2025中年考数学一轮复习：平行线模型

平行线模型

单拐点模型的应用（共6小题）

1.如图，AB//CD,ME平分/4MF,NF平分NCNE.若/石+54。=2/尸，则N4MF的度数是（）

2.如图，AB//CD,E为池上方一点，FB,"G分别平分NEFG,ZEHD.若NE+2NG=210。，则

NEFG的度数为（）

E

C-H---------------------------D

A.130°B.140°C.150°D.160°

3.如图，AB//CD,P为直线AB、CD之间一点,ZBAP的平分线与ZDCP邻补角的角平分线所在直线

交于点。，则NP与N。之间的关系为（）

AB

Q

A./P=NQB.ZP+ZQ=180°C.2NP+NQ=180。D.N尸+2NQ=180。

4.如图，AB与HN交于■点、E,点G在直线CD上，/TMA=ZFGC,NFEN=2ZNEB,ZFGH=2ZHGC,

下列四个结论：①AB//CD；②ZFENAvZFGH=2ZEHG；③ZEHG+ZEFM=90°；④

3ZEHG-ZEFM=180°.其中正确的结论是（；)

:F一

C

GD

A.①②③B.②④C.①②④D.①④

5.已知AB//CD,点E在3。连线的右侧，Z45E与N8E的角平分线相交于点F,则下列说法正确的

是（）

@ZABE+ZCDE+ZE=360°；

②若NE=80。，则NBFD=140。；

③如图（2）中，若ZABM=!ZABF,ZCDM=-ZCDF,则6NBMD+NE=360°;

33

④如图（2）中，若NE=m。,ZABM=-ZCDF,则NM=（2）。.

nIn

4_______________BA_____________B

C-------------------DD

图⑴图⑵

A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

6.如图，直线AB//CD,M、N分别在直线M，CD上，”为平面内一点，连接HM,HN,延长"N

至点G,和NG7VD的角平分线相交于点E.若ZH.=a,则ZMEN可以用含a的式子可以表示为

（）

CY（7

A.180°--B.180。一aC.90°+-D.90。+a

22

二.多拐点模型的应用（共4小题）

7.如图，AB//EF,ZC=90°,则0、/?和/的关系是（)

A.0=a+yB.a+/+y=180。C.a+/3-7=90°D.4+7—a=180°

8.中华武术，博大精深.小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题.如图2,已知AB//CD,NC=90。,

ZB=78°,ZE=98°,则/F的度数是（）

D.120°

9.如图所示，AB//CD,BEFD是AB、CD之间的一条折线，贝UNl+N2+N3+N4=

10.如图，若直线a//6,那么Nr=度.

三.模型与动点结合(共5小题)

11.如图，直线机//〃，直线沉，〃分别与直线4?交于A,3两点.点C在直线机上且在点A右侧,

ZABC=40°.点。在直线m上，DF//AB交直线〃于点P,CE平分N3co交直线〃于点E.设N3FD=a.

(1)如图1,当点。在点C右侧时，若夕=40。,

①求N3CD的度数;

②求证AF//CE；

(2)当点。在直线上运动时，设NBEC=0,直接写出c与月的数量关

系.图1备用图

12.已知AB//CD,点尸是平面内一点，过点尸作射线PN、PM,与钻相交于点3.

M

M

N

(1)如图1,若点P为直线CD上一点，ZABM=45°,NCPN=30°,求NMPN的度数;

(2)如图2,若点尸为直线AB、CD之间区域的一点,射线PN交CD于点E,ZABM和NCEP的角平

分线交于点厂.请说明：2/BFE+NMPN=180°；

(3)如图3,若点P、"是直线CD上的点，连接并延长交NMPN的角平分线于点Q,射线7W交相

于点G,设N3GP=dz.当ZPHB=ZPBH时,请直接用含tz的代数式表示NPQ?.

13.如图，已知直线/1//4，点A、3分别在4与4上.直线4和直线乙、4交于点C和。，在直线8上

有一点P.

(1)如果尸点在C、D之间运动时，问44C,ZAPB,NPBD有怎样的数量关系？请说明理由.

(2)若点尸在C、。两点的外侧运动时(P点与点C、。不重合)，试探索NP1C,ZAPB,NPBD之间

的关系又是如何？

14.已知直线MN//PQ,点A是直线MN上一个定点，点3在直线P。上运动.点”为平面上一点，且

满足Z4HB=90。.设NHBQ=a.

(1)如图1,当&=70。时，ZHAN=.

(2)过点H作直线/平分N4HB,直线/交直线于点C.

①如图2,当a=60。时，求N4CH的度数；

②当NACH=30。时，直接写出a的值.

AfA

POPO

备用图备用图

15.如图1,直线GK分别交AB、CD于点M、N.ZGNC=50°,/GMB=130。,（题中所有的角都是

大于0。且小于180。）

（1）求证：AB//CD；

（2）如图2,点“在直线至上，且位于对点右侧，点T在直线GZ?上，且在直线A8上方，ZCNQ^ZMNQ,

ZTHM=2ZQHM,若ZF/QN+NH7W=60。，求/QHB.

（3）如图3,点E在直线CD上（E在N点左侧），点P在直线至、CD之间，且在GR左侧.若改变至

与CD之间的距离，使得NWP与NNEP两角的角平分线一定存在一个交点Q（Q在直线AB、CD之间）,

16.如图，将一块含有60。角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a,6上，如果Nl=10。，那么

N2的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

17.如图是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行.当Nl=75。，N2=45。时，Z3

的度数为（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

18.如图，AB//CD,3E为NABC的平分线，DE为NADC的平分线，ZADC=72°,NBCD=42。,则

NBED的度数为°.

DC

19.如图，AB//CD,点E,尸分别在钻，CD上，点M在两条平行线之间，与NCFM的平分

线相交于点N,若N£MF="。，则4VF=度.（用含〃的式子表示）

F

20.如图，已知A3//CD,点E,厂分别在AS,CD上，点G,H在两条平行线他，CD之间，ZAEG

与NFHG的平分线交于点若NEGH=84。，NHFD=20°,则.

21.如图，AB//CD,PG平济ZFPE,NCFP+NFPH=180°,下列结论：①CD//P"；②

ZBEP+ZDFP=2ZEPG；③NFPH=NGPH；④ZA+ZAGP+ZDFP—NFPG=180°；⑤若ZBEP>ZDFP,

则且匕2"=2.其中正确结论的个数是（）

/GPH

C工___________B

H\----

G

AEB

A.2个B.3个C.4个D.5个

22.①如图1,AB//CD,贝lJZA+NE+NC=360。；

②如图2,AB1/CD,则NP=NA-NC；

③如图3,AB!/CD,贝l]NE=NA+Nl；

④如图4,直线AB//CD//EF,点O在直线EF上，贝i|Na-/£+//=180。.

以上结论正确的是()

图1图3

A.①②③④C.①②④

23.己知AB//CD,点E在连线的右侧，Z4BE与NCDE的角平分线相交于点尸，贝U：

①ZABF+NCDF=ZBFD；

@ZABE+ZCDE+ZE=360°；

③若NE=65。，则NBED=115。；

22

④若ZABM=—ZABF,ZCDM=-ZCDF,则5ZBMD+ZE=360°；

55

以上说法正确的是—.

(1)如图1,点E在AB、CD之间，求证：ZAEC^ZA+ZC；

(2)如图2,在(1)的条件下，的平分线交CE的延长线于点P,NDCE的平分线交的延长

线于点G,试探究“，NG和NAEC这三个角之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,点E在直线AB的上方，ZEAB,NECD的平分线交于点P,若N£-NF=20。，请直接写

出4CD—ZE4B的值.

图1图2图3

25.如图1,直线EF分别与直线AB,CD交于点、E,F,EG平分NAEF交直线CD于点G,且

图1

(1)求证:AB//CD；

(2)如图2,点"是射线FD上的一点,EM平分ZFEH,过点M作儿W//EG,交他于点N.当

/EHF=54。时，求NEMN的度数;

(3)若点"在射线GD上，EM平分NFEH,过点、M作MN//EG,交至于点N,设.4EMN=a,

ZEHF=p.写出。与月的数量关系，并说明理由.

平行线模型

参考答案与试题解析

题号12345678161721

答案BBDCCCCBCDC

题号22

答案C

一.单拐点模型的应用（共6小题）

1.如图，AB//CD,ME平分/4MF,NF平分ZCNE.若/石+54。=2/凡则Z4MF的度数是（）

C.40°D.44°

【分析】过点E作EG//AB,根据猪脚模型可得：ZMEN=Z1+ACNE,ZF=ZAMF+ZA,再利用角

平分线的定义可得Z4A7F=2N1,NOVE=2/4,从而可得/I+2/4+54。=2（2/1+/4）,然后进行计算即

可解答.

【解答】解：如图：过点E作EG//AB,

AB//CD,

:.EG//CD,

ZGEN=ZCNE,

ZMEN=ZMEG+ZGEN,

:.ZMEN=Z1+ZCNE,

同理可得：ZF=ZAMF+Z4,

ME平分ZAMF,NF平分4CNE,

:.ZAMF=2Z1,ZGVE=2Z4,

.•.ZME7V=N1+2N4,ZF=2Z1+Z4,

/MEN+54。=2/F,

Z1+2Z4+54°二2(2Z1+Z4),

.•.4=18。，

ZAMF=271=36°f

故选：B.

2.如图，AB//CD,石为AB上方一点，FB,〃G分别平分NEFG,ZEHD.若N£+2NG=210。，则

NEFG的度数为()

E

A

C

A.130°B.140°C.150°D.160°

【分析】延长尸G交CD于点M,先利用角平分线的定义可得N1=N2=1/EFG,Z3=Z4=-ZEFD,

22

再利用猪脚模型可得NFGH=N4+N2,从而可得2NFGH=ZEHD+ZEFG,然后利用平行线的性质可得

/6=/EHM,再利用三角形的外角性质可得N1=NE+N6="+NSTO,最后根据NE+2NG=210。，

进行计算即可解答.

【解答】解：如图：延长FG交8于点

E

A

C

:.AB//CD,

.*.Z2=Z5,Z6=ZEHM,

FB,”G分别平分NEFG,ZEHD,

;.N1=N2=L/EFG,Z3=Z4=-ZEFD,

22

ZFGH是AGHM的一个外角，

:.NFGH=N4+Z5,

:.NFGH=N4+N2

=-ZEHD+-ZEFG,

22

2ZFGH=NEHD+NEFG,

ZL是AE/VF的一个外角，

;.Z1=ZE+N6,

:.Z1=ZE+ZEHD,

NE+2NG=210。,

:.ZE+AEHD+ZEFG=210°,

Zl+ZEFG^210°,

-ZEFG+ZEFG=210°,

2

解得：ZEFG=140°,

故选：B.

3.如图，AB//CD,P为直线AB、CD之间一点,ZBAP的平分线与ZDCP邻补角的角平分线所在直线

交于点。，则NP与N。之间的关系为（）

2ZP+Z2=180°D.N尸+2/0=180°

【分析】过点P作PG//AB,利用猪脚模型可得:ZAPC=NEAP+NPCF,再利用平行线的性质可得

ZBAQ=Z1,然后利用三角形的外角性质可得NQ=N1-28CQ,再根据对顶角相等可得N4=///CQ,

从而可得ZQ=ZBAQ-Z4,最后利用角平分线的定义可得Z4=|ZFCP,

ZBAQ=|ZBAP=1(180°-ZE4P),从而利用等量代换进行计算，即可解答.

【解答】解：如图：过点尸作PG//AB,

.•.N2=ZEAP,

ABI/CD,

..PG//CD,

:.Z3=ZPCF,

ZAPC=N2+Z3,

ZAPC=ZEAP+ZPCF,

AB//CD,

.\ZBAQ=Z1,

N1是AC"。的一个外角，

/.ZQ=Z1-ZHCQ,

N4=/HCQ,

ZQ=ZBAQ-Z4f

AQ平分NBAP,CM平分NFCP,

/.Z4=|zFCP,ZBAQ=|ZBAP=1(180°-ZEAP),

...Zg=1(l80°-ZEAP)-1ZFCP

=9G°--ZEAP--ZFCP

22

=90°-1(/EAP+ZFCP)

=90°--ZAPC,

2

/.2Z2=180°-ZAPC,

.•.ZAPC+2NQ=180。，

故选：D.

4.如图，AB与HN交于点、E,点G在直线CD上，ZFMA=ZFGC,ZFEN=2ZNEB,ZFGH=2ZHGC,

下列四个结论：①AB//CD；②ZFEN-^-ZFGH=2ZEHG；③NEHG+NEFM=90。；④

3ZEHG-ZEFM=180°,其中正确的结论是（）

F

N

C——--------D

LT

A.①②③B.②④C.①②④D.①④

［分析］过点H悴HQHAB,设ZNEB=x,NHGC=y,利用猪脚模型、锯齿模型表示出ZEHG、ZEFM,

即可分析出答案.

【解答】解：NFMA=NFGC,

:.AB//CD,

.•.①正确；

过点H作

AB//CD,

.-.AB//HQ//CD,

:.NEHQ=ZAEH=NNEB,NGHQ=NHGC,

设ZNEB=x,NHGC=y,则NFEN=2x,ZFGH=2y,

ZEHG=ZEHQ+ZGHQ=NNEB+ZHGC=x+y,

NFEN+ZFGH=2{x+y)=2ZEHG,

.•.②正确；

ZEFM=ZBEF-ZFME=ZBEF-ZAMG,

ZEFM=ZBEF-(180°-ZFGC)=尤+2x-(180。一y-2y)=3x+3y-180。，

:.ZEHG+ZEFM=x+y+3x+3y-180°=4x+4y-180°^90°,

.♦.③错误；

3ZEHG-ZEFM=3(x+y)-(3x+3y-180°)=180°,

.•.④正确.

综上所述，正确答案为①②④.

故选：C.

5.已知AB//CD,点E在皮）连线的右侧，N4班与NCDE的角平分线相交于点F，则下列说法正确的

是（）

①ZABE+NCDE+ZE=360。；

②若ZE=80。，则ZBFD=140。；

③如图（2）中，ZABM=-ZABF,ZCDM=-ZCDF,贝I6々版+"=360。；

33

④如图（2）中，若NE=nf,ZABM=-ZCDF,则/M=（'）。.

A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

【分析】分别过E、F作GE//AB,FHHCD,再根据平行线的性质可以得到解答.

【解答】解：AB//CD,

:.ZABE+ZBEG=l80°,ZCDE+ZDEG=1SO°,

ZABE+ZBEG+ZCDE+ZDEG=360°,BPZABE+ZBED+ZCDE=36O°,①正确,

ZBED=80°,ZABE+ZBED+ZCDE=360°,

ZABE+ZCDE=280°,

AB!/CD,

:.ZABF=ZBFH,ZCDF=ZDFH,

NBFD=ZBFH+ZDFH=ZABF+ZCDF=1(ZABE+ZCDE)=140°,②正确，

与上同理，NBMD=ZABM+NCDM=；(ZABF+NCDF),

6ZBMD=2(ZABF+ZCDF)=ZABE+ZCDE,

.•.6ZBAffi>+ZE=360°,③正确，

由题意，④不一定正确，

①②③正确，

故选：C.

6.如图，直线AB//CD,M、N分别在直线AB,CD上，”为平面内一点，连接HN,延长HN

至点G,和NGZVD的角平分线相交于点E.若=则/MEN可以用含a的式子可以表示为

()

A

C

CYOf

A.180°——B.180。一aC.90°+-D.90。+。

22

【分析】设CD与MH相交于点。，过点E作£P〃M,先利用角平分线的定义可得：NBMD=g/BMH,

NDNE=；2GND,然后利用猪脚模型可得：ZMEN=ZBMD+ZDNE=1(ZBMH+ZGND),再利用平行

线的性质可得N3I包=,最后利用三角形的外角性质可得=忸，从而可得

ZH=ZBMH-180°+ZGND,进而可得ZBMH+460=180。+,再进行计算即可解答.

【解答】解：设CD与M/相交于点。，过点E作EP//AB,

A

C

:.ZBMD=ZMEP,

AB!/CD,

:.EPIICD,

:.ZPEN=ZDNE,

MD平分ZBMH,NE平外ZGND,

:.ZBMD=-ZBMH,ZDNE=-ZGND,

22

/.ZMEN=ZMEP+APEN

=ZBMD+ZDNE

=-ZBMH+-ZGND

22

=；(/BMH+/GND),

AB//CD,

ZBMH=ZDQH,

ZDQH是\NQH的一个外角，

ZH=ZDQH-/DNH,

/H=ZBMH-(180°-ZGND)=ZBMH-180°+ZGND,

ZH=a，

.•.ZBAff/+ZG/VD=180°+ZH=180°+cr,

1oc

ZMEN=-(NBMH+ZGND)=90°+—,

故选：C.

二.多拐点模型的应用(共4小题)

7.如图，AB//EF,ZC=90°,则口、万和丁的关系是()

A./3=a+yB.e+尸+/=180。C.(z+£-7=90°D./7+/-e=180°

【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系.

【解答】解：延长Z3C交互与G,延长8交所于

在直角ABGC中，Zl=90°-cr；AEHD中,N2=尸一7,

AB//EF,

.-.Z1=Z2,

:.90°-a=/3-Y，即a+/7—y=90。.

故选：C.

8.中华武术，博大精深.小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题.如图2,已知AB//CD,ZC=90°,

D.120°

【分析】过点石作石G/MB,过点尸作从而可得AB//FH//EG//CD,然后利用平行线的性

质可得NB+NHFB=180。，ZEFH=GEF,ZC+ZCEG=180°,从而可得NHFB=102。，ZCEG=90°,

进而可得NE/7H=NG£F=8。，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答.

【解答】解：过点石作石G//AB,过点尸作

AB//CD,

:.AB//FH//EG//CD,

ZB-^-ZHFB=180°,ZEFH=GEF,ZC+ZCEG=180°,

:.ZHFB=1800-ZB=102°,ZCEG=180°-ZC=90°,

.ZGEF=ZCEF-ZCEG=98°-90°=8°，

.\ZEFH=ZGEF=8°f

:.ZEFB=ZEFH+ZHFB=122。+8。=112。,

故选：B.

9.如图所示，AB!/CD.BEFD是AB、CD之间的一条折线，则Nl+N2+N3+N4=_540。

【分析】连接根据平行线的性质由AB//CD得到N/4BD+NCDB=180。，根据四边形的内角和得到

Z2+Z3+ZEBD+ZFBD=360°,于是得到结论.

【解答】解：连接如图，

AB//CD,

ZABD+ZCDB=180°,

•,Z2+Z3+NEBD+ZFBD=360°,

Z2+Z3+ZEBD+ZFDB+ZABD+ZCDB=540°,

即Nl+N2+N3+N4=540°.

故答案为：540°.

10.如图，若直线a//6,那么64度.

【分析】两平行线间的折线所成的角之间的关系是-----奇数角，由/I与130。互补可以得知4=50。，

由al1b,结合我们日常总结的规律“两平行线间的折线所成的角之间的关系-左边角之和等于右边角之

和”得出等式，代入数据即可得出结论.

【解答】解：令与130。互补的角为N1,如图所示.

/.Zl=50°.

allb,

.-.x+48o+20°=Zl+30o+52°,

.二%=64°.

故答案为：64.

三.模型与动点结合(共5小题)

11.如图，直线〃z//〃，直线机，"分别与直线4?交于A,3两点.点C在直线机上且在点A右侧，

ZABC=40°.点。在直线机上，DB//AB交直线〃于点P,CE平分N3co交直线”于点E.设N3FD=a.

(1)如图1,当点。在点C右侧时，若a=40。，

①求N3CD的度数；

②求证。尸//CE；

系.图1备用图

【分析】(1)①先求再求NP3C,即可求出结论：②先求NBCE,证明AB//CE即可证明结论;

(2)分三种情况：当点。在点C右侧时；当点。在点C左侧、在点A右侧时；当点。在点A左侧时分

别根据平行线的性质求出结论即可.

【解答】⑴①解：DF//AB,

:.ZABP=ZDFB=40°,

ZABC=40°,

二NCBP=ZABP+NCB4=40°+40°=80°,

mlIn，

.\ZBCD=ZCBP=80°；

图1

②证明：CE斗分ZBCD,

NBCE=L/BCD=40。,

2

ZABC=4Q0,

,\ZBCE=ZABC,

ABIICE,

又'ABIIDF,

:.DF//CE；

(2)解：当点。在点。右侧时，ZBFD=a,4BEC=/3,

DF//AB,

.•.ZABP=ZBFD=a,

ZABC=4Q°,mlIn,

ZPBC=6T+40°=ZBCD,NBEC=0=/DCE,

CE平分ZBCD,

/BEC=/=g/BCD=g3+40°),即a=24—40。；

如图2：当点。在点。左侧、在点A右侧时，ZBFD=a,/BEC=0,

图2

DF//AB,

:.ZABP=ZBFD=a,

ZABC=4Q°,mlIn,

:.ZPBC=a+4Q°=18Q°-ZBCA,NBEC=0=ZACE,

ZBCA=180°-(«+40°)=140°-«,

CE平分ZBCD,

ZBEC=£=g^BCA=1(140°-a),即a=140°-2/3；

如图3：当点。在点A左侧时，ZBFD=a,NBEC=/3,

图3

DF//AB,

:.ZABP+ZBFD=180°,

：.ZABP=180°-a,

ZABC=AO°,mlIn,

ZPBC-(180°-«)+40°-220°-a=180°-ZBCA,ZBEC=/3=ACE,

ZBCA=180°-(220°-«)=«-40°,

CE平分/BCD,

ZBEC=/3=1zBC4=1(a-40°),即a=2£+40。.

12.己知AB//CD,点尸是平面内一点，过点尸作射线PN、PM,PM与钻相交于点3.

(1)如图1,若点P为直线CD上一点，ZABM=45°,ZCPN=30°,求NMPN的度数；

(2)如图2,若点尸为直线至、CD之间区域的一点,射线PN交CD于点E,ZABM和NCEP的角平

分线交于点尸.请说明：2ZBFE+ZMPN=180°；

(3)如图3,若点尸、〃是直线CD上的点，连接并延长交NMPN的角平分线于点Q,射线取交他

于点G,设NHGP=a.当ZPHB=ZPBH时,请直接用含。的代数式表示NPQ".

【分析】(1)运用平行线性质即可；

(2)过点方作FK//钻，过点。作依//AB,运用平行线性质、角平分线定义及三角形内角和定理等即

可证得结论；

(3)分两种情况：当点”在点。的左侧时，当点”在点尸的右侧时，分别求得NPQH即可.

【解答】(1)解：AB//CD,

:.ZCPM=ZABM,

NABM=45。,

.\ZCPM^45°.

ZMPN=NCPM+NCPN,ZCPN=30°f

ZMPN=450+30°=75°.

(2)证明：过点尸作FK/MB,过点尸作m/MB,

:.ZKFB=ZABF,ZRPM=ZABM,

AB//CD,

:.FK//CD,PR//CD,

:./KFE=NCEF,NCEP+NEPR=180。.

3尸平分NAW,

:.ZABM=2ZABF,

同理可得：ZCEP=2ZCEF.

设NCEF=x,ZABF=y,

,\ZKFE=ZCEF=X9NCEP=2NCEF=2X,

ZKFB=ZABF=yfZABM=2ZABF=2yf

.\ZEPR=1800-ZCEP=180°-2x,/RPM=ZABM=2y,

/.ZMPN=ZEPR+ZRPM=180°-2x+2y=180°-2a-y),

/BFE=NKFE—/KFB=x—y,

/.ZMPN=180。—2ZBFE,

2ZBFE+ZMPN=180°.

(3)解：ZPQH=^a^.ZPQH=90°-.

当点H在点P的左侧时，如图，

二HP

AB//CD,

:.ZDPG=ZBGP=a,

ZBPD=ZPHB+ZPBH,ZPHB=ZPBH,

:.ZBPD=2ZPHB=2ZPBH,

.•.ZPHB=ZPBH=-ZBPD=-AMPN+-a,

222

PQ平分/MPN,

/.ZMPQ=Z.NPQ=gZMPN,

NPBH=/MPQ+ga,

ZPBH=ZMPQ+ZPQH,

/.ZPQH=^a；

当点H在点尸的右侧时，如图，

AB//CD,

ZDPG=ZBGP=af

ZBPC=ZPHB+ZPBH,ZPHB=ZPBH,

...ZBPC=2ZPHB=2ZPBH,

ZPHB=NPBH=|NBPC=g(180°-NMPN-a),

PQ平分ZMPN,

ZMPQ=ZNPQ=|NMPN,

NPHB=NPBH=90°-ZMPQ,

Z.BPC+ZMPQ=ZPQH+NPHB,

ZPQH=ZBPC+ZMPQ-ZPHB=2ZPHB+ZMPQ-ZPHB=90°-ZMPQ+ZMPQ=90。-;

综上所述，/尸07/=；”或90。一30.

13.如图，已知直线4/4，点A、3分别在4与4上.直线4和直线4、6交于点C和。，在直线CD上

有一点P.

(1)如果尸点在C、。之间运动时，问NE4C,ZAPB,NPBD有怎样的数量关系？请说明理由.

(2)若点P在C、。两点的外侧运动时(尸点与点C、。不重合)，试探索44C,ZAPB,NPBD之间

的关系又是如何？

【分析】(1)过点P作PE/4,求出PE/4/4，根据平行线的性质得出44c=N1，ZPBD=Z2,即

可得出答案；

(2)分为两种情况：①当点尸在4下方时，②当点P在4上方时，根据平行线的性质得出即可.

【解答】解：(1)如图，当P点在C、D之间运动时，则有NAP3=NR4C+NPBD.理由如下:

过点。作尸E/〃i,

4/〃2,

:.PE/H21Hx,

.\ZPAC=ZlfZPBD=Z2,

.\ZAPB=Z1-^Z2=ZPAC-^ZPBD；

(2)若点P在。、。两点的外侧运动时(尸点与点。、。不重合),

当点尸在4下方时，有结论：ZAPB=ZPAC-ZPBD.

理由是：过点F作尸EV4,则NAP石=NR4C,

又,4/〃2，

:.PE//l2,

:.ZBPE=ZPBD,

ZAPE=ZAPB+ZBPE,

.."AC=ZAPB+ZPBD,

ZAPB=ZPAC-ZPBD；

当点P在4上方时，有结论：ZAPB=NPBD—NPAC.

理由是：过点P作PE//l2，则ZBPE=ZPBD,

又•/"4，

:.PEI/11,

:.ZAPE=ZPAC,

ZBPE=ZAPE+ZAPB,

ZPBD=ZPAC+ZAPB,

ZAPB=ZPBD-ZPAC.

14.已知直线MN//P。，点A是直线MN上一个定点，点3在直线P。上运动.点H为平面上一点，且

满足"78=90。.设=

(1)如图1,当a=70。时，ZHAN=_20°_.

(2)过点“作直线/平分NA//B,直线/交直线于点C.

①如图2,当&=60。时，求NACH的度数；

②当NAS=30。时，直接写出a的值.

AfA

POPO

备用图备用图

【分析】（1）延长与MN相交于点。，根据平行线的性质可得ZAD8=/iffiQ=70。，再根据三角形

外角定理可得AHB=44N+Z4D”,代入计算即可得出答案；

（2）①延长S与尸。相交于点E,如图4,根据角平分线的性质可得出NBHE的度数，再根据三角形外

角定理可得NHBQ=NHEB+NBHE,即可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出答案；

②I由图4,根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形外角和=仍+N3HE,即可得

II由图5,根据角平分线的定义可得NEHB=45。，根据平行线的性质可得=,再根据三角形

的外角定理可得ZCHA=ZHBE+ZHEB,即可算出a=15°;

III由图6,根据角平分线的定义可得㈤5=45。，根据平行线的性质可得NC4H=NHEB,再根据三角形

内角和定理，即可得算出a=105。；

IV由图7,根据角平分线的定义可得NQWB=45。，根据平行线的性质可得NC4H=NHEB,由三角形外角

定理可得NCHB=ZHEB+ZHBE,即可算出NZffi£1=15。，

再根据邻补角的定义可算出a=165°.

【解答】解：(1)20°；

延长与相交于点O,如图3,

MN//PQ,

:.ZADH=ZHBQ=10°,

ZAHB=90°,

ZAHB=ZHAN+ZADH,

ZHAN=90°-70°=20°.

(2)①延长C"与PQ相交于点石，如图4,

ZAHB=9Q°,CH平分ZAHB,

ZBHE=-ZAHB=45°,

2

ZHBQ=ZHEB+ZBHE,

.•.N/ffiB=60。—45。=15。，

MN//PQ,

ZACH=ZHEB=15°；

②a=75。或a=105。或a=15。或a=165。.

图4

图3

15.如图1,直线GK分别交AB、CD于点、M、N.ZGNC=50°,ZGMB=130°,（题中所有的角都是

大于0。且小于180。）

（1）求证：AB//CD；

（2）如图2,点、H在直线AB1.,且位于M点右侧，点T在直线GR上,且在直线AB'上方，NCNQ=ZMNQ,

ZTHM=2ZQHM,若/7/QN+NH7W=60。，求/QHB.

（3）如图3,点E在直线CD上（E在N点左侧），点P在直线至、CD之间，且在GZ?左侧.若改变AB

与CD之间的距离，使得NWP与N7VEP两角的角平分线一定存在一个交点Q（。在直线AB、CD之间）,

ZNMP+ZNEP<260°,请直接写出ZEPM与ZEQM的数量关系.

（2）利用铅笔模型计算即可.

（3）第一种情况，设NPMQ=/NMQ=a,设NPEQ=NNEQ=0,用铅笔模型计算即可.

第二种情况如第一种计算即可.

【解答】（1）证明：Z2=130°,

:.NBMN=50°,

Zl=50°,

./=ZBMN,

:.AB//CD.

(2)解：设MN与”。交于K,

/GNC=50。,

ZCNQ=ZMNQ=25°f

ZTHM=2/QHM,

.•・设/QHM=a,ZTHM=2a,

ZMTH=ZBMN-ZTHM=50°-2a,

/HQN+/HTN=60。,

:.ZHQN=100+2a.

ZHMN+ZMHQ=ZHKN=ZHQN-^ZCNQf

50°+a=10+2cif+25a,

二.a=15°,

/.ZQHB=180。—MHQ=165°.

(3)解：第一种情况：如图，延长M。交CD于T.

MQ平■分ZNMP,

设ZPMQ=ZNMQ=a,

EQ平分ZPEN,

:.设4PEQ=NNEQ=/3,

ZQTE=ZNMQ+ZMNT=50°+a,

ZEQM=ZQET+ZQTE=50°+ar+尸①,

同理：ZEPM=50°+2a+

②—①x2得：ZEPM-2ZEQM=50°.

第二种情况：如图，

G

M

AB

CD

EN\

同第一种情况：

ZEQM=ZQET+ZQTE=50。+a+月①,

ZAMP=180°-ZPMB=130°-2a,

NCEP=180°-APEN=180°-2（3,

AEPM=ZAMP+ZCEP=310°-2a-2/3②，

②+①x2得：ZEPM+2ZEQM=410°.

故答案为：ZEPM-2ZEQM=50°或ZEPM+2ZEQM=410°.

四.课后练习（共10小题）

16.如图，将一块含有60。角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线0，6上，如果4=10。，那么

N2的度数为（）

【分析】过点A作利用猪脚模型进行计算，即可解答.

【解答】解：如图：过点A作M〃6,

.-.Zl=ZZMB=10o,

ZZMC=60°,

Z.CAB=ZDAC-ZDAB=50°,

allb，

AB!la,

.\Z2=ZCAB=50°,

故选：c.

17.如图是路灯维护工程车工作时的示意图，工作篮底部与支撑平台平行.当4=75。，/2=45。时，Z3

C.140°D.150°

【分析】延长CB与"）交于点E,先利用平行线的性质可得N2=4=45。，然后利用三角形的外角性质

可得4汨=30。，从而利用平角定义进行计算即可解答.

【解答】解：如图：延长CB与AD交于点E,

:.Z2=ZE=45°,

N1是ABDE的一个外角，

.•.ZBD£,=Z1-ZE=75°-45°=3O°,

N3=180°-NBDE=150°,

故选：D.

18.如图，AB//CD,3E为NABC的平分线，DE为NADC的平分线，ZADC=1T,ZBCD=42。,则

NaED的度数为57°.

【分析】过点E作EF//CD,利用平行线的性质可得N4BC=NBCD=42。，再利用角平分线的定义可得

4=21。，Z2=36°,然后利用猪脚模型进行计算，即可解答.

【解答】解：过点E作跖//CD,

BA

AB//CD,

,\ZABC=ZBCD=42°,

H石为NABC的平分线，DE为NAZX7的平分线，

/.Z1=-ZABE=21°,Z2=-ZAT>C=36°,

22

EFI/CD,

;.N2=NFED=3&,

ABI/CD,

:.AB//EF,

Z1=ZBEF=21°,

..NBED=NBEF+/FED=21。+36。=57。,

故答案为：57.

19.如图，ABIICD,点、E,尸分别在AB,CD上，点M在两条平行线之间，Z4W与NCFM的平分

线相交于点N,若NEMF=n0,则NE7VF=_(18O-g〃)_度.(用含〃的式子表示)

【分析】过点M作MG//AB,利用猪脚模型可得N