八年级数学上册二元一次方程组的实际应用题型（含答案解析）

二元一次方程组的实际应用（十大题型）

务难点题型归他

【题型1数字问题】

【题型2年龄问题】

【题型3配套问题】

【题型4鸡兔同笼问题】

【题型5牛羊值金问题】

【题型6几何问题】

【题型7球赛积分问题】

【题型8盈不足问题】

【题型9销售问题】

【题型10方案问题】

一国遹至空位_________________________________________

【题型1数字问题】

【典例1】一个两位数的十位数字比个位数字大2,如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和

原数的和是66,求原来的两位数是几？

【答案】42

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设原来的两位数的十位数字为X,个位数字为多

根据十位数字比个位数字大2得到方程久-y=2,根据将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原

数的和是66可得方程10久+丫+10）7+%=66,据此列出方程组求解即可.

【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x,个位数字为y,

由题意得，［10x+y+ioy+%=66'

解得｛；:2，

.•・原来的两位数为4X10+2=42.

【变式1-1】已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个

位数字大4,则这首歌的歌词的字数是.

1

【答案】84

【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x,个位数字为y,由题意：十位数字是个位数字的两倍,

且十位数字比个位数字大4,列出二元一次方程组，解方程组即可.

【详解】解：设这首歌的歌词的字数的十位数字为x,个位数字为小

由题意得：L匕］24，

解得：忧：，

即这首歌的歌词的字数为84,

故答案为：84.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

【变式1-2】一个三位数，十位数字比个位数字大1,百位数字是个位数字的2倍，把百位数字与个位数

字对调，得到的三位数比原来的三位数小297,则原三位数为.

【答案】643

【分析】设原三位数的个位数字为x,十位数字为y,则百位数字为2x,由题意：十位数字比个位数字

大1,把百位数字与个位数字对调，得到的三位数比原来的三位数小297,列出二元一次方程组，解方

程组即可.

【详解】解：设原三位数的个位数字为x,十位数字为丹则百位数字为2%,

^7—%|1

(100X2x+10y+%-(100%+10y+2x)=297'

解得：忧:，

.•.2x=6,

即原三位数为643,

故答案为:643.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

【变式1-3］一个两位数，十位数字比个位数字大3,若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数

比原两位数的(多15,求这个两位数.

【答案】63

【分析】设这个两位数的十位数字为X,个位数字为力由题意列二元一次方程组，解方程组即可求解.

【详解】解：设这个两位数的十位数字为X,个位数字为》由题意得上Oy+%=Go%+y)+15，

2

解得:｛济,

这个两位数为63.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键.

【题型2年龄问题】

【典例2】某学生想知道李老师的年龄，李老师说："我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时,

我就35岁了."请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁.

【答案】今年李老师24岁，该学生13岁

【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据

该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可.

【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则

相据该学生和李老师的年龄差不变，

可得｛-M短;

解骑：24

答：今年李老师24岁，该学生13岁.

【变式2-1】一天，小杨问数学老师有多少岁了，老师想了想，说："我像你这么大时，你才4岁；你到

我这么大时，我就40岁了."根据语境，若设小杨和老师的年龄分别为尤岁、y岁，则可列方程组()

(x—y=4[x—4—y(x—4—x—yfx—4—y—x

A，｛x+y—40B.(y—40=x(y—x=y—40ly—x=40—y

【答案】D

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键.设小杨和老师的年龄分别为无岁、

y岁，根据"我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了〃列方程组即可.

【详解】解：设小杨和老师的年龄分别为x岁、y岁，

由题意得：｛?二：二右二：，

故选：D.

【变式2-3】小芳与妈妈的年龄和是50岁，5年后，妈妈的年龄是小芳年龄的3倍，求小芳和妈妈的年

龄各是多少.若设小芳万岁，妈妈y岁，则可列方程组为.

【答案】

3

【分析】根据题意，得5)，解答即可.

本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的意义是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得

(x+y=50

［y+5=3(%+5),

故答案为：［常三］押》

【变式2-4】南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重

新举行，吸引了众多的海内外游客参与.其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，

下面是记者与两个孩子的对话：

记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了.

妹妹：我比哥哥少4岁；

哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加.恰好等于爸爸的年龄；

根据对话内容，请你用方程(组)的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄.

【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁.

【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二

元一次方程组，解之即可得出结论.

【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，

根据题意得：｛3(%+2)：膜为=34+2，

解得：｛;二E，

答：今年妹妹6岁，哥哥10岁.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键.

【题型3配套问题】

【典例3】2023年杭州亚运会期间，吉祥物琮琮、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜

爱.为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其

他吉祥物的钥匙扣.已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元

购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套.求所购进的玩偶和钥匙扣的个数.

【答案】购进50个玩偶，100个钥匙扣

【分析】设购进x个玩偶，y个钥匙扣，利用总价=单价x数量，结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系,

4

即可列出关于x,y的二元一次方程组，此题得解.本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等

量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

【详解】解：设购进x个玩偶，y个钥匙扣，

•••一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣，

•,・购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍，

■■■2x—y；

•・・一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元，

.•.60%+2Oy=5000.

・•・根据题意可列出方程组

[2x=y

160%+2Oy=5000,

解得｛二濡

.•・购进50个玩偶，100个钥匙扣

【变式3-1】一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两

个盒底配成一套糖果盒.现有35张铁皮，设用龙张制作盒身，》张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则

下列方程组中符合题意的是（）

A（x+y=35（x+y=35

A-ty=2x12x20%=3Oy

fx+y=35c=35

Cr-120%=2X30yD.J在=工

【答案】B

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用x张制作盒身，y张制作盒底，根据题意列出方程组

即可.

【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，

根据题意得：§立第类厂

故选：B.

【变式3-2】服装车间有70名工人，缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）.已知1名工

人一天可缝制上衣6件或裤子4条，设久名工人缝制上衣，y名工人缝制裤子可使缝制出来的上衣和裤子

恰好配套，则下列方程组正确的是（）

.（x+y=70R（x+y=70

I6%=4yI2x=y

5

C%+y=70（x+y=70

c,12x6x=4yD,I6x=2x4y

【答案】D

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“服装车间有70名工人，缝制一种成人套

装（2件上衣和1条裤子配成一套）.已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条"，可得出关于x,y

的二元一次方程组，此题得解.

【详解】服装车间有70名工人，

：.x+y=70；

•・•缝制一种成人套装（2件上衣和1条裤子配成一套）.已知1名工人一天可缝制上衣6件或裤子4条，

：.6x=2x4y.

•••根据题意可列二元一次方程组｛言•

故选：D.

【变式3-3】某工厂加工圆柱形的茶叶盒，购买了25块相同的金属板材，已知每块金属板材可以有/,

B,C三种裁剪方式./方式：裁剪成9个圆形底面和1个侧面.2方式：裁剪成4个侧面.C方式：裁

剪成12个圆形底面，如下图.已知2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形底面

与侧面恰好配套.现已有4块金属板材按C方式裁剪.

/方式B方式5式

⑴设有x块金属板材按A方式裁剪，j块金属板材按B方式裁剪.则可以裁剪出圆形底面共个（用

含x的代数式表示），侧面共一个（用含x,y的代数式表示）；

⑵这批金属板材最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？

【答案】⑴（9久+48）；（x+4y）

（2）60个

【分析】由题意，明确等量关系，建立二元一次方程组求解.

【详解】（1）解：由题意，可以裁剪出圆形底面共（9久+48）个，侧面共（％+4y）个；

（2）依题意得：第篝y），解得：E，

Ax+4y=8+4X13=60.

答：最多能加工60个圆柱形茶叶盒.

6

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键.

【题型4鸡兔同笼问题】

【典例4】"鸡兔同笼"是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有

关于“鸡兔同笼"的记载："今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？"这四句话的

意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几

只鸡和兔？

【答案】笼中有12只鸡，13只兔

【分析】根据"上有二十五头，下有七十六足"，得出关于x,y的二元一次方程组，解之即得.

【详解】设笼中有x只鸡，y只兔.

由题意得:{2J^==76

解得:忧;i

答：笼中有12只鸡，13只兔.

【点睛】本题考查二元一次方程组的鸡兔同笼问题，找出等量关系并根据生活常识列出方程组是解题关

键.

【变式4-1]第一道鸡兔同笼问题收录于《孙子算经》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足,

问鸡兔各几何？意思是现在笼子里既有鸡又有兔，有35个头，94只脚，设有鸡、兔各为x,y只，那么

下列选项中，方程组列正确的是（）

[x+y=35[x+2y=35（x+y=35[x+y—35

'I4x+4y=94[2x+4y=9414%+2y=94'I2x+4y—94

【答案】D

【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目的等量关

系.根据"鸡的数量+兔的数量=35,鸡的脚的数量+兔子的脚的数量=94"可列方程组.

【详解】解：设有鸡、兔各为x,y只，

根据题意，可列方程组为+工段4，

故选：D.

【变式4-2】某校组织学生参加数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部

分参赛者的得分统计表：

7

参赛者答对题数答错题数得分

于潇200100

王晓林18288

李毅101040

(1)观察、分析表格提供的数据可知：答对1题得分，答错1题扣分；

(2)若设答对题数是x,得分为y,请用含x的代数式表示y；

⑶参赛者李小萌得了76分，求他答对了几道题；

⑷参赛者马小虎说他得了80分，你认为可能吗？为什么？

【答案】(1)5；1

(2)y=6x—20

⑶答对了16道题

⑷不可能，见解析

【分析】(1)设答对一题得小分，答错一题扣n分，根据题意得：1篇2羡〉°88,进行计算即可得;

(2)若答对x道题，得分为y分，则答错(20—%)道题，依题意得：y=5x-(20-x)=6x-20；

(3)根据(2)中的所得y与x的关系式，将y=76代入计算即可得；

(4)令y=80,即6x—20=80,进行计算即可得.

【详解】(1)解：设答对一题得加分，答错一题扣几分，根据题意得：

(20m=100

118m—2n=88'

解得:crt

即答对一题得5分，答错一题得1分，

故答案为：5；1;

(2)解：若答对x道题，得分为y分，则答错(20—X)道题，依题意得：

y=5x—(20—x)=6x—20；

(3)解：依题意得：

6%—20=76,

解得：%=16,

即他答对了16道题;

8

（4）不可能，理由如下：

解：依题意，得：

6%—20=80,

解得：%=

,•样不为整数，

参赛者马小虎不可能得80分.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找出等量关系列出方程.

【题型5牛羊值金问题】

【典例5】我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十

六两.问牛、羊各直金几何？"译文："假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两

银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？"

根据以上译文，提出以下两个问题：

⑴求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所

有可能的购买方法.

【答案】（1）每头牛3两银子，每只羊2两银子；

⑵方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程.

（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据"5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊,

值16两银子"，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买机头牛，"只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满

足条件的正整数解即可.

【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得：

（Sx+2y=19

I2x+5y=16'

解得：

—乙

答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子;

9

(2)解：设购买心头牛，"只羊,

依题意得：3m+2n=ll,

"m>n均为正整数，

(m—1(m=3

"In=4"In=1"

商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊・.

【变式5-1】在数学著作《九章算术》中有这样一个问题："今有牛五，羊二，值金十九两；牛二羊五,

值金十六两，问牛羊各值金几何？"译文："五头牛和两只羊共值金19两，两头牛和五只羊共值金16两,

问牛和羊各值金多少两？"请你解决这个问题.

【答案】牛和羊各值金3两、2两

【分析】设牛和羊各值金龙、V两，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解.

【详解】设牛和羊各值金x、y两，

根据题意有:襟：疑卷

解得：忧i，

答：牛和羊各值金3两、2两.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出方程组，是解答本题的关键.

【变式5-2】我国传统数学名著仇章算术/记载："今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金

十六两.问牛、羊各直金几何？"译文："假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银

子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？"根据以上译文，提出以下两个问题：

(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？

(2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛，且银两须全部用完)，且羊的数量不少于牛数量

的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能.

【答案】(1)每头牛值3两银子，每只羊值2两银子

⑵①购买2头牛，11只羊；②购买4头牛，8只羊.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准数量关系，正确列出二元一次方程.

(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据"5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16

两银子"，即可得出关于刈y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

10

(2)设购买rn头牛，n只羊，根据某商人准备用28两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数

量不少于牛数量的2倍，得几22小，然后求出满足条件的正整数解即可.

【详解】(1)解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，

依题意得:{M器要

解得:

答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；

(2)设购买m头牛，几只羊，

依题意得：3ni+2zi=28,

整理得：n=14-fm,

••・加、九均为正整数，

•••M为2的倍数，

・・•羊的数量不少于牛数量的2倍，

••・n>2m,

(m=2=4

.••〔几=11取1几=8'

：・商人有2种购买方法：

①购买2头牛，11只羊；

②购买4头牛，8只羊.

【变式5-3】我国传统数学名著仇章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金

十六两.问牛、羊各直金几何？"译文："假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银

子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，求每头牛、每只羊各值多少两银子？

【答案】每头牛值3两银子，每只羊值2两银子

【分析】设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据"5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只

羊，值16两银子"，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

【详解】解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，

依题意得:像：舞山

解得：iv-l-

答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以，解题的关键是找准数量关系.

11

【题型6几何问题】

【典例6】如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽

与正方形的边长相等.现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少

个？

【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个.

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将

300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可.

【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，

由题意得,｛黑2弊溜,

解得｛；或&,

答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个.

【变式6-1】如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视

背景墙的高度为1.5m,求每块小长方形墙砖的长和宽.

【答案】长为1.2m,宽为0.3m

【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，由图可知，小长方形墙砖的长是宽的4倍，小长方形

墙砖的长加宽为1.5m,设每块小长方形墙砖的长为xm,宽为ym,列出方程组求解即可.

【详解】解：设每块小长方形墙砖的长为久m,宽为ym.

由题意得｛屋短明，

解得噌，

12

答：小长方形墙砖的长为1.2m,宽为0.3m.

【变式6-2］如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部

分的面积为多少？

【答案】36

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为x,宽为乃根据题意可知长加上宽

的两倍等于15,长为宽的三倍，据此列出方程组求解即可.

【详解】解；设小长方形的长为x,宽为外

由题意得，｛龙二警二5,

解得｛；：I，

・•・阴影部分的正方形边长为2y=6,

・•・阴影部分的面积为：62=36.

【变式6-3］在大长方形48CD中，放入九个相同的小长方形，数据如图所示，请求出小长方形的长和宽.

【答案】小长方形长为8,宽为3

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设小长方形长为x,宽为力根据长加宽的3倍等

于17,长加宽的4倍等于20列出方程组求解即可.

【详解】解：设小长方形长为x,宽为y,

X+4y-2O

由题意得,X+3y-17

解得：妆著,

答：小长方形长为8,宽为3.

【变式6-3】刘爷爷计划在一块长为20m,宽为17m的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出

13

三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄(阴影部分)，其余部分种植辣椒.已知

正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积.

【答案】种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为294m2.

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点，设小长方形的宽为“m,长为ym,再结合图

形可得方程组，然后解方程组求出的值，进而即可得解，结合图形找出等量关系列出方程组是解题的

关键.

【详解】设小长方形的宽为xm,长为ym,

根据题图，得｛黑＞£二"，

解骑,

种植番茄的面积为2x2x4+2x5x3=46(m2),

种植辣椒的面积为20X17-46=294(m2),

答：种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为294m2.

【题型7球赛积分问题】

【典例7】篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.小组积分赛中，每个队

伍要进行12场比赛.

(1)4队胜了8场，那么他们负了一场，积分是一分.

⑵8队总积分为21分，那么B队胜负场数分别是多少？

【答案】⑴4,20；

(2出队胜了9场，负了3场.

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题.

(1)由题意知4队负了4场，再由积分规则计算即可得到4队积分为20分；

(2)设B队胜了x场，负了y场，由等量关系列方程组求解即可解得答案.

【详解】(1)解：・•・每个队伍要进行12场比赛，

14

•••4队胜了8场，负了12—8=4（场）,

••-8x2+4x1=20（分），

4队积分为20分,

故答案为：4,20；

（2）解：设B队胜了无场，负了y场，

由题意可得｛克女,解得｛；要，

答：B队胜了9场，负了3场.

【变式7-1】篮球赛场见真章，明德学子展风采”.第七届"明德杯”篮球赛中，每场比赛都要分出胜

负.每队胜1场得2分，负1场得1分.小组积分赛中，每个队伍要进行24场比赛.

⑴“卧龙队”胜了16场，负了场，积分是分.

⑵"雄鹰队”总积分为43分，那么"雄鹰队”胜负场数分别是多少？

【答案】⑴8,40

（2）“雄鹰队"胜了19场,负了5场

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题.

（1）由题意知“卧龙队”负了8（场），再由积分规则计算即可得到“卧龙队”积分为40分；

（2）设“雄鹰队”胜了万场，负了y场，由等量关系列方程组求解即可解得答案.

【详解】（1）解：，••每个队伍要进行24场比赛，

•••“卧龙队”胜了16场，负了24—16=8（场），

：16x2+8x1=40（分）,

“卧龙队”积分为40分，

故答案为：8,40；

（2）解：设“雄鹰队”胜了x场，负了y场，

由题意可得｛点?,解得｛；：对,

答：“雄鹰队”胜了19场，负了5场.

【变式7-2】"篮球赛场见真章，明德学子展风采”.在第七届“明德杯”篮球赛中，每场比赛都要分出胜负,

每队胜1场得2分，负1场得1分.在小组积分赛中，每个队伍要进行18场比赛.

15

（1）若“卧龙队"共胜了12场，求该队获得的总积分.

⑵若"雄鹰队"总积分为32分，则该队胜、负场数分别是多少？

【答案】⑴"卧龙队"获得总积分为30分

（2广雄鹰队"胜了14场，负了4场

【分析】本题考查有理数运算的实际应用，二元一次方程组的实际应用：

（1）根据得分规则，列出算式进行计算即可；

（2）设“雄鹰队"胜了X场，负了y场，根据题意，列出方程组进行求解即可.

【详解】（1）解：・••每个队伍要进行18场比赛，"卧龙队”胜了12场，

二负了18—12=6场,

12x2+6x1=30分，

・/卧龙队"获得总积分为30分.

（2）设"雄鹰队"胜了x场，负了y场.

由题意，得｛承京埸

解得｛口

答："雄鹰队”胜了14场，负了4场.

【变式7-3］问题：在篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队

在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？

⑴若设该队胜x场，负y场,用含有x,y的式子表示下面的量：

①该队一共比赛的场数是场；

②该队共获得积分是分；

（2）根据（1）,列出问题中的等量关系，得到方程组为.

⑶求解（2）中的方程组.

【答案】⑴①（久+y）；②（2久+y）

⑵｛成

16

【分析】(1)根据题意列出代数式即可；

(2)根据某队在10场比赛中得到16分，列出方程组即可；

(3)用加减消元法解方程组即可.

【详解】(1)解：①该队一共比赛的场数是(x+y)场；

②该队共获得积分是(2%+y)分.

故答案为：①(x+y)；②(2x+y).

(2)解：・••某队在10场比赛中得到16分，

,[x+y=10

"12%+y=16'

故答案为：《飞；2.

⑶解:｛秣二"黑,

②一①得：x=6,

把尤=6代入①得：6+y=10,

解得：y=4,

・••方程组的解为｛；:4-

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列方程组.

【题型8盈不足问题】

【典例8】《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想

(1广方程"二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为"方程"如:

从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数羽y的系数与相应的常数项，即

可表示方程久+4y=23,求:表示的方程

(2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四,

问人数、物价各几何？"意思是："几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱,

则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少？"

【答案】(l)x+2y=32

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(2)共有7人；物品的价格为53元

【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用.

(1)根据横着的算筹为10,竖放的算筹为1,依次表示无，y的系数与等式后面的数字，即可列方程,

然后组成方程组；

(2)根据总钱数不变列式求解即可得到答案.

【详解】(1)

解：|uuu---------------------吧表示的方程是x+2y=32；

(2)解：设有x人，则物品的价格为(8x—3)钱，由题意可得，

8%—3=7%+4,

解得：%=7,

.,-8%—3=7x8—3=53,

答：共有7人；物品的价格为53元.

【变式8-1】我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百

九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问家数、牛价各几何.”大意为：今有若干户人家共

同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱.问共同买牛

的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题.

【答案】共有126家共同买牛，牛价为3750个钱

【分析】设有x家，牛价为y个钱，然后根据题意可列二元一次方程组进行求解.

【详解】解：设有x家，牛价为夕个钱，根据题意，得：

{y--x=330

y7

270，

——9x—4y=30

解得:[y=3750,

答：共有126家共同买牛，牛价为3750个钱.

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意.

【变式8-2】《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不

足》卷记载了一道数学问题："今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？"

译文："今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱.问人数、物价各多少？"

请解答上述问题.

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【答案】共7人合伙购物，物价是53钱

【详解】设物价为x钱，人数为y人，根据"每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又会差4钱，"列

出方程组，即可求解.

解：设共久人合伙购物，物价是y钱，

依题意得:

解得：［y=L-

答：共7人合伙购物，物价是53钱.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

【变式8-3】《孙子算经》是中国古代的数学著作，成书大约一千五百年前.卷中举例说明筹算分数算

法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题.在西方的数学史里被称为“中国的剩余定理”.《孙子

算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几

何？”大致意思是“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺,

向木条长多少尺？”

【答案】木条长6.5尺.

【分析】设绳子长X尺，木条长》尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折

再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【详解】解：设绳子长龙尺，木条长y尺，

{x—y=4.5

y_lx=1.

解得：

答：木条长6.5尺.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是

解题的关键.

【题型9销售问题】

【典例9】2024"全民健身活力中国”汉方普惠杯一一聊城莘县赛区海选，参赛者为了购买服装，在某商厦

购买商品4B共三次，只有一次购买时，商品48同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品

4B的数量和费用如下表：

购买商品力的数量（个）购买商品B的数量（个）购买总费用（元）

19

第一次购物651140

第二次购物371110

第三次购物981062

⑴参赛者按打折扣价购买商品/，8是第次购买；

(2)求商品/,B的标价；

⑶若商品4,B的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？

【答案】⑴三

⑵商品/的标价为90元/个，商品B的标价为120元/个

⑶商店是打6折出售这两种商品的.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出

未知数，找出合适的等量关系，列方程求解.

(1)根据图表可得第三次购物花的钱最少，买到/、8商品又是最多，所以以折扣价购买商品/、8是

第三次购物；

(2)设商品/的标价为x元/个，商品3的标价为y元/个，列出方程组求出x和y的值；

(3)设商店是打。折出售这两种商品，根据打折之后购买9个/商品和8个2商品共花费1062元，列

出方程求解即可.

【详解】(1)解：参赛者按打折扣价购买商品4B是第三次购买；

(2)解：设商品/的标价为久元/个，商品B的标价为y元/个，

根据题意得：匿若在；密,

解得｛二跷，

经检验，方程组的解符合题意.

答：商品/的标价为90元/个，商品B的标价为120元/个；

(3)解：设商店是打a折出售这两种商品的，

由题意得(9x90+8x120)x*=1062,

解得a=6,

答：商店是打6折出售这两种商品的.

【变式9-1】今年春季，蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是26万元，

其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元.请解答下列问题：

20

⑴求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩？

（2）如果茄子和西红柿每亩地的利润分别为1.4万元和1.6万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？

【答案】⑴茄子和西红柿的种植面积各为11亩，4亩；

（2）21.8万元.

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：

（1）设茄子和西红柿的种植面积各为x亩，y亩，根据蔬菜种植场在15亩的大棚地里分别种植了茄子

和西红柿，总投入是26万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为2万元和1万元列出方程

组求解即可；

（2）根据（1）所求，列式计算即可.

【详解】（1）设茄子和西红柿的种植面积各为X亩，y亩，得：

（x+y=15

12%+y=26'

解得：，

答：茄子和西红柿的种植面积各为11亩，4亩；

（2）11x1.4+4x1.6=21.8（万元），

答：种植场在这一季共获利21.8万元.

【变式9-2】小明在某商店购买商品4B共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价

购买，三次购买商品4B的数量和费用如表：

购买商品4购买商品B

购买总费用/元

的数量（个）的数量（个）

第一次购物651140

第二次购物371110

第三次购物981062

⑴求商品4B的标价；

（2）若商品4B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？

【答案】（1）商品2的标价为90元，商品B的标价为120元

⑵商店是打6折出售这两种商品的

【分析】（1）设商品2的标价x元，商品B的标价为y元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即

21

可；

(2)设商店是打a折出售这两种商品的，由打折之后购买9个4商品和8个8商品共花费1062元，列出

一元一次方程，解方程即可.

【详解】(1)由表中数据可知，小明以折扣价购买商品4B是第三次购物.

设商品力的标价为x元，商品B的标价为y元，

由题意得:｛瓢沈覆，

解得：｛二罂，

答：商品4的标价为90元，商品B的标价为120元；

(2)解：设商店是打a折出售这两种商品的，

由题意得:(9x90+8x120)x0.1a=1062,

解得：a=6,

答：商店是打6折出售这两种商品的.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程.

【变式9-3】为减少库存，某商店举行了促销优惠活动.打折前，购买6个工商品和5个2商品，总费

用为114元；3个/商品和7个3商品，总费用为111元.打折后，小明购买了9个4商品和8个8商

品，总费用为141.6元.

⑴求打折前/商品和B商品的单价；

(2)若/商品和2商品的折扣相同，则该商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？

【答案】(1)4商品的单价为9元，B商品的单价为12元；

(2)八折;35.4元的优惠.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程.

(1)设每个/商品的标价为x元，每个8商品的标价为y元，根据“打折前，购买6个N商品和5个

3商品，总费用为114元；3个/商品和7个3商品，总费用为111元”，即可得出关于x,y的二元一

次方程组，解之即可得出结论；

(2)设商店打加折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了9个/商品和8个3商品共用了141.6

元”，即可得出关于机的一元一次方程，解之即可得出加的值，再利用获得的优惠=不打折时购买这

些商品所需费用-打折后购买这些商品所需费用，即可求出结论.

22

【详解】(1)解：设打折前4商品的单价为尤元，B商品的单价为y元.

依题意,得｛给国：遇，解得｛:二：2

故打折前4商品的单价为9元，B商品的单价为12元.

(2)设该商店打小折出售这两种商品.

依题意，得9x9x*+8x12x*=141.6,解得m=8.

9x9+12x8-141.6=35.4(元).

故该商店打八折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠.

【题型10方案问题】

【典例10】“脐橙结硕果，香飘引客来"，赣南脐橙以其"外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特

点饮誉中外.现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆/型车和1辆3型车载满脐橙一次可运走lot；

用1辆/型车和2辆2型车载满脐橙一次可运走lit,现有脐橙31t,计划同时租用A型车。辆，8型

车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)1辆/型车和1辆8型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？

(2)请你帮该物流公司设计租车方案；

⑶若1辆/型车需租金100元/次，1辆8型车需租金120元/次.请选出费用最少的租车方案，并求出

最少租车费.

【答案】(1)1辆/型车载满脐橙一次可运送3t,1辆8型车载满脐橙一次可运送4t

(2)一共有3种租车方案，方案一：租/型车1辆，2型车7辆；方案二：租/型车5辆，2型车4辆;

方案三：租N型车9辆，8型车1辆

⑶最省钱的租车方案是方案一，即租/型车1辆，2型车7辆，最少租车费为940元

【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方

程.

(1)设1辆/型车载满脐橙一次可运送xt,1辆B型车载满脐橙一次可运送yt,根据2辆/