2025中考数学专项复习：将军饮马模型与逆等线模型（含解析）

几何压轴突破三几何最值问题之

将军饮马模型与逆等线模型

（2种模型讲解+14种题型汇总+专题训练+真题训练）

【题型汇总】

❶两定一动型\\

❷绯殳；

❷两定一动癖定动型i螭：,'

❹垂线段最短型

❺造桥选址型,1\X—

-------------附

将军饮马模型❻与将军饮马有关的角度探究问题,—.——

❼与将军饮马有关的作图问题

❽相对运动平移型将军饮马

几何压轴突破三几何最值问题之❾通过瓜豆得出轨迹后将军饮马1场

将军饮马模型与逆等线模型三动点问题J

构造SAS型全等拼接线段

平移，对称或构造平行四边形

逆等线模型

取到最小值时对其它量进行计算

类型一将军饮马模型

场景总结：当题目中构图满足“求点到直线上动点距离和的最小值”的条件时,则一定存在将军饮马模型.

解题大招：（1）最值问题基本原理:①两点之间线段最短;②点到直线,垂线段最短.

（2）将军饮马解题步骤:第一步，明确动点、定点；

第二步，明确问题属于哪种将军饮马模型,要求哪些线段和的最小值（注

意去掉长度固定的线段）；

第三步,利用平移、对称等方法,将问题转化为基本原理①或②.

模型详解：

类型一两定一动型（四种）

图形

A

/B

mD"1

B，

B

条件如图，A,B两定点分布在直线m两侧，点D为直如图，A,B两定点分布在直线m同侧，点D为直

线上一动点，求AD+BD的最小值.线上一动点，求AD+BD的最小值.

结论当A,D,B三点共线时，AD+BD取得最小值，最当A,D,B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最

小值为AB的长.小值为AB'的长.

解题1）连:连接AB；1）找:找一个定点关于直线m的对称点B'；

方法2）求:AB长度即为AD+BD的最小值;2）连:连接对称点B'和另外一个定点A；

3）求:AB'长度即为AD+BD的最小值.

图AA

形

""•・・・・.一・•

bm0为、、J7m

B

条如图，A,B两点分布在直线m同侧，点D为直线如图，A,B两点分布在直线m两侧，点D为直线

件m上一动点,求|AD-BD|的最大值.m上一动点,求|AD-BD|的最大值.

结当A,B,D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，

论大值为AB的长最大值为AB'的长

解1）连:连接AB并延长交直线m于D'；1）找:找一个定点关于直线的对称点；

题2）求:当点D和点D'重合时，|AD-BD|的值最大，2）连:连接另外一个定点和对称点，并延长交直

方AB的长度即为|AD-BD|的最大值.线于一点；

法3）求:另外一个定点和对称点间的距离即为所求.

【补充】

图形A

9B/

飞：・・•・・・・..

••••../・・・・

•二-•・・・...晨

p\mIA

条件如图，点A,B为定点，点P为直线m上一动点，求|AP-BP1取得最小值.

结论当PA=PB时，|AP-BP|取得最小值,最小值为0.

类型二：一定两动型（三种）

图形卡P；nti

N\mi

•pn

条件如图，点M,N分别为ml,m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值.

结论做点P关于ml,m2的对称点P',P'',那么当P',M,N,P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值

为尸尸”的距离.

类型三：两动两定型（两种）

图形B'

/2\\M

1

NUD\\\1B

\•1

0^r\\1

\•

AB'\M

4，

条件如图，点C,D分别为0M,ON上的动点，点A,B为如图，点C,D分别为0M,0N上的动点，点A,B分别

NM0N内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值.为0M,0N上的定点，求AD+CD+BC的最小值.

结论做A点关于0M的对称点A',做B点关于0N的对称做A点关于0N的对称点A',做B点关于0M的对称点

点B',当A',C,D,B'四点共线时，AC+CD+BD取得B',当A',C,D,B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小

最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是

最小值就是A'B'+AB.A'B'的长.

类型四:平移线段型（两种）

图形AA'

Va

—k---、m

A'y____”

---------~：-----------m

MN\：

Bf

条件如图，A,B为定点，M,N分别为m,n上的动点，如图，A,B为定点，M,N分别为m上的动点，且

MN±n,m//n,且MN为定值，求AM+MN+NB的最MN为定值，求AM+MN+NB最小值.

小值.

结论如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A',如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A',作

连接A'B,交n于点N,过点N作MNLm,垂足为B关于直线m的对称点B，,连接A'B',交直线m

点M,点M和点N即为所求，当A',N,B三点共于点N,将点N向左平移MN个单位长度得点M,

线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN.点M和点N即为所求，当A',N,B'三点共线时

AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN.

题型01两定一动型

1.(2024・四川成都・中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知4(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线

P为直线I上一动点，连接P。，PA,则PO+P4的最小值为.

【分析】本题考查轴对称一最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点A关于直线/的对称点4,

连4。交直线1于点C,连2C,得到4C=AC,A'AVI,再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到

当0,P,4三点共线时，「。+。4的最小值为4。，再利用勾股定理求4。即可.

【详解】解：取点A关于直线I的对称点A,连4。交直线I于点C,连4C,

则可知AC=4C,A'A1I,

：.PO+PA=PO+PA'>A'O,

即当O,P,4三点共线时，PO+P4的最小值为40,

•••直线2垂直于y轴，

A'A1x轴，

VX(3,0),B(0,2),

；.4。=3,AA'=4,

.,.在RtAA'a。中，

A'O=y/OA2+AA'2=V32+42=5,

故答案为：5

2.(2024.四川广安・中考真题)如图，在回ABCD中，AB=4,AD=5,Z71BC=30。，点M为直线BC上一动

点，则MA+MD的最小值为.

【答案】V41

【分析】如图，作4关于直线BC的对称点4,连接4。交BC于Ml则=AHIBC,AM'=A'M',

当重合时，M4+MD最小，最小值为4D,再进一步结合勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，作4关于直线BC的对称点A,连接AC交BC于W,则4"=A'H,AH1BC,AM'=A'M',

...当重合时，M2+MD最小，最小值为4D,

A'

'：AB=4,4ABC=30°,在团力BCD中,

：.AH==2,ADWBC,

：.AA'=2AH=4,AA'1AD,

'：AD=5,

.'.A'D=V42+52=V41,

故答案为：V41

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌

握各知识点是解题的关键.

3.（2023•广东广州•中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上，且BE=1,尸为对角线BD上

一动点，连接CF,EF,贝UCF+EF的最小值为.

【答案】V17

【分析】连接4E交BC于一点E连接CF,根据正方形的对称性得到此时CF+EF=4E最小，利用勾股定

理求出2E即可.

【详解】解：如图，连接2E交8。于一点F,连接CF,

:四边形4BCD是正方形，

.••点A与点。关于BD对称，

：.AF=CF,

：.CF+EF=AF+EF=AE,止匕时CF+EF最小,

正方形力BCD的边长为4,

：.AD=4,乙4BC=90°,

•.•点E在48上，且BE=1,

：.AE=7AB2+BE2=V42+I2=V17,即CF+EF的最小值为旧

故答案为：V17.

【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键.

4.(2024・甘肃・中考真题)如图1,抛物线y=a(x-h)2+k交x轴于O,力(4,0)两点，顶点为B(2,2必).点

C为。B的中点.

(1)求抛物线y=a(x-h)2+k的表达式;

(2)过点C作C”1。4,垂足为“，交抛物线于点E.求线段CE的长.

(3)点。为线段。4上一动点(。点除外)，在。。右侧作平行四边形。CFD.

①如图2,当点尸落在抛物线上时，求点尸的坐标；

②如图3,连接BD,BF,求的最小值.

【答案】（l）y=-y%2+2V3x

（2）T

⑶①尸（2+企,百）②2V7

【分析】（1）根据顶点为B（2,2百）.设抛物线y=a（x—2）2+2次，把力（4,0）代入解析式，计算求解即可;

（2）根据顶点为2（2,2次）.点C为。8的中点，得到C（l,⑸，当x=l时，y=—曰+2%=手，得到

E（l,崂.结合CH1O4垂足为得到CE=誓—追=当的长.

（3）①根据题意，得式1,次），结合四边形。CFD是平行四边形，设网科百），结合点尸落在抛物线上，得

到旧=—日巾2+2百小，解得即可；

②过点2作BN_Ly轴于点N,作点。关于直线8N的对称点G,过点G作GH_Ly轴于点连接DG,CH,

FG,利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可.

【详解】（1）I•抛物线的顶点坐标为B（2,2司）.

设抛物线y=a（%-2）2+2V3,

把4（4,0）代入解析式，得a（4-2>+2百=0,

解得a=—彳，

y=-/（X-2）2+2V3=—^%2+2V3x.

（2）:顶点为8（2,2百）.点C为。B的中点，

.-.C（1,V3）,

VCH1OA,

：.CH||y轴,

的横坐标为1,

设

当X=1时，m=-y+2-\/3=

，E（1，子）.

.•.3=迪-旧="

22

（3）①根据题意，得C（l,网,

V四边形OCFD是平行四边形，

.,.点C,点尸的纵坐标相同，

设F（m,次），

••,点厂落在抛物线上，

.*.V3=一孚M+2am,

解得码=2+V2,m2=2-&（舍去）；

故F（2+夜，网.

②过点B作BN，y轴于点N,作点。关于直线8N的对称点G,过点G作GH1y轴于点H,连接DG,CH,

FG,

则四边形。DGH是矩形，

：.OD=HG,OD||HG,

:四边形。。尸。是平行四边形，

：.OD=CF,OD||CF,

：.GH=CF,GH||CF,

四边形CFGH是平行四边形，

：.FG=CH,

•：BG+BF>FG,

故当B、G、F三点共线时，BG+BF取得最小值，

,:BG=BD,

：.BG+BF的最小值，就是8。+8F的最小值，且最小值就是CH,

延长R7交y轴于点

'：OD||CF,

."HMC=乙HOD=90°,

VC（1,V3）,

/.CM=1,OM=V3,

VB（2,2V3）,

：.ON=NH=2V3,

：.HM=ON+NH-OM=3小,

：.HC=VCM2+HM2=V28=2近,

故BD+BF的最小值是2夕.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定

和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是

解题的关键.

5.(2022•广东深圳•三模)某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线I同旁有两个定点4、B,在直线，上存在点P,使得P4+PB的值最小.解法：作点4关于直线/的对称点

4,连接AB,贝U4B与直线/的交点即为P,且P4+PB的最小值为4B.

图1图2

请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图1,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边4B的中点，P是4C边上的一动点，

则PB+PE的最小值为；

(2)几何拓展：如图2,AABC中，AB=2,ABAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的

值最小，求这个最小值________;

(3)代数应用：求代数式ATT+7(4-%)2+4(0<x<4)的最小值________.

【答案】V10V35

【分析】(1)作点B关于AC的对称点"，连接9E,交AC于点P,连接49，根据轴对称的性质可得

AB=AB'^AC2+BC2=2V2,PB=PB',ZABC^ZAB'C=45°,最后根据PB+PE=PB'+PE=E8’即可求解；

(2)作点2关于AC的对称点方，过点夕作夕N,A3于点N,交AC于点M,连接交AC于点0,根据

8"=9M可知BM+MN=B'M+MN=B'N,根据轴对称的性质和含30。角的直角三角想30。角所对的边等于斜

边的一半，分别求出和BN的长度即可；

(3)根据题意，构造两个直角三角形，斜边分别等于必不I和J(4-x)2+4,用勾股定理进行即可进行

证明.

【详解】(1)解：如图，作点2关于AC的对称点夕，连接9E,交AC于点尸，连接4夕

：.AB=AB'=<AC2+BC2=2V2,PB=PB',ZABC=ZAB'C=45°,

...在△4BB'中，ZBAB'=90°,

•.•点E为A8中点，

：.AE=-AB=V2,

2

：.EB'=yjAE2+{AB'Y=V10,

,:PB=PB',

：.PB+PE=PB'+PE=EB'=V10,

故答案为：VTo.

(2)作点B关于AC的对称点?，过点?作B'N_LAB于点N,交AC于点连接B夕交AC于点O,

根据轴对称的性质可知，BB'LAC,

'：AB=2,ABAC=30°,ZAOB=90°,

：.BO=-AB=1,ZNBB'=60°,

2

:.BB'=2B0=2,

在RdNBB'中,ZNBB'=60°,

：.ZB'=30°,

：.NB=-BB'=1,

2

：.B'N=y/(BB'Y-BN2=V3,

：.BM+MN=B'M+MN=^3,

故答案为：V3.

(3)如图，构造图形，点尸是AB边上一点，其中AB=4,AP=x,AC=1,BD=2,

作点C关于43的对称点C',连接C'D交A2于点尸，延长。3,过点C'作C'0,2。，垂足为。,

根据轴对称的性质可知，AC=AC'=1,CP=C'P,

：AB=4,AC'=\,

：.C'0=4,BO=AC'=\,

：.D0=3,

在Rt&C'OD中，CD=>JC'O2+DO2=5,

VAB=4,AP=x,AC=1,BD=2,

：.CP=>JAC2+AP2=Vx2+1,DP=7BD2+BP2=7（4-x）2+4,

CP+DP=C'P+DP=C'D=5,

+J（4-x）2+4的最小值为5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求最短路径问题，熟练掌握勾股定理的内容，利用轴对称的性质构

造直角三角形是解题的关键.

题型02线段差最值

6.（2023・陕西西安•模拟预测）如图，在菱形48CD中，乙48c=120。，对角线AC、BD交于点0,BD=8,

点E为。。的中点，点F为上一点，且AF=3BF,点P为2C上一动点，连接PE、PF,则|PF-PE|的最大

值为.

【答案】2

【分析】作E的对称点E',连接FE'并延长交AC于点P',根据三角形三边关系可得到|PF-PE\=\PF-PE'\<

E'F,最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答.

【详解】解：作E的对称点E，，连接FE'并延长交AC于点P',

:.PE=PE',

：.\PF-PE\=\PF-PE'\<E'F,

当F、EJP'在同一条直线上时，|PF-PE|有最大值E，F,

:在菱形ABCD中，/.ABC=120°,

."DAB=60°,AD=AB,

△4BD是等边三角形，

."DAB=4DBA=乙ADB=60°,,AD=AB=BD,

•；BD=8,

：.AB=8,

'：AF=3BF,

：.BF=2,

・・,点E为。。的中点，

・•・/为。8的中点，

-1

:.BE'=-BD=2,

4

：.BF=BE',

.•.△BE?是等边三角形,

：,E'F=BF=2,

故答案为2；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边

三角形的性质及菱形的性质是解题的关键.

7.（21-22八年级上.河北承德•期末）如图，点A,B在直线的同侧，点A到MN的距离4C=8,点B到MN

的距离BD=5,已知CD=4,P是直线MN上的一个动点，记P4+PB的最小值为a,|P4-PB|的最大值为

b.

（Da=；

【分析】作点A关于直线MN的对称点A',连接A2交直线MN于点P,过点A作直线的延长线

于点E,再根据勾股定理求出的长就是B4+PB的最小值；延长A8交MN于点尸'，此时P'A-P'B=AB,

由三角形三边关系可知故当点尸运动到P点时IB4-PBI最大，作由勾股定理即可

求出AB的长就是|祖-尸2|的最大值.进一步代入求得答案即可.

【详解】解：如图，

作点A关于直线MN的对称点A',连接A'B交直线MN于点、P,

则点尸即为所求点.

过点4作直线的延长线于点E,则线段A3的长即为B4+PB的最小值.

VAC=8,BD=5,C£)=4,

，AC=8,B£=8+5=13,A'E=CZ)=4,

AB=3132+42=V185,

即PA+PB的最小值是a=V185.

如图，

延长AB交MN于点P,

"：P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

二当点尸运动到P'点时，解-PB|最大，

•：BD=5,C£)=4,AC=8,

过点8作8E_LAC,则8E=CD=4,AE=AC-BD=S-5=3,

.•.AB=V42+32=5.

...|B4-PB|=5为最大，

即b—5,

.'.a2-b2=185-25=160.

故答案为：160.

【点睛】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类

问题的关键.

8.(2023•山东荷泽•二模)如图，直线%=依+2与反比例函数%=(的图象交于点4(爪,3),与坐标轴分别

交于8,C两点.

(1)若乃>%>0，求自变量尤的取值范围；

(2)动点P(n,0)在无轴上运动.当〃为何值时，|P4-PC|的值最大？并求最大值.

【答案】(l)x>1

(2)当n为-2时，|P4-PC|的值最大，最大值为企

【分析】

(1)由点力的纵坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点力的坐标，再根据两函数图象的上下位

置关系，即可得出当y1>%>0时，自变量》的取值范围；

(2)由点2的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求

出点B、C的坐标，再根据三角形的三边关系即可确定当点P与点B重合时，|P4-PC|的值最大，利用两点

间的距离公式即可求出此最大值.

【详解】(1)

解：当丫2=：=3时，X=1,

.••点a的坐标为(1,3),

观察函数图象，可知：当％>1时，直线在双曲线上方，

若为>y2>0,自变量x的取值范围为久>1.

(2)

解：将a(1,3)代入为=入+2中，

3=k+2,解得：k=1,

直线2B的解析式为为=x+2,

当x=0时，%=%+2=2,

.••点C的坐标为(0,2),

AC=J(0-1)2+(2—3)2=72,

当月—x+2=。时，x=—2,

.•.点B的坐标为(-2,0).

当点P与点B重合时，|P4-PC|的值最大，

此时n=-2,\PA-PC\=XC=V2.

.•.当ri为-2时，|P4-PC|的值最大，最大值为声.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次(反比例)函数图象上点的坐标特征、待定

系数法求一次函数解析式以及三角形的三边关系，解题的关键是：(1)利用反比例函数图象上点的坐标特

征求出点4的坐标；(2)利用三角形的三边关系确定点P的位置.

9.(2024•西藏中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a丰0)与无轴交于2(-1,0),5(3,0)

(2)如图(甲)，设点C关于直线/的对称点为点。，在直线/上是否存在一点P,使PA-PD有最大值？若存

在，求出P4-PD的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)如图(乙)，设点M为抛物线上一点，连接MC,过点M作MN1CM交直线/于点N.若tan乙MCN=|,

求点M的坐标.

【答案】（l）y=-x2+2x+3

(2)P4-PD存在最大值；最大值为VTU

⑶点M的坐标为(-1,0)或(K)或(I，号或(3,0)

【分析】(1)把4(—1,0)，B(3,0)代入抛物线求出。、6的值，即可得出抛物线的解析式；

(2)先求出点C的坐标为(0,3),连接PC、PD、P4根据轴对称的性质得出PC=PD,PA-PC=PA-PD,

得出当P4-PC最大时，「4一。。最大，根据当点4、C、P三点在同一直线上时，P4-PC最大，即当点尸

在点P'时，P4—PD最大，求出最大值即可；

(3)过点〃作ED||y轴，过点C作COLOE于点£>,过点N作NE，DE于点£,设点M的坐标为：

(jn,—m2+2m+3),得出DM=\—m2+2m+3—3|=\—m2+2m|,NE=|m-1|,证明△CDMMEN,

得出器=黑=:从而得出3|—血？+2m\=2\m-1|,分四种情况：当m<0时,当°<m<1时，当1<血4

NEMN3

2时，当TH>2时，分别求出点M的坐标即可.

【详解】(1)解：把/(一1,0),8(3,0)代入37=。%2+6工+3(a工0)得：

(d—力+3=0

(9a+3b+3=0'

解得:忆，1，

，抛物线的解析式为：y=-%2+2%+3；

(2)解：PA—存在最大值；

把久=0代入y=-x2+2x+3得：y=3,

.,.点C的坐标为(0,3),

'."y=-x2+2%+3=—(x-I)2+4,

二抛物线的对称轴为直线久=1,

连接PC、PD、PA,如图所示：

:点C关于直线/的对称点为点。，点尸在直线/上,

：.PC=PD,

：.PA-PC=PA-PD,

.•.当PA—PC最大时，P4—PD最大，

.•.当点A、C、尸三点在同一直线上时，P4—PC最大，即当点P在点P'时，PA—PD最大,

：.PA-P。最大值为：AC=VP+32=710.

(3)解：过点M作ED||y轴，过点C作CDIDE于点。，过点N作NE1OE于点E,如图所示:

/CM1MN,

:.乙CMN=90°,

・

..t-anzMC/Vr=—MN=2

CM3

设点M的坐标为：（zn,-血？+2m+3）,

*.DM=\—m2+2m+3—3|=\—m2+2m|,NE=|m-1|,

,:（CMN=乙NEM=Z.CDM=90°,

・"DCM+"MD=乙CMD+乙NME=90°,

工乙DCM=乙NME,

：.△CDMfMEN,

,NE_MN_2

••OM—CM—3’

,|m-l|_2

\-m2+2m\3'

A21-m2+2m\=3|m-1|,

当7n<0时，一zn?+2m<0,m—1<0,则：

2m2—4m=3—3m,

解得：=-1,62=|(舍去)，

此时点M坐标为：(-1,0)；

当0<m41时，一血？+2m>0,m—1<0,则:

—2m2+4m=3—3m,

解得：m1=3（舍去），m2=|

此时点M坐标为：C，f）；

当1<?n<2时，-7n2+27nN0,m—1>0,贝lj：

—2m2+4m=3m—3,

解得：m1=|,m2=—1（舍去），

此时点M坐标为：（I，5

当m>2时，一7n2+27n<0,m—1>0,贝！J：

2m2—4m=3m—3,

解得：m1=3,m2=|（舍去），

此时点〃坐标为：（3,0）；

综上分析可知：点M坐标为：（-1,0）或&号或g号或（3,0）.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解

直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握

相关的判定和性质，注意进行分类讨论.

题型03垂线段最短型

10.（2024・四川凉山•中考真题）如图，OM的圆心为“（4,0）,半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点，

过点P作OM的切线，切点为Q,贝UPQ的最小值为

【答案】2V7

【分析】记直线y=x+4与x,y轴分别交于点A,K,连接QM,PM,KM；由直线解析式可求得点A、K

的坐标,从而得△OAK,△0KM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得:PQ=y/PM2-QM2,由QM=2,

则当PM最小时，PQ最小，点尸与点K重合，此时PM最小值为KM,由勾股定理求得PM的最小值，从而求

得结果.

【详解】解：记直线y=x+4与尤，y轴分别交于点A,K,连接QM,PM,KM,

解得：x=-4,

即K(0,4),71(-4,0)；

而“(4,0),

AOA=OK=OM=4,

AAOAK,AOKM均是等腰直角三角形，

Z.AKO=乙MKO=45°,

/.AKM=90°,

：QP与OM相切，

，4PQM=90°,

：.PQ=JPM2-QM2,

'：QM=2,

.•.当PQ最小时即PM最小，

.•.当PM1AK时，取得最小值，

即点P与点K重合，此时PM最小值为KM,

在Rt△0KM中，由勾股定理得：KM=70M2+OK2=4近，

：.PQ=V32-4=2V7,

.••PQ最小值为2夕.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加

辅助线是解题的关键.

11.(2022•山东荷泽・中考真题)如图，在菱形A5CZ)中，AB=2,^ABC=60°,M是对角线8。上的一个动

点，CF=BF,则AL4+MF的最小值为()

DC

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【分析】连接AR则AF的长就是的最小值，证明△A8C是等边三角形，A尸是高线，利用三角函

数即可求解.

【详解】解：连接A尸，则A尸的长就是的最小值.

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AB^BC,

又：ZABC=6Q°,

：.△ABC是等边三角形，

,/CF=BF

是8C的中点,

J.AFLBC.

则Ab=AB・sin60°=2xy=V3.

即MA+MF的最小值是旧.

故选:C

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AP的长就是MA+MF的最小值是关键.

12.（20-21七年级下•福建漳州•期末）如图，在RtAABC中，AACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,AD平

分NC4B交BC于点。，点E、F分另U是4。、2C边上的动点，则CE+EF的最小值为

I

DH

【答案】y

【分析】在4B上取一点。，使力F'=4F,连接E。，判断出△力EF三△AEP(SAS),得出EF=EF，，进而得

出当点C,E,厂在同一条线上，且CE14B时，CE+E9最小，即CE+EF最小，其值为CH,最后用面积

法，即可求出答案.

【详解】解：如图，在力B上取一点F',使4F'=4F,连接EF',作CHJ.4B,

•••2。平分/B2C,

•••Z.DAC=Z.DAB,

■.AE=AE,

.•.△4EFmA4EF'(SAS),

EF=EF',

CE+EF=CE+EF',

当点C,E,F'在同一条线上，且CE14B时，CE+EF，最小，即CE+EF最小，其值为CH,

■-S^ABC=IACBC=~ABCH,

ACBC6X824

•••CH=---=——=——,

AB105

即CE+EF的最小值为g,

故答案为：号.

【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三

角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键.

13.(2020•四川内江・中考真题)如图，在矩形ABC。中，BC=10,^ABD=30°,若点M、N分别是线段

A3上的两个动点，则4M+MN的最小值为

【答案】15

【分析】如图，过A作4G1BD于G,延长4G,使4G=EG,过E作EN1AB于N,交BD于M,贝MM+MN=EN

最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解EN即可得到答案.

【详解】解：如图，过A作4G18。于G,延长4G,使4G=EG,过E作EN^LAB于N,交BD于M,贝IjAM+MN=

EN最短，

•••四边形ABCD为矩形，BC=10,^ABD=30°,

•­.AD=10,BD=20,48=BD•cos30°=10V3,

AG•BD=AD•AB,

：.20AG=10X10V3,

AG=5V3MF=2AG=10V3,

•••AE1BD,EN1AB,Z.EMG=Z.BMN,

•••NE=4ABD=30°,

•••EN=AE•cos30°=10A/3Xy=15,

AM+MN=15,

即AM+MN的最小值为15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的

最小值问题，解题的关键是掌握以上知识.

题型04两定一动/两定动型

14.（22-23八年级下•江苏连云港•期中）如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、尸分别是和

边上的点，则四边形周长的最小值为

【答案】24

【分析】作点G关于的对称点，作点B关于的对称点，连接、、，根据对称的性质可得,，再由，，可得当时,

四边形的周长有最小值，最小值为，再利用勾股定理求得，最后利用即可求解.

【详解】解：如图，作点G关于的对称点，作点B关于的对称点，连接、、，

.当时，四边形的周长有最小值，最小值为,

.四边形的周长的最小值为24,

故答案为：24.

H'

【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性

质，构造三角形是解题的关键.

15.（2022•山东枣庄•二模）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长

的最小值是

B

N

O

【答案】

【分析】分别作点尸关于的对称点c、D,连接，分别交于点M、N,连接，当点M、N在上时，的周长最

小.

【详解】解：分别作点尸关于的对称点C、D,连接，分别交于点M、N,连接.

点尸关于的对称点为C,关于的对称点为D,

点尸关于的对称点为

.••是等边三角形，

的周长的最小值.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定.作点P关于OA、OB的对称点C、。是解题的

关键所在.

16.（2023•陕西西安•二模）如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为

A

【答案】

【分析】如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，由对称的性

质可得，，，，贝U，可知当四点共线时，的周长最小为，如图，过作的延长线于，由，可得，贝上，，根据，计

算求解即可.

【详解】解：如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接,,

由对称的性质可得,，，,

...当四点共线时，的周长最小为,

如图，过作的延长线于，

由勾股定理得，

故答案为：.

【点睛】本题考查了轴对称的性质，正弦、余弦，勾股定理等知识.解题的关键在于确定周长最小的情况.

17.（20-21九年级上.广东广州•阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O,点E、尸分别是边

【分析】作点。关于的对称点/，点。关于的对称点N,连接，则的周长，故当四点共线时，即此时的周

长最小，最小值为的长，证明是等边三角形，得到；过。作交直线于P,由平行四边形的性质得到，，由含

30度角的直角三角形的性质得到，则，，即可得到点尸与点B重合，贝上由此即可得到答案.

【详解】解：作点。关于的对称点点。关于的对称点N,连接，

由作图得:，，

.♦•的周长，

.♦.当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，

•，

•・，

.•.是等边三角形，

过。作交直线于P,

・・,四边形是平行四边形，

•*Jf

在中，，

点尸与点8重合,

的周长最小值为,

【点睛】此题主要考查轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质，等腰三角形的性质的判定和性质，勾股

定理，正确的作出图形是解题的关键.

18.（2020九年级•全国・专题练习）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，点为的中点，点、分别为轴正半

轴和抛物线对称轴上的动点，连接、、，求四边形周长最小时点、的坐标.

【答案】当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为.

【分析】作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点.求出

直线的解析为，进一步可得出结论.

【详解】如图，作点关于轴的对称点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，交对称轴于点，交轴于点.由

对称知，，

此时四边形的周长为.

此时四边形的周长最小，最小值为.

抛物线对称轴为直线.

为的中点，.

设直线的解析式为.

将点、的坐标代入可得解得

直线的解析为.

令，则，点的坐标为.

令，贝IJ,点的坐标为.

当四边形周长最小时，点的坐标，点的坐标为.

【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的

结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键.

19.（2022•天津•中考真题）已知抛物线（a,b,c是常数，）的顶点为P,与无轴相交于点和点8.

⑴若，

①求点P的坐标；

②直线（机是常数，）与抛物线相交于点与相交于点G,当取得最大值时，求点G的坐标；

（2）若，直线与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点，尸是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为

5时，求点E,F的坐标.

【答案】（1）①；②点M的坐标为，点G的坐标为；

（2）点和点；

【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出。的值，再用配方法求出顶点

坐标即可；②先令尸0得到2点坐标，再求出直线的解析式，设点M的坐标为，则点G的坐标为，再

表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；

（2）根据，解析式经过A点，可得到解析式：，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点尸关于y轴的对

称点，作点N关于x轴的对称点，再把和的坐标表示出来，由题意可知，当取得最小值，此时，将字母代

入可得：，求出。的值，即可得到E、尸的坐标；

【详解】（1）①•••抛物线与无轴相交于点，

.又，得.

.••抛物线的解析式为.

，点P的坐标为.

②当时，由，

解得.

二点B的坐标为.

设经过2,尸两点的直线的解析式为，

有解得

...直线的解析式为.

直线(机是常数，)与抛物线相交于点与相交于点G,如图所示:

...当时，有最大值1.

此时，点M的坐标为，点G的坐标为.

(2)由(1)知，又，

.♦•抛物线的解析式为.

•，

••・顶点P的坐标为.

•..直线与抛物线相交于点N,

...点N的坐标为.

作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，如图所示:

得点的坐标为，点的坐标为.

当满足条件的点E,尸落在直线上时，取得最小值,

此时，.

延长与直线相交于点贝

在中，.

解得（舍）.

二点的坐标为，点的坐标为.

则直线的解析式为.

.•.点和点.

【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、

勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键.

题型05造桥选址型

20.（2020九年级•全国・专题练习）如图，四边形力BCD是平行四边形，AB=4,BC=12,^ABC=60°,

点E、尸是4D边上的动点，且EF=2,则四边形BEFC周长的最小值为.

【答案】14+2V37

【分析】根据题意，将点8沿BC向右平移2个单位长度得到点夕，作点夕关于4