浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案）

浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x∣x2−2x−3<0}A．{x∣−1<x<1} C．{x∣0<x<1} 2．已知复数z=3+4i2+i,A．55 B．5 C．5 D．3．“m>1”是“方程x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知非零向量a,b满足|b|=23|aA．π6 B．π3 C．2π35．苍南168黄金海岸线由北向南像一条珍珠项链，串联了一个个金色沙滩､岛礁怪石､肥沃滩涂和一座座渔村古寨､山海营地，被赞为中国东海岸“一号公路”.现有小王和小李准备从烟堆岗，炎亭沙滩，棕榈湾，滨海小镇4个网红景点中随机选择一个游玩，设事件A为“小李和小王选择不同的景点”，事件B为“小李和小王至少一人选择炎亭沙滩景点”，则P(A∣B)=（）A．38 B．716 C．676．已知正项等差数列{an}的前n项和为SA．4 B．8 C．16 D．327．已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0,c2A．39 B．36 C．238．已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)在区间[−3π4A．54 B．43 C．5227二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知随机变量X的分布列如下，则正确的是（）X−2−112P1mn2A．m+n=23 C．若m=19，则E(X)=110．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,E,F是线段A．三棱锥B1B．B1D⊥C．在线段AD上存在一点Q，使得D1Q//D．平面EFG截正方体的外接球的截面面积为1311．已知函数f(x)=x2,A．若a≤14，则不存在实数x0B．若a>14，则不存在实数x0C．若f(x)的值域是R，则a∈[0D．当a=2时，若存在实数x0∈(0,1)三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12．二项式(1−3x)7展开式中所有项的系数之和为13．2024年2月1日至4日花样滑冰四大洲锦标赛在中国上海举行，甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者承担语言服务､医疗服务､驾驶服务3个项目志愿服务，每名志愿者需承担1项工作，每项工作至少需要1名志愿者，甲不承担语言服务，则不同的安排方法有种.（用数字作答）14．已知a>1，对任意x∈(1,+∞)都有(lna−1x)四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15．在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且4S=abcosB+b（1）求角A的大小；（2）求bc16．已知f(x)=e（1）当a=2时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在(1,+∞)上有零点，求实数17．平行四边形ABCD中，AD=12AB=2,∠DAB=π3，点E为AB的中点，将△ADE沿DE（1）求证：CE⊥PD；（2）求平面PDE与平面PDC的夹角的余弦值.18．在已知数列{an（1）求a2及数列{（2）已知数列{an}的前n项和为S（3）{an}中是否存在不同的三项a19．已知直线l:y=kx+1与抛物线Γ:x2=4y（1）求AB（用k表示）；（2）过点A,B分别作直线l的垂线交抛物线Γ于D,C两点.（i）求四边形ABCD面积的最小值；（ii）试判断直线l与直线CD的交点Q是否在定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，请说明理由.

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A={x|x故答案为：D【分析】本题考查集合的交集运算.先解一元二次不等式求出集合A，再根据集合交集运算可求出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：由题可得：|z|=|3+4i|故答案为：B.【分析】本题考查复数的模长公式.根据复数模长的计算公式：z13．【答案】A【解析】【解答】解：若m>1，则m−1>0,m+3>0，所以方程若方程x2m−1−y2m+3=1所以“m>1”是“方程x2故答案为：A【分析】本题考查双曲线方程，充分必要条件的判断.根据方程表示双曲线方程，可列出不等式，解不等式可求出实数m的取值范围，再根据充分、必要条件的概念可判断出选项.4．【答案】D【解析】【解答】解：因为a⊥所以a⋅设a与b的夹角为θ，所以cosθ=所以θ=5π故答案为：D【分析】本题考查平面向量垂直的转化，平面向量的夹角计算公式.根据题意利用平面向量垂直的转化可求出a→5．【答案】C【解析】【解答】解：由题可知，小王和小李从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有4×4=16种，其中事件B的情况有4×4−3×3=7种，事件A和事件B共同发生的情况有2×3=6种，所以P(所以P(A∣B)=P故答案为：C.【分析】本题考查条件概率的计算公式.先求出小王和小李从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩的种数，求出事件B的种数，进而求出事件B发生的概率和事件A和事件B共同发生的概率，再利用条件概率计算公式可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：由S10=5(a又a4⋅a故2a5a即a4⋅a故答案为：B.【分析】利用基本不等式求最值.利用等差数量的前n项和公式可求出a5+a7．【答案】C【解析】【解答】解：已知如图所示：

设切线方程为x=my+c,Ax1x=my+cx2a2+则y1+y2=−2mc代入①，得−y1=−2mcb2又圆心C2(−c,0)到直线x−my−c=0的距离等于半径，半径则d=−c−c1+m2=c，解得m所以e2=c2a故答案为：C.【分析】设切线为x=my+c,Ax1,y1,Bx2,y2，利用韦达定理表示y1+8．【答案】B【解析】【解答】解：f(A：当ω=54时，由−3π4≤x≤3π2f(f所以f(B：当ω=43时，由−3π4≤x≤3π2f(f(f(所以f(C：当ω=5227时，由−3π4≤x≤函数f(D：当ω=163时，由−3π4≤x≤函数f(故答案为：B【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式可得：f(x)=2sin(ωx+9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A，因为19+m+n+2B，P(C，因为m=19，所以所以E(X)=−2×1D，P(XP(则X2X14P21所以E(X则D(X故答案为：ABD.【分析】先利用分布列的性质可推出m,n的关系，可判断A选项；再利用概率的性质可求出P(X<2)=710．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、三棱锥B1−EFG的体积VB1−EFG=V而EF=1，则△B1EF面积为定值，又点G因此三棱锥B1在正方体ABCD−A1B则A1(2,0,2),C设平面EFG的法向量n=(x,y,z)，则n⋅C1AB、D(0,0,0),B1(2,2,2)，D则B1D与平面C、令Q(t,0,0)，而D1(0,0,2)，则D1Q=(t,0,−2)，要D因此n⋅D1Q=2t−2=0，解得t=1，即Q为AD则D1Q//平面D、正方体ABCD−A1B1C1DOC1=(−1,1,1)，点O到平面EFG的距离d=|O平面EFG截球O所得截面圆半径r2所以该截面圆面积为πr故答案为：AC.

【分析】利用等体积法转化VB1−EFG=VG−B1EF即可判断A；建系可得平面EFG11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A：例如a=0，则f(0)=0，即存在实数x0=0使得B：若a>14，对于关于x方程当x≥a>14时，则−x≤−a<−1整理得x2−x+a=0，则当−a≤x≤a时，则−a≤−x≤a，可得−x+a=−(x+a)，整理得a=−a，不成立，可知方程无解；当x<−a时，则−x>a，可得(−x)2整理得x2−x+a=0，则综上所述：关于x方程f(−x)=−f(x)无解，即不存在实数x0使得f(−C：若a<0，当x≥a时，f(x)=x当x<a时，f(x)=x+a<2a<0；此时f(x)的值域为(−∞,2a)∪[0,若a≥0，当x≥a时，f(x)=x当x<a时，f(x)=x+a<2a；若f(x)的值域为R，则2a≥a2，解得综上所述：a的取值范围为[0,D：当a=2时，易得f(x)在R上单调递增，所以g(x)单调递增，下面证明：y=g(x)是单调递增函数，若存在x0使得g(g(x0记g(x0)=即(x0,y0假设x0>y0，因为即y0假设x0<y0，因为即y0故x0=y因此由题意若存在实数x0∈(0,则存在实数x0∈(0,又因为g(即存在实数x0∈(0,而y=ex0+2在故k∈(e故答案为：BCD.【分析】举反例：a=0，则f(0)=0进行说明可判断A选项；分三种情况：当x≥a>14时；当−a≤x≤a时；当x<a时；求方程f(−x)=−f(x)的根，可判断B选项；分a<0和a≥0两种情况，结合分段函数值域分析可求出实数a的取值范围判断C选项；先证由y=g(x)是单调递增函数，若存在x0使得g(g(x0))=x0，则12．【答案】−128【解析】【解答】解：令x=1，可得所有项的系数之和为(1−3)7故答案为：−128.【分析】本题考查二项式系数.令x=1，可得所有项的系数之和，再利用幂的运算性质可求出答案.13．【答案】100【解析】【解答】解：因为甲不承担语言服务，第一类是从乙､丙､丁､戊中选1人承担语言服务，则有C41种，

再把剩下的4人分为2组承担医疗服务､驾驶服务，则有C4第二类是从乙､丙､丁､戊中选2人承担语言服务，则有C42种，再把剩下的3人分为2组承担医疗服务､驾驶服务，则有C3第三类是从乙､丙､丁､戊中选3人承担语言服务，则有C43种，再把剩下的2人分为2组承担医疗服务､驾驶服务，则有A2综上不同的安排方法有56+36+8=100种，故答案为：100【分析】根据甲不承担语言服务，分为三类：从乙､丙､丁､戊中选1人，2人或3人承担语言服务，再把剩下的人分为2组承担医疗服务､驾驶服务，依次求出各类的种数，再利用分类加法计数原理可求出答案.14．【答案】(1【解析】【解答】解：因为(lna−1x)令g(x)=xex,g'(x)=(x+1)e令g'(x)<0，即(x+1)e所以g(x)=xex在(−∞,依题意有g(lna−1x)≤g(ln所以lna−1x≤令函数h(x)=1x+1elnx,令h'(x)<0，即−e+xe所以h(x)=1x+1e所以h(x)min=h(e)=故答案为：(1,【分析】根据已知条件利用对数和指数的运算可得(lna−1x)elna−1x≤elnx1e15．【答案】（1）解：方法一：因为abcosB+b又因为S=12bcsinA，所以4S=4⋅又因为△ABC为锐角三角形，所以A=π方法二：4×12bcsinA=abcosB+即2csinA=2R(则2csinA=c，得sinA=12；因为△ABC为锐角三角形，所以（2）解：由正弦定理得：bc因为△ABC为锐角三角形，所以0<C<π即π3<C<π2,所以tan【解析】【分析】（1）分别利用余弦定理或者正弦定理对原式进行边角互化，结合三角形面积公式，求得sinA，即可求得A（2）利用正弦定理bc=sinBsinC=（1）方法一：因为abcosB+b又因为S=12bcsinA，所以4S=4⋅又因为△ABC为锐角三角形，所以A=π方法二：4×12bcsinA=abcosB+即2csinA=2R(则2csinA=c，得sinA=12；因为△ABC为锐角三角形，所以（2）由正弦定理得：bc因为△ABC为锐角三角形，所以0<C<π即π3<C<π2,所以tan16．【答案】（1）解：当a=2时，f(x)=ex−2(x−1)，由f'(x)=所以当x∈(ln2,+∞),f'当x∈(−∞,ln2),f'故f(x)在(ln2（2）解：①当a=0时，f(x)=ex>0②当a≠0时，f(x)=ex−a(x−1)=0在(1,+∞)则g'(x)=1−(x−1)ex当x∈(1,2)时，g所以g(x)在(1,2)上单调递增，函数值从0增大到g(x)在(2,+∞)上单调递减，函数值从因为g(x)=1a在所以0<1a≤综上，a≥e【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的零点.

（1）先求出导函数f'(x（2）分两类讨论：当a=0时；当a≠0时，将问题转化为g(x)=(x−1)ex=1a在(1,17．【答案】（1）证明：连接EC，如图所示：在△EBC中∠EBC=2π由余弦定理可得EC又∵DC=4,DE=2，∴CE2∵PC=4=DC，易得△ADE为正三角形∴PE=DE=2所以△DEC与△PEC全等，∴∠PEC=∠DEC=π∴CE⊥DE,CE⊥PE，又DE∩PE=E,DE,PE⊂平面DPE，∴CE⊥平面DPE，又PD⊂平面DPE，∴CE⊥PD​​​​​​​（2）解：由（1）可知CE⊥平面DPE，又CE⊂平面ABCD，故平面PED⊥平面ABCD，又平面PED∩平面ABCD=DE，取点K是线段ED的中点可得PK⊥ED，过E作EH∥PK.则EH⊥平面ABCD.分别以EC,ED,EH为则E0,0,0,C2DC=设平面CPD的法向量为n1由DC=n1⋅DC令x1=1，则y1由CE⊥平面DPE，得平面PED的法向量为n2设平面PED与平面PDC所成角为θ，则cosθ=故平面PDE与平面PDC的夹角的余弦值为55【解析】【分析】（1）连接EC，利用余弦定理及勾股定理可得∠DEC=π（2）根据（1）的结论及面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，可得平面PDE法向量n2=1,0,0与平面PDC的法向量n（1）如图，连接EC，在△EBC中∠EBC=2π由余弦定理可得EC又∵DC=4,DE=2，∴CE2∵PC=4=DC，易得△ADE为正三角形∴PE=DE=2所以△DEC与△PEC全等，∴∠PEC=∠DEC=π∴CE⊥DE,CE⊥PE，又DE∩PE=E,DE,PE⊂平面DPE，∴CE⊥平面DPE，又PD⊂平面DPE，∴CE⊥PD（2）（2）方法一：取PD的中点F连接EF､∵PE=DE∴EF⊥PD又∵CP=CD∴CF⊥PD∴∠CFE为二面角C−PD−E的平面角在正△PDE中，EF=2在等腰△PDC中，PC=DC=4,PD=2，∴CF=4由（1）可知CE⊥平面DPE,又EF⊂平面DPE,所以CE⊥EF，即∠FEC=π∴∠CFE为平面CPD与平面EPD的夹角，在Rt△CFE中，cos∠CFE=EF故平面PDE与平面PDC的夹角的余弦值为55方法二：由（1）可知CE⊥平面DPE，又CE⊂平面ABCD，故平面PED⊥平面ABCD，又平面PED∩平面ABCD=DE，取点K是线段ED的中点可得PK⊥ED，过E作EH∥PK.则EH⊥平面ABCD.分别以EC,ED,EH为则E0,0,0,C2DC=设平面CPD的法向量为n1由DC=n1⋅DC令x1=1，则y1由CE⊥平面DPE，得平面PED的法向量为n2设平面PED与平面PDC所成角为θ，则cosθ=故平面PDE与平面PDC的夹角的余弦值为5518．【答案】（1）解：由题意得a2a2n所以{a2n}a2n+1所以{a2n−1}故an（2）解：由an+1得a2（3）解：设{an}①若p,q,则ap+ar=2因为1+2r−p是奇数，2q−p+1②若p,q,r二奇一偶，不妨设则ap,aq为偶数，ar因为2p同理2q也被3除余2，故2p+故2p③若p,q,r一奇