八年级数学专项复习：动点中特殊三角形存在性的勾股求解 基础巩固提升训练

基础巩固+技能提升

【基础巩固】

1.（2020•江苏苏州期中）如图，RtAACfi中，NACB=90°,AB=13,AC=5,动点尸

从点B出发沿射线3C运动，当AAPB为等腰三角形时，这个三角形底边的长为

【答案】24或医或13.

【解析】解：由勾股定理得：BC=12

如图，BP=2BC=24；

在Rt^ABP中，由勾股定理得：AP=7AC2+CP~=752+(13-12)2=V26；

此时P点在线段AB的垂直平分线上，AB=13

故答案为：24或技或13.

2.（2020•浙江宁波期中）老师请同学在一张长为17cm,宽为16cm的长方形纸板上剪下一

个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余

两个顶点在长方形的边上）请你计算剪下的等腰三角形的面积.

【答案】见解析.

【解析】解：①如图，AE=AF=10cm,SAAEF=50cm2.

②如图，AE=EF=10

；.BE=AB-AE=6

在R3BEF中，由勾股定理得：FB=8,

SAAEF=40cm2

③如图，AE=EF=10

；.DE=AD-AE=7,DF=751

SAAEF=5y/51cm2

3.（2020・山东烟台期中）Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B

出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）.当t为何值时，AABP为直角

三角形？

【解析】解：在Rtz\ABC中，由勾股定理得：BC2+AC2=AB2

.♦.BC=8,

(1)当NAPiB=90。时，Pi在C处,即BPi=8,

t=8-r2=4(s)；

(2)当NBAP2=90。时，

222

在4ACP2中，由勾股定理得：AC+CP2=AP2

222

.\6+(2t-8)=AP2

222

在△BAP2中，由勾股定理得：AB+AP2=BP2

22222

AP2=BP2-AB=(2t)-10

.\(2t)2-102=62+(2t-8)2

25

解得：t=一.

4

25

综上所述，当t为4或一时，4ABP为直角三角形.

4

4.(2020・仪征市月考)如图，长方形ABCD,AB=9,AD=4.E为CD边上一点，CE=6.

(1)求AE的长.

(2)点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE.

设点P运动的时间为t秒，

①则当t为何值时，APAE为等腰三角形？

②当t为何值时，△PAE为直角三角形，直接写出答案.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)由题意知，CD=AB=9,DE=CD-CE=3,

：AD=4,；.AE=5

(2)①由题意知，BP=t,AP=9-t,

过E作EF_LAB于F,则EF=AD=4,AF=DE=3,

当AE=PE时，F是AP中点，AP=2AF=6,BP=3,

即t=3

当AE=AP时，BP=4,t=4

当PE=AP时，PE2=AP2,即PF2+EF2=AP2,

(6-t)2+42=(9-t)2,解得：t=6.5

综上所述，当t=3或4或6.5时，△APE是等腰三角形.

②当NAPE=90°时，EP_LAP,AP=3,BP=6,t=6

当ZAEP=90°时,AP2=AE2+PE2,

Ap2=AE2+EF2+PF2

2

(9-t)2=52+42+(6.t)2,解得：t=—

3

2

当t为6或一时，^PAE为直角三角形.

3

5.(2019・广东深圳宝安期中)如图，Z^ABC中，ZACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,若点P

从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为t(t>0)秒.

(1)AC=cm；

(2)若点P恰好在NABC的角平分线上，求此时t的值；

(3)在运动过程中，当t为何值时，4ACP为等腰三角形.

3118

【答案】(1)6；(2)t=一s或t=5s；(3)2.5s或3s或6s或一s.

35

【解析】解：(1)根据勾股定理得：AC=6cm,

故答案为：6；

(2)①点P在AC边上，且AP平分NABC时，过P作PD_LAB于D,

设PC=xcm,贝AP二(6-x)cm,DP=PC=xcm,

〈BP是NABC的角平分线，

・•・NDBP=NCBP,

VBP=BP,

・•・APDB^APCB

.*.BD=BC=8cm,

AD=AB-BD=10-8=2cm,

在RtZkADP中，由勾股定理得，AP2=AD2+DP2,

Q

(6-x)2=22+x2,解得x=—,

3

,8

・・2t-l8=—，

3

.t.31

当点P与B重合时，则2t=10,t=5,

31

综上所述，t=一s或t=5s；

3

(3)①当AP=AC=6cm,贝12t=6,此时t=3s；

②当PA=PC时，过P作PD_LAC于点D,则AD=3,PD=4,

・・・AP=5,

：.2t=5,

此时t=2.5s；

③当PC=AC=6cm,

(i)点P在BC上时，则BP=8-6=2cm,

此时t=6s,

(ii)点P在AB上时，则AC=CP=6cm,过C作CE_LAB,则AE=PE=t,

11

SAABC二一ABCE=-ACBC

22

11

A-xlO-CE=-x6x8

22

••^=y/AC2-CE2=-^

此时仁gs.

1Q

综上所述，在运动过程中，当t为2.5s或3s或6s或二s时，4ACP为等腰三角形.

6.(2019•渠县月考)如图，在AABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm,动点尸从点C

出发，按CfAf6fC的路径运动，且速度为2cm/s,设运动时间为/(s).

(1)求AA6c的面积；

(2)求AC边上的高BD的长；

(3)当/为何值时，△APC的面积为9.6(cm2)；

(4)当点尸在3C边上运动时，若△「口)是等腰三角形，请求出满足条件的/的值.

【答案】见解析.

【解析】(1)解：过A作AHLBC于H.

；.BH=CH=3cm,

AH=4cm,

/.S=6x4-?-2=12cm2；

24

(2)由BCAH=ACBD得：BD=—cm；

__24

(3)由(2)知，AB边上的IWJ等于AC边上的IWJ,均为不-cm,

当P在AB边上时，由△ACP面积为9.6知,

2x9.6

AP=24=4,

T

此时t=(4+5)：2=4.5

2x96

当P在BC上时，PC=--------=4.8

4

t=(6-4.8+10)：2=5.6

故当t为4.5s或5.6s时，△APC的面积为9.6cm2；

(4)当点P在BC上时，PC=16-2t,AD=1.4

①当CD=CP时，

16-2t=3.6,

/.t=6.2s；

②当PD=PC时,

・•・ZC=ZPDC,

VZC+ZCBD=90°,ZPDC+ZPDB=90°,

・・・ZPBD=ZPDB,

APB=PD,

APC=PB=3,

A16-2t=3,

t=6.5；

③当DP=DC时，过点D作DHLBC于H.

VDP=DC,DH_LPC,

；.PH=CH=8-t,

,/DH=^DC=288cm

BC

54

/.CH=——cm,

25

,解得t=¥9.

2525

146

综上所述，满足条件的t的值为6.2或6.5或

25

7.已知在RSABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,CD为AB边上的高.动点P从

点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s,设运动时间为t.

(1)求CD的长;

(2)当P在AB边上运动，t为何值时，AACP为等腰三角形？

【答案】(1)4.8cm；(2)8.4或9或9.5或6s.

【解析】解：(1)：AC=6cm,BC=8cm,ZACB=90°,

.\AC2+BC2=AB2,

AB=10cm,

〈CD为AB边上的高，

・,.AC・BC=AB・CD,

CD=4.8cm；

(2)①当点P在AB上，CA=CP时,

在RtZ\ADC中，AD=3.6,

；.DP=AD=3.6(s),

则t=(6+8+10-3.6x2)+2=8.4,

②当AC=AP时，t=(24-6)+2=9(s),

③当PA=PC时，过P作PH_LAC于H,

贝UAH=CH=3,HP=-BC=4,

2

由勾股定理得，AP=5,t=(24-5)+2=9.5(s),

④当点P在BC上，

CP=AC=6,t=12-r2=6(s),

故当t=8.4或9或9.5或6s时，AACP为等腰三角形.

8.(2020•河南南阳月考)如图，在RtaABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从

点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为/秒.

(1)求边的长；

(2)当AABP为直角三角形时，求才的值；

(3)当为等腰三角形时，求t的值.

48

【解析】解：⑴在RtZ\ABC中，BC2=AB2-AC2=102-62=64,

BC=8(cm)；

(2)由题意知BP=2tcm,

①当NAPB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=8cm,即t=4；

②当NBAP为直角时，BP=2tcm,CP=(2t-8)cm,AC=6cm,

在RtZkBAP中，AB2+AP2=BP2,

即：102+[62+(2t-8)2]=(2t)2,

25

解得：t=上，

4

25

故当AABP为直角三角形时，t=4或1=7；

(3)①当AB=BP时，t=5；

②当AB=AP时，BP=2BC=16cm,t=8；

③当BP=AP时，AP=BP=2tcm,CP=|2t-8|cm,AC=6cm,

在Rt^ACP中，AP2=AC2+CP2,

所以(2t)2=62+(2t-8)2,

25

解得：t

8

25

综上所述：当4ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t

9.(2019・四川师范大学附属中学期中)如图，在长方形ABCD中，已知AB=8cm,BC=10cm,

折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE.以点A为原点，分别

以AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立坐标系.

(1)求出点3、E、E的坐标.

(2)在x轴上是否存在点G,使AAFG是以AF为腰长的等腰三角形？若存在，请直接

写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：(1):四边形ABCD是长方形，

；.AB=CD=8,AD=BC=10,AD/7BC,ZABC=ZC=ZADC=90°

AB(0,-8),

由折叠性质知AD=AF=10,DE=EF,CF=4

在R3ABF中，由勾股定理知BF=6

AF(6,-8)

设EF=DE=x,贝！|CE=8-x,

在RtACEF中，由勾股定理得42+(8-x)2=x2,解得x=5

；.DE=EF=5

E(10,-5)

(2)①当AF=AG时，

AG=AF=10,则G(10,0)或(-10,0)

②当AF=FG时，

过F作FH_Lx轴于H,

VAF=GF

；.AH=GH=6,AG=12,

G(12,0)

综上所述，符合题意的G点坐标为(10,0)或(-10,0)或(12,0).

【技能提升】

1.如图，点跖N把线段A3分割成MN和BN,若以AM，MN,3N为边的三

角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”已知点M，N是线段AB

的“勾股分割点"，若AM=2,MN=3,则8N的长为.

AMNB

【答案】旧或回.

【解析】解：当BN是斜边时，

VAM=2,MN=3,

•*-BN=y/AM2+MN-=V22+32=岳；

当MN为斜边时，

VAM=2,MN=3,

；.BN=7W2-AM2=A/5，

故答案为：百或Jii.

2.(2020•泰州市月考)如图，在AABC中，已知BA=BC,ZB=120°.

(1)画AB的垂直平分线DE交AC、AB于点D、E(保留作图痕迹，作图痕迹请加黑描重)；

(2)求/A的度数；

(3)若AC=6cm,求AD的长度.

B

【答案】（1）见解析；（2）30°；（3）2.

【解析】（1）分别以A,B为圆心，大于工A3为半径画弧;

2

.".ZA=ZC=30°；

（3）过点B作BMJ_AC,连接BD,

VAC=6cm,ZA=30°,

；.AM=3,AB=2BM,

：DE是AB的垂直平分线，

；.AD=BD,

.,.DM=AM-AF=3-BD,

在RtAABM中，由勾股定理得4BM2=BM2+9,

解得BM=g,

同理，在RtZkBDM中，由勾股定理得：BD=2.

3.已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,点P从B点出发沿射线BC方向以

每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.连结AP.

（1）当t=3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；

（2）当AABP为等腰三角形时，求t的值.

【答案】(1)2屈；(2)46■或16或5.

【解析】解：(1)根据题意，得BP=2t,PC=16-2t=16-2x3=10,AC=8,

22

在RtaAPC中，根据勾股定理，得：AP=7AC+PC=7164=2741.

(2)在Rt^ABC中，AC=8,BC=16,

根据勾股定理，得AB=,64+256=7320=8出,

①若BA=BP,

则2t=8

解得1=475；

②若AB=AP,

VAB=AP,ZACB=90°,

.,.BC=CP=16,

则BP=32,即2t=32,

解得t=16；

③若PA=PB,

PA=PB=2t,则(2t)2=(16-2t)2+82,

解得t=5.

4.(2020.信阳市期中)(1)发现：如图1,ZBAD=90°,AB=AD,过点B作BCLAC于

点C,过点D作DE_LAC于点E,由Nl+N2=/2+/D=90。，得/1=ND,ZACB=ZAED

=90。，可以推理得到AABC丝zYDAE,进而得到AC=,BC=.我们把这个

数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

(2)应用：如图2,在AABC中，D是BC上一点，AC=AD=BD,ZCAD=90°,AB=6,

请求出AABC的面积；

(3)拓展：如图3,在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-1,-4),点B为平面内一

点.若AAOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标

【解析】解：(1)VAABC^ADAE,

:.AC=DE,BC=AE；

(2)过A作AE_LCD于E,

：AC=AD,/CAD=90°

；.AE=DE=CE

；.AD=AC=0AE,

设AE=DE=CE=x,J^AC=AD=BD=JJx

BE=x+y/2x,BC=2x+y(2x

AB2=(x+^/2x)2+x2=36

解得:X2=18-9J5

11

：.AABC的面积=-BCAE=-(2x+夜x)x=(l+券)x2=9

（3）分两种情况：

①过点A作AC±y轴于点D,过点B作BE±x轴于E,DA与EB相交于C,如图3所示:

则NC=90。

•・•点A坐标为（-1,-4）

・・・AD=1,OD=CE=4,

VZOBA=90°

/.ZOBE+ZABC=90°

VZABC+ZBAC=90°

・・・NBAC=NOBE

AAABC^ABOE

・・・AC=BE,BC=OE,

设OE=x,贝I」BC=OE=CD=x

・・・AC=BE=x+l,

・・・CE=BE+BC=x+l+x=OD=4,

x=1.5,x+l=2.5

.•.点B坐标（1.5,2.5）,

②过点A作ACLy轴于点D,过点B作BELx轴于E,DA与EB相交于C,

同理可得：点B坐标（-2.5,-1.5）.

综上所述，点B坐标（1.5,2.5）或（-2.5,-1.5）.

5.（2020•河南南阳期末）如图，在历■△ASC中，Z.C=90°,AC=8cm,BC=6cm,M

在AC上，且AM=6cm,过点A（与BC在AC同侧）作射线A7VLAC,若动点尸从点

A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为lcm/s,设点P运动时间为f秒.

CM,

(1)经过秒时，汝△AMP是等腰直角三角形？

(2)经过秒时，△AMP9△CBM?判断这时的与的位置关系，说明理

由.

(3)经过几秒时，PM1AB?说明理由.

【答案】(1)6；(2)2,位置关系见解析；(3)见解析.

【解析】解：(1)当4AMP是等腰直角三角形时，

AM=AP=6,t=6s

故答案为6.

(2)当△AMPg^CBM时，

/AMP=/CBM,CM=AP=AC-AM=2,t=2

故答案为2.

VZCBM+ZCMB=90°,ZAMP+ZCMB=90°

/.ZBMP=180°-(ZAMP+ZCMB)=180°-90°=90°

ABMIMP.

(3)当PM±AB时，如图，

设交点为O,ZOAP+ZOPA=90°,ZOAM+ZOAP=90°

ZOAM=ZOPA

又AM=BC=6,ZPAM=ZACB

/.△AMP^ACBA

，AP=AC=8,

t=8s

6.(2019・盐城市期中)如图1,在平面直角坐标系中，点B(8,0),点C(0,6),点A在

x轴负半轴上，且AB=BC.

(1)求点A的坐标；

(2)如图2,若点E是BC的中点，动点M从点A学界以每秒1个单位长度的速度沿线段

AB向点B匀速运动，设点M的运动时间为t(秒)；

①若AOME的面积为2,求t的值；

②如图3,在点M的运动过程中，AOME能否成为直角三角形？若能，求出此时t的值，

并写出相应的点M的坐标；若不能，请说明理由.

2103325

【答案】(1)A(-2,0)；(2)①一或一；②匚6,M(4,0)或t=—，M(一,0).

3344

【解析】解：(1)•・•点B(8,0)、C(0,6),

・・・OB=8,OC=6,

・・・BC=10

VAB=BC=10,

・・・OA=2,

/.A(-2,0).

・・,在R3BOC中，点E为边BC的中点,

・・・OE=BE

又・「EH_LOB

・・・H是OB的中点

11

・・・EH=—OC=—x6=3

22

当点M在点O的左侧时，OM=2-1,

-x(2—t)x3—2,

当点M在点O的右侧时,

OM=t—2,—x(t-2)x3=2,

3

②当点M在AO上，即0Wt<2时，AOME为钝角三角形不能成为直角三角形;

当t=2时，点M运动到点O,AOME不构成三角形，当点M在OB上，即2<区10,

当/OME=90。时,

；.t-2=4,

；.t=6,M(4,0)；

当/OEM=90。时，作EH_LOB于H,

52+(t-6)2+32=(t-2)2

.3325

•.t=—,M(—,0).

44

33?5

综上所述，符合要求时t=6,M(4,0)或1=一,M(一,0).

44

7.(2020•吉林长春期末)如图，在长方形A8CZ)中，AB=4,BC=6.延长到点E,使

CE=3,连结DE.动点尸从点B出发，沿着BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，点

产运动的时间为/秒.

(1)OE的长为.

(2)连结AP,求当r为何值时，AABP咨ADCE.

(3)连结。P.①求当/为何值时，△POE是直角三角形.②直接写出当f为何值时，△PDE

是等腰三角形.

229

【答案】(1)5；(2)t—3；(3)①当仁二或f=6；②当f=3或4或——.

36

【解析】解：(1)•••四边形ABCD为长方形，

；.CD=AB=4,CD±BC,

VCE=3,

在RtADCE中，DE=5

(2)在长方形ABC。中，AB=DC,NB=NDCB=90°,

：./DCE=/B=90°.

.•.当时，AABP^/\DCE,

・1=3.

(3)①当NPDE=90。时,

在肋△PCO中，PD2=PG+CD2,

2

LPE^DE二PG+CD2.

，(91)2-52=(64)2+42.

2

.・仁——.

3

当N0PE=9O。时，此时点尸与点C重合，

：.BP=BC=6.

•\t=6.

2

综上所述，当U—或£=6时，△尸OE是直角三角形.

3

②(i)当PD=DE时，

,.・PD=DE,DC±BE,

・・・PC=CE=3,

TBP=BC-PO6-3=3,

t=3,

(ii)当PE=DE=5时，

BP=BE-PE=BC+CE-PE=6+3-5=4,

t=4,

(iii)当PD=PE时，

・・・PE=PC+CE=PC+3,

在RtAPDC中，PD2=CD2+PC2,

・•・(PC+3)2-42=PC2,

7

解得：=-

PC6

729

VBP=BC-PC=6--=—,

66

综上所述，当t=3或4或二时，是等腰三角形.

6

8.（2020•常州武进区月考）如图，OC、AB互相垂直，已知OA=8,OC=6,且AB=AC.

（2）如图②，若点E为边AC的中点，动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿线段

BA向点A匀速运动，设点M运动的时间为t（秒）；

①若VOME的面积为1,求t的值；

②如图③，在点M运动的过程中，VOA1E能否成为直角三角形?若能，求出此时t的值，

并写出相应的OM的长；若不能，请说明理由.

243325

【答案】（1）2；（2）t的值为一或一；（3）t=3,OM=4或t=—，OM=—.

3384

（1）VOA=8,006,

•••由勾股定理得：AC=7（?C2+CM2=10

,.-AB=AC=10,

；.0B=2,

(2)过E作EH_L0A于H,

•.•在RSA0C中，点E为边AC的中点,

.\EO=EA=5,

VEH±OA,

二•OH=AH=4,

由勾股定理得：EH=3.

当点M在点。的左侧时，0M=2-2t,

・•・£x(2-2/3=1,

2

.・t二一；

3

4

••t=一；

3

24

综上所述，若△OME的面积为2,t的值为一或一.

33

②当点M在OA上，即l<t<5时，

当NOME=90。时，

AOM=—OA,

2

A2t-2=4,

At=3,OM=4；

当NOEM=90。时，过E作EH_LOA于H,

,.,OE2+EM2=OM2,EM2=EH2+MH2,

A52+(2t-6)2+32=(2t-2)2,

.3325

••t=—,OM——；

84

3325

综上所述，符合要求时t=3,OM=4或t=3,OM=—.

84

9.(2020•浙江杭州期中)如图，已知在心AABC中，NACB=90°,AC=8,BC=16,

。是AC上的一点，C£>=3,点尸从B点出发沿射线3C方向以每秒2个单位的速度向右

运动，设点尸的运动时间为九连结AP.

(1)当『=5秒时，求AP的长度；

(2)当AWP为等腰三角形时，求f的值；

(3)过点。做QELAP于点E,在点尸的运动过程中，当，为何值时，能使D£=CD?

【答案】(1)10；(2)46、16、5；(3)5或11.

【解析】解：(1)根据题意,得BP=2t,PC=16-2t=16-2x5=6,AC=8,

在RSAPC中，由勾股定理，得AP=10.

(2)在RSABC中，AC=8,BC=16,

由勾股定理，得AB=86,

若AB=BP,贝！J2t=8不，解得t=4后;

若AB=AP,则2t=32,解得t=16；

若AP=BP,BP2=AC2+CP2,则(2t)2=(16-2t)2+82,解得t=5.

(3)若P在C点的左侧时，连