北京市2025届高三数学二轮复习过关检测：立体几何（含答案）

北京市2025届高三数学二轮复习专题过关检测

立体几何

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项.

1.设7?是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若a1/3,ma,则B.若tz_La,则zn_L/7

C.若ma,"_La,则mD.若加a,则

2、已知四面体O—A3C中，设51=a,OB=b,OC=c,。为3C的中点，E为OD的中点，则

AE用向量a,Z»,c可表示为（）

A、a——b——cB、-a+—b+—cC、-a+—b+—c

444422

3、已知圆锥的母线长为20，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）

A.72B.—C.73D.立

22

4、正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,则侧面与底面所成角的余弦值为（）

5、如图，在棱长为2的正方体ABC。-中，E为8旦的中点，动点/沿着线段BQ从点3移

动到点C1.则下列结论中正确的是（）

A、直线。E与直线AB为异面直线B、4仅五4恒为钝角

C、三棱锥尸-AAE的体积越来越大D、A万IBC

6、如图，在三棱锥P-ABC中，VA3C与,K钻都是边长为2的等边三角形，且尸。=4，则

一、3

C.一

24

7、沙漏是一种古代计时仪器.如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm,

2

细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的一，则这些细沙的体积为（

3

163323

B.—ncm'C.871cm3D.—兀cm

33

8、己知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4,4,20，2亚,则该四棱锥的

高为（）

V3

r\.--------C.273D.A/3

22

9、坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展

现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的

等腰三角形.若A5=25m,5C=A£>=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与

平面A5CD的夹角的正切值均为巫，则该五面体的所有棱长之和为（）

5

A.102mB.112mc.117mD.125m

10、如图，在棱长为6的正四面体P-ABC中，以尸为顶点的圆锥在正四面体的内部（含表面），则

该圆锥体积的最大值为（）

A、2A/6HB、3屈TI

C、2岛D、3后

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.在正方体A5co-中，直线AB1与8G所成角的大小为.

12、已知平面々的一个法向量为。=（羽3,2）,平面£的一个法向量为6=（-1,%1）,若。〃，，则%+丁=

13、在棱长为2的正四面体A5CD中，M,N分别是A5CD的中点，贝H"N|=.

14、我国有着丰富悠久的印章文化，印章是签署文件时代表身份的信物，因其独特的文化内涵，有

时作为装饰物来使用.图1是一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一

个正四棱锥组成的几何体，如图2所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4,体积之比

为3：1,且该几何体的顶点在球。的表面上，则球。的半径为—

图1

15、在棱长为1的正方体A3CD—4用£。中，点E在线段AC1上（不与4G重合），EF±AC

于凡尸GL8C于G,以下四个结论：

①平面所G；

②线段所与线段FG的长度之和为定值；

③"G面积的最大值为"

④线段EG长度的最小值为变.

2

其中所有正确的结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在直三棱柱ABC-A耳G中，AC=BC=1,A&=2,AC±BC,。是朋的中点.

(I)求直线CD与平面3Go所成角的正弦值；

(II)求点C到平面BCXD的距离.

17、如图，在三棱锥P—ABC中，R4,平面ABC,PA=AB=5C=1,PC=g.

(1)求证：平面PAB；

(2)求二面角A—PC—6的大小.

18、已知四棱锥P/BC。，AD//BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上一点,

PE±AD.

（1）若F是PE中点，证明：8F〃平面PCD.

（2）若AB，平面PED,求平面上45与平面PCD夹角的余弦值.

19、如图，在多面体A5co石尸中，四边形ABCD为正方形，DE//CF,G为线段AF的中点,

AB=CF=2DE=2.

（I）求证：8£>//平面AEF；

（II）若。石，平面/WCO,求直线BG与平面AEF所成角的正弦值.

20、如图，在五面体A5CDPQ中，平面A5CD,ADA.CD,AB//CD,PQ//CD,

AD=CD=DP=4,AB=3,E,G分别为52Ap的中点，连接DG,EG,CE.

（1）求证：AP工平面DCE；

（2）求直线CP与平面DC五所成角的正弦值;

(3)线段上是否存在点使得CP〃平面。G/0?若存在，求也的值；若不存在，说明

BC

理由.

21、如图，在四棱锥尸-ABCD中，E4_L平面ABCD,四边形ABCD是边长为1的正方形，E是

的中点.

(I)求证：PC〃平面BDE；

(II)求证：J°C±BD；

(III)若直线跖与平面PCD所成角的正弦值为巫，求R4的长度.

10

参考答案

一、选择题

1、C2、B3、A4、D5、D6、C7、B8、D9、C10、A

二、填空题

11.—

3

12、--13、亚14、315、①②④

三、解答题

16.解：(I)由平面ABC,AC±CB,可得C4,CB,CC］两两垂直，所以以C为原点,

C4,CB,CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，.....2分

则C(0,0,0),D(l,0,l),8(0」,。)，G(0,0,2),

所以CD=(1,0,1),q0=(1,0,-1),G3=(0,l,-2)..…4分

设平面的法向量为机=(x,y,z),

所以।C.Dm=0,即(x-z=”0.......6分

CyBrn=0,[y-2z=0,

令％=1,则y=2,z=l,于是帆=(1,2,1),……8分

设直线CD与平面3G。所成角为8,

贝〔一|=，

Usin3=|cos<CD,m>|=..........................9分

\CD\-\m\3

所以直线CD与平面BC.D所成角的正弦值为B.

.........................10分

3

(II)因为CG=(0,0,2),.........................12分

所以点C到平面BCP的距离为|CC|'m|=45.

.........................15分

17、(1)因为？A，平面ABCBCu平面ABC,

所以同理上4LAB,

所以为直角三角形，

又因PB=dPd+AB?=①，BC=1,PC=0

所以「52+3。2=尸。2,则PBC为直角三角形，故

又因为BCId,PAPB=P,

所以8cl平面R45.

（2）由（1）BC_Z平面R45,又ABu平面R45,则BCLAB,

以A为原点，A8为％轴，过A且与BC平行的直线为》轴，转为z轴，建立空间直角坐标系，如

图，

则A(0,0,0),P(O,O,1),C(1,1,O),B(l,0,0),

所以AP=(。,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,-1),

m-AP=0Zi=0,

设平面？AC的法向量为帆=（4如4）,贝卜,即《

m-AC=0石+乂=0,

令王=1,贝！所以根=（1,—1,0）,

n-BC=0%=0

设平面PBC的法向量为〃=（w，y2，Z2），贝卜,即《

n^PC=0x2+y2-z2=0

令刀2=1,则Z2=l,所以“=(1,0,1),

所以cos（加/_m-n11

y/2xy/2~2,

又因为二面角A—PC—6为锐二面角,

TT

所以二面角A—PC—B的大小为”.

3

18、（1）取的中点为S,接SgSC,则"7/ED,SB=LED=1,

2

而ED//BC,ED=2BC,故SF//BC,SF=BC,故四边形SFBC为平行四边形,

故BFHSC,而跖平面PCD,SCu平面PCD,

所以BE〃平面PCD.

（2）因为即=2,故AE=1,ikAE//BC,AE^BC,

故四边形AECB为平行四边形，WCEIIAB,所以CEL平面P4D,

而PE,EDu平面上4D,故CE_LPE,CE_LED,而PE上ED，

故建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（0,—l,0）,5（l,—l,0）,C（l,0,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,

则PA=（0,-1,-2）,PB=（l,-l,-2）,PC=（1,0,-2）,PD=（0,2,-2）,

设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),

PA=0-y-2z=0

则由＜,取加=（0,-2,1）,

mPB=0x-y-2z=0

设平面尸CD的法向量为〃=反。)，

几・PC=0a-2b=0

则由＜可得4,取〃=（2,1,1）,

n•PD=0[2b-2c=0

-1屈

故cosm,n

故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为叵

30

19、解：(I)连结AC,设ACBD=O.

因为四边形为正方形，

所以。为AC中点.

因为G为AF的中点，

所以。G〃CF,且OG=^CP.

2

由已知DE7/CF,且=

2

所以DE//OG,DE=OG.

所以四边形DOGE为平行四边形.

所以DO//EG,即8D〃EG.

因为平面EGu平面钻F,

所以〃平面AEF.

(II)因为DEL平面ABCD,

所以£>E_LDC,DE_LZM.

因为四边形.48(7为正方形，所以ZMLOC.

所以DE,DA,DC两两垂直.

如图所示，建立空间直角坐标系。-孙z.

因为AB=CF=2DE=2,

所以Z>(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),3(2,2,0),E(0,0,l),尸(0,2,2),G(l,l,l),

所以BG=(-1,-1,1),AE=(-2,0,1),AF=(-2,2,2).

设平面AEF的一个法向量为〃=(尤,y,z),

由rAE=^得「2x+z=。，即广2羽

n-AF=O[-2x+2y+2z=0.[y=一尤.

取x=l,得“

设直线BG与平面AEF所成角为6,

则如，=回〈“"〉卜露=|心卜^・

即直线BG与平面但所成角的正弦值为二.

3

20、(1)因为尸£)_]_平面A5CD,CDu平面A5CD,所以PDLCD.

又因为C£>，AO,A£>cP£>=O,AO,P£>u平面上位),所以平面Q4£).

又APu平面。A£),所以CDLAP.

又因为AD=DP,G为线段AP的中点，所以APLDG.

因为PQ//CD,AB//C£>,所以PQ//AB.

因为E,G分别为线段52Ap的中点，所以EG//AB.

又CD//AB,所以EG//CD.即C,Q,G,E四点共面.

又CD£>6=£>,£>6<=平面。。巳。£><=平面。。后，

所以AP1平面DCE.

(2)因为平面A5CD,所以WAD,DC.

又ADLCD,所以ZM,OC,OP两两垂直.

如图建立空间直角坐标系。-孙z.

于是A(4,0,0),B(4,3,0),C(0,4,0),P(0,0,4).

可得AP=(T,0,4),CP=(O,-4,4)

由（1）可得APJ_平面DCE.

所以平面DCE的一个法向量为AP=（T,0,4）.

设直线CP与平面DCE所成角为，，则有

APCP|(-4)X0+0X(-4)+4X4|

sin。=|cosAP,CP|=

APCP7(-4)2+02+427o2+(-4)2+422

则直线CP与平面DCE所成角的正弦值为。.

（3）设〃是线段上的一点，则存在2c[0,l],使BM=%BC.

BC=（^,1,O）,从而DM=DB+ABC=（4-42,3+2,0）.

由点A,P的坐标可得DG=（2,0,2）.

设平面DGM的法向量为〃=（x,y,z）

n-DM=0f（4-42）x+（3+2）y=0

则有＜，即C7I'

In-DG=Qi2x+2z=0

令x=3+2,则法向量为〃=（3+4,44—4,—3—%）

令n.CP=O,即T（4X—4）+4（—3—几）=0,解得；1=（.

此时“J_CP，又显然有CP宜平面。CM，从而CP//平面。GM.

所以，线段上存在点M,使得CP//平面。。欣，此时胆=’.

BC5

21、解：（I）证明：连接AC,设ACBD=O,连接OE,

因为在四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD是正方形,

所以O为班）的中点，

因为E为F4的中点

所以在中，OEHPC,

又OEu平面BDE,PC<Z平面BDE

所以PC〃平面BDE.

(II)法1：因为R4_L平面ABCD,