JGJ

易知直线斑/的方程为为,所以点U1十一J,

k_心_2卜__"+?

“AN—“AG-

因为直线皿和直线的斜率分别为％,3』

kM-kAG:"一？1]+?―也+2।也+6

所以x33'x33X]

、76发

2x-----

*日土：u十七)1+2产r

=0

3X/2

1+“

即上川=心明故4G,“三点共线.

/(x)=ax---(a+l)lnx

20.已知函数'x,awR.

（L求函数/si的单调区间;

(?)当a时,若」（”>1在区间上恒成立，求a的取值范围.

【答案】0）当时，函数/（》）在（°」）上单调递增，在1+8）上单调递减；

当0<a<l时，函数，（*在卜a）上单调递减，在（°」），（屋"°）上单调递增;

当a-1时，函数/s）的单调递增区间为（0,+8）,无减区间；

小阳fo.ll

当时，函数了门）在I。1上单调递减，在I。人1+81上单调递增;

（2）（，国）

【解析】

【分析】（1）先求出了‘、」的定义域，在求导，根据。的范围得到函数的单调区间；

1’根据函数的单调性求出函数的最值，再由/（*）>1在区间口,」上恒成立，，得出a的取值范围.

【详解】解：⑴/（X）的定义域为3'>°）,

=--（a+l）*+l=（al）（xT）

x2x2•

当a«0时，ax-lcO,令'解得0<x<l,则函数-〃川在（°」）上单调递增，

令/解得x>l,则函数/⑴在（L+W上单调递减.

1<T<1㈢

当0<a<l时，令””<0,解得<、</,则函数/⑴在I7上单调递减，

令」解得0cxe1或“,>a,则函数/（*）在（°J）,la'1上单调递增.

当。・1时，2°恒成立，则函数J"1的单调递增区间为（0,+8