2024-2025学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念（教师用书）教学实录新人教A版选修2-2主备人备课成员设计思路本节课以“数系的扩充与复数的引入”为主题，以新人教A版选修2-2教材为基础，结合学生实际学习情况，设计了一系列互动性、启发性的教学活动。通过讲解数系扩充的历史背景和复数的概念，引导学生理解复数的意义，培养学生的数学思维和创新能力。同时，注重理论与实践相结合，通过实例分析，让学生更好地掌握复数的性质和应用。核心素养目标本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等核心素养。通过引入复数概念，提升学生对数学符号体系的理解和运用能力；通过数系扩充的历史回顾，增强学生探究数学发展脉络的意识和能力；通过实际问题解决，锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了实数及其运算、集合的基本概念以及复数的初步认识。他们能够熟练地进行实数的运算，理解集合的基本性质，并对复数有一个初步的了解，包括复数的表示和简单的运算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的学习兴趣因人而异，部分学生可能对数学概念的理解较为感兴趣，而另一部分可能更倾向于应用数学解决实际问题。学生的学习能力方面，学生的数学抽象思维和逻辑推理能力逐渐增强，但直观想象和数学建模能力仍有待提高。学习风格上，学生表现出多样化的特点，有的学生偏好通过图形和实例来理解抽象概念，有的则更倾向于逻辑推理和符号运算。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习数系扩充和复数概念时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是理解复数的几何意义，即如何在复平面上表示复数；二是掌握复数的运算规则，特别是乘除运算中虚数单位i的幂运算；三是将复数应用于实际问题，如解决涉及复数的方程和不等式问题。此外，学生可能对数系扩充的历史背景感到陌生，难以建立起数学发展的整体认识。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-多媒体教学设备：投影仪、电脑、白板

-课程平台：学校内部教学平台或在线教学平台

-信息化资源：复数概念动画演示视频、数系扩充历史资料、相关数学软件（如MATLAB、Mathematica）

-教学手段：实物教具（如复数平面模型）、黑板板书、课堂练习题、小组讨论活动教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对数系的扩充与复数的引入的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们，你们能说出我们已知的数系有哪些吗？”

展示一些关于数系扩充历史发展的图片或视频片段，让学生初步感受数系扩充的必要性。

简短介绍数系扩充的概念和重要性，以及复数在数系中的作用，为接下来的学习打下基础。

2.数系的扩充和复数的基本概念讲解（10分钟）

目标：让学生了解数系的扩充的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解数系扩充的历史背景，包括实数系的发展过程。

详细介绍实数、有理数、无理数等概念，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.复数的概念和性质讲解（15分钟）

目标：让学生掌握复数的概念、基本性质和运算规则。

过程：

讲解复数的定义，包括实部和虚部。

详细介绍复数的几何意义，即在复平面上表示复数。

讲解复数的运算规则，包括加法、减法、乘法、除法，并通过实例进行演示。

4.复数的应用案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解复数在数学和实际问题中的应用。

过程：

选择几个典型的复数应用案例进行分析，如复数在解析几何、电子工程、物理学中的应用。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解复数的实际应用。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用复数解决实际问题。

5.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与复数相关的主题进行深入讨论，如复数在电子工程中的应用或复数在解析几何中的优势。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

6.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对复数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

7.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调复数的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括数系的扩充、复数的概念、性质和运算。

强调复数在数学和实际问题中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用复数。

8.课后作业布置（5分钟）

目标：巩固学习效果，提升学生的自主学习能力。

过程：

布置课后作业，要求学生完成以下任务：

（1）复习本节课所学内容，整理笔记。

（2）完成教材中的相关练习题，加深对复数运算规则的理解。

（3）思考复数在实际生活中的应用，并尝试举出例子。知识点梳理1.数系的扩充：

-数系扩充的历史背景：从自然数、整数、有理数到实数的演变过程。

-数系扩充的目的：解决实数在几何、物理等领域中的应用问题。

-数系扩充的必要性：实数无法表示的几何图形、物理现象等。

2.复数的概念：

-复数的定义：形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

-复数的表示：在复平面上，实部a表示横坐标，虚部b表示纵坐标。

-复数的性质：复数可以进行加、减、乘、除等运算。

3.复数的运算：

-复数的加法：实部与实部相加，虚部与虚部相加。

-复数的减法：实部与实部相减，虚部与虚部相减。

-复数的乘法：实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，同时虚数单位i的幂运算。

-复数的除法：乘以共轭复数，化简得到实数结果。

4.复数的几何意义：

-复数在复平面上的表示：实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。

-复数的模：复数的模表示复数在复平面上的长度，计算公式为|a+bi|=√(a^2+b^2)。

-复数的辐角：复数的辐角表示复数与实轴正半轴的夹角，计算公式为θ=arctan(b/a)。

5.复数的应用：

-解析几何：复数可以表示平面上的点，解决解析几何问题。

-电子工程：复数在电路分析、信号处理等领域有广泛应用。

-物理学：复数在波动方程、量子力学等领域有重要应用。

6.数系扩充与复数的关系：

-复数是数系扩充的产物，解决了实数无法表示的几何图形、物理现象等问题。

-复数在数学、物理、工程等领域有广泛应用，丰富了数系的内容。

7.复数的性质和运算规律：

-复数的乘法满足分配律、结合律和交换律。

-复数的除法可以通过乘以共轭复数实现。

-复数的幂运算可以通过虚数单位i的幂运算规律进行计算。

8.复数的应用实例：

-解复数方程：利用复数的运算规则求解复数方程。

-复数在解析几何中的应用：利用复数表示平面上的点，解决解析几何问题。

-复数在电子工程中的应用：利用复数表示电路中的信号，分析电路性能。课后作业1.实践题：

题目：已知复数z=3+4i，求复数z的模和辐角。

解答：复数z的模|z|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。

复数z的辐角θ=arctan(4/3)。

2.应用题：

题目：在复平面上，点A(2,3)和点B(-1,4)表示两个复数，求线段AB的长度。

解答：线段AB的长度等于复数A和B的模之差，即|A-B|=|(2+3i)-(-1+4i)|=|3-1i|=√(3^2+(-1)^2)=√(9+1)=√10。

3.综合题：

题目：已知复数z=2i，求复数z的平方、立方和四次方。

解答：z^2=(2i)^2=4i^2=4(-1)=-4。

z^3=z^2*z=-4*2i=-8i。

z^4=z^3*z=-8i*2i=-16i^2=-16(-1)=16。

4.判断题：

题目：如果复数z的模为0，则z一定是实数。

解答：错误。复数z的模为0意味着z=0，而0既是实数也是纯虚数。

5.分析题：

题目：分析复数在电子工程中的应用。

解答：复数在电子工程中有着广泛的应用，例如：

-在电路分析中，复数可以用来表示交流电的电压和电流，简化电路的数学分析。

-在信号处理中，复数可以用来表示信号的相位和幅度，方便进行信号分析和滤波。

-在通信系统中，复数可以用来表示信号的调制和解调过程，提高通信效率。课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们学习了数系的扩充与复数的引入，重点掌握了以下内容：

1.数系扩充的历史背景和必要性，理解了实数系在数学和科学中的重要性。

2.复数的概念，包括复数的表示、实部和虚部的定义，以及虚数单位i的性质。

3.复数的运算规则，包括加法、减法、乘法和除法，以及如何进行复数的幂运算。

4.复数的几何意义，即如何在复平面上表示复数，以及复数的模和辐角的计算方法。

5.复数在数学和实际问题中的应用，如解析几何、电子工程和物理学等领域。

当堂检测：

1.单项选择题：

（1）复数3+4i的模是多少？

A.5

B.7

C.5i

D.7i

（2）复数(2+3i)和(4-5i)的乘积是多少？

A.22-19i

B.22+19i

C.8+1i

D.8-1i

2.填空题：

（1）复数z=5-2i的模是______。

（2）复数z=3+4i的辐角是______。

3.解答题：

（1）计算复数(1+2i)^3。

（2）已知复数z的模是5，辐角是π/4，求复数z。

4.应用题：

已知复数z=2i，求复数z的平方、立方和四次方。

学生完成当堂检测后，教师对学生的答案进行批改和讲解，针对学生的错误和疑惑进行个别指导，确保学生对本节课的知识点有深入的理解和掌握。同时，教师可以根据学生的表现，调整后续的教学策略，以更好地适应学生的学习需求。板书设计1.数系的扩充

①数系扩充的历史背景

②数系扩充的目的和必要性

③数系扩充的步骤和结果

2.复数的概念

①复数的定义：a+bi（a，b∈R，i^2=-1）

②复数的表示：实部a，虚部b，虚数单位i

③复数的几何意义：复平面上的点

3.复数的运算

①加法：a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i

②减法：a+bi