山东省淄博市临淄区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

2023-2024学年度上学期期末质量检测初四数学试题本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表中，每小题4分，满分40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分．）1.三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（）A B.C. D.2.如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：，显示屏显示的结果为．将这个数据精确到后，下列说法正确的是（）A.的正切函数值约为B.正切函数值为角约是C.的正切函数值约为D.正切函数值为的角约是3.已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（）A. B.C. D.4.如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.5.如图，圆柱形水管内积水的水平面宽，水深．则水管的半径是（）A. B. C. D.6.如图，是的外接圆，AD是的直径，的半径为，，则的值是（）A. B. C. D.7.如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）.A. B. C. D.8.把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件（）A. B. C. D.9.如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（）A. B. C. D.10.如图，在中，，半径为的与相切于点，与交于点，连接，，．有下列结论：平分；；若，则；．其中正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共20分）11.如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个正多边形的边数是______．12.一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到黄球的频数为401，则估计其中的黄球个数为______．13.如图，已知圆锥底面半径为10cm，母线长为30cm，一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为_______________cm．14.若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．15.如图，二次函数与x轴相交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴相交于C点，以点为圆心，1为半径作圆，若P为上一动点，则面积的最小值为___________．三、解答题（第16，17，18，19题每题10分：第20，21题每题12分，第22，23题每题13分：满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16（1）计算：；（2）在中，若，求的度数．17.在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了．（1）从布袋中一次取出2个球，全蓝球是______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”）（2）若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率．（3）若随机取出2个球，第一次取出一个球记下颜色后放回搅匀，第二次再取出一个球，求两次取出的球的颜色相同的概率．18.如图，某滑雪场的滑雪轨道由与两部分组成，长度为，长度为，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若的坡度为，与水平面的夹角为，则他下降的高度为多少米？（精确到1米，参考数据：，，）．19.某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，．（1）求出m，n的值；（2）求该三棱柱的体积．20.已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表：…01234……500…（1）二次函数图象的开口方向_____________，的值_____________；（2）点在函数图象上，_____________（填）；（3）方程无解，则n的范围是_____________．（4）关于的不等式的解集为_____________．21.如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．（1）分别用含的代数式表示与；（2）若，求的值；（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取最大值，最大值为多少？22.如图，四边形内接于，是直径，点D在的延长线上，延长交的延长线于点F，点C是的中点，．（1）求证：是的切线；（2）求证：是等腰三角形；（3）若，，求的长．23.已知抛物线，交x轴于A，B两点，交y轴于C点，点F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于E点，点P是线段BE上的动点（除B，E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，当时，．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当点P的横坐标为2时，求四边形的面积（3）如图2，直线分别与抛物线对称轴交于M，N两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（4）如图3，点在抛物线上，当是以为斜边的直角三角形时，求点P的坐标．

2023-2024学年度上学期期末质量检测初四数学试题本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在下面的表中，每小题4分，满分40分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记0分．）1.三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行平行投影，根据三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行，据此判断即可．【详解】解：A、在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误，不符合题意；B．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误，不符合题意；C．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确，符合题意；D、在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误，不符合题意．故选：C．2.如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入：，显示屏显示的结果为．将这个数据精确到后，下列说法正确的是（）A.的正切函数值约为B.正切函数值为的角约是C.的正切函数值约为D.正切函数值为的角约是【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了计算器−三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．根据已知三角函数值求角计算器使用方法按键即可．【详解】解：已知锐角三角函数值求锐角的方法是：已知，一般先按键“2ndF”，再按键“tan”，输入“”，再按键“＝”即可得到结果．故选：B．3.已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．【详解】解：对于二次函数，令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为∵，∴，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴，∵，∴，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．4.如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，则阴影部分的面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解．【详解】解：

=

=．故选：D．5.如图，圆柱形水管内积水的水平面宽，水深．则水管的半径是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，，根据垂径定理求出，再用勾股定理解即可．【详解】解：如图，连接，，则，，，设水管的半径，则，在中，，，解得，故选：B．6.如图，是的外接圆，AD是的直径，的半径为，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连接CD，AD是⊙O的直径，可得∠ACD=90°．在Rt△ACD中，AD=2r=3，AC=2，可求sinD．由同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠D，sinB可求．【详解】解：连接CD，如图：∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．∵AD=2r=2×=3，AC=2，∴sinD=．∵同弧所对的圆周角相等，∴∠B=∠D．∴sinB=sinD=．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理和解直角三角形的应用．利用直径所得圆周角为直角得到直角三角形是解题的关键．7.如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径==1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．【详解】解：∵AB=15，BC=12，AC=9，

∴AB2=BC2+AC2，

∴△ABC为直角三角形，

∴△ABC的内切圆半径==3，

∴S△ABC=AC•BC=×9×12=54，

S圆=9π，

∴小鸟落在花圃上的概率=，

故选B．【点睛】本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式．8.把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再求得平移后的顶点坐标为，根据题意得到不等式，据此即可求解．【详解】解：∵平移前二次函数解析式为，∴平移前二次函数的顶点坐标为，∴平移后二次函数的顶点坐标为，即∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且平移后的二次函数开口向上，∴平移后的二次函数只能是与y轴有一个交点，与x轴没有交点，∴平移后的二次函数顶点一定在x轴上方，∴，解得：，故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．9.如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】观察图象，先设，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案．【详解】设，，，∵二次函数图象过点，∴，∵，，∴，∴，∴，即，令，根据根与系数的关系知，∴，故故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．10.如图，在中，，半径为的与相切于点，与交于点，连接，，．有下列结论：平分；；若，则；．其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，连接，设与的交点为，根据切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定逐一判断即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．【详解】解：连接，设与的交点为，∵是的切线，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴平分，故正确；由得：，∴，∵，∴，∴，故正确；由上可知，平分，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，故正确；∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，故正确，综上可知，正确，故选：．二、填空题（每小题4分，共20分）11.如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个正多边形的边数是______．【答案】10【解析】【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．【详解】根据正n边形的中心角的度数为，则n=360÷36=10，故这个正多边形的边数为10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．12.一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到黄球的频数为401，则估计其中的黄球个数为______．【答案】2【解析】【分析】根据概率公式先求出摸到黄球的概率，然后乘以总球的个数即可得出答案．【详解】解：∵做了1000次摸球试验，摸到黄球的频数为401，∴摸到黄球频率是：，∴估计其中的黄球个数为：（个）；故答案为：2．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．13.如图，已知圆锥底面半径为10cm，母线长为30cm，一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为_______________cm．【答案】【解析】【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为30的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作,设∠ASB＝n°，即：2π•10＝，得：n＝120，∴AB＝30，故答案为：30．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．14.若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．【详解】解：点到轴的距离小于2，，点在二次函数的图象上，，当时，有最小值为1．当时，，取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．15.如图，二次函数与x轴相交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴相交于C点，以点为圆心，1为半径作圆，若P为上一动点，则面积的最小值为___________．【答案】##【解析】【分析】作所在直线，垂足为点H．为定值，因此当取最小值时，面积取最小值，连接，可知当P，H，D共线时，面积最小．再证，得，求出，从而求出，然后由三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作所在直线，垂足为点H．为定值，因此当取最小值时，面积取最小值，连接，可知当P，H，D共线时，面积最小．∵二次函数与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），令，得，解得x=2或x=-2，∴，．令，得，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即∴∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查求二次函数与坐标轴的交点，勾股定理，三角形的面积，圆的基本知识，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是确定面积最小时点P的位置．三、解答题（第16，17，18，19题每题10分：第20，21题每题12分，第22，23题每题13分：满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（1）计算：；（2）在中，若，求的度数．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，按照运算顺序进行计算即可；（2）先根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，，根据三角形内角和定理求出的度数．此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和三角形内角和定理等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：（1）．（2），，，，，，在中，．17.在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了．（1）从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”）（2）若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率．（3）若随机取出2个球，第一次取出一个球记下颜色后放回搅匀，第二次再取出一个球，求两次取出的球的颜色相同的概率．【答案】（1）不可能（2）（3）【解析】【分析】本题考查了事件的概念与分类，求解简单随机事件的概率，利用列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）由不可能事件的含义可得答案；（2）直接利用概率公式进行计算即可；（3）先画树状图，得到所有可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是不可能事件．【小问2详解】随机取出一个球，则取出的球的颜色是蓝球的概率是．【小问3详解】画树状图如下：由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中取出的两球颜色相同的结果有10种，∴两次取出的球的颜色相同的概率为．18.如图，某滑雪场的滑雪轨道由与两部分组成，长度为，长度为，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若的坡度为，与水平面的夹角为，则他下降的高度为多少米？（精确到1米，参考数据：，，）．【答案】234米【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义．过点A作于点E，过点B作于点G，设米，则米，根据勾股定理求出（米），得出，求出米，根据三角形函数求出米，即可得出答案．【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点G，如图所示：的坡度为，为260米，设米，则米，故（米），解得：，则（米），在中，，（米），他下降高度为：米，答：他下降的高度为234米．19.某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，．（1）求出m，n的值；（2）求该三棱柱的体积．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查根据三视图求几何体的体积．掌握三视图的特点，是解题的关键．（1）根据三视图的特点：长对正，高平齐，宽相等，结合正切值的定义，进行求解即可；（2）根据三视图，得到几何体为直三棱柱，利用直三棱柱的体积公式：底面积乘以高进行求解即可．【小问1详解】解：如图，作于D，由题意可知，这个三棱柱的高为6，．，，，，，，即；【小问2详解】俯视图中的三角形的底边，高，，．20.已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表：…01234……500…（1）二次函数图象的开口方向_____________，的值_____________；（2）点在函数图象上，_____________（填）；（3）方程无解，则n的范围是_____________．（4）关于的不等式的解集为_____________．【答案】（1）上；5（2）（3）（4）或【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，并结合二次函数图象的性质求解即可；（2）根据二次函数的图象与性质进行求解即可；（3）根据题意可得二次函数的图象与直线没有交点，即可求解；（4）根据题意可得该部分二次函数的图象在直线的上方，再由二次函数的图象过点和，即可求解．【小问1详解】解：由表格中的数据可得，函数值先减小后增大，∴二次函数图象的开口向上，∴顶点坐标是，∵抛物线经过点，且，∴抛物线经过点，∴；故答案为：上；5；【小问2详解】解：由表格可得，对称轴为直线，二次函数图象的开口向上，∴二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，∵离对称轴较远，∴，故答案为：；【小问3详解】解：∵方程无解，∴二次函数的图象与直线没有交点，∵二次函数图象的开口向上，顶点坐标是，∴；故答案为：【小问4详解】解：∵，∴该部分二次函数的图象在直线的上方，∵二次函数的图象过点和，二次函数图象的开口向上，∴或，即关于的不等式的解集为或．故答案为：或【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．21.如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．（1）分别用含的代数式表示与；（2）若，求的值；（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取最大值，最大值为多少？【答案】（1）（2）9（3）当时，有最大值【解析】【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键．（1）根据矩形的性质列式求出，再根据矩形面积公式求出S即可；（2）根据（1）所求得到方程，解方程并检验即可得到答案；（3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：由题意得，，∴；【小问2详解】解：由题意得，，∴，解得，，墙长为12米，，，应舍去，的值为9；【小问3详解】解：，墙长为12米，，，，开口向下，∴当，着的增大而减小，当时，有最大值，最大值为：．22.如图，四边形内接于，是的直径，点D在的延长线上，延长交的延长线于点F，点C是的中点，．（1）求证：是的切线；（2）求证：是等腰三角形；（3）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】本题为圆中几何问题的综合计算与