2023八年级数学上册 第12章 一次函数12.2 一次函数第4课时 分段函数及其应用教学实录 （新版）沪科版

2023八年级数学上册第12章一次函数12.2一次函数第4课时分段函数及其应用教学实录（新版）沪科版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课以“分段函数及其应用”为主题，结合八年级数学上册第12章内容，旨在让学生通过实际案例理解分段函数的概念和应用。课程设计以问题引导为主，通过实例分析和课堂练习，让学生掌握分段函数的图像和性质，并能运用分段函数解决实际问题。核心素养目标1.发展数学抽象能力，理解分段函数的概念，建立数学模型。

2.培养逻辑推理能力，通过分段函数的性质分析，提高推理的严谨性。

3.增强数学建模意识，学会将实际问题转化为分段函数模型，解决实际问题。重点难点及解决办法重点：分段函数的定义和图像特征，以及分段函数的图像绘制。

难点：分段函数的实际应用问题解决，包括函数值的计算和图像分析。

解决办法：

1.重点：通过实例演示分段函数的图像绘制方法，引导学生观察和总结分段函数的特点。

2.难点：结合实际问题，引导学生分析问题，建立分段函数模型，并运用分段函数解决实际问题，通过小组讨论和合作学习，突破难点。教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有《2023八年级数学上册》教材，包含第12章相关内容。

2.辅助材料：准备分段函数的图像示例、实际应用案例的图片、图表，以及相关的教学视频。

3.实验器材：无特殊实验器材需求。

4.教室布置：设置分组讨论区，确保每个小组有足够的空间进行讨论，并准备白板或投影仪展示教学内容。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示城市交通流量的变化图，提出问题：“如何用数学方法描述这种变化？”

2.提出问题：引导学生思考分段函数的概念和图像，激发学习兴趣。

3.学生回答：邀请学生分享对分段函数的理解，教师总结并引出本节课的主题。

二、讲授新课（15分钟）

1.分段函数的定义：讲解分段函数的概念，强调分段点的重要性。

2.分段函数的图像：展示分段函数的图像特点，讲解如何绘制分段函数的图像。

3.分段函数的性质：分析分段函数的性质，如连续性、单调性等。

4.分段函数的应用：举例说明分段函数在实际问题中的应用，如温度变化、收入计算等。

三、巩固练习（10分钟）

1.课堂练习：布置与分段函数相关的练习题，让学生独立完成。

2.学生展示：邀请学生展示解题过程，教师点评并纠正错误。

3.小组讨论：分组讨论分段函数在实际问题中的应用，分享讨论成果。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问环节：教师针对分段函数的定义、图像、性质和应用等方面进行提问。

2.学生回答：鼓励学生积极参与，教师给予点评和指导。

五、师生互动环节（10分钟）

1.教师提问：针对分段函数的性质和应用，提出问题，引导学生思考。

2.学生回答：邀请学生回答问题，教师给予点评和补充。

3.小组合作：分组讨论分段函数的图像绘制和性质分析，分享讨论成果。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.数学抽象能力：引导学生从实际问题中提取数学模型，培养数学抽象能力。

2.逻辑推理能力：通过分段函数的性质分析，提高学生的逻辑推理能力。

3.数学建模意识：鼓励学生运用分段函数解决实际问题，增强数学建模意识。

七、总结环节（5分钟）

1.教师总结：回顾本节课的重点内容，强调分段函数的定义、图像、性质和应用。

2.学生反馈：邀请学生分享学习心得，教师给予鼓励和指导。

教学时间：45分钟拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《分段函数在经济学中的应用》

-《分段函数在工程计算中的实例分析》

-《分段函数与日常生活问题的联系》

-《分段函数的极限与连续性》

2.课后自主学习和探究：

-学生可以选择阅读上述拓展材料，深入了解分段函数在不同领域的应用。

-鼓励学生探究分段函数在不同学科交叉中的应用，如物理学中的速度-时间图、生物学中的种群增长模型等。

-引导学生尝试将分段函数应用于解决实际问题，如设计一个简单的经济模型来分析销售税对商品价格的影响。

-鼓励学生利用在线资源或图书馆资源，查找更多关于分段函数的历史背景和发展。

-安排学生进行小组项目，每个小组选择一个与分段函数相关的实际问题，设计解决方案，并制作一份简报或演示文稿。

-组织学生参与数学竞赛或挑战，鼓励他们在比赛中运用分段函数解决高难度的数学问题。

-通过在线论坛或班级讨论区，分享学生在拓展学习中的发现和疑问，促进同学之间的交流和互助。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.互动式教学：在课堂中，我尝试通过小组讨论和合作学习的方式，让学生在互动中学习分段函数的概念和应用，这种教学方法能够激发学生的参与度和创造力。

2.案例教学法：我选取了与生活紧密相关的案例，让学生在实际情境中理解分段函数，这种方法不仅增强了学生的兴趣，还提高了他们解决实际问题的能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异：在课堂中我发现，学生对分段函数的理解程度参差不齐，部分学生难以跟上教学进度。

2.教学时间分配：在讲解分段函数的性质和应用时，可能因为内容较多而占用过多时间，导致其他教学环节不够充分。

3.评价方式单一：目前主要依靠课堂练习和课后作业来评价学生的学习效果，缺乏多样化的评价手段。

反思改进措施（三）

1.个性化教学：针对学生基础差异，我将尝试在课堂上提供分层练习，让不同水平的学生都能有所收获。

2.调整教学节奏：我会合理分配教学时间，确保每个环节都能得到充分关注，同时留出时间让学生进行思考和练习。

3.多元化评价：为了更全面地评价学生的学习效果，我将引入课堂表现、小组讨论参与度、项目展示等多样的评价方式，以更全面地了解学生的学习情况。此外，我还将鼓励学生进行自我评价和同伴评价，提高他们的反思能力。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了分段函数及其应用。首先，我们了解了分段函数的定义和图像特征，明白了分段函数由几个部分组成，以及如何绘制其图像。接着，我们探讨了分段函数的性质，包括连续性和单调性，这些都是理解分段函数的关键。

在应用部分，我们通过实例学习了如何将实际问题转化为分段函数模型，并运用分段函数来解决这些问题。例如，我们分析了城市交通流量的变化，以及如何通过分段函数来描述不同时间段的流量。

现在，让我们来总结一下今天学习的主要内容：

1.分段函数的定义和图像。

2.分段函数的性质，如连续性和单调性。

3.分段函数在解决实际问题中的应用。

当堂检测：

1.请绘制函数f(x)={x|0≤x≤1}，并描述其图像特征。

2.解释分段函数连续性的概念，并举例说明。

3.解决以下问题：一个工厂的生产成本随产量的增加而变化，当产量在0到100件时，每件产品的成本为10元；当产量超过100件时，每件产品的成本降为8元。请用分段函数表示这个成本函数，并计算生产150件产品的总成本。

学生完成检测后，我会逐一检查他们的答案，并对普遍存在的问题进行讲解和纠正。通过这个环节，我希望学生能够巩固今天所学的内容，并能够将理论知识应用到实际问题中去。板书设计①分段函数的定义

-定义：分段函数是一种由多个部分组成的函数，每个部分在不同的定义域内有不同的表达式。

-关键词：分段点、定义域、值域、分段函数的表达式

②分段函数的图像

-特点：图像由多个线段或折线段组成，折点对应分段点。

-关键词：图像绘制、分段点、连续性、单调性

③分段函数的性质

-连续性：分段函数在其定义域内是连续的。

-单调性：分段函数的每个部分可以有不同的单调性。

-关键词：连续性、单调递增、单调递减、分段点

④分段函数的应用

-实例分析：交通流量、成本函数等实际问题。

-关键词：实际问题、数学建模、分段函数求解典型例题讲解例题1：

已知分段函数f(x)={x+2|x<1}，{2x|x≥1}，求f(0)和f(2)的值。

解答：

f(0)=0+2=2（因为0<1，使用第一段表达式）

f(2)=2*2=4（因为2≥1，使用第二段表达式）

例题2：

某商店销售商品的定价策略为：售价在100元以下的部分每件加价10元，售价在100元及以上的部分每件加价5元。若顾客购买5件商品，求总售价。

解答：

设商品原价为x元，则总售价为：

f(x)={x+50|x<100}，{x+50+5(x-100)|x≥100}

若购买5件，则x为原价，总售价为5f(x)。

例题3：

某公司生产一批产品，前100件每件成本为20元，超过100件后每件成本降低到18元。若生产总量为150件，求总成本。

解答：

设生产总量为x件，总成本为C(x)。

C(x)={20x|x≤100}，{20*100+18(x-100)|x>100}

当x=150时，总成本C(150)=20*100+18*50=3800元。

例题4：

一个工厂的日产量随时间的变化规律为：0到8小时产量为每小时10件，8小时后每小时产量增加2件。若要求24小时内产量达到300件，求开始工作的时间。

解答：

设开始工作的时间为t小时，产量为P(t)。

P(t)={10t|t<8}，{80+2(t-8)|t≥8}

要求产量达到300件，即P(t)=300。

当t<8时，10t=300，解得t=30，不符合实际情况。

当t≥8时，80+2(t-8)=300，解得t=112，即工厂从第112小时开始工作。

例题5：

某城市居民用电量分为三个阶梯：第一阶梯每月不超过150度，电价为0.5元/度；第二阶梯150度到300度，电价为0.7元/度；第三阶梯超过300度，电价为0.9元/度。若某户居民本月的电费为180元，求该户居民本月的用