第9节 三角函数模型及解三角形的实际应用

第9节三角函数模型及解三角形的实际应用考试要求1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．【知识梳理】1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图1)．2．方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．[常用结论与微点提醒]1．不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．2．解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解．【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()2．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.3．如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84m，则塔高CD＝________m.4．(必修一P241T6改编)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点间的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝________，t∈[0，60]．考点一三角函数模型例1(多选)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则()A．点P第一次到达最高点需要20秒B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t＋\f(π,3)))＋2________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．训练1(多选)(2024·河南名校调研)钱塘江出现过罕见潮景“鱼鳞潮”．“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图象近似函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A，ω∈N*，|φ|<\f(π,3)))的图象，而破碎的涌潮的图象近似f′(x)的图象．已知当x＝2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则以下四种说法正确的是()A．ω＝2 B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(6)＋eq\r(2)C．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))是偶函数 D．f′(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))上单调考点二解三角形应用举例角度1测量距离问题例2为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10eq\r(3)km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为()A．10eq\r(6)km B．30(eq\r(3)－1)kmC．30(eq\r(2)－1)km D．10eq\r(5)km____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度2测量高度问题例3(2024·湖州、衢州、丽水模拟)某学生为测量某酒店的高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，如图，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约为(参考数据：eq\r(2)≈1.4，eq\r(6)≈2.4，tan28°≈0.53)()A．91米 B．101米C．111米 D．121米________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________角度3测量角度问题例4已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：sin38°≈\f(5\r(3),14)，sin22°＝\f(3\r(3),14)))____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升解三角形应用问题的要点(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素．(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到实际问题的解．训练2(1)2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上点A，B观测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为________千米(结果保留整数，参考数据：eq\r(3)≈1.732)．(2)(2024·山西部分学校联考)图①为青铜大立人像，1986年于三星堆遗址二号祭祀坑出土，重约180公斤，是距今已有3000多年历史的青铜器．如图②，小张去博物馆参观青铜大立人像时，他在A处观测青铜大立人像顶部P的仰角为30°，他再向青铜大立人像底部H前进388厘米到达B处，此时观测青铜大立人像顶部P的仰角为75°.已知A，B，H三点共线，则青铜大立人像的高HP为______厘米．(参考数据：97eq\r(3)≈168)______________________________________________________________________________________________________________