2024-2025学年高中数学试题选择性必修一（人教B版2019）第2章平面解析几何2-6-1双曲线的标准方程

2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程课后训练巩固提升1.已知m,n∈R,则“mn<0”是“关于x,y的方程x2m+y2n=1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:若方程x2m+y2n=1当mn<0时,方程x2m+y故“mn<0”是“方程x2m+y2n答案:C2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,在双曲线左支上过F1的弦AB的长为5.若2a=8,则△ABF2的周长是()A.16 B.18 C.21 D.26解析:由双曲线的定义可知,|AF2||AF1|=2a,|BF2||BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=4a+|AB|.所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2|AB|=26.答案:D3.已知双曲线的两个焦点分别为F1(5,0),F2(5,0),P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则该双曲线的方程为()A.x22-y23C.x24y2=1 D.x2y解析:设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意得||PF1||PF2||=2a,|PF1|2+|PF2又∵|PF1|·|PF2|=2,∴(|PF1||PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=(25)2,∴a=2,b=1,故双曲线的方程为x24y2=答案:C4.(多选题)已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点,点A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则A.6 B.8 C.10 D.12解析:设双曲线的右焦点为F',则F'(4,0),|PF|=|PF'|+2a=|PF'|+4.故|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=5+4=9,当点P在线段AF'上时取最小值9.故选CD.答案:CD5.设点P是双曲线x29-y216=1上任意一点,F1,F2分别是其左、右焦点.若|PF1|=10,解析:由双曲线的标准方程,得a=3,b=4.于是c=a2+b因为|PF1|>a+c,所以点P可能在双曲线的左支上,也可能在双曲线的右支上.若点P在双曲线的左支上,则|PF2||PF1|=2a=6,故|PF2|=6+|PF1|=16.若点P在双曲线的右支上,则|PF1||PF2|=6,故|PF2|=|PF1|6=106=4.综上,|PF2|=16或|PF2|=4.答案:16或46.若关于x,y的方程x2k-3+y2k+3=1解析:因为方程x2k-3+y2k+3=1表示焦点在y答案:3<k<37.若曲线C:x225-k(1)焦点在y轴上的双曲线;(2)双曲线.分别求出满足上述条件的实数k的取值范围.解:(1)由题意,得25-k<0,故当k>25时,曲线C为焦点在y轴上的双曲线.(2)由题意,得(25k)(9+k)<0,解得k>25或k<9.故当k>25或k<9时,曲线C为双曲线.8.已知双曲线x216-y24=1的左、右焦点分别为(1)若点M在双曲线上,且MF1·MF2=0,(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.解:(1)不妨设点M在双曲线的右支上,点M到x轴的距离为h.∵MF1·MF2=0,∴设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义知,mn=2a=8.①∵MF1⊥MF2,∴m2+n2=(2c)2=80.②由①②得,mn=8.∴S△F1MF2=12mn=4=1故点M到x轴的距离