湖北省楚天教科研协作体2024-2025学年高二下学期2月收心考试数学试题

学年湖北省“楚天教科研协作体”高二（下）2月收心考试❖8小题，每小题5分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线的倾斜角为A.B.C.D.2.设等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则A.7B.15C.31D.633.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A.B.C.D.4.“”是“直线与直线平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.小明同学有6把钥匙，其中2把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，第二次才能打开门的概率为如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为，则，的值分别为A.，B.，C.，D.，6.已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于A.B.C.D.7.在三棱锥PAPBPC若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为A.B.C.D.8.设，分别是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为若，则C的离心率为第1页，共1页A.B.C.D.3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是A.B.当取得最大值时，C.数列是递减数列D.10.下列命题正确的是()A.若三个事件A，B，C两两相互独立，则B.设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件C.若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥有可能同时成立D.若事件A，B相互独立，，，则11.如图，在棱长为2的正方体中，点O为BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是A.若，则B.若，，则点P的轨迹长度为C.若，，则D.若，，直线OP与平面所成的角为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分。第1页，共1页12.双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的周长为.13.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为.14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数8个步骤变成简称为8步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，当时，试确定使得至少需要步雹程;若m所有可能的取值集合M为.四、解答题：本题共5小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线求曲线C的方程;过点的直线l与曲线C交于P，Q两点，若，求直线l的方程.16.本小题15分已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的动直线l交E于A，B两点.当时，求抛物线E的方程;证明：无论如何变化，是定值为坐标原点，并求出该定值.17.本小题15分ABCDE中，，，，，G为BC的中点，以AD为折痕将图甲中的折起，使点E到达如图乙中的点S的位置，且第1页，共1页证明：平面平面求平面SAD与平面SBC的夹角的余弦值.18.本小题17分设等比数列的前n项和为，已知求数列的通项公式;在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.①设，求②在数列中是否存在三项、、其中mkp成等差数列项;若不存在，说明理由.19.本小题17分是圆AP是圆ABP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线第1页，共1页求曲线C的方程;一组平行直线的斜率为C有两个公共点时，证明这些直线被曲线C截得的线段的中点在同一条直线上;设曲线C与y轴正半轴的交点为My轴负半轴的交点为N的直线TMTN分别与曲线C交于E、F两点.若的面积是的面积的倍，求的最大值.第1页，共1页答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线的点斜式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．求倾斜角的值范围的步骤求出斜率的值范围若斜率不存在，则倾斜角为利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的值范围【解答】解：由直线的方程得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又所以故选2.【答案】C【解析】解：设公比为q，因为，，成等差数列，所以，则，解得因为，所以，所以3.【答案】B【解析】解：由题意可得：，解得：，双曲线的渐近线方程为故选4.【答案】C【解析】解：当时，直线：与直线：，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，满足充分性；当两条直线平行时，得到，第1页，共1页解得，或不合题意舍去，故满足必要性；所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件.5.【答案】A【解析】解：将6把钥匙分别标号为1，2，3，4，5，6，其中标号，5，6的钥匙是能打开门的，标号为1，2，3，4的钥匙是不能打开门的，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，即为不放回地抽取，则尝试开门两次，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，即为不放回地抽取，则尝试开门两次，尝试开门两次的样本点有个，其中第二次才能打开门的样本点有，，，，，，，8个，所以；如果试过的钥匙又混进去，即为有放回地抽取，则尝试开门两次的样本空间为，共有36个样本点，其中第二次才能打开门的样本点有，，，，，，，共有8个，所以6.【答案】D【解析】解：曲线，得，则，所以曲线表示圆心为，半径为的半圆轴及以上部分，由于，故当时的面积取得最大值，此时圆心到直线l：的距离为，即，注意到，得7.【答案】B【解析】解：如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，第1页，共1页以P为原点，PA、PB、PC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，所以，，，，，，设三棱锥外接球的半径为R，，则，，，，，，，，，所以，当时，取得最小值故选8.【答案】D【解析】解：在中，，，，记，则，第1页，共1页在中，，由余弦定理，，结合解得9.【答案】AC【解析】解：设的公差为d，，故，故A正确；，故，所以，且，故D错误；又因为是等差数列，故数列是递减数列，故C正确；因为，，故当取得最大值时，，故B错误．10.【答案】BD【解析】解：对于A选项，设样本空间，每个样本点的概率为，定义，；，；，，，，，；，，所以A、B、C两两相互独立，而，，，此时，A选项错误；对于B选项，已知，，，即，所以A、B是相互独立事件，B选项正确;对于C选项，若A、B互斥，则，若A、B相互独立，则因为，，所以事件A，B相互独立与A，B互斥不可能同时成立，C选项错误;对于D选项，因为A、B相互独立，则，所以，D选项正确.第1页，共1页11.【答案】ACD【解析】解：连接，，DP，BP，，以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，，则，故，对于A，，，若，则，所以，故A正确;对于B，若，，则，因为，所以，所以点P的轨迹长度为1，故B错误；对于C，，，，的法向量为，则，故可设，所以点P到平面的距离，在中，，则，所以，故C正确;对于D，若，时，，，则，设，，第1页，共1页则，，，由于函数在上单调递减，在上单调递增，，，，所以，所以，，，，，所以，所以，所以，故D正确.12.【答案】解：由题意，，易得M在左支上，利用双曲线的定义知，故，又焦距为8，故三角形的周长为，故答案为【解析】答案详解和解析过程见【答案】13.【答案】【解析】解：设，分别表示甲两轮猜对1个、2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个、2个成语的事件．，，，，设“两轮活动‘星队ˈ猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以，因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是14.【答案】；【解析】解：当时，则按运算法则得到：，第1页，共1页即使得需要10步“雹程”，若，则或1，当时，则或5，若，则或21；若，则，若，则；当时，或3，若时，则，若时，则；当时，则或1，若，则或5；若，则，故m所有可能的取值集合M为，故答案为：10；15.【答案】解：设，由得，两边平方化简得：，故曲线C的方程为：；当直线l斜率不存在时，此时直线与圆相交于P，Q两点，令，则，，不符合题意，舍；当直线l斜率存在时，设，圆心到直线l的距离为弦长，故，，又，平方，得，故或，所以直线l的方程为或，即或【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】解：抛物线的焦点，依题意，直线l的斜率不为0，设直线，，，由，消去x得：，显然，，，第1页，共1页，当时，，于是，解得，所以抛物线E的方程为由可知，，则，因此对任意的实数t，为定值，所以无论如何变化，是定值【解析】详细解答和解析过程见【答案】17.【答案】证明：在平面五边形ABCDE中，，，所以四边形ABCDE是直角梯形，且，在直角中，，且，则，可得，从而是等边三角形，AC平分因为G为BC的中点，所以，所以，又因为，且SA，平面SAC，所以平面又因为平面ABCD，所以平面平面取AD的中点F，连接SF，过点S作SO垂直AC于点O，连接OF，如图，因为平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，则因为，F是AD的中点，所以，又且SO，平面SOF，所以平面SOF，第1页，共1页由平面SOF，则；又因为，所以，则点O是AC的中点，又，所以，可得以D为原点，以DA，DC所在的直线分别为x，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面SAD的一个法向量为，，则，令，则设平面SBC的一个法向量为，，则，令，则设平面SAD与平面SBC的夹角为，则，所以平面SAD与平面SBC的夹角的余弦值为【解析】详细解答和解析过程见【答案】18.【答案】解：因为，所以当时，，两式相减得，又因为数列是等比数列，所以，第1页，共1页而，因此，解得，因此数列是以3为首项，公比为4的等比数列，所以由知，，因为，所以，所以，则，所以，所以假设在数列中存在，，其中成等差数列成等比数列，则，即，因为m，k，p成等差数列，所以，不妨设，整理可得：，即，即，即，即，因为，则，故假设不成立，所以在数列中不存在三项，，其中m，k，p成等差数列成等比数列．【解析】详细解答和解析过程见【答案】19.【答案】解